[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/26\/k3-oberflache-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/26\/k3-oberflache-wikipedia\/","headline":"K3 Oberfl\u00e4che – Wikipedia","name":"K3 Oberfl\u00e4che – Wikipedia","description":"before-content-x4 Eine Art glatte komplexe Oberfl\u00e4che der Kodaira-Dimension 0 Eine glatte Quartic-Oberfl\u00e4che im 3-Raum. 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Die Abbildung zeigt einen Teil der realen Punkte (der realen Dimension 2) in einer bestimmten komplexen K3-Oberfl\u00e4che (der komplexen Dimension 2, daher der realen Dimension 4).Dans la seconde partie de mon rapport, il s’agit des vari\u00e9t\u00e9s k\u00e4hl\u00e9riennes dites K3, ainsi nomm\u00e9es en l’honneur de Kummer, K\u00e4hler, Kodaira und de la belle montagne K2 au Cachemire.  Im zweiten Teil meines Berichts besch\u00e4ftigen wir uns mit den K\u00e4hler-Sorten K3, die zu Ehren von Kummer, K\u00e4hler, Kodaira und des sch\u00f6nen Berges K2 in Kaschmir benannt wurden.  Andr\u00e9 Weil (1958, S. 546), der den Grund f\u00fcr den Namen beschreibt “K3 Oberfl\u00e4che”In der Mathematik eine komplexe Analyse K3 Oberfl\u00e4che ist eine kompakt verbundene komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension 2 mit einem trivialen kanonischen B\u00fcndel und einer Unregelm\u00e4\u00dfigkeit von Null.  Eine (algebraische) K3-Oberfl\u00e4che \u00fcber einem beliebigen Feld bedeutet eine glatte, ordnungsgem\u00e4\u00df geometrisch verbundene algebraische Oberfl\u00e4che, die die gleichen Bedingungen erf\u00fcllt.  In der Enriques-Kodaira-Klassifizierung von Oberfl\u00e4chen bilden K3-Oberfl\u00e4chen eine der vier Klassen minimaler Oberfl\u00e4chen der Kodaira-Dimension Null.  Ein einfaches Beispiel ist die Fermat-Quartikoberfl\u00e4chex4+y4+z4+w4=0{ displaystyle x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4} + w ^ {4} = 0}im komplexen projektiven 3-Raum.  K3-Oberfl\u00e4chen sind zusammen mit zweidimensionalen kompakten komplexen Tori die Calabi-Yau-Verteiler (und auch die Hyperk\u00e4hler-Verteiler) der Dimension zwei.  Als solche stehen sie im Zentrum der Klassifizierung algebraischer Oberfl\u00e4chen zwischen den positiv gekr\u00fcmmten del Pezzo-Oberfl\u00e4chen (die leicht zu klassifizieren sind) und den negativ gekr\u00fcmmten Oberfl\u00e4chen allgemeinen Typs (die im Wesentlichen nicht klassifizierbar sind).  K3-Oberfl\u00e4chen k\u00f6nnen als die einfachsten algebraischen Variet\u00e4ten betrachtet werden, deren Struktur sich nicht auf Kurven oder abelsche Variet\u00e4ten reduziert, und bei denen dennoch ein substanzielles Verst\u00e4ndnis m\u00f6glich ist.  Eine komplexe K3-Oberfl\u00e4che hat die reale Dimension 4 und spielt eine wichtige Rolle bei der Untersuchung glatter 4-Mannigfaltigkeiten.  K3-Oberfl\u00e4chen wurden auf Kac-Moody-Algebren, Spiegelsymmetrie und Stringtheorie angewendet.Es kann n\u00fctzlich sein, sich komplexe algebraische K3-Oberfl\u00e4chen als Teil der breiteren Familie komplexer analytischer K3-Oberfl\u00e4chen vorzustellen.  