[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/26\/iverson-klammer-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/26\/iverson-klammer-wikipedia\/","headline":"Iverson Klammer – Wikipedia","name":"Iverson Klammer – Wikipedia","description":"before-content-x4 In der Mathematik ist die Iverson Klammer, benannt nach Kenneth E. 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Iverson, ist eine Notation, die das Kronecker-Delta verallgemeinert, das die Iverson-Klammer der Aussage ist x = y.  Es ordnet jede Anweisung einer Funktion der darin enthaltenen freien Variablen zu, die den Wert Eins f\u00fcr die Werte der Variablen annimmt, f\u00fcr die die Anweisung wahr ist, und ansonsten den Wert Null.  Es wird im Allgemeinen dadurch bezeichnet, dass die Aussage in eckige Klammern gesetzt wird:[P]={1wenn P. ist wahr;0Andernfalls.{ displaystyle [P]= { begin {F\u00e4lle} 1 & { text {if}} P { text {ist wahr;}} \\ 0 & { text {sonst.}}  end {F\u00e4lle}}}  Im Kontext der Summation kann die Notation verwendet werden, um eine beliebige Summe als unendliche Summe ohne Grenzen zu schreiben: If P.((k){ displaystyle P (k)}  ist eine Eigenschaft der Ganzzahl   k{ displaystyle k},\u2211kf((k)[P(k)]=\u2211P.((k)f((k).{ displaystyle  sum _ {k} f (k) ,[P(k)]=  sum _ {P (k)} f (k).}Beachten Sie, dass nach dieser Konvention ein Summand f((k)[false]{ displaystyle f (k)[{textbf {false}}]}}  muss auf 0 ausgewertet werden, unabh\u00e4ngig davon, ob   f((k){ displaystyle f (k)}  ist definiert.  Ebenso f\u00fcr Produkte:\u220fkf((k)[P(k)]=\u220fP.((k)f((k).{ displaystyle  prod _ {k} f (k) ^ {[P(k)]} =  prod _ {P (k)} f (k).}Die Notation wurde urspr\u00fcnglich von Kenneth E. Iverson in seiner Programmiersprache APL eingef\u00fchrt.[1][2]  Donald Knuth bef\u00fcrwortete die Verallgemeinerung auf willk\u00fcrliche Aussagen, die Beschr\u00e4nkung der Notation auf eckige Klammern und Anwendungen auf die Summierung, obwohl sie auf einzelne relationale Operatoren in Klammern beschr\u00e4nkt war, um Mehrdeutigkeiten in logischen Ausdr\u00fccken in Klammern zu vermeiden.[3]Table of ContentsEigenschaften[edit]Beispiele[edit]Doppelz\u00e4hlregel[edit]Summationsaustausch[edit]Z\u00e4hlen[edit]Vereinfachung von Sonderf\u00e4llen[edit]Gemeinsame Funktionen[edit]Formulierung in Bezug auf \u00fcbliche Funktionen[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Eigenschaften[edit]Es gibt eine direkte Entsprechung zwischen Arithmetik f\u00fcr Iverson-Klammern, Logik und Mengenoperationen.  Zum Beispiel lassen EIN und B. gesetzt werden und P.((k1,\u2026){ displaystyle P (k_ {1},  dots)}  jede Eigenschaft von ganzen Zahlen;  dann haben wir[P\u2227Q]=[P][Q],[\u00acP]=1– –[P].[P\u2228Q]=[P]+[Q]– –[P][Q].[k\u2208A]+[k\u2208B]=[k\u2208A\u222aB]+[k\u2208A\u2229B].[x\u2208A\u2229B]=[x\u2208A][x\u2208B].[\u2200m\u00a0.\u00a0P(k,m)]=\u220fm[P(k,m)].[\u2203m\u00a0.\u00a0P(k,m)]=Mindest((1,\u2211m[P(k,m)])=1– –\u220fm((1– –[P(k,m)]).#{m\u2223P.((k,m)}}=\u2211m[P(k,m)].{ displaystyle { begin {align}[][Pland Q]& =[P][Q],  qquad [neg P]= 1-[P]. \\[1em][Plor Q]& =[P]+[Q]- -[P][Q]. \\[1em][kin A]+[kin B]& =[kin Acup B]+[kin Acap B]. \\[1em][xin Acap B]& =[xin A][xin B]. \\[1em][forall m . P(k,m)]& =  prod _ {m}[P(k,m)]. \\[1em][exists m . P(k,m)]& =  min { Big (} 1,  sum _ {m}[P(k,m)]{ Big)} = 1-  prod _ {m}  left (1-[P(k,m)]Recht).\\[1em] #  {m  mid P (k, m) } & =  sum _ {m}[P(k,m)].  end {align}}}Beispiele[edit]Die Notation erm\u00f6glicht das Verschieben von Randbedingungen von Summationen (oder Integralen) als separaten Faktor in den Summanden, wodurch Platz um den Summationsoperator frei wird, aber vor allem, dass er algebraisch manipuliert werden kann.Doppelz\u00e4hlregel[edit]Wir leiten mechanisch eine bekannte Summenmanipulationsregel unter Verwendung von Iverson-Klammern ab:\u2211k\u2208EINf((k)+\u2211k\u2208B.f((k)=\u2211kf((k)[k\u2208A]+\u2211kf((k)[k\u2208B]=\u2211kf((k)(([k\u2208A]+[k\u2208B])=\u2211kf((k)(([k\u2208A\u222aB]+[k\u2208A\u2229B])=\u2211k\u2208EIN\u222aB.f((k) +\u2211k\u2208EIN\u2229B.f((k).