K3 Oberfläche – Wikipedia
Eine Art glatte komplexe Oberfläche der Kodaira-Dimension 0
Im zweiten Teil meines Berichts beschäftigen wir uns mit den Kähler-Sorten K3, die zu Ehren von Kummer, Kähler, Kodaira und des schönen Berges K2 in Kaschmir benannt wurden.
André Weil (1958, S. 546), der den Grund für den Namen beschreibt “K3 Oberfläche”
In der Mathematik eine komplexe Analyse K3 Oberfläche ist eine kompakt verbundene komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension 2 mit einem trivialen kanonischen Bündel und einer Unregelmäßigkeit von Null. Eine (algebraische) K3-Oberfläche über einem beliebigen Feld bedeutet eine glatte, ordnungsgemäß geometrisch verbundene algebraische Oberfläche, die die gleichen Bedingungen erfüllt. In der Enriques-Kodaira-Klassifizierung von Oberflächen bilden K3-Oberflächen eine der vier Klassen minimaler Oberflächen der Kodaira-Dimension Null. Ein einfaches Beispiel ist die Fermat-Quartikoberfläche
im komplexen projektiven 3-Raum.
K3-Oberflächen sind zusammen mit zweidimensionalen kompakten komplexen Tori die Calabi-Yau-Verteiler (und auch die Hyperkähler-Verteiler) der Dimension zwei. Als solche stehen sie im Zentrum der Klassifizierung algebraischer Oberflächen zwischen den positiv gekrümmten del Pezzo-Oberflächen (die leicht zu klassifizieren sind) und den negativ gekrümmten Oberflächen allgemeinen Typs (die im Wesentlichen nicht klassifizierbar sind). K3-Oberflächen können als die einfachsten algebraischen Varietäten betrachtet werden, deren Struktur sich nicht auf Kurven oder abelsche Varietäten reduziert, und bei denen dennoch ein substanzielles Verständnis möglich ist. Eine komplexe K3-Oberfläche hat die reale Dimension 4 und spielt eine wichtige Rolle bei der Untersuchung glatter 4-Mannigfaltigkeiten. K3-Oberflächen wurden auf Kac-Moody-Algebren, Spiegelsymmetrie und Stringtheorie angewendet.
Es kann nützlich sein, sich komplexe algebraische K3-Oberflächen als Teil der breiteren Familie komplexer analytischer K3-Oberflächen vorzustellen. Viele andere Arten von algebraischen Varietäten weisen solche nichtalgebraischen Deformationen nicht auf.
Definition[edit]
Es gibt verschiedene äquivalente Möglichkeiten, K3-Oberflächen zu definieren. Die einzigen kompakten komplexen Oberflächen mit einem trivialen kanonischen Bündel sind K3-Oberflächen und kompakte komplexe Tori. Daher kann man jede Bedingung mit Ausnahme der letzteren hinzufügen, um K3-Oberflächen zu definieren. Zum Beispiel ist es äquivalent, eine komplexe analytische K3-Oberfläche als eine einfach verbundene kompakte komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension 2 mit einer nirgends verschwindenden holomorphen 2-Form zu definieren. (Die letztere Bedingung besagt genau, dass das kanonische Bündel trivial ist.)
Es gibt auch einige Varianten der Definition. Über die komplexen Zahlen hinweg betrachten einige Autoren nur die algebraischen K3-Oberflächen. (Eine algebraische K3-Oberfläche ist automatisch projektiv.[1]) Oder man kann K3-Oberflächen erlauben, du Val-Singularitäten (die kanonischen Singularitäten der Dimension 2) zu haben, anstatt glatt zu sein.
Berechnung der Betti-Zahlen[edit]
Die Betti-Zahlen einer komplexen analytischen K3-Oberfläche werden wie folgt berechnet.[2] (Ein ähnliches Argument gibt die gleiche Antwort für die Betti-Zahlen einer algebraischen K3-Oberfläche über ein beliebiges Feld, das mithilfe der l-adischen Kohomologie definiert wurde.) Per Definition das kanonische Bündel
ist trivial und die Unregelmäßigkeit q((X.) (Die Dimension
der kohärenten Garbenkohomologiegruppe
) ist Null. Durch Serre Dualität,
Infolgedessen ist die arithmetische Gattung (oder holomorphe Euler-Eigenschaft) von X. ist:
Andererseits sagt der Riemann-Roch-Satz (Noether-Formel):
- ,
wo
ist der ich-th Chern Klasse des Tangentenbündels. Schon seit
ist trivial, seine erste Chern-Klasse
ist Null und so
.
