[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/26\/mathematischer-beweis-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/26\/mathematischer-beweis-wikipedia\/","headline":"Mathematischer Beweis – Wikipedia","name":"Mathematischer Beweis – Wikipedia","description":"Strenge Demonstration, dass eine mathematische Aussage aus ihren Pr\u00e4missen folgt P. 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Oxy.  29, eines der \u00e4ltesten erhaltenen Fragmente von Euklid Elemente, ein Lehrbuch, das seit Jahrtausenden verwendet wird, um Korrekturtechniken zu lehren.  Das Diagramm begleitet Buch II, Satz 5.[1]  EIN mathematischer Beweis ist ein inferentielles Argument f\u00fcr eine mathematische Aussage, das zeigt, dass die angegebenen Annahmen die Schlussfolgerung logisch garantieren.  Das Argument kann andere zuvor festgelegte Aussagen verwenden, wie z. B. Theoreme;  Aber jeder Beweis kann im Prinzip nur unter Verwendung bestimmter grundlegender oder urspr\u00fcnglicher Annahmen konstruiert werden, die als Axiome bekannt sind.[2][3][4]  zusammen mit den akzeptierten Inferenzregeln.  Beweise sind Beispiele f\u00fcr ersch\u00f6pfendes deduktives Denken, die logische Sicherheit begr\u00fcnden, um von empirischen Argumenten unterschieden zu werden, oder nicht ersch\u00f6pfendes induktives Denken, das “vern\u00fcnftige Erwartung” begr\u00fcndet.  Die Darstellung vieler F\u00e4lle, in denen die Aussage gilt, reicht f\u00fcr einen Beweis nicht aus, der belegen muss, dass die Aussage in wahr ist alle m\u00f6gliche F\u00e4lle.  Ein unbewiesener Satz, von dem angenommen wird, dass er wahr ist, wird als Vermutung oder Hypothese bezeichnet, wenn er h\u00e4ufig als Annahme f\u00fcr weitere mathematische Arbeiten verwendet wird.[5]Beweise verwenden Logik, die in mathematischen Symbolen ausgedr\u00fcckt wird, zusammen mit nat\u00fcrlicher Sprache, die normalerweise eine gewisse Mehrdeutigkeit zul\u00e4sst.  In der meisten mathematischen Literatur werden Beweise in Form einer strengen informellen Logik geschrieben.  Rein formale Beweise, die vollst\u00e4ndig in symbolischer Sprache ohne Einbeziehung der nat\u00fcrlichen Sprache verfasst sind, werden in der Beweistheorie ber\u00fccksichtigt.  Die Unterscheidung zwischen formellen und informellen Beweisen hat zu einer umfassenden Untersuchung der gegenw\u00e4rtigen und historischen mathematischen Praxis, des Quasi-Empirismus in der Mathematik und der sogenannten Volksmathematik, m\u00fcndlichen \u00dcberlieferungen in der Mainstream-Mathematikgemeinschaft oder in anderen Kulturen gef\u00fchrt.  Die Philosophie der Mathematik befasst sich mit der Rolle von Sprache und Logik in Beweisen und der Mathematik als Sprache.  Table of ContentsGeschichte und Etymologie[edit]Natur und Zweck[edit]Methoden[edit]Direkter Beweis[edit]Beweis durch mathematische Induktion[edit]Beweis durch Widerspruch[edit]Beweis durch Widerspruch[edit]Beweis durch Konstruktion[edit]Beweis durch Ersch\u00f6pfung[edit]Probabilistischer Beweis[edit]Kombinatorischer Beweis[edit]Konstruktionsfreier Beweis[edit]Statistische Beweise in der reinen Mathematik[edit]Computergest\u00fctzte Proofs[edit]Unentscheidbare Aussagen[edit]Heuristische Mathematik und experimentelle Mathematik[edit]Verwandte konzepte[edit]Visueller Beweis[edit]Elementarer Beweis[edit]Zweispaltiger Proof[edit]Umgangssprachliche Verwendung von “mathematischen Beweisen”[edit]Statistischer Nachweis anhand von Daten[edit]Induktive Logikbeweise und Bayes’sche Analyse[edit]Beweise als mentale Objekte[edit]Einfluss mathematischer Beweismethoden au\u00dferhalb der Mathematik[edit]Einen Beweis beenden[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Weiterf\u00fchrende Literatur[edit]Externe Links[edit]Geschichte und Etymologie[edit]Das Wort “Beweis” kommt aus dem Lateinischen probare (zu testen).  