[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/26\/kepler-vermutung-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/26\/kepler-vermutung-wikipedia\/","headline":"Kepler-Vermutung – Wikipedia","name":"Kepler-Vermutung – Wikipedia","description":"before-content-x4 Mathematischer Satz \u00fcber Kugelpackung Das Kepler-Vermutung, benannt nach dem Mathematiker und Astronomen Johannes Kepler aus dem 17. 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Jahrhundert, ist ein mathematischer Satz \u00fcber die Kugelpackung im dreidimensionalen euklidischen Raum.  Es hei\u00dft, dass keine Anordnung gleich gro\u00dfer Kugeln, die den Raum f\u00fcllen, eine gr\u00f6\u00dfere durchschnittliche Dichte aufweist als die Anordnung der kubisch engen Packung (fl\u00e4chenzentriert kubisch) und der hexagonalen engen Packung.  Die Dichte dieser Anordnungen liegt bei 74,05%.1998 gab Thomas Hales nach einem von Fejes T\u00f3th (1953) vorgeschlagenen Ansatz bekannt, dass er einen Beweis f\u00fcr die Kepler-Vermutung habe.  Hales ‘Beweis ist ein Beweis durch Ersch\u00f6pfung, bei dem viele Einzelf\u00e4lle mit komplexen Computerberechnungen \u00fcberpr\u00fcft werden.  Die Schiedsrichter sagten, sie seien “zu 99% sicher”, dass Hales ‘Beweis korrekt sei, und die Kepler-Vermutung wurde als Theorem akzeptiert.  Im Jahr 2014 gab das Flyspeck-Projektteam unter der Leitung von Hales die Fertigstellung eines formellen Beweises der Kepler-Vermutung unter Verwendung einer Kombination der Assistenten Isabelle und HOL Light Proof bekannt.  Im Jahr 2017 wurde der formelle Nachweis von der Zeitschrift akzeptiert Forum f\u00fcr Mathematik, Pi.[1]Table of Contents  Hintergrund[edit]Urspr\u00fcnge[edit]19. Jahrhundert[edit]20. Jahrhundert[edit]Hales ‘Beweis[edit]Ein formeller Beweis[edit]Verwandte Probleme[edit]Verweise[edit]Ver\u00f6ffentlichungen[edit]Externe Links[edit]Hintergrund[edit]  Diagramme der kubischen Packung (links) und der sechseckigen Packung (rechts).Stellen Sie sich vor, Sie f\u00fcllen einen gro\u00dfen Beh\u00e4lter mit kleinen gleich gro\u00dfen Kugeln.  Die Dichte der Anordnung ist gleich dem Gesamtvolumen der Kugeln geteilt durch das Volumen des Beh\u00e4lters.  Um die Anzahl der Kugeln im Beh\u00e4lter zu maximieren, muss eine Anordnung mit der h\u00f6chstm\u00f6glichen Dichte erstellt werden, damit die Kugeln so eng wie m\u00f6glich zusammengepackt werden.Das Experiment zeigt, dass durch zuf\u00e4lliges Einfallen der Kugeln eine Dichte von etwa 65% erreicht wird.[2]  Eine h\u00f6here Dichte kann jedoch erreicht werden, indem die Kugeln wie folgt sorgf\u00e4ltig angeordnet werden.  Beginnen Sie mit einer Kugelschicht in einem sechseckigen Gitter und legen Sie dann die n\u00e4chste Kugelschicht an die tiefsten Stellen, die Sie \u00fcber der ersten Schicht finden, und so weiter.  Bei jedem Schritt gibt es zwei M\u00f6glichkeiten, wo die n\u00e4chste Schicht platziert werden soll. Diese nat\u00fcrliche Methode zum Stapeln der Kugeln erzeugt eine unendliche Anzahl gleich dichter Packungen, von denen die bekanntesten als kubische Packung und hexagonale Packung bezeichnet werden.  