Viele andere Arten von algebraischen Variet\u00e4ten weisen solche nichtalgebraischen Deformationen nicht auf.Table of ContentsDefinition[edit]Berechnung der Betti-Zahlen[edit]Eigenschaften[edit]Beispiele[edit]Das Picard-Gitter[edit]Elliptische K3-Oberfl\u00e4chen[edit]Rationale Kurven auf K3-Oberfl\u00e4chen[edit]Die Periodenkarte[edit]Modulr\u00e4ume projektiver K3-Oberfl\u00e4chen[edit]Der gro\u00dfe Kegel und der Kegel der Kurven[edit]Automorphismus-Gruppe[edit]Beziehung zur String-Dualit\u00e4t[edit]Geschichte[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Definition[edit]Es gibt verschiedene \u00e4quivalente M\u00f6glichkeiten, K3-Oberfl\u00e4chen zu definieren.  Die einzigen kompakten komplexen Oberfl\u00e4chen mit einem trivialen kanonischen B\u00fcndel sind K3-Oberfl\u00e4chen und kompakte komplexe Tori. Daher kann man jede Bedingung mit Ausnahme der letzteren hinzuf\u00fcgen, um K3-Oberfl\u00e4chen zu definieren.  Zum Beispiel ist es \u00e4quivalent, eine komplexe analytische K3-Oberfl\u00e4che als eine einfach verbundene kompakte komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension 2 mit einer nirgends verschwindenden holomorphen 2-Form zu definieren.  (Die letztere Bedingung besagt genau, dass das kanonische B\u00fcndel trivial ist.)Es gibt auch einige Varianten der Definition.  \u00dcber die komplexen Zahlen hinweg betrachten einige Autoren nur die algebraischen K3-Oberfl\u00e4chen.  (Eine algebraische K3-Oberfl\u00e4che ist automatisch projektiv.[1]) Oder man kann K3-Oberfl\u00e4chen erlauben, du Val-Singularit\u00e4ten (die kanonischen Singularit\u00e4ten der Dimension 2) zu haben, anstatt glatt zu sein.Berechnung der Betti-Zahlen[edit]Die Betti-Zahlen einer komplexen analytischen K3-Oberfl\u00e4che werden wie folgt berechnet.[2]  (Ein \u00e4hnliches Argument gibt die gleiche Antwort f\u00fcr die Betti-Zahlen einer algebraischen K3-Oberfl\u00e4che \u00fcber ein beliebiges Feld, das mithilfe der l-adischen Kohomologie definiert wurde.) Per Definition das kanonische B\u00fcndel K.X.=\u03a9X.2{ displaystyle K_ {X} =  Omega _ {X} ^ {2}}  ist trivial und die Unregelm\u00e4\u00dfigkeit q((X.) (Die Dimension h1((X.,\u00d6X.){ displaystyle h ^ {1} (X, O_ {X})}  der koh\u00e4renten Garbenkohomologiegruppe H.1((X.,\u00d6X.){ displaystyle H ^ {1} (X, O_ {X})}) ist Null.  Durch Serre Dualit\u00e4t,h2((X.,\u00d6X.)=h0((X.,K.X.)=1.{ displaystyle h ^ {2} (X, { mathcal {O}} _ {X}) = h ^ {0} (X, K_ {X}) = 1.}Infolgedessen ist die arithmetische Gattung (oder holomorphe Euler-Eigenschaft) von X. ist:\u03c7((X.,\u00d6X.): =\u2211ich((– –1)ichhich((X.,\u00d6X.)=1– –0+1=2.{ displaystyle  chi (X, { mathcal {O}} _ {X}): =  sum _ {i} (- 1) ^ {i} h ^ {i} (X, { mathcal {O} } _ {X}) = 1-0 + 1 = 2.}Andererseits sagt der Riemann-Roch-Satz (Noether-Formel):\u03c7((X.,\u00d6X.)=112((c1((X.)2+c2((X.)){ displaystyle  chi (X, { mathcal {O}} _ {X}) = { frac {1} {12}} (c_ {1} (X) ^ {2} + c_ {2} (X. ))},wo cich((X.){ displaystyle c_ {i} (X)}  ist der ich-th Chern Klasse des Tangentenb\u00fcndels.  Schon seit K.X.{ displaystyle K_ {X}}  ist trivial, seine erste Chern-Klasse c1((K.X.)=– –c1((X.){ displaystyle c_ {1} (K_ {X}) = – c_ {1} (X)}  ist Null und so c2((X.)=24{ displaystyle c_ {2} (X) = 24}.Als n\u00e4chstes die Exponentialsequenz 0\u2192Z.X.