Verwandte moderne W\u00f6rter sind Englisch “Probe”, “Bew\u00e4hrung” und “Wahrscheinlichkeit”, Spanisch Probar (riechen oder schmecken oder manchmal ber\u00fchren oder testen),[6]  Italienisch provare (zum Ausprobieren) und Deutsch geh\u00f6rt (versuchen).  Der juristische Begriff “Redlichkeit” bedeutet Autorit\u00e4t oder Glaubw\u00fcrdigkeit, die Aussagekraft, Tatsachen zu beweisen, wenn sie von Personen mit Ruf oder Status gegeben werden.[7]Plausibilit\u00e4tsargumente mit heuristischen Mitteln wie Bildern und Analogien gingen strengen mathematischen Beweisen voraus.[8]  Es ist wahrscheinlich, dass die Idee, eine Schlussfolgerung zu demonstrieren, zuerst im Zusammenhang mit der Geometrie entstand, die aus praktischen Problemen der Landmessung entstand.[9]  Die Entwicklung des mathematischen Beweises ist in erster Linie das Produkt der antiken griechischen Mathematik und eine ihrer gr\u00f6\u00dften Errungenschaften.[10]Thales (624\u2013546 v. Chr.) Und Hippokrates von Chios (ca. 470\u2013410 v. Chr.) Gab einige der ersten bekannten Beweise f\u00fcr Theoreme in der Geometrie.  Eudoxus (408\u2013355 v. Chr.) Und Theaetetus (417\u2013369 v. Chr.) Formulierten Theoreme, bewiesen sie jedoch nicht.  Aristoteles (384\u2013322 v. Chr.) Sagte, Definitionen sollten das zu definierende Konzept anhand anderer bereits bekannter Konzepte beschreiben.Der mathematische Beweis wurde von Euklid (300 v. Chr.) Revolutioniert, der die heute noch verwendete axiomatische Methode einf\u00fchrte.  Es beginnt mit undefinierten Begriffen und Axiomen, Aussagen \u00fcber die undefinierten Begriffe, von denen angenommen wird, dass sie selbstverst\u00e4ndlich wahr sind (aus dem Griechischen “Axios”, etwas W\u00fcrdiges).  Auf dieser Basis beweist die Methode Theoreme mit deduktiver Logik.  Euklids Buch, das Elementewurde von jedem gelesen, der bis Mitte des 20. Jahrhunderts im Westen als gebildet galt.[11]  Neben Theoremen der Geometrie, wie dem Satz von Pythagoras, wird der Elemente deckt auch die Zahlentheorie ab, einschlie\u00dflich eines Beweises, dass die Quadratwurzel von zwei irrational ist, und eines Beweises, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.  Weitere Fortschritte fanden auch in der mittelalterlichen islamischen Mathematik statt.  W\u00e4hrend fr\u00fchere griechische Beweise weitgehend geometrische Demonstrationen waren, erm\u00f6glichte die Entwicklung von Arithmetik und Algebra durch islamische Mathematiker allgemeinere Beweise ohne Abh\u00e4ngigkeit von der geometrischen Intuition.  Im 10. Jahrhundert n. Chr. Arbeitete der irakische Mathematiker Al-Hashimi mit Zahlen als solchen, die als “Linien” bezeichnet wurden, aber nicht unbedingt als Messungen geometrischer Objekte angesehen wurden, um algebraische Aussagen bez\u00fcglich Multiplikation, Division usw., einschlie\u00dflich der Existenz irrationaler Zahlen, zu beweisen .[12]  Ein induktiver Beweis f\u00fcr arithmetische Folgen wurde in die Al-Fakhri (1000) von Al-Karaji, der damit den Binomialsatz und die Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks bewies.  