Als nächstes die Exponentialsequenz
gibt eine genaue Reihenfolge der Kohomologiegruppen an
, und so
. Also die Betti Nummer
ist Null und durch Poincaré Dualität,
ist auch Null. Schließlich,
ist gleich der topologischen Euler-Charakteristik
Schon seit
und
, es folgt dem
.
Eigenschaften[edit]
- Die Hodge-Nummern aller K3-Oberflächen sind im Hodge-Diamanten aufgeführt:
-
- Eine Möglichkeit, dies zu zeigen, besteht darin, das Jacobi-Ideal einer bestimmten K3-Oberfläche zu berechnen und dann eine Variation der Hodge-Struktur auf den Modulen algebraischer K3-Oberflächen zu verwenden, um zu zeigen, dass alle diese K3-Oberflächen die gleichen Hodge-Zahlen haben. Eine einfachere Berechnung kann durchgeführt werden, indem die Betti-Zahlen zusammen mit den berechneten Teilen der Hodge-Struktur berechnet werden für eine beliebige K3-Oberfläche. In diesem Fall Hodge-Symmetriekräfte daher . Für K3-Oberflächen in charakteristischer p > 0, dies wurde zuerst von Alexey Rudakov und Igor Shafarevich gezeigt.[5]
- Für eine komplexe analytische K3-Oberfläche X., die Schnittform (oder das Becherprodukt) auf ist eine symmetrische bilineare Form mit Werten in den ganzen Zahlen, bekannt als K3-Gitter. Dies ist isomorph zum sogar unimodularen Gitter , oder gleichwertig , wo U. ist das hyperbolische Gitter von Rang 2 und ist das E8-Gitter.[6]
- Yukio Matsumotos 11/8-Vermutung sagt voraus, dass jeder glatt ausgerichtete 4-Mannigfaltigkeit X. Bei gerader Schnittform hat die zweite Betti-Zahl mindestens das 11/8-fache des absoluten Wertes der Signatur. Dies wäre optimal, wenn dies zutrifft, da die Gleichheit für eine komplexe K3-Oberfläche gilt, die die Signatur 3−19 = −16 hat. Die Vermutung würde implizieren, dass jeder einfach verbundene glatte 4-Verteiler mit gleichmäßiger Schnittform homöomorph zu einer verbundenen Summe von Kopien der K3-Oberfläche und von ist .[7]
- Jede komplexe Oberfläche, die sich von einer K3-Oberfläche unterscheidet, ist eine K3-Oberfläche von Robert Friedman und John Morgan. Andererseits gibt es glatte komplexe Oberflächen (von denen einige projektiv sind), die homöomorph, aber nicht diffeomorph zu einer K3-Oberfläche sind, von Kodaira und Michael Freedman.[8] Diese “Homotopie K3 Oberflächen” Alle haben Kodaira Dimension 1.
Beispiele[edit]
Das Picard-Gitter[edit]
Die Picard-Gruppe Pic (X.) einer komplexen analytischen K3-Oberfläche X. bedeutet die abelsche Gruppe komplexer analytischer Linienbündel auf X.. Für eine algebraische K3-Oberfläche gilt Pic (X.) bedeutet die Gruppe der algebraischen Linienbündel auf X.. Die beiden Definitionen stimmen für eine komplexe algebraische K3-Oberfläche nach dem GAGA-Theorem von Jean-Pierre Serre überein.