{ displaystyle { begin {align}  sum _ {k  in A} f (k) +  sum _ {k  in B} f (k) & =  sum _ {k} f (k) ,[kin A]+  sum _ {k} f (k) ,[kin B]\\ & =  sum _ {k} f (k) , ([kin A]+[kin B]) \\ & =  sum _ {k} f (k) , ([kin Acup B]+[kin Acap B]) \\ & =  sum _ {k  in A  cup B} f (k)  +  sum _ {k  in A  cap B} f (k).  end {align}}}Summationsaustausch[edit]Die bekannte Regel \u2211j=1n\u2211k=1jf((j,k)=\u2211k=1n\u2211j=knf((j,k){ displaystyle  textstyle  sum _ {j = 1} ^ {n} ,  sum _ {k = 1} ^ {j} f (j, k) =  sum _ {k = 1} ^ {n} ,  sum _ {j = k} ^ {n} f (j, k)}  ist ebenfalls leicht abzuleiten:\u2211j=1n\u2211k=1jf((j,k)=\u2211j,kf((j,k)[1\u2264j\u2264n][1\u2264k\u2264j]=\u2211j,kf((j,k)[1\u2264k\u2264j\u2264n]=\u2211j,kf((j,k)[1\u2264k\u2264n][k\u2264j\u2264n]=\u2211k=1n\u2211j=knf((j,k).{ displaystyle { begin {align}  sum _ {j = 1} ^ {n} ,  sum _ {k = 1} ^ {j} f (j, k) & =  sum _ {j, k } f (j, k) ,[1leq jleq n],[1leq kleq j]\\ & =  sum _ {j, k} f (j, k) ,[1leq kleq jleq n]\\ & =  sum _ {j, k} f (j, k) ,[1leq kleq n],[kleq jleq n]\\ & =  sum _ {k = 1} ^ {n} ,  sum _ {j = k} ^ {n} f (j, k).  end {align}}}Z\u00e4hlen[edit]Zum Beispiel die Euler-Phi-Funktion, die die Anzahl der positiven ganzen Zahlen bis zu z\u00e4hlt n welche sind coprime zu n kann ausgedr\u00fcckt werden durch\u03d5((n)=\u2211ich=1n[gcd(i,n)=1],zum n\u2208N.+.{ displaystyle  phi (n) =  sum _ {i = 1} ^ {n}[gcd(i,n)=1],  qquad { text {for}} n  in  mathbb {N} ^ {+}.}Vereinfachung von Sonderf\u00e4llen[edit]Eine andere Verwendung der Iverson-Klammer besteht darin, Gleichungen mit Sonderf\u00e4llen zu vereinfachen.  Zum Beispiel die Formel\u22111\u2264k\u2264ngcd((k,n)=1k=12n\u03c6((n){ displaystyle  sum _ {1  leq k  leq n  atop  gcd (k, n) = 1} ! ! k = { frac {1} {2}} n  varphi (n)}gilt f\u00fcr n > 1 ist aber weg von 1\/.2  zum n = 1.  Um eine Identit\u00e4t zu erhalten, die f\u00fcr alle positiven ganzen Zahlen g\u00fcltig ist n  (dh alle Werte f\u00fcr die \u03d5((n){ displaystyle  phi (n)}  definiert ist), kann ein Korrekturterm mit der Iverson-Klammer hinzugef\u00fcgt werden:\u22111\u2264k\u2264ngcd((k,n)=1k=12n((\u03c6((n)+[n=1]){ displaystyle  sum _ {1  leq k  leq n  atop  gcd (k, n) = 1} ! ! k = { frac {1} {2}} n ( varphi (n) +[n=1])}Gemeinsame Funktionen[edit]Viele gebr\u00e4uchliche Funktionen, insbesondere solche mit einer nat\u00fcrlichen st\u00fcckweisen Definition, k\u00f6nnen in Form der Iverson-Klammer ausgedr\u00fcckt werden.  Die Kronecker-Delta-Notation ist ein spezieller Fall der Iverson-Notation, wenn die Bedingung Gleichheit ist.  Das ist,\u03b4ichj=[i=j].{ displaystyle  delta _ {ij} =[i=j].}Die oft bezeichnete Indikatorfunktion 1EIN((x){ displaystyle  mathbf {1} _ {A} (x)}, ichEIN((x){ displaystyle  mathbf {I} _ {A} (x)}  oder \u03c7EIN((x){ displaystyle  chi _ {A} (x)}ist eine Iverson-Klammer mit festgelegter Mitgliedschaft als Bedingung:ichEIN((x)=[x\u2208A]{ displaystyle  mathbf {I} _ {A} (x) =[xin A]}}.Die Heaviside-Schrittfunktion, Vorzeichenfunktion,[1]  und Absolutwertfunktion lassen sich auch leicht in dieser Notation ausdr\u00fccken:H.((x)=[x\u22650],sgn\u2061((x)=[x>0]– –[x0]- -[xund|x|=x[x>0]– –x[x0]– –[x((x).{ displaystyle { begin {align} | x | & = x[x>0]-x[x[x0]-[xDie Vergleichsfunktionen max und min (R\u00fcckgabe des gr\u00f6\u00dferen oder kleineren von zwei Argumenten) k\u00f6nnen wie folgt geschrieben werden"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/26\/iverson-klammer-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Iverson Klammer – Wikipedia"}}]}]