Alhazen entwickelte auch die Methode des Widerspruchsbeweises als ersten Versuch, das euklidische Parallelpostulat zu beweisen.[13]Die moderne Beweistheorie behandelt Beweise als induktiv definierte Datenstrukturen und erfordert nicht die Annahme, dass Axiome in irgendeiner Weise “wahr” sind.  Dies erm\u00f6glicht parallele mathematische Theorien als formale Modelle eines bestimmten intuitiven Konzepts, basierend auf alternativen Axiomens\u00e4tzen, beispielsweise der axiomatischen Mengenlehre und der nichteuklidischen Geometrie.Natur und Zweck[edit]In der Praxis wird ein Beweis in nat\u00fcrlicher Sprache ausgedr\u00fcckt und ist ein strenges Argument, das das Publikum von der Wahrheit einer Aussage \u00fcberzeugen soll.  Der Standard der Strenge ist nicht absolut und hat sich im Laufe der Geschichte ver\u00e4ndert.  Ein Proof kann je nach Zielgruppe unterschiedlich pr\u00e4sentiert werden.  Um Akzeptanz zu erlangen, muss ein Beweis den kommunalen Strenge-Standards entsprechen.  Ein als vage oder unvollst\u00e4ndig angesehenes Argument kann zur\u00fcckgewiesen werden.Der Beweisbegriff wird im Bereich der mathematischen Logik formalisiert.[14]  Ein formaler Beweis wird in einer formalen Sprache anstelle einer nat\u00fcrlichen Sprache verfasst.  Ein formaler Beweis ist eine Folge von Formeln in einer formalen Sprache, beginnend mit einer Annahme und mit jeder nachfolgenden Formel eine logische Konsequenz der vorhergehenden.  Diese Definition macht das Konzept des Beweises studienf\u00e4hig.  In der Tat untersucht das Gebiet der Beweistheorie formale Beweise und ihre Eigenschaften. Das bekannteste und \u00fcberraschendste ist, dass fast alle axiomatischen Systeme bestimmte unentscheidbare Aussagen erzeugen k\u00f6nnen, die innerhalb des Systems nicht beweisbar sind.Die Definition eines formalen Beweises soll das Konzept der Beweise erfassen, wie es in der Praxis der Mathematik geschrieben wurde.  Die Richtigkeit dieser Definition entspricht der \u00dcberzeugung, dass ein ver\u00f6ffentlichter Beweis im Prinzip in einen formalen Beweis umgewandelt werden kann.  Au\u00dferhalb des Bereichs der automatisierten Proofassistenten wird dies in der Praxis jedoch selten durchgef\u00fchrt.  Eine klassische Frage in der Philosophie fragt, ob mathematische Beweise analytisch oder synthetisch sind.  Kant, der die analytisch-synthetische Unterscheidung einf\u00fchrte, glaubte, mathematische Beweise seien synthetisch, w\u00e4hrend Quine in seinen “Zwei Dogmen des Empirismus” von 1951 argumentierte, dass eine solche Unterscheidung unhaltbar sei.[15]Beweise k\u00f6nnen f\u00fcr ihre mathematische Sch\u00f6nheit bewundert werden.  Der Mathematiker Paul Erd\u0151s war daf\u00fcr bekannt, Beweise zu beschreiben, die er als besonders elegant empfand, da sie aus “The Book” stammen, einem hypothetischen Band, der die sch\u00f6nsten Methoden enth\u00e4lt, um jeden Satz zu beweisen.  Das Buch Beweise aus dem Buch, 2003 ver\u00f6ffentlicht, widmet sich der Pr\u00e4sentation von 32 Proofs, die die Herausgeber besonders erfreulich finden.Methoden[edit]Direkter Beweis[edit]Im direkten Beweis wird die Schlussfolgerung durch logische Kombination der Axiome, Definitionen und fr\u00fcheren Theoreme hergestellt.[16]  Zum Beispiel kann ein direkter Beweis verwendet werden, um zu beweisen, dass die Summe von zwei geraden ganzen Zahlen immer gerade ist:Betrachten Sie zwei gerade ganze Zahlen x und y.  Da sie gerade sind, k\u00f6nnen sie als geschrieben werden x = 2ein und y = 2bjeweils f\u00fcr ganze Zahlen ein und b.  