Die Picard-Gruppe einer K3-Oberfläche X. ist immer eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe; sein Rang heißt der Picard Nummer
. In dem komplexen Fall ist Pic (X.) ist eine Untergruppe von
. Es ist ein wichtiges Merkmal von K3-Oberflächen, dass viele verschiedene Picard-Nummern auftreten können. Zum X. eine komplexe algebraische K3-Oberfläche,
kann eine beliebige Ganzzahl zwischen 1 und 20 sein. Im komplexen analytischen Fall ist
kann auch Null sein. (In diesem Fall, X. enthält überhaupt keine geschlossenen komplexen Kurven. Im Gegensatz dazu enthält eine algebraische Oberfläche immer viele kontinuierliche Kurvenfamilien.) Über ein algebraisch geschlossenes Kennfeld p > 0 gibt es eine spezielle Klasse von K3-Oberflächen, supersinguläre K3-Oberflächen mit Picard-Nummer 22.
Das Picard-Gitter einer K3-Oberfläche bedeutet die abelsche Gruppe Pic (X.) zusammen mit seiner Schnittform eine symmetrische bilineare Form mit Werten in ganzen Zahlen. (Über
bedeutet die Schnittform die Einschränkung der Schnittform auf
. Über ein allgemeines Feld kann die Schnittform unter Verwendung der Schnittpunkttheorie von Kurven auf einer Oberfläche definiert werden, indem die Picard-Gruppe mit der Divisor-Klassengruppe identifiziert wird.) Das Picard-Gitter einer K3-Oberfläche ist immer sogar, was bedeutet, dass die ganze Zahl
ist gerade für jeden
.
Das Hodge-Index-Theorem impliziert, dass das Picard-Gitter einer algebraischen K3-Oberfläche eine Signatur hat
. Viele Eigenschaften einer K3-Oberfläche werden durch ihr Picard-Gitter als symmetrische bilineare Form über den ganzen Zahlen bestimmt. Dies führt zu einer starken Verbindung zwischen der Theorie der K3-Oberflächen und der Arithmetik symmetrischer bilinearer Formen. Als erstes Beispiel für diesen Zusammenhang: Eine komplexe analytische K3-Oberfläche ist genau dann algebraisch, wenn ein Element vorhanden ist
mit
[10]
Grob gesagt hat der Raum aller komplexen analytischen K3-Oberflächen eine komplexe Dimension 20, während der Raum von K3-Oberflächen mit Picard-Nummer
hat Dimension
(ausgenommen der supersinguläre Fall). Insbesondere treten algebraische K3-Oberflächen in 19-dimensionalen Familien auf. Weitere Details zu Modulräumen von K3-Oberflächen sind unten angegeben.
Die genaue Beschreibung, welche Gitter als Picard-Gitter von K3-Oberflächen auftreten können, ist kompliziert. Eine klare Aussage von Viacheslav Nikulin und David Morrison ist, dass jedes gleichmäßige Gitter der Unterschrift
mit
ist das Picard-Gitter einer komplexen projektiven K3-Oberfläche.[11] Der Raum solcher Oberflächen hat Abmessungen
.
Elliptische K3-Oberflächen[edit]
Eine wichtige Unterklasse von K3-Oberflächen, die einfacher zu analysieren ist als der allgemeine Fall, besteht aus den K3-Oberflächen mit einer elliptischen Fibration
. “Elliptisch” bedeutet, dass alle bis auf endlich viele Fasern dieses Morphismus glatte Kurven der Gattung 1 sind. Die singulären Fasern sind Vereinigungen rationaler Kurven, wobei die möglichen Arten von singulären Fasern von Kodaira klassifiziert werden. Es gibt immer einige singuläre Fasern, da die Summe der topologischen Euler-Eigenschaften der singulären Fasern ist
. Eine allgemeine elliptische K3-Oberfläche hat genau 24 einzelne Fasern vom Typ
(eine kubische Knotenkurve).[12]
Ob eine K3-Oberfläche elliptisch ist, kann an ihrem Picard-Gitter abgelesen werden. In der Eigenschaft nicht 2 oder 3 nämlich eine K3-Oberfläche X. hat genau dann eine elliptische Fibration, wenn ein Element ungleich Null vorhanden ist
mit
.[13] (In Merkmal 2 oder 3 kann die letztere Bedingung auch einer quasi-elliptischen Fibration entsprechen.) Daraus folgt, dass eine elliptische Fibration eine Codimension-1-Bedingung auf einer K3-Oberfläche ist. Es gibt also 19-dimensionale Familien komplexer analytischer K3-Oberflächen mit elliptischer Fibration und 18-dimensionale Modulräume projektiver K3-Oberflächen mit elliptischer Fibration.
