K3 Oberfläche – Wikipedia

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Eine Art glatte komplexe Oberfläche der Kodaira-Dimension 0

Eine glatte Quartic-Oberfläche im 3-Raum. Die Abbildung zeigt einen Teil der realen Punkte (der realen Dimension 2) in einer bestimmten komplexen K3-Oberfläche (der komplexen Dimension 2, daher der realen Dimension 4).
Dans la seconde partie de mon rapport, il s’agit des variétés kählériennes dites K3, ainsi nommées en l’honneur de Kummer, Kähler, Kodaira und de la belle montagne K2 au Cachemire.

Im zweiten Teil meines Berichts beschäftigen wir uns mit den Kähler-Sorten K3, die zu Ehren von Kummer, Kähler, Kodaira und des schönen Berges K2 in Kaschmir benannt wurden.

André Weil (1958, S. 546), der den Grund für den Namen beschreibt “K3 Oberfläche”

In der Mathematik eine komplexe Analyse K3 Oberfläche ist eine kompakt verbundene komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension 2 mit einem trivialen kanonischen Bündel und einer Unregelmäßigkeit von Null. Eine (algebraische) K3-Oberfläche über einem beliebigen Feld bedeutet eine glatte, ordnungsgemäß geometrisch verbundene algebraische Oberfläche, die die gleichen Bedingungen erfüllt. In der Enriques-Kodaira-Klassifizierung von Oberflächen bilden K3-Oberflächen eine der vier Klassen minimaler Oberflächen der Kodaira-Dimension Null. Ein einfaches Beispiel ist die Fermat-Quartikoberfläche

im komplexen projektiven 3-Raum.

K3-Oberflächen sind zusammen mit zweidimensionalen kompakten komplexen Tori die Calabi-Yau-Verteiler (und auch die Hyperkähler-Verteiler) der Dimension zwei. Als solche stehen sie im Zentrum der Klassifizierung algebraischer Oberflächen zwischen den positiv gekrümmten del Pezzo-Oberflächen (die leicht zu klassifizieren sind) und den negativ gekrümmten Oberflächen allgemeinen Typs (die im Wesentlichen nicht klassifizierbar sind). K3-Oberflächen können als die einfachsten algebraischen Varietäten betrachtet werden, deren Struktur sich nicht auf Kurven oder abelsche Varietäten reduziert, und bei denen dennoch ein substanzielles Verständnis möglich ist. Eine komplexe K3-Oberfläche hat die reale Dimension 4 und spielt eine wichtige Rolle bei der Untersuchung glatter 4-Mannigfaltigkeiten. K3-Oberflächen wurden auf Kac-Moody-Algebren, Spiegelsymmetrie und Stringtheorie angewendet.

Es kann nützlich sein, sich komplexe algebraische K3-Oberflächen als Teil der breiteren Familie komplexer analytischer K3-Oberflächen vorzustellen. Viele andere Arten von algebraischen Varietäten weisen solche nichtalgebraischen Deformationen nicht auf.

Definition[edit]

Es gibt verschiedene äquivalente Möglichkeiten, K3-Oberflächen zu definieren. Die einzigen kompakten komplexen Oberflächen mit einem trivialen kanonischen Bündel sind K3-Oberflächen und kompakte komplexe Tori. Daher kann man jede Bedingung mit Ausnahme der letzteren hinzufügen, um K3-Oberflächen zu definieren. Zum Beispiel ist es äquivalent, eine komplexe analytische K3-Oberfläche als eine einfach verbundene kompakte komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension 2 mit einer nirgends verschwindenden holomorphen 2-Form zu definieren. (Die letztere Bedingung besagt genau, dass das kanonische Bündel trivial ist.)

Es gibt auch einige Varianten der Definition. Über die komplexen Zahlen hinweg betrachten einige Autoren nur die algebraischen K3-Oberflächen. (Eine algebraische K3-Oberfläche ist automatisch projektiv.[1]) Oder man kann K3-Oberflächen erlauben, du Val-Singularitäten (die kanonischen Singularitäten der Dimension 2) zu haben, anstatt glatt zu sein.