Dann die Summe x + y = 2ein + 2b = 2 (ein+b).  Deshalb x+y hat 2 als Faktor und ist per Definition gerade.  Daher ist die Summe von zwei geraden ganzen Zahlen gerade.Dieser Beweis verwendet die Definition von geraden ganzen Zahlen, die ganzzahligen Eigenschaften des Schlie\u00dfens bei Addition und Multiplikation sowie die Verteilungsf\u00e4higkeit.Beweis durch mathematische Induktion[edit]Trotz ihres Namens ist die mathematische Induktion eine Deduktionsmethode, keine Form des induktiven Denkens.  Als Beweis durch mathematische Induktion wird ein einzelner “Basisfall” bewiesen, und eine “Induktionsregel” wird bewiesen, die feststellt, dass jeder beliebige Fall den n\u00e4chsten Fall impliziert.  Da die Induktionsregel prinzipiell wiederholt angewendet werden kann (ausgehend vom bew\u00e4hrten Basisfall), sind alle (meist unendlich viele) F\u00e4lle nachweisbar.[17]  Dadurch muss nicht jeder Fall einzeln nachgewiesen werden.  Eine Variante der mathematischen Induktion ist der Beweis durch unendliche Abstammung, mit der beispielsweise die Irrationalit\u00e4t der Quadratwurzel von zwei bewiesen werden kann.[5]Eine \u00fcbliche Anwendung des Beweises durch mathematische Induktion besteht darin, zu beweisen, dass eine Eigenschaft, von der bekannt ist, dass sie f\u00fcr eine Zahl gilt, f\u00fcr alle nat\u00fcrlichen Zahlen gilt:[18]Lassen N. = {1,2,3,4, …} sei die Menge der nat\u00fcrlichen Zahlen, und P.((n) eine mathematische Aussage sein, die die nat\u00fcrliche Zahl beinhaltet n  zugeh\u00f6rig N.  so dass(ich) P.(1) ist wahr, dh P.((n) ist wahr f\u00fcr n = 1.(ii) P.((n+1) ist immer wahr P.((n) ist wahr, dh P.((n) ist wahr impliziert das P.((n+1) ist wahr.Dann P.((n) gilt f\u00fcr alle nat\u00fcrlichen Zahlen n.Zum Beispiel k\u00f6nnen wir durch Induktion beweisen, dass alle positiven ganzen Zahlen der Form 2n – 1 sind seltsam.  Lassen P.((n) vertreten “2n – 1 ist ungerade”:(ich) Zum n = 1, 2n – 1 = 2 (1) – 1 = 1, und 1 ist seltsam, da es einen Rest von hinterl\u00e4sst 1 wenn geteilt durch 2.  So P.(1) ist wahr.(ii) F\u00fcr jeden n, wenn 2n – 1 ist ungerade (P.((n)), dann (2n – 1) + 2 muss auch ungerade sein, weil hinzuf\u00fcgen 2 zu einer ungeraden Zahl f\u00fchrt zu einer ungeraden Zahl.  Aber (2n – 1) + 2 = 2n + 1 = 2 (n+1) – 1, damit 2 (n+1) – 1 ist ungerade (P.((n+1)).  Damit P.((n) impliziert P.((n+1).So 2n – 1 ist ungerade f\u00fcr alle positiven ganzen Zahlen n.Der k\u00fcrzere Ausdruck “Beweis durch Induktion” wird h\u00e4ufig anstelle von “Beweis durch mathematische Induktion” verwendet.[19]Beweis durch Widerspruch[edit]Der Beweis durch Widerspruch ergibt die Aussage “wenn p dann q“durch Festlegung der logisch \u00e4quivalenten kontrapositiven Aussage:” if nicht q dann Nicht p“.Zum Beispiel kann eine Kontraposition verwendet werden, um dies bei einer gegebenen ganzen Zahl festzustellen x{ displaystyle x}, wenn x2{ displaystyle x ^ {2}}  ist dann eben x{ displaystyle x}  ist gerade:Annehmen x{ displaystyle x}  ist nicht einmal.  Dann x{ displaystyle x}  ist ungerade.  Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist daher ungerade x2=x\u22c5x{ displaystyle x ^ {2} = x  cdot x}  ist ungerade.  So x2{ displaystyle x ^ {2}}  ist nicht einmal.  Also wenn x2{ displaystyle x ^ {2}} ist sogar muss die Annahme falsch sein, also x{ displaystyle x}  muss gerade sein.Beweis durch Widerspruch[edit]Als Beweis durch Widerspruch, auch bekannt durch die lateinische Phrase reductio ad absurdum (durch Reduktion auf das Absurde) wird gezeigt, dass, wenn eine Aussage als wahr angenommen wird, ein logischer Widerspruch auftritt, daher muss die Aussage falsch sein.  