Beispiel: Jede glatte Quartikoberfläche X. im
das enthält eine Zeile L. hat eine elliptische Fibration
, gegeben durch Projektion weg von L.. Der Modulraum aller glatten Quarzflächen (bis zum Isomorphismus) hat die Dimension 19, während der Unterraum der Quarzflächen, die eine Linie enthalten, die Dimension 18 hat.
Rationale Kurven auf K3-Oberflächen[edit]
Im Gegensatz zu positiv gekrümmten Sorten wie del Pezzo-Oberflächen eine komplexe algebraische K3-Oberfläche X. ist nicht ungeregelt; Das heißt, es wird nicht von einer kontinuierlichen Familie rationaler Kurven abgedeckt. Im Gegensatz zu negativ gekrümmten Sorten wie Oberflächen allgemeiner Art X. enthält einen großen diskreten Satz rationaler Kurven (möglicherweise singulär). Insbesondere Fedor Bogomolov und David Mumford zeigten, dass jede Kurve weitergeht X. ist linear äquivalent zu einer positiven linearen Kombination rationaler Kurven.[14]
Ein weiterer Kontrast zu negativ gekrümmten Sorten ist die Kobayashi-Metrik auf einer komplexen analytischen K3-Oberfläche X. ist identisch Null. Der Beweis verwendet eine algebraische K3-Oberfläche X. wird immer von einer fortlaufenden Familie von Bildern elliptischer Kurven abgedeckt.[15] (Diese Kurven sind in singulär X., es sei denn X. zufällig eine elliptische K3-Oberfläche.) Eine stärkere Frage, die offen bleibt, ist, ob jede komplexe K3-Oberfläche eine nicht entartete holomorphe Karte von zulässt
(wo “nicht entartet” bedeutet, dass die Ableitung der Karte irgendwann ein Isomorphismus ist).[16].
Die Periodenkarte[edit]
Definieren Sie a Markierung einer komplexen analytischen K3-Oberfläche X. ein Isomorphismus von Gittern aus sein
zum K3-Gitter
. Der Raum N. von markierten komplexen K3-Oberflächen ist eine nicht-Hausdorff-komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension 20.[17] Die Menge der Isomorphismusklassen komplexer analytischer K3-Oberflächen ist der Quotient von N. durch die orthogonale Gruppe
, aber dieser Quotient ist kein geometrisch bedeutsamer Modulraum, weil die Wirkung von
ist weit davon entfernt, richtig diskontinuierlich zu sein.[18] (Zum Beispiel ist der Raum glatter Quartikoberflächen für Dimension 19 nicht reduzierbar, und dennoch ist jede komplexe analytische K3-Oberfläche in der 20-dimensionalen Familie N. hat beliebig kleine Verformungen, die isomorph zu glatten Quarzen sind.[19]) Aus dem gleichen Grund gibt es keinen aussagekräftigen Modulraum für kompakte komplexe Tori mit einer Dimension von mindestens 2.
Die Periodenabbildung sendet eine K3-Oberfläche an ihre Hodge-Struktur. Bei sorgfältiger Angabe gilt das Torelli-Theorem: Eine K3-Oberfläche wird durch ihre Hodge-Struktur bestimmt. Die Periodendomäne ist als die 20-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit definiert
- sendet eine markierte K3-Oberfläche X. zur komplexen Linie . Dies ist surjektiv und ein lokaler Isomorphismus, aber kein Isomorphismus (insbesondere weil D. ist Hausdorff und N. ist nicht). Die globaler Torelli-Satz für K3-Flächen heißt es, dass die Quotientenkarte von Mengen
ist bijektiv. Daraus folgt, dass zwei komplexe analytische K3-Oberflächen X. und Y. sind genau dann isomorph, wenn es eine gibt Hodge-Isometrie von
zu
das heißt, ein Isomorphismus abelscher Gruppen, der die Schnittform beibehält und sendet
zu
.[20]
Modulräume projektiver K3-Oberflächen[edit]
EIN polarisiert K3 Oberfläche X. von Gattung G ist definiert als eine projektive K3-Oberfläche zusammen mit einem großen Linienbündel L. so dass L. ist primitiv (dh nicht zweimal oder öfter ein anderes Zeilenbündel) und
. Dies wird auch als polarisierte K3-Oberfläche von bezeichnet Grad 2G−2.[21]
Unter diesen Annahmen L. ist basepoint-frei. In der Charakteristik Null impliziert der Satz von Bertini, dass es eine glatte Kurve gibt C. im linearen System |L.|. Alle diese Kurven haben eine Gattung G, was erklärt, warum (X.,L.) soll Gattung haben G.