Berechnung der Betti-Zahlen[edit]

Die Betti-Zahlen einer komplexen analytischen K3-Oberfläche werden wie folgt berechnet.[2] (Ein ähnliches Argument gibt die gleiche Antwort für die Betti-Zahlen einer algebraischen K3-Oberfläche über ein beliebiges Feld, das mithilfe der l-adischen Kohomologie definiert wurde.) Per Definition das kanonische Bündel

K.X.=ΩX.2{ displaystyle K_ {X} = Omega _ {X} ^ {2}}

ist trivial und die Unregelmäßigkeit q((X.) (Die Dimension

h1((X.,ÖX.){ displaystyle h ^ {1} (X, O_ {X})}

der kohärenten Garbenkohomologiegruppe

H.1((X.,ÖX.){ displaystyle H ^ {1} (X, O_ {X})}

) ist Null. Durch Serre Dualität,

Infolgedessen ist die arithmetische Gattung (oder holomorphe Euler-Eigenschaft) von X. ist:

Andererseits sagt der Riemann-Roch-Satz (Noether-Formel):

wo

cich((X.){ displaystyle c_ {i} (X)}

ist der ich-th Chern Klasse des Tangentenbündels. Schon seit

K.X.{ displaystyle K_ {X}}

ist trivial, seine erste Chern-Klasse

c1((K.X.)=– –c1((X.){ displaystyle c_ {1} (K_ {X}) = – c_ {1} (X)}

ist Null und so

c2((X.)=24{ displaystyle c_ {2} (X) = 24}

.

Als nächstes die Exponentialsequenz

0Z.X.ÖX.ÖX.0{ displaystyle 0 to mathbb {Z} _ {X} to O_ {X} to O_ {X} ^ {*} to 0}

gibt eine genaue Reihenfolge der Kohomologiegruppen an

0H.1((X.,Z.)H.1((X.,ÖX.){ displaystyle 0 bis H ^ {1} (X, mathbb {Z}) bis H ^ {1} (X, O_ {X})}

, und so

H.1((X.,Z.)=0{ displaystyle H ^ {1} (X, mathbb {Z}) = 0}

. Also die Betti Nummer

b1((X.){ displaystyle b_ {1} (X)}

ist Null und durch Poincaré Dualität,

b3((X.){ displaystyle b_ {3} (X)}

ist auch Null. Schließlich,

c2((X.)=24{ displaystyle c_ {2} (X) = 24}

ist gleich der topologischen Euler-Charakteristik

Schon seit

b0((X.)=b4((X.)=1{ displaystyle b_ {0} (X) = b_ {4} (X) = 1}

und

b1((X.)=b3((X.)=0{ displaystyle b_ {1} (X) = b_ {3} (X) = 0}

, es folgt dem

b2((X.)=22{ displaystyle b_ {2} (X) = 22}

.

Eigenschaften[edit]

  • Die Hodge-Nummern aller K3-Oberflächen sind im Hodge-Diamanten aufgeführt:
Eine Möglichkeit, dies zu zeigen, besteht darin, das Jacobi-Ideal einer bestimmten K3-Oberfläche zu berechnen und dann eine Variation der Hodge-Struktur auf den Modulen algebraischer K3-Oberflächen zu verwenden, um zu zeigen, dass alle diese K3-Oberflächen die gleichen Hodge-Zahlen haben. Eine einfachere Berechnung kann durchgeführt werden, indem die Betti-Zahlen zusammen mit den berechneten Teilen der Hodge-Struktur berechnet werden
  • Für eine komplexe analytische K3-Oberfläche X., die Schnittform (oder das Becherprodukt) auf
  • Yukio Matsumotos 11/8-Vermutung sagt voraus, dass jeder glatt ausgerichtete 4-Mannigfaltigkeit X. Bei gerader Schnittform hat die zweite Betti-Zahl mindestens das 11/8-fache des absoluten Wertes der Signatur. Dies wäre optimal, wenn dies zutrifft, da die Gleichheit für eine komplexe K3-Oberfläche gilt, die die Signatur 3−19 = −16 hat. Die Vermutung würde implizieren, dass jeder einfach verbundene glatte 4-Verteiler mit gleichmäßiger Schnittform homöomorph zu einer verbundenen Summe von Kopien der K3-Oberfläche und von ist
  • Jede komplexe Oberfläche, die sich von einer K3-Oberfläche unterscheidet, ist eine K3-Oberfläche von Robert Friedman und John Morgan. Andererseits gibt es glatte komplexe Oberflächen (von denen einige projektiv sind), die homöomorph, aber nicht diffeomorph zu einer K3-Oberfläche sind, von Kodaira und Michael Freedman.[8] Diese “Homotopie K3 Oberflächen” Alle haben Kodaira Dimension 1.

Beispiele[edit]

Das Picard-Gitter[edit]

Die Picard-Gruppe Pic (X.) einer komplexen analytischen K3-Oberfläche X. bedeutet die abelsche Gruppe komplexer analytischer Linienbündel auf X.. Für eine algebraische K3-Oberfläche gilt Pic (X.) bedeutet die Gruppe der algebraischen Linienbündel auf X.. Die beiden Definitionen stimmen für eine komplexe algebraische K3-Oberfläche nach dem GAGA-Theorem von Jean-Pierre Serre überein.