Ein ber\u00fchmtes Beispiel ist der Beweis daf\u00fcr 2{ displaystyle { sqrt {2}}}  ist eine irrationale Zahl:Nehme an, dass 2{ displaystyle { sqrt {2}}}  waren eine rationale Zahl.  Dann k\u00f6nnte es in niedrigsten Begriffen geschrieben werden als 2=einb{ displaystyle { sqrt {2}} = {a  over b}}  wo ein und b sind Ganzzahlen ungleich Null ohne gemeinsamen Faktor.  So, b2=ein{ displaystyle b { sqrt {2}} = a}.  Das Quadrieren beider Seiten ergibt 2b2 = ein2.  Da 2 den Ausdruck links teilt, muss 2 auch den gleichen Ausdruck rechts teilen.  Das ist, ein2 ist gerade, was das impliziert ein muss auch gerade sein, wie im obigen Satz zu sehen (in Proof by Contraposition).  Also k\u00f6nnen wir schreiben ein = 2c, wo c ist auch eine ganze Zahl.  Die Substitution in die urspr\u00fcngliche Gleichung ergibt 2b2 = (2c)2 = 4c2.  Teilen Sie beide Seiten durch 2 Ausbeuten b2 = 2c2.  Aber dann, durch das gleiche Argument wie zuvor, teilt sich 2 b2, damit b muss gerade sein.  wie auch immer, falls ein und b sind beide gerade, sie haben 2 als gemeinsamen Faktor.  Dies widerspricht unserer vorherigen Aussage, dass ein und b haben keinen gemeinsamen Faktor, daher sind wir gezwungen, daraus zu schlie\u00dfen 2{ displaystyle { sqrt {2}}}  ist eine irrationale Zahl.Um es zu paraphrasieren: wenn man schreiben k\u00f6nnte 2{ displaystyle { sqrt {2}}}  Als Bruch konnte dieser Bruch niemals in niedrigsten Begriffen geschrieben werden, da 2 immer aus Z\u00e4hler und Nenner ber\u00fccksichtigt werden konnte.Beweis durch Konstruktion[edit]Beweis durch Konstruktion oder Beweis durch Beispiel ist die Konstruktion eines konkreten Beispiels mit einer Eigenschaft, um zu zeigen, dass etwas mit dieser Eigenschaft existiert.  Joseph Liouville zum Beispiel bewies die Existenz transzendentaler Zahlen durch die Konstruktion eines expliziten Beispiels.  Es kann auch verwendet werden, um ein Gegenbeispiel zu erstellen, um einen Satz zu widerlegen, dass alle Elemente eine bestimmte Eigenschaft haben.Beweis durch Ersch\u00f6pfung[edit]Als Beweis f\u00fcr Ersch\u00f6pfung wird die Schlussfolgerung gezogen, indem sie in eine endliche Anzahl von F\u00e4llen aufgeteilt und jeder einzeln bewiesen wird.  Die Anzahl der F\u00e4lle kann manchmal sehr gro\u00df werden.  Zum Beispiel war der erste Beweis des Vierfarbensatzes ein Beweis durch Ersch\u00f6pfung mit 1.936 F\u00e4llen.  Dieser Beweis war umstritten, da die meisten F\u00e4lle von einem Computerprogramm und nicht von Hand gepr\u00fcft wurden.  Der k\u00fcrzeste bekannte Beweis des Vierfarbensatzes ab 2011[update]  hat noch \u00fcber 600 F\u00e4lle.[20]Probabilistischer Beweis[edit]Ein probabilistischer Beweis ist ein Beweis, bei dem gezeigt wird, dass ein Beispiel mit Sicherheit unter Verwendung von Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie existiert.  Der probabilistische Beweis ist ebenso wie der Beweis durch Konstruktion eine von vielen M\u00f6glichkeiten, Existenzs\u00e4tze zu zeigen.Bei der probabilistischen Methode sucht man ein Objekt mit einer bestimmten Eigenschaft, beginnend mit einer gro\u00dfen Menge von Kandidaten.  Man weist jedem zu w\u00e4hlenden Kandidaten eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zu und beweist dann, dass es eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null gibt, dass ein gew\u00e4hlter Kandidat die gew\u00fcnschte Eigenschaft hat.  