Jede dieser Anordnungen hat eine durchschnittliche Dichte von  \u03c032=0,740480489\u2026{ displaystyle { frac { pi} {3 { sqrt {2}}} = 0,740480489  ldots}Die Kepler-Vermutung besagt, dass dies das Beste ist, was getan werden kann – keine andere Anordnung von Kugeln hat eine h\u00f6here durchschnittliche Dichte.Urspr\u00fcnge[edit]  Eines der Diagramme aus Strena Seu de Nive Sexangula, zur Veranschaulichung der Kepler-VermutungDie Vermutung wurde erstmals von Johannes Kepler (1611) in seiner Arbeit “Auf der sechseckigen Schneeflocke” aufgestellt.  Als Ergebnis seiner Korrespondenz mit dem englischen Mathematiker und Astronomen Thomas Harriot im Jahr 1606 hatte er begonnen, Arrangements von Sph\u00e4ren zu studieren. Harriot war ein Freund und Assistent von Sir Walter Raleigh, der Harriot das Problem gestellt hatte, herauszufinden, wie man Kanonenkugeln am besten stapelt die Decks seiner Schiffe.  Harriot ver\u00f6ffentlichte 1591 eine Studie \u00fcber verschiedene Stapelmuster und entwickelte eine fr\u00fche Version der Atomtheorie.19. Jahrhundert[edit]Kepler hatte keinen Beweis f\u00fcr die Vermutung, und der n\u00e4chste Schritt wurde von Carl Friedrich Gauss (1831) unternommen, der bewies, dass die Kepler-Vermutung wahr ist, wenn die Kugeln in einem regelm\u00e4\u00dfigen Gitter angeordnet werden m\u00fcssen.Dies bedeutete, dass jede Packungsanordnung, die die Kepler-Vermutung widerlegte, unregelm\u00e4\u00dfig sein musste.  Es ist jedoch sehr schwierig, alle m\u00f6glichen unregelm\u00e4\u00dfigen Anordnungen zu beseitigen, und dies machte es schwierig, die Kepler-Vermutung zu beweisen.  Tats\u00e4chlich gibt es unregelm\u00e4\u00dfige Anordnungen, die \u00fcber ein ausreichend kleines Volumen dichter sind als die kubisch dicht gepackte Anordnung, aber es ist jetzt bekannt, dass jeder Versuch, diese Anordnungen zu erweitern, um ein gr\u00f6\u00dferes Volumen zu f\u00fcllen, immer ihre Dichte verringert.Nach Gau\u00df wurden im 19. Jahrhundert keine weiteren Fortschritte beim Nachweis der Kepler-Vermutung erzielt.  1900 nahm David Hilbert es in seine Liste von 23 ungel\u00f6sten Problemen der Mathematik auf – es ist Teil von Hilberts achtzehntem Problem.20. Jahrhundert[edit]Der n\u00e4chste Schritt in Richtung einer L\u00f6sung wurde von L\u00e1szl\u00f3 Fejes T\u00f3th unternommen.  Fejes T\u00f3th (1953) zeigte, dass das Problem der Bestimmung der maximalen Dichte aller Anordnungen (regelm\u00e4\u00dfig und unregelm\u00e4\u00dfig) auf eine endliche (aber sehr gro\u00dfe) Anzahl von Berechnungen reduziert werden konnte.  Dies bedeutete, dass ein Beweis durch Ersch\u00f6pfung grunds\u00e4tzlich m\u00f6glich war.  Wie Fejes T\u00f3th erkannte, k\u00f6nnte ein ausreichend schneller Computer dieses theoretische Ergebnis in eine praktische Herangehensweise an das Problem verwandeln.In der Zwischenzeit wurde versucht, eine Obergrenze f\u00fcr die maximale Dichte einer m\u00f6glichen Anordnung von Kugeln zu finden.  Der englische Mathematiker Claude Ambrose Rogers (siehe Rogers (1958)) stellte einen oberen Grenzwert von etwa 78% fest, und sp\u00e4tere Bem\u00fchungen anderer Mathematiker reduzierten diesen Wert geringf\u00fcgig, aber dieser war immer noch viel gr\u00f6\u00dfer als die kubische Packungsdichte von etwa 74%.Im Jahr 1990 behauptete Wu-Yi Hsiang, die Kepler-Vermutung bewiesen zu haben.  