\u2192\u00d6X.\u2192\u00d6X.\u2217\u21920{ displaystyle 0  to  mathbb {Z} _ {X}  to O_ {X}  to O_ {X} ^ {*}  to 0}  gibt eine genaue Reihenfolge der Kohomologiegruppen an 0\u2192H.1((X.,Z.)\u2192H.1((X.,\u00d6X.){ displaystyle 0  bis H ^ {1} (X,  mathbb {Z})  bis H ^ {1} (X, O_ {X})}, und so H.1((X.,Z.)=0{ displaystyle H ^ {1} (X,  mathbb {Z}) = 0}.  Also die Betti Nummer b1((X.){ displaystyle b_ {1} (X)}  ist Null und durch Poincar\u00e9 Dualit\u00e4t, b3((X.){ displaystyle b_ {3} (X)}  ist auch Null.  Schlie\u00dflich, c2((X.)=24{ displaystyle c_ {2} (X) = 24}  ist gleich der topologischen Euler-Charakteristik\u03c7((X.)=\u2211ich((– –1)ichbich((X.).{ displaystyle  chi (X) =  sum _ {i} (- 1) ^ {i} b_ {i} (X).}Schon seit b0((X.)=b4((X.)=1{ displaystyle b_ {0} (X) = b_ {4} (X) = 1}  und b1((X.)=b3((X.)=0{ displaystyle b_ {1} (X) = b_ {3} (X) = 0}, es folgt dem b2((X.)=22{ displaystyle b_ {2} (X) = 22}.Eigenschaften[edit]Die Hodge-Nummern aller K3-Oberfl\u00e4chen sind im Hodge-Diamanten aufgef\u00fchrt:Eine M\u00f6glichkeit, dies zu zeigen, besteht darin, das Jacobi-Ideal einer bestimmten K3-Oberfl\u00e4che zu berechnen und dann eine Variation der Hodge-Struktur auf den Modulen algebraischer K3-Oberfl\u00e4chen zu verwenden, um zu zeigen, dass alle diese K3-Oberfl\u00e4chen die gleichen Hodge-Zahlen haben.  Eine einfachere Berechnung kann durchgef\u00fchrt werden, indem die Betti-Zahlen zusammen mit den berechneten Teilen der Hodge-Struktur berechnet werden H.2((X.;;Z.){ displaystyle H ^ {2} (X;  mathbb {Z})}  f\u00fcr eine beliebige K3-Oberfl\u00e4che.  In diesem Fall Hodge-Symmetriekr\u00e4fte H.0((X.;;\u03a9X.2)\u2245C.{ displaystyle H ^ {0} (X;  Omega _ {X} ^ {2})  cong  mathbb {C}}daher H.1((X.,\u03a9X.)\u2245C.20{ displaystyle H ^ {1} (X,  Omega _ {X})  cong  mathbb {C} ^ {20}}.  F\u00fcr K3-Oberfl\u00e4chen in charakteristischer p > 0, dies wurde zuerst von Alexey Rudakov und Igor Shafarevich gezeigt.[5]F\u00fcr eine komplexe analytische K3-Oberfl\u00e4che X., die Schnittform (oder das Becherprodukt) auf H.2((X.,Z.)\u2245Z.22{ displaystyle H ^ {2} (X,  mathbb {Z})  cong  mathbb {Z} ^ {22}}  ist eine symmetrische bilineare Form mit Werten in den ganzen Zahlen, bekannt als K3-Gitter.  Dies ist isomorph zum sogar unimodularen Gitter II3,19{ displaystyle  operatorname {II} _ {3,19}}, oder gleichwertig E.8((– –1)\u22952\u2295U.\u22953{ displaystyle E_ {8} (- 1) ^ { oplus 2}  oplus U ^ { oplus 3}}, wo U. ist das hyperbolische Gitter von Rang 2 und E.8{ displaystyle E_ {8}}  ist das E8-Gitter.[6]Yukio Matsumotos 11\/8-Vermutung sagt voraus, dass jeder glatt ausgerichtete 4-Mannigfaltigkeit X. Bei gerader Schnittform hat die zweite Betti-Zahl mindestens das 11\/8-fache des absoluten Wertes der Signatur.  Dies w\u00e4re optimal, wenn dies zutrifft, da die Gleichheit f\u00fcr eine komplexe K3-Oberfl\u00e4che gilt, die die Signatur 3\u221219 = \u221216 hat.  Die Vermutung w\u00fcrde implizieren, dass jeder einfach verbundene glatte 4-Verteiler mit gleichm\u00e4\u00dfiger Schnittform hom\u00f6omorph zu einer verbundenen Summe von Kopien der K3-Oberfl\u00e4che und von ist S.2\u00d7S.2{ displaystyle S ^ {2}  times S ^ {2}}.