Dies gibt nicht an, welche Kandidaten die Eigenschaft haben, aber die Wahrscheinlichkeit k\u00f6nnte ohne mindestens einen nicht positiv sein.Ein probabilistischer Beweis ist nicht mit einem Argument zu verwechseln, dass ein Theorem “wahrscheinlich” wahr ist, ein “Plausibilit\u00e4tsargument”.  Die Arbeit an der Collatz-Vermutung zeigt, wie weit Plausibilit\u00e4t von echten Beweisen entfernt ist.  W\u00e4hrend die meisten Mathematiker nicht der Meinung sind, dass probabilistische Beweise f\u00fcr die Eigenschaften eines bestimmten Objekts als echte mathematische Beweise gelten, haben einige Mathematiker und Philosophen argumentiert, dass zumindest einige Arten von probabilistischen Beweisen (wie Rabins probabilistischer Algorithmus zum Testen der Primalit\u00e4t) wie folgt sind gut als echte mathematische Beweise.[21][22]Kombinatorischer Beweis[edit]Ein kombinatorischer Beweis stellt die \u00c4quivalenz verschiedener Ausdr\u00fccke fest, indem gezeigt wird, dass sie dasselbe Objekt auf unterschiedliche Weise z\u00e4hlen.  Oft wird eine Bijektion zwischen zwei S\u00e4tzen verwendet, um zu zeigen, dass die Ausdr\u00fccke f\u00fcr ihre beiden Gr\u00f6\u00dfen gleich sind.  Alternativ liefert ein Argument mit doppelter Z\u00e4hlung zwei verschiedene Ausdr\u00fccke f\u00fcr die Gr\u00f6\u00dfe einer einzelnen Menge, was wiederum zeigt, dass die beiden Ausdr\u00fccke gleich sind.Konstruktionsfreier Beweis[edit]Ein nicht konstruktiver Beweis belegt, dass ein mathematisches Objekt mit einer bestimmten Eigenschaft existiert – ohne zu erkl\u00e4ren, wie ein solches Objekt zu finden ist.  Dies erfolgt h\u00e4ufig in Form eines Widerspruchsbeweises, bei dem sich die Nichtexistenz des Objekts als unm\u00f6glich herausstellt.  Im Gegensatz dazu stellt ein konstruktiver Beweis fest, dass ein bestimmtes Objekt existiert, indem eine Methode zum Auffinden bereitgestellt wird.  Ein ber\u00fchmtes Beispiel eines nichtkonstruktiven Beweises zeigt, dass es zwei irrationale Zahlen gibt ein und b so dass einb{ displaystyle a ^ {b}}  ist eine rationale Zahl:Entweder 22{ displaystyle { sqrt {2}} ^ { sqrt {2}}}  ist eine rationale Zahl und wir sind fertig (nimm ein=b=2{ displaystyle a = b = { sqrt {2}}}), oder 22{ displaystyle { sqrt {2}} ^ { sqrt {2}}}  ist irrational, damit wir schreiben k\u00f6nnen ein=22{ displaystyle a = { sqrt {2}} ^ { sqrt {2}}}  und b=2{ displaystyle b = { sqrt {2}}}.  Dies gibt dann ((22)2=22=2{ displaystyle  left ({ sqrt {2}} ^ { sqrt {2}}  right) ^ { sqrt {2}} = { sqrt {2}} ^ {2} = 2}, was also ein Rational der Form ist einb.{ displaystyle a ^ {b}.}Statistische Beweise in der reinen Mathematik[edit]Der Ausdruck “statistischer Beweis” kann technisch oder umgangssprachlich in Bereichen der reinen Mathematik verwendet werden, beispielsweise in Bezug auf Kryptographie, chaotische Reihen und probabilistische oder analytische Zahlentheorie.[23][24][25]    Es wird seltener verwendet, um sich auf einen mathematischen Beweis im Zweig der Mathematik zu beziehen, der als mathematische Statistik bekannt ist.  Siehe auch Abschnitt “Statistischer Nachweis anhand von Daten” weiter unten.Computergest\u00fctzte Proofs[edit]Bis zum 20. Jahrhundert wurde angenommen, dass jeder Beweis grunds\u00e4tzlich von einem kompetenten Mathematiker \u00fcberpr\u00fcft werden kann, um seine G\u00fcltigkeit zu best\u00e4tigen.