Der Vektorraum von Abschnitten von L. hat Dimension G + 1 und so L. gibt einen Morphismus aus X. zum projektiven Raum
. In den meisten Fällen ist dieser Morphismus eine Einbettung, so dass X. ist isomorph zu einer Oberfläche vom Grad 2G−2 in
.
Es gibt einen irreduziblen Grobmodulraum
von polarisierten komplexen K3-Oberflächen der Gattung G für jeden
;; Es kann als offene Zariski-Untergruppe einer Shimura-Sorte für die Gruppe angesehen werden DAMIT(2,19). Für jeden G,
ist eine quasi-projektive komplexe Vielfalt der Dimension 19.[22]Shigeru Mukai hat gezeigt, dass dieser Modulraum unirational ist, wenn
oder
. Im Gegensatz dazu haben Valery Gritsenko, Klaus Hulek und Gregory Sankaran dies gezeigt
ist vom allgemeinen Typ, wenn
oder
. Eine Übersicht über dieses Gebiet gab Voisin (2008).
Die verschiedenen 19-dimensionalen Modulräume
auf komplizierte Weise überlappen. In der Tat gibt es eine zählbar unendliche Menge von Codimension-1-Subvarianten von jeder
entsprechend K3-Oberflächen der Picard-Zahl mindestens 2. Diese K3-Oberflächen haben Polarisationen von unendlich vielen verschiedenen Graden, nicht nur 2G–2. Man kann also sagen, dass unendlich viele der anderen Modulräume
Treffen
. Dies ist ungenau, da es keinen gut erzogenen Raum gibt, der alle Modulräume enthält
. Eine konkrete Version dieser Idee ist jedoch die Tatsache, dass zwei beliebige komplexe algebraische K3-Oberflächen durch algebraische K3-Oberflächen deformationsäquivalent sind.[23]
Allgemeiner a quasi polarisiert K3 Oberfläche der Gattung G bedeutet eine projektive K3-Oberfläche mit einem primitiven Nef und einem großen Linienbündel L. so dass
. Ein solches Linienbündel verleiht immer noch einen Morphismus
, aber jetzt kann es endlich viele (−2) -Kurven zusammenziehen, so dass das Bild Y. von X. ist einzigartig. (EIN (-2) -Kurve auf einer Oberfläche bedeutet eine Kurve isomorph zu
mit Selbstschnittpunkt −2.) Der Modulraum quasipolarisierter K3-Oberflächen der Gattung G ist von Dimension 19 (die den vorherigen Modulraum als offene Teilmenge enthält) immer noch nicht reduzierbar. Formal funktioniert es besser, dies als Modulraum von K3-Oberflächen zu betrachten Y. mit du Val Singularitäten.[24]
Der große Kegel und der Kegel der Kurven[edit]
Ein bemerkenswertes Merkmal algebraischer K3-Oberflächen ist, dass das Picard-Gitter viele geometrische Eigenschaften der Oberfläche bestimmt, einschließlich des konvexen Kegels mit großen Teilern (bis hin zu Automorphismen des Picard-Gitters). Der große Kegel wird durch das Picard-Gitter wie folgt bestimmt. Nach dem Hodge-Indexsatz bildet sich die Schnittmenge auf dem realen Vektorraum
hat Unterschrift
. Daraus folgt, dass die Menge der Elemente von
mit positiver Selbstüberschneidung hat zwei verbundene Komponenten. Ruf den positiver Kegel die Komponente, die genügend Divisor enthält X..