Der Beweis wurde von gelobt Encyclop\u00e6dia Britannica und Wissenschaft und Hsiang wurde auch bei gemeinsamen Treffen von AMS-MAA geehrt.[3]  Wu-Yi Hsiang (1993, 2001) behauptete, die Kepler-Vermutung mit geometrischen Methoden zu beweisen.  G\u00e1bor Fejes T\u00f3th (der Sohn von L\u00e1szl\u00f3 Fejes T\u00f3th) erkl\u00e4rte jedoch in seiner Rezension des Papiers: “Was Details betrifft, bin ich der Meinung, dass viele der wichtigsten Aussagen keine akzeptablen Beweise haben.”  Hales (1994) Harvtxt-Fehler: Mehrere Ziele (2 \u00d7): CITEREFHales1994 (Hilfe) gab eine detaillierte Kritik an Hsiang’s Arbeit, auf die Hsiang (1995) antwortete.  Der gegenw\u00e4rtige Konsens ist, dass Hsiang’s Beweis unvollst\u00e4ndig ist.[4]Hales ‘Beweis[edit]Nach dem von Fejes T\u00f3th (1953) vorgeschlagenen Ansatz stellte Thomas Hales von der University of Michigan fest, dass die maximale Dichte aller Anordnungen durch Minimierung einer Funktion mit 150 Variablen ermittelt werden kann.  1992 startete er mit Unterst\u00fctzung seines Doktoranden Samuel Ferguson ein Forschungsprogramm zur systematischen Anwendung linearer Programmiermethoden, um eine Untergrenze f\u00fcr den Wert dieser Funktion f\u00fcr jede von \u00fcber 5.000 verschiedenen Kugelkonfigurationen zu finden.  Wenn f\u00fcr jede dieser Konfigurationen eine Untergrenze (f\u00fcr den Funktionswert) gefunden werden k\u00f6nnte, die gr\u00f6\u00dfer ist als der Wert der Funktion f\u00fcr die kubisch dicht gepackte Anordnung, dann w\u00e4re die Kepler-Vermutung bewiesen.  Um Untergrenzen f\u00fcr alle F\u00e4lle zu finden, m\u00fcssen etwa 100.000 lineare Programmierprobleme gel\u00f6st werden.Als Hales 1996 den Fortschritt seines Projekts vorstellte, sagte er, dass das Ende in Sicht sei, aber es k\u00f6nnte “ein oder zwei Jahre” dauern, bis es fertig ist.  Im August 1998 gab Hales bekannt, dass der Beweis vollst\u00e4ndig sei.  Zu diesem Zeitpunkt bestand es aus 250 Seiten Notizen und 3 Gigabyte Computerprogrammen, Daten und Ergebnissen.Trotz der ungew\u00f6hnlichen Art des Beweises haben die Herausgeber der Annalen der Mathematik stimmte der Ver\u00f6ffentlichung zu, sofern sie von einer Gruppe von zw\u00f6lf Schiedsrichtern akzeptiert wurde.  Nach vierj\u00e4hriger Arbeit berichtete der Leiter des Schiedsrichtergremiums, G\u00e1bor Fejes T\u00f3th, im Jahr 2003, dass das Gremium “99% sicher” sei, ob der Beweis korrekt sei, aber nicht die Richtigkeit aller Computerberechnungen best\u00e4tigen k\u00f6nne .Hales (2005) ver\u00f6ffentlichte ein 100-seitiges Papier, in dem der Nicht-Computer-Teil seines Beweises ausf\u00fchrlich beschrieben wird.  Hales & Ferguson (2006) und mehrere nachfolgende Arbeiten beschrieben die rechnerischen Teile.  Hales und Ferguson erhielten 2009 den Fulkerson-Preis f\u00fcr herausragende Arbeiten auf dem Gebiet der diskreten Mathematik.Ein formeller Beweis[edit]Im Januar 2003 k\u00fcndigte Hales den Start eines Verbundprojekts an, um einen vollst\u00e4ndigen formalen Beweis f\u00fcr die Kepler-Vermutung zu erbringen.  