[8]  Computer werden jetzt jedoch sowohl zum Beweisen von Theoremen als auch zum Ausf\u00fchren von Berechnungen verwendet, die f\u00fcr einen Menschen oder ein Team von Menschen zu lang sind, um sie zu \u00fcberpr\u00fcfen.  Der erste Beweis des Vierfarbensatzes ist ein Beispiel f\u00fcr einen computergest\u00fctzten Beweis.  Einige Mathematiker bef\u00fcrchten, dass die M\u00f6glichkeit eines Fehlers in einem Computerprogramm oder eines Laufzeitfehlers in seinen Berechnungen die G\u00fcltigkeit solcher computergest\u00fctzter Beweise in Frage stellt.  In der Praxis kann die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers, der einen computergest\u00fctzten Beweis ung\u00fcltig macht, verringert werden, indem Redundanz und Selbstpr\u00fcfungen in Berechnungen einbezogen und mehrere unabh\u00e4ngige Ans\u00e4tze und Programme entwickelt werden.  Fehler k\u00f6nnen auch bei der \u00dcberpr\u00fcfung eines Beweises durch den Menschen niemals vollst\u00e4ndig ausgeschlossen werden, insbesondere wenn der Beweis eine nat\u00fcrliche Sprache enth\u00e4lt und tiefe mathematische Einsichten erfordert, um die potenziellen verborgenen Annahmen und Irrt\u00fcmer aufzudecken.Unentscheidbare Aussagen[edit]Eine Aussage, die aus einer Reihe von Axiomen weder beweisbar noch widerlegbar ist, wird als unentscheidbar bezeichnet (aus diesen Axiomen).  Ein Beispiel ist das parallele Postulat, das aus den verbleibenden Axiomen der euklidischen Geometrie weder beweisbar noch widerlegbar ist.Mathematiker haben gezeigt, dass es viele Aussagen gibt, die in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit dem Axiom of Choice (ZFC), dem Standardsystem der Mengenlehre in der Mathematik, weder beweisbar noch widerlegbar sind (unter der Annahme, dass ZFC konsistent ist);  Siehe Liste der in ZFC unentscheidbaren Anweisungen.G\u00f6dels (erster) Unvollst\u00e4ndigkeitssatz zeigt, dass viele Axiomensysteme von mathematischem Interesse unentscheidbare Aussagen haben werden.Heuristische Mathematik und experimentelle Mathematik[edit]W\u00e4hrend fr\u00fche Mathematiker wie Eudoxus von Cnidus keine Beweise verwendeten, waren Beweise von Euklid bis zu den grundlegenden mathematischen Entwicklungen des sp\u00e4ten 19. und 20. Jahrhunderts ein wesentlicher Bestandteil der Mathematik.[26]  Mit der Zunahme der Rechenleistung in den 1960er Jahren wurden bedeutende Arbeiten zur Untersuchung mathematischer Objekte au\u00dferhalb des Proof-Theorem-Rahmens durchgef\u00fchrt.[27]  in der experimentellen Mathematik.  Fr\u00fche Pioniere dieser Methoden beabsichtigten, die Arbeit letztendlich in ein klassisches Proof-Theorem-Ger\u00fcst einzubetten, z. B. die fr\u00fche Entwicklung der fraktalen Geometrie.[28]  das war letztendlich so eingebettet.Verwandte konzepte[edit]Visueller Beweis[edit]Obwohl dies kein formaler Beweis ist, wird eine visuelle Demonstration eines mathematischen Theorems manchmal als “Beweis ohne Worte” bezeichnet.  Das Bild links links ist ein Beispiel f\u00fcr einen historischen visuellen Beweis des Satzes von Pythagoras im Fall des (3,4,5) -Dreiecks.Visueller Beweis f\u00fcr das (3, 4, 5) Dreieck wie im Zhoubi Suanjing 500\u2013200 v.Animierter visueller Beweis f\u00fcr den Satz von Pythagoras durch Umlagerung.Ein zweiter animierter Beweis des Satzes von Pythagoras.Einige illusorische visuelle Beweise, wie das fehlende quadratische Puzzle, k\u00f6nnen so konstruiert werden, dass sie eine vermeintliche mathematische Tatsache zu beweisen scheinen, dies jedoch nur bei winzigen Fehlern (z. B. angeblich geraden Linien, die sich tats\u00e4chlich leicht biegen) unbemerkt, bis das gesamte Bild genau untersucht und die L\u00e4ngen und Winkel genau gemessen oder berechnet wurden.Elementarer Beweis[edit]Ein elementarer Beweis ist ein Beweis, der nur grundlegende Techniken verwendet.  