Fall 1: Es gibt kein Element u von Pic (X.) mit
. Dann ist der große Kegel gleich dem positiven Kegel. Somit ist es der Standard-Rundkegel.
Fall 2: Andernfalls lassen Sie
, der Satz von Wurzeln des Picard-Gitters. Die orthogonalen Komplemente der Wurzeln bilden eine Reihe von Hyperebenen, die alle durch den positiven Kegel verlaufen. Dann ist der große Kegel eine verbundene Komponente des Komplements dieser Hyperebenen im positiven Kegel. Zwei beliebige solcher Komponenten sind über die orthogonale Gruppe des Gitterbildes isomorph (X.), da dies die Reflexion über jede Wurzelhyperebene enthält. In diesem Sinne bestimmt das Picard-Gitter den großen Kegel bis zum Isomorphismus.[25]
Eine verwandte Aussage von Sándor Kovács ist, dass man einen großen Teiler kennt EIN in Bild (X.) bestimmt den gesamten Kurvenkegel von X.. Nehmen wir das an X. hat Picard Nummer
. Wenn die Menge der Wurzeln
leer ist, dann ist der geschlossene Kegel der Kurven der Verschluss des positiven Kegels. Andernfalls ist der geschlossene Kurvenkegel der geschlossene konvexe Kegel, der von allen Elementen überspannt wird
mit
[26] (Wenn
gibt es eine andere Möglichkeit: Der Kurvenkegel kann von einer (−2) -Kurve und einer Kurve mit Selbstschnitt 0 überspannt werden.) Der Kurvenkegel ist also entweder der Standard-Rundkegel oder er hat “scharfe Kanten” (weil jede (−2) -Kurve eine isoliert extremer Strahl des Kurvenkegels).
Automorphismus-Gruppe[edit]
K3-Oberflächen sind unter algebraischen Varietäten insofern etwas ungewöhnlich, als ihre Automorphismusgruppen unendlich, diskret und stark nonabel sein können. Nach einer Version des Torelli-Theorems ist das Picard-Gitter einer komplexen algebraischen K3-Oberfläche X. bestimmt die Automorphismusgruppe von X. bis zur Verhältnismäßigkeit. Lassen Sie nämlich die Weyl Gruppe W. sei die Untergruppe der orthogonalen Gruppe Ö(Bild (X.)) erzeugt durch Reflexionen in der Wurzelmenge
. Dann W. ist eine normale Untergruppe von Ö(Bild (X.)) und die Automorphismusgruppe von X. ist der Quotientengruppe angemessen Ö(Bild (X.)) /W.. Eine verwandte Aussage von Hans Sterk ist, dass Aut (X.) wirkt auf den nef Kegel von X. mit einer rationalen polyedrischen Grunddomäne.[27]
Beziehung zur String-Dualität[edit]
K3-Oberflächen erscheinen fast allgegenwärtig in der String-Dualität und bieten ein wichtiges Werkzeug für das Verständnis. String-Kompaktifizierungen auf diesen Oberflächen sind nicht trivial, aber einfach genug, um die meisten ihrer Eigenschaften im Detail zu analysieren. Die Zeichenfolge vom Typ IIA, die Zeichenfolge vom Typ IIB, die E.8× E.8 Der heterotische String, der heterotische Spin (32) / Z2-String und die M-Theorie hängen durch Verdichtung auf einer K3-Oberfläche zusammen. Beispielsweise entspricht die auf einer K3-Oberfläche verdichtete Kette vom Typ IIA der auf einem 4-Torus verdichteten heterotischen Schnur (Aspinwall (1996)).