[7]Jede komplexe Oberfl\u00e4che, die sich von einer K3-Oberfl\u00e4che unterscheidet, ist eine K3-Oberfl\u00e4che von Robert Friedman und John Morgan.  Andererseits gibt es glatte komplexe Oberfl\u00e4chen (von denen einige projektiv sind), die hom\u00f6omorph, aber nicht diffeomorph zu einer K3-Oberfl\u00e4che sind, von Kodaira und Michael Freedman.[8]  Diese “Homotopie K3 Oberfl\u00e4chen” Alle haben Kodaira Dimension 1.Beispiele[edit]Das Picard-Gitter[edit]Die Picard-Gruppe Pic (X.) einer komplexen analytischen K3-Oberfl\u00e4che X. bedeutet die abelsche Gruppe komplexer analytischer Linienb\u00fcndel auf X..  F\u00fcr eine algebraische K3-Oberfl\u00e4che gilt Pic (X.) bedeutet die Gruppe der algebraischen Linienb\u00fcndel auf X..  Die beiden Definitionen stimmen f\u00fcr eine komplexe algebraische K3-Oberfl\u00e4che nach dem GAGA-Theorem von Jean-Pierre Serre \u00fcberein.Die Picard-Gruppe einer K3-Oberfl\u00e4che X. ist immer eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe;  sein Rang hei\u00dft der Picard Nummer \u03c1{ displaystyle  rho}.  In dem komplexen Fall ist Pic (X.) ist eine Untergruppe von H.2((X.,Z.)\u2245Z.22{ displaystyle H ^ {2} (X,  mathbb {Z})  cong  mathbb {Z} ^ {22}}.  Es ist ein wichtiges Merkmal von K3-Oberfl\u00e4chen, dass viele verschiedene Picard-Nummern auftreten k\u00f6nnen.  Zum X. eine komplexe algebraische K3-Oberfl\u00e4che, \u03c1{ displaystyle  rho}  kann eine beliebige Ganzzahl zwischen 1 und 20 sein. Im komplexen analytischen Fall ist \u03c1{ displaystyle  rho}  kann auch Null sein.  (In diesem Fall, X. enth\u00e4lt \u00fcberhaupt keine geschlossenen komplexen Kurven.  Im Gegensatz dazu enth\u00e4lt eine algebraische Oberfl\u00e4che immer viele kontinuierliche Kurvenfamilien.) \u00dcber ein algebraisch geschlossenes Kennfeld p > 0 gibt es eine spezielle Klasse von K3-Oberfl\u00e4chen, supersingul\u00e4re K3-Oberfl\u00e4chen mit Picard-Nummer 22.Das Picard-Gitter einer K3-Oberfl\u00e4che bedeutet die abelsche Gruppe Pic (X.) zusammen mit seiner Schnittform eine symmetrische bilineare Form mit Werten in ganzen Zahlen.  (\u00dcber C.{ displaystyle  mathbb {C}}bedeutet die Schnittform die Einschr\u00e4nkung der Schnittform auf H.2((X.,Z.){ displaystyle H ^ {2} (X,  mathbb {Z})}.  \u00dcber ein allgemeines Feld kann die Schnittform unter Verwendung der Schnittpunkttheorie von Kurven auf einer Oberfl\u00e4che definiert werden, indem die Picard-Gruppe mit der Divisor-Klassengruppe identifiziert wird.) Das Picard-Gitter einer K3-Oberfl\u00e4che ist immer sogar, was bedeutet, dass die ganze Zahl u2{ displaystyle u ^ {2}}  ist gerade f\u00fcr jeden u\u2208Pic\u2061((X.){ displaystyle u  in  operatorname {Pic} (X)}.Das Hodge-Index-Theorem impliziert, dass das Picard-Gitter einer algebraischen K3-Oberfl\u00e4che eine Signatur hat ((1,\u03c1– –1){ displaystyle (1,  rho -1)}.  Viele Eigenschaften einer K3-Oberfl\u00e4che werden durch ihr Picard-Gitter als symmetrische bilineare Form \u00fcber den ganzen Zahlen bestimmt.  Dies f\u00fchrt zu einer starken Verbindung zwischen der Theorie der K3-Oberfl\u00e4chen und der Arithmetik symmetrischer bilinearer Formen.  