Die Picard-Gruppe einer K3-Oberfläche X. ist immer eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe; sein Rang heißt der Picard Nummer

ρ{ displaystyle rho}

. In dem komplexen Fall ist Pic (X.) ist eine Untergruppe von

H.2((X.,Z.)Z.22{ displaystyle H ^ {2} (X, mathbb {Z}) cong mathbb {Z} ^ {22}}

. Es ist ein wichtiges Merkmal von K3-Oberflächen, dass viele verschiedene Picard-Nummern auftreten können. Zum X. eine komplexe algebraische K3-Oberfläche,

ρ{ displaystyle rho}

kann eine beliebige Ganzzahl zwischen 1 und 20 sein. Im komplexen analytischen Fall ist

ρ{ displaystyle rho}

kann auch Null sein. (In diesem Fall, X. enthält überhaupt keine geschlossenen komplexen Kurven. Im Gegensatz dazu enthält eine algebraische Oberfläche immer viele kontinuierliche Kurvenfamilien.) Über ein algebraisch geschlossenes Kennfeld p > 0 gibt es eine spezielle Klasse von K3-Oberflächen, supersinguläre K3-Oberflächen mit Picard-Nummer 22.

Das Picard-Gitter einer K3-Oberfläche bedeutet die abelsche Gruppe Pic (X.) zusammen mit seiner Schnittform eine symmetrische bilineare Form mit Werten in ganzen Zahlen. (Über

C.{ displaystyle mathbb {C}}

bedeutet die Schnittform die Einschränkung der Schnittform auf

H.2((X.,Z.){ displaystyle H ^ {2} (X, mathbb {Z})}

. Über ein allgemeines Feld kann die Schnittform unter Verwendung der Schnittpunkttheorie von Kurven auf einer Oberfläche definiert werden, indem die Picard-Gruppe mit der Divisor-Klassengruppe identifiziert wird.) Das Picard-Gitter einer K3-Oberfläche ist immer sogar, was bedeutet, dass die ganze Zahl

u2{ displaystyle u ^ {2}}

ist gerade für jeden

uPic((X.){ displaystyle u in operatorname {Pic} (X)}

.

Das Hodge-Index-Theorem impliziert, dass das Picard-Gitter einer algebraischen K3-Oberfläche eine Signatur hat

((1,ρ– –1){ displaystyle (1, rho -1)}

. Viele Eigenschaften einer K3-Oberfläche werden durch ihr Picard-Gitter als symmetrische bilineare Form über den ganzen Zahlen bestimmt. Dies führt zu einer starken Verbindung zwischen der Theorie der K3-Oberflächen und der Arithmetik symmetrischer bilinearer Formen. Als erstes Beispiel für diesen Zusammenhang: Eine komplexe analytische K3-Oberfläche ist genau dann algebraisch, wenn ein Element vorhanden ist

uPic((X.){ displaystyle u in operatorname {Pic} (X)}

mit

u2>0{ displaystyle u ^ {2}> 0}

[10]

Grob gesagt hat der Raum aller komplexen analytischen K3-Oberflächen eine komplexe Dimension 20, während der Raum von K3-Oberflächen mit Picard-Nummer

ρ{ displaystyle rho}

hat Dimension

20– –ρ{ displaystyle 20- rho}

(ausgenommen der supersinguläre Fall). Insbesondere treten algebraische K3-Oberflächen in 19-dimensionalen Familien auf. Weitere Details zu Modulräumen von K3-Oberflächen sind unten angegeben.

Die genaue Beschreibung, welche Gitter als Picard-Gitter von K3-Oberflächen auftreten können, ist kompliziert. Eine klare Aussage von Viacheslav Nikulin und David Morrison ist, dass jedes gleichmäßige Gitter der Unterschrift

((1,ρ– –1){ displaystyle (1, rho -1)}

mit

ρ11{ displaystyle rho leq 11}

ist das Picard-Gitter einer komplexen projektiven K3-Oberfläche.[11] Der Raum solcher Oberflächen hat Abmessungen

20– –ρ{ displaystyle 20- rho}

.

Elliptische K3-Oberflächen[edit]

Eine wichtige Unterklasse von K3-Oberflächen, die einfacher zu analysieren ist als der allgemeine Fall, besteht aus den K3-Oberflächen mit einer elliptischen Fibration

X.P.1{ displaystyle X to mathbf {P} ^ {1}}

. “Elliptisch” bedeutet, dass alle bis auf endlich viele Fasern dieses Morphismus glatte Kurven der Gattung 1 sind. Die singulären Fasern sind Vereinigungen rationaler Kurven, wobei die möglichen Arten von singulären Fasern von Kodaira klassifiziert werden. Es gibt immer einige singuläre Fasern, da die Summe der topologischen Euler-Eigenschaften der singulären Fasern ist

χ((X.)=24{ displaystyle chi (X) = 24}

. Eine allgemeine elliptische K3-Oberfläche hat genau 24 einzelne Fasern vom Typ

ich1{ displaystyle I_ {1}}

(eine kubische Knotenkurve).[12]