).Geschichte[edit]
Quarzflächen in
wurden von Ernst Kummer, Arthur Cayley, Friedrich Schur und anderen Geometern des 19. Jahrhunderts untersucht. Ganz allgemein beobachtete Federigo Enriques 1893, dass für verschiedene Zahlen Ggibt es Oberflächen vom Grad 2G−2 in
mit trivialem kanonischem Bündel und Unregelmäßigkeit Null.[28] Enriques zeigte 1909, dass solche Oberflächen für alle existieren
und Francesco Severi zeigten, dass der Modulraum solcher Oberflächen für jede die Dimension 19 hat G.[29]
André Weil (1958) gab K3-Oberflächen ihren Namen (siehe obiges Zitat) und machte mehrere einflussreiche Vermutungen über ihre Klassifizierung. Kunihiko Kodaira schloss die grundlegende Theorie um 1960 ab und führte insbesondere die erste systematische Untersuchung komplexer analytischer K3-Oberflächen durch, die nicht algebraisch sind. Er zeigte, dass zwei komplexe analytische K3-Oberflächen verformungsäquivalent und damit diffeomorph sind, was selbst für algebraische K3-Oberflächen neu war. Ein wichtiger späterer Fortschritt war der Beweis des Torelli-Theorems für komplexe algebraische K3-Oberflächen von Ilya Piatetski-Shapiro und Igor Shafarevich (1971), der von Daniel Burns und Michael Rapoport (1975) auf komplexe analytische K3-Oberflächen erweitert wurde.
Siehe auch[edit]
- ^ Huybrechts (2016), Bemerkung 1.1.2
- ^ Huybrechts (2016), Abschnitt 1.3.
- ^ Huybrechts (2016), Satz 7.1.1.
- ^ Barth et al. (2004), Abschnitt IV.3.
- ^ Huybrechts (2016), Satz 9.5.1.
- ^ Huybrechts (2016), Proposition 3.3.5.
- ^ Scorpan (2005), Abschnitt 5.3.
- ^ Huybrechts (2016), Bemerkung 1.3.6 (ii).
- ^ Graded Ring Database;; K3-Datenbank für Magma.
- ^ Barth et al. (2004), Satz 6.1.
- ^ Huybrechts (2016), Folgerung 14.3.1 und Bemerkung 14.3.7.
- ^ Huybrechts (2016), Bemerkung 11.1.12.
- ^ Huybrechts (2016), Proposition 11.1.3.
- ^ Huybrechts (2016), Folgerung 13.1.5.
- ^ Kamenova et al. (2014), Folgerung 2.2; Huybrechts (2016), Folgerung 13.2.2.
- ^ Huybrechts (2016), Abschnitt 13.0.3.
- ^ Huybrechts (2016), Abschnitt 6.3.3.
- ^ Huybrechts (2016), Abschnitt 6.3.1 und Bemerkung 6.3.6.
- ^ Huybrechts (2016), Abschnitt 7.1.3.
- ^ Huybrechts (2016), Satz 7.5.3.
- ^ Huybrechts (2016), Definition 2.4.1.
- ^ Huybrechts (2016), Folgerung 6.4.4.
- ^ Huybrechts (2016), Abschnitt 7.1.1.
- ^ Huybrechts (2016), Abschnitt 5.1.4 und Bemerkung 6.4.5.
- ^ Huybrechts (2016), Folgerung 8.2.11.
- ^ Huybrechts (2016), Folgerung 8.3.12.
- ^ Huybrechts (2016), Satz 8.4.2.
- ^ Enriques (1893), Abschnitt III.6.
- ^ Enriques (1909); Severi (1909).
Verweise[edit]
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- Enriques, Federigo (1893), “Richerche di geometria sulle superficie algebriche”, Memorie Accademia di Torino, 2, 44: 171–232, JFM 25.1212.02
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- Scorpan, Alexandru (2005), Die wilde Welt der 4-Mannigfaltigkeiten, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3749-8, HERR 2136212
- Severi, Francesco (1909), “Le superficie algebriche con curva canonica d’ordine Null” (PDF), Atti del Istituto Veneto, 68: 249–260, JFM 40.0683.03
- Voisin, Claire (2008), “Géométrie des espaces de Module de Courbes et de Oberflächen K3 (d’après Gritsenko-Hulek-Sankaran, Farkas-Popa, Mukai, Verra et al.)” (PDF), Astérisque, Séminaire Bourbaki. 2006/2007. Exp 981 (317): 467–490, ISBN 978-2-85629-253-2, HERR 2487743
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