Als erstes Beispiel f\u00fcr diesen Zusammenhang: Eine komplexe analytische K3-Oberfl\u00e4che ist genau dann algebraisch, wenn ein Element vorhanden ist u\u2208Pic\u2061((X.){ displaystyle u  in  operatorname {Pic} (X)}  mit  0}”\/>.[10]Grob gesagt hat der Raum aller komplexen analytischen K3-Oberfl\u00e4chen eine komplexe Dimension 20, w\u00e4hrend der Raum von K3-Oberfl\u00e4chen mit Picard-Nummer \u03c1{ displaystyle  rho}  hat Dimension 20– –\u03c1{ displaystyle 20-  rho}  (ausgenommen der supersingul\u00e4re Fall).  Insbesondere treten algebraische K3-Oberfl\u00e4chen in 19-dimensionalen Familien auf.  Weitere Details zu Modulr\u00e4umen von K3-Oberfl\u00e4chen sind unten angegeben.Die genaue Beschreibung, welche Gitter als Picard-Gitter von K3-Oberfl\u00e4chen auftreten k\u00f6nnen, ist kompliziert.  Eine klare Aussage von Viacheslav Nikulin und David Morrison ist, dass jedes gleichm\u00e4\u00dfige Gitter der Unterschrift ((1,\u03c1– –1){ displaystyle (1,  rho -1)}  mit \u03c1\u226411{ displaystyle  rho  leq 11}  ist das Picard-Gitter einer komplexen projektiven K3-Oberfl\u00e4che.[11]  Der Raum solcher Oberfl\u00e4chen hat Abmessungen 20– –\u03c1{ displaystyle 20-  rho}.Elliptische K3-Oberfl\u00e4chen[edit]Eine wichtige Unterklasse von K3-Oberfl\u00e4chen, die einfacher zu analysieren ist als der allgemeine Fall, besteht aus den K3-Oberfl\u00e4chen mit einer elliptischen Fibration X.\u2192P.1{ displaystyle X  to  mathbf {P} ^ {1}}. “Elliptisch” bedeutet, dass alle bis auf endlich viele Fasern dieses Morphismus glatte Kurven der Gattung 1 sind. Die singul\u00e4ren Fasern sind Vereinigungen rationaler Kurven, wobei die m\u00f6glichen Arten von singul\u00e4ren Fasern von Kodaira klassifiziert werden.  Es gibt immer einige singul\u00e4re Fasern, da die Summe der topologischen Euler-Eigenschaften der singul\u00e4ren Fasern ist \u03c7((X.)=24{ displaystyle  chi (X) = 24}.  Eine allgemeine elliptische K3-Oberfl\u00e4che hat genau 24 einzelne Fasern vom Typ ich1{ displaystyle I_ {1}}  (eine kubische Knotenkurve).[12]Ob eine K3-Oberfl\u00e4che elliptisch ist, kann an ihrem Picard-Gitter abgelesen werden.  In der Eigenschaft nicht 2 oder 3 n\u00e4mlich eine K3-Oberfl\u00e4che X. hat genau dann eine elliptische Fibration, wenn ein Element ungleich Null vorhanden ist u\u2208Pic\u2061((X.){ displaystyle u  in  operatorname {Pic} (X)}  mit u2=0{ displaystyle u ^ {2} = 0}.[13]  (In Merkmal 2 oder 3 kann die letztere Bedingung auch einer quasi-elliptischen Fibration entsprechen.) Daraus folgt, dass eine elliptische Fibration eine Codimension-1-Bedingung auf einer K3-Oberfl\u00e4che ist.  Es gibt also 19-dimensionale Familien komplexer analytischer K3-Oberfl\u00e4chen mit elliptischer Fibration und 18-dimensionale Modulr\u00e4ume projektiver K3-Oberfl\u00e4chen mit elliptischer Fibration.Beispiel: Jede glatte Quartikoberfl\u00e4che X. im P.3{ displaystyle  mathbf {P} ^ {3}}  das enth\u00e4lt eine Zeile L. hat eine elliptische Fibration X.\u2192P.1{ displaystyle X  to  mathbf {P} ^ {1}}, gegeben durch Projektion weg von L..  