Ziel war es, die verbleibende Unsicherheit \u00fcber die G\u00fcltigkeit des Beweises zu beseitigen, indem ein formaler Beweis erstellt wurde, der mit einer automatisierten Beweispr\u00fcfungssoftware wie HOL Light und Isabelle \u00fcberpr\u00fcft werden kann.  Dieses Projekt hei\u00dft Flyspeck – das F, P und K steht f\u00fcr Formaler Beweis von Kepler.  Hales sch\u00e4tzte, dass die Erstellung eines vollst\u00e4ndigen formalen Beweises etwa 20 Jahre Arbeit erfordern w\u00fcrde.  Hales ver\u00f6ffentlichte 2012 erstmals eine “Blaupause” f\u00fcr den formalen Beweis;[5]  Das Projekt wurde am 10. August 2014 als abgeschlossen angek\u00fcndigt.[6]  Im Januar 2015 reichten Hales und 21 Mitarbeiter arXiv ein Papier mit dem Titel “Ein formaler Beweis f\u00fcr die Kepler-Vermutung” ein, in dem sie behaupteten, die Vermutung bewiesen zu haben.[7]    Im Jahr 2017 wurde der formelle Nachweis in die Zeitschrift Forum of Mathematics aufgenommen.[1]Verwandte Probleme[edit]Thues TheoremDie regul\u00e4re hexagonale Packung ist die dichteste Kreispackung in der Ebene (1890). Die Dichte ist\u03c0\u2044\u221a12.Das zweidimensionale Analogon der Kepler-Vermutung;  Der Beweis ist elementar.  Henk und Ziegler f\u00fchren dieses Ergebnis 1773 auf Lagrange zur\u00fcck (siehe Referenzen, S. 770).Ein einfacher Beweis von Chau und Chung aus dem Jahr 2010 verwendet die Delaunay-Triangulation f\u00fcr die Menge der Punkte, die Kreismittelpunkte in einer ges\u00e4ttigten Kreispackung sind.[8]Die sechseckige WabenvermutungDie effizienteste Aufteilung der Ebene in gleiche Bereiche ist die regelm\u00e4\u00dfige sechseckige Kachelung. Hales ‘Beweis (1999).Bezogen auf Thues Theorem.Dodekaedrische VermutungDas Volumen des Voronoi-Polyeders einer Kugel in einer Packung gleicher Kugeln entspricht mindestens dem Volumen eines regul\u00e4ren Dodekaeders mit Inradius 1. McLaughlins Beweis, f\u00fcr die er 1999 den Morgan-Preis erhielt.Ein verwandtes Problem, dessen Beweis \u00e4hnliche Techniken verwendet wie Hales ‘Beweis der Kepler-Vermutung.  Vermutung von L. Fejes T\u00f3th in den 1950er Jahren.Das Kelvin-ProblemWas ist der effizienteste Schaum in 3 Dimensionen?  Es wurde vermutet, dass dies durch die Kelvin-Struktur gel\u00f6st werden konnte, und dies wurde \u00fcber 100 Jahre lang allgemein angenommen, bis es 1993 durch die Entdeckung der Weaire-Phelan-Struktur widerlegt wurde.  Die \u00fcberraschende Entdeckung der Weaire-Phelan-Struktur und die Ablehnung der Kelvin-Vermutung ist ein Grund f\u00fcr die Vorsicht, Hales ‘Beweis der Kepler-Vermutung zu akzeptieren.Kugelpackung in h\u00f6heren DimensionenIm Jahr 2016 k\u00fcndigte Maryna Viazovska Beweise f\u00fcr die optimalen Kugelpackungen in den Dimensionen 8 und 24 an.