Insbesondere wird der Begriff in der Zahlentheorie verwendet, um Beweise zu bezeichnen, die keine komplexe Analyse verwenden.  F\u00fcr einige Zeit wurde angenommen, dass bestimmte S\u00e4tze, wie der Primzahlsatz, nur mit “h\u00f6herer” Mathematik bewiesen werden k\u00f6nnten.  Im Laufe der Zeit wurden jedoch viele dieser Ergebnisse nur mit elementaren Techniken widerlegt.Zweispaltiger Proof[edit]  Ein zweispaltiger Beweis, der 1913 ver\u00f6ffentlicht wurdeEine bestimmte Methode zum Organisieren eines Beweises unter Verwendung von zwei parallelen Spalten wird in den USA h\u00e4ufig in elementaren Geometrieklassen verwendet.[29]  Der Beweis wird als eine Reihe von Zeilen in zwei Spalten geschrieben.  In jeder Zeile enth\u00e4lt die linke Spalte einen Satz, w\u00e4hrend die rechte Spalte eine kurze Erkl\u00e4rung enth\u00e4lt, wie der entsprechende Satz in der linken Spalte entweder ein Axiom oder eine Hypothese ist oder logisch aus fr\u00fcheren S\u00e4tzen abgeleitet werden kann .  Die linke Spalte tr\u00e4gt normalerweise die \u00dcberschrift “Anweisungen” und die rechte Spalte die \u00dcberschrift “Gr\u00fcnde”.[30]Umgangssprachliche Verwendung von “mathematischen Beweisen”[edit]Der Ausdruck “mathematischer Beweis” wird von Laien verwendet, um sich auf die Verwendung mathematischer Methoden oder das Streiten mit mathematischen Objekten wie Zahlen zu beziehen, um etwas \u00fcber den Alltag zu demonstrieren, oder wenn die in einem Argument verwendeten Daten numerisch sind.  Es wird manchmal auch verwendet, um einen “statistischen Beweis” (unten) zu bezeichnen, insbesondere wenn es verwendet wird, um aus Daten zu argumentieren.Statistischer Nachweis anhand von Daten[edit]“Statistischer Beweis” aus Daten bezieht sich auf die Anwendung von Statistik, Datenanalyse oder Bayes’scher Analyse, um Aussagen \u00fcber die Wahrscheinlichkeit von Daten abzuleiten.  W\u00e4hrend mit mathematischer Beweis, um Theoreme in der Statistik zu etablieren, ist es normalerweise kein mathematischer Beweis, dass die Annahmen Aus welchen Wahrscheinlichkeitsaussagen abgeleitet werden, sind empirische Belege von au\u00dferhalb der Mathematik erforderlich, um dies zu \u00fcberpr\u00fcfen.  In der Physik kann sich neben statistischen Methoden auch der “statistische Nachweis” auf das Fachgebiet beziehen mathematische Methoden der Physik angewendet, um Daten in einem Teilchenphysik-Experiment oder einer Beobachtungsstudie in der physikalischen Kosmologie zu analysieren.  “Statistischer Beweis” kann sich auch auf Rohdaten oder ein \u00fcberzeugendes Diagramm beziehen, das Daten wie Streudiagramme enth\u00e4lt, wenn die Daten oder das Diagramm ohne weitere Analyse ausreichend \u00fcberzeugend sind.Induktive Logikbeweise und Bayes’sche Analyse[edit]Beweise, die induktive Logik verwenden, werden zwar als mathematisch angesehen, versuchen jedoch, S\u00e4tze mit einem gewissen Grad an Sicherheit zu erstellen, der \u00e4hnlich wie die Wahrscheinlichkeit wirkt und m\u00f6glicherweise nicht vollst\u00e4ndig sicher ist.  Induktive Logik sollte nicht mit mathematischer Induktion verwechselt werden.Die Bayes’sche Analyse verwendet den Bayes’schen Satz, um die Einsch\u00e4tzung der Wahrscheinlichkeit von Hypothesen durch eine Person