Ob eine K3-Oberfläche elliptisch ist, kann an ihrem Picard-Gitter abgelesen werden. In der Eigenschaft nicht 2 oder 3 nämlich eine K3-Oberfläche X. hat genau dann eine elliptische Fibration, wenn ein Element ungleich Null vorhanden ist

uPic((X.){ displaystyle u in operatorname {Pic} (X)}

mit

u2=0{ displaystyle u ^ {2} = 0}

.[13] (In Merkmal 2 oder 3 kann die letztere Bedingung auch einer quasi-elliptischen Fibration entsprechen.) Daraus folgt, dass eine elliptische Fibration eine Codimension-1-Bedingung auf einer K3-Oberfläche ist. Es gibt also 19-dimensionale Familien komplexer analytischer K3-Oberflächen mit elliptischer Fibration und 18-dimensionale Modulräume projektiver K3-Oberflächen mit elliptischer Fibration.

Beispiel: Jede glatte Quartikoberfläche X. im

P.3{ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}

das enthält eine Zeile L. hat eine elliptische Fibration

X.P.1{ displaystyle X to mathbf {P} ^ {1}}

, gegeben durch Projektion weg von L.. Der Modulraum aller glatten Quarzflächen (bis zum Isomorphismus) hat die Dimension 19, während der Unterraum der Quarzflächen, die eine Linie enthalten, die Dimension 18 hat.

Rationale Kurven auf K3-Oberflächen[edit]

Im Gegensatz zu positiv gekrümmten Sorten wie del Pezzo-Oberflächen eine komplexe algebraische K3-Oberfläche X. ist nicht ungeregelt; Das heißt, es wird nicht von einer kontinuierlichen Familie rationaler Kurven abgedeckt. Im Gegensatz zu negativ gekrümmten Sorten wie Oberflächen allgemeiner Art X. enthält einen großen diskreten Satz rationaler Kurven (möglicherweise singulär). Insbesondere Fedor Bogomolov und David Mumford zeigten, dass jede Kurve weitergeht X. ist linear äquivalent zu einer positiven linearen Kombination rationaler Kurven.[14]

Ein weiterer Kontrast zu negativ gekrümmten Sorten ist die Kobayashi-Metrik auf einer komplexen analytischen K3-Oberfläche X. ist identisch Null. Der Beweis verwendet eine algebraische K3-Oberfläche X. wird immer von einer fortlaufenden Familie von Bildern elliptischer Kurven abgedeckt.[15] (Diese Kurven sind in singulär X., es sei denn X. zufällig eine elliptische K3-Oberfläche.) Eine stärkere Frage, die offen bleibt, ist, ob jede komplexe K3-Oberfläche eine nicht entartete holomorphe Karte von zulässt

C.2{ displaystyle mathbb {C} ^ {2}}

(wo “nicht entartet” bedeutet, dass die Ableitung der Karte irgendwann ein Isomorphismus ist).[16].

Die Periodenkarte[edit]

Definieren Sie a Markierung einer komplexen analytischen K3-Oberfläche X. ein Isomorphismus von Gittern aus sein

H.2((X.,Z.){ displaystyle H ^ {2} (X, mathbb {Z})}

zum K3-Gitter

Λ=E.8((– –1)2U.3{ displaystyle Lambda = E_ {8} (- 1) ^ { oplus 2} oplus U ^ { oplus 3}}

. Der Raum N. von markierten komplexen K3-Oberflächen ist eine nicht-Hausdorff-komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension 20.[17] Die Menge der Isomorphismusklassen komplexer analytischer K3-Oberflächen ist der Quotient von N. durch die orthogonale Gruppe

Ö((Λ){ displaystyle O ( Lambda)}

, aber dieser Quotient ist kein geometrisch bedeutsamer Modulraum, weil die Wirkung von

Ö((Λ){ displaystyle O ( Lambda)}

ist weit davon entfernt, richtig diskontinuierlich zu sein.[18] (Zum Beispiel ist der Raum glatter Quartikoberflächen für Dimension 19 nicht reduzierbar, und dennoch ist jede komplexe analytische K3-Oberfläche in der 20-dimensionalen Familie N. hat beliebig kleine Verformungen, die isomorph zu glatten Quarzen sind.[19]) Aus dem gleichen Grund gibt es keinen aussagekräftigen Modulraum für kompakte komplexe Tori mit einer Dimension von mindestens 2.

Die Periodenabbildung sendet eine K3-Oberfläche an ihre Hodge-Struktur. Bei sorgfältiger Angabe gilt das Torelli-Theorem: Eine K3-Oberfläche wird durch ihre Hodge-Struktur bestimmt. Die Periodendomäne ist als die 20-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit definiert

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