[9]  Die Frage der optimalen Kugelpackung in anderen Dimensionen als 1, 2, 3, 8 und 24 ist jedoch noch offen.Ulams PackungsvermutungEs ist nicht bekannt, ob es einen konvexen Feststoff gibt, dessen optimale Packungsdichte niedriger ist als die der Kugel.Verweise[edit]^ ein b Hales, Thomas;  Adams, Mark;  Bauer, Gertrud;  Dang, Tat Dat;  Harrison, John;  Hoang, Le Truong;  Kaliszyk, Cezary;  Magron, Victor;  McLaughlin, Sean;  Nguyen, Tat Thang;  Nguyen, Quang Truong;  Nipkow, Tobias;  Obua, Steven;  Pleso, Joseph;  Rute, Jason;  Solovyev, Alexey;  Ta, Thi Hoai An;  Tran, Nam Trung;  Trieu, Thi Diep;  Urban, Josef;  Vu, Ky;  Zumkeller, Roland (29. Mai 2017). “Ein formaler Beweis der Kepler-Vermutung”. Forum f\u00fcr Mathematik, Pi. 5: e2.  doi:10.1017 \/ fmp.2017.1.^ Li, Shuixiang;  Zhao, Liang;  Liu, Yuewu (April 2008). “Computersimulation der zuf\u00e4lligen Kugelpackung in einem beliebig geformten Beh\u00e4lter”. Computer, Materialien und Continua. 7: 109\u2013118.^ Hales, Thomas C. (Juni 1994).  “Der Status der Kepler-Vermutung”. Der mathematische Intelligencer. 16 (3): 47\u201358.  doi:10.1007 \/ BF03024356.  S2CID 123375854.^ Singh, Simon (1997). Fermats letzter Satz.  New York: Walker.  ISBN 978-0-80271-331-5.^ Hales, Thomas C. (2012). Dichte Kugelpackungen: Eine Blaupause f\u00fcr formale Beweise. Vorlesungsreihe der London Mathematical Society. 400.  Cambridge University Press.  ISBN 978-0-521-61770-3.^ “Projekt Flyspeck”. Google Code.^ Hales, Thomas;  et al.  (9. Januar 2015).  “Ein formaler Beweis der Kepler-Vermutung”.  arXiv:1501.02155 [math.MG].^ Chang, Hai-Chau;  Wang, Lih-Chung (22. September 2010).  “Ein einfacher Beweis von Thues Theorem \u00fcber das Packen von Kreisen”.  arXiv:1009,4322 [math.MG].^ Klarreich, Erica (30. M\u00e4rz 2016), “Kugelpackung in h\u00f6heren Dimensionen gel\u00f6st”, Quanta MagazineVer\u00f6ffentlichungen[edit]Aste, Tomaso;  Weaire, Denis (2000), Das Streben nach perfekter Verpackung, Bristol: IOP Publishing Ltd., doi:10.1887 \/ 0750306483, ISBN 978-0-7503-0648-5, HERR 1786410Gau\u00df, Carl F. (1831), “Untersuchungen \u00fcber die Eigenschaften der positiven tern\u00e4ren quadratischen Formen von Ludwig August Seber”, G\u00f6ttingische Gelehrte AnzeigenHales, Thomas C. (2005), “Ein Beweis f\u00fcr die Kepler-Vermutung”, Annalen der Mathematik, Zweite Serie, 162 (3): 1065\u20131185, arXiv:math \/ 9811078, doi:10.4007 \/ annals.2005.162.1065, ISSN 0003-486X, HERR 2179728Hales, Thomas C. (2000), “Kanonenkugeln und Waben”, Mitteilungen der American Mathematical Society, 47 (4): 440\u2013449, ISSN 0002-9920, HERR 1745624  Eine elementare Darstellung des Beweises der Kepler-Vermutung.Hales, Thomas C. (1994), “Der Status der Kepler-Vermutung”, Der mathematische Intelligencer, 16 (3): 47\u201358, doi:10.1007 \/ BF03024356, ISSN 0343-6993, HERR 1281754, S2CID 123375854Hales, Thomas C. (2006), “Historischer \u00dcberblick \u00fcber die Kepler-Vermutung”, Diskrete & Computergeometrie, 36 (1): 5\u201320, doi:10.1007 \/ s00454-005-1210-2, ISSN 0179-5376, HERR 2229657Hales, Thomas C.;  Ferguson, Samuel P. (2006), “Eine Formulierung der Kepler-Vermutung” (PDF), Diskrete & Computergeometrie, 36 (1): 21\u201369, arXiv:math \/ 9811078, doi:10.1007 \/ s00454-005-1211-1, ISSN 0179-5376, HERR 2229658, S2CID 6529590Hales, Thomas C.;  Ferguson, Samuel P. (2011), Die Kepler-Vermutung: Der Hales-Ferguson-Beweis, New York: Springer, ISBN 978-1-4614-1128-4Hales, Thomas C. 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