Der Modulraum aller glatten Quarzfl\u00e4chen (bis zum Isomorphismus) hat die Dimension 19, w\u00e4hrend der Unterraum der Quarzfl\u00e4chen, die eine Linie enthalten, die Dimension 18 hat.Rationale Kurven auf K3-Oberfl\u00e4chen[edit]Im Gegensatz zu positiv gekr\u00fcmmten Sorten wie del Pezzo-Oberfl\u00e4chen eine komplexe algebraische K3-Oberfl\u00e4che X. ist nicht ungeregelt;  Das hei\u00dft, es wird nicht von einer kontinuierlichen Familie rationaler Kurven abgedeckt.  Im Gegensatz zu negativ gekr\u00fcmmten Sorten wie Oberfl\u00e4chen allgemeiner Art X. enth\u00e4lt einen gro\u00dfen diskreten Satz rationaler Kurven (m\u00f6glicherweise singul\u00e4r).  Insbesondere Fedor Bogomolov und David Mumford zeigten, dass jede Kurve weitergeht X. ist linear \u00e4quivalent zu einer positiven linearen Kombination rationaler Kurven.[14]Ein weiterer Kontrast zu negativ gekr\u00fcmmten Sorten ist die Kobayashi-Metrik auf einer komplexen analytischen K3-Oberfl\u00e4che X. ist identisch Null.  Der Beweis verwendet eine algebraische K3-Oberfl\u00e4che X. wird immer von einer fortlaufenden Familie von Bildern elliptischer Kurven abgedeckt.[15]  (Diese Kurven sind in singul\u00e4r X., es sei denn X. zuf\u00e4llig eine elliptische K3-Oberfl\u00e4che.) Eine st\u00e4rkere Frage, die offen bleibt, ist, ob jede komplexe K3-Oberfl\u00e4che eine nicht entartete holomorphe Karte von zul\u00e4sst C.2{ displaystyle  mathbb {C} ^ {2}}  (wo “nicht entartet” bedeutet, dass die Ableitung der Karte irgendwann ein Isomorphismus ist).[16].Die Periodenkarte[edit]Definieren Sie a Markierung einer komplexen analytischen K3-Oberfl\u00e4che X. ein Isomorphismus von Gittern aus sein H.2((X.,Z.){ displaystyle H ^ {2} (X,  mathbb {Z})}  zum K3-Gitter \u039b=E.8((– –1)\u22952\u2295U.\u22953{ displaystyle  Lambda = E_ {8} (- 1) ^ { oplus 2}  oplus U ^ { oplus 3}}.  Der Raum N. von markierten komplexen K3-Oberfl\u00e4chen ist eine nicht-Hausdorff-komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension 20.[17]  Die Menge der Isomorphismusklassen komplexer analytischer K3-Oberfl\u00e4chen ist der Quotient von N. durch die orthogonale Gruppe \u00d6((\u039b){ displaystyle O ( Lambda)}, aber dieser Quotient ist kein geometrisch bedeutsamer Modulraum, weil die Wirkung von \u00d6((\u039b){ displaystyle O ( Lambda)}  ist weit davon entfernt, richtig diskontinuierlich zu sein.[18]  (Zum Beispiel ist der Raum glatter Quartikoberfl\u00e4chen f\u00fcr Dimension 19 nicht reduzierbar, und dennoch ist jede komplexe analytische K3-Oberfl\u00e4che in der 20-dimensionalen Familie N. hat beliebig kleine Verformungen, die isomorph zu glatten Quarzen sind.[19]) Aus dem gleichen Grund gibt es keinen aussagekr\u00e4ftigen Modulraum f\u00fcr kompakte komplexe Tori mit einer Dimension von mindestens 2.Die Periodenabbildung sendet eine K3-Oberfl\u00e4che an ihre Hodge-Struktur.  Bei sorgf\u00e4ltiger Angabe gilt das Torelli-Theorem: Eine K3-Oberfl\u00e4che wird durch ihre Hodge-Struktur bestimmt.  Die Periodendom\u00e4ne ist als die 20-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit definiert"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/26\/k3-oberflache-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"K3 Oberfl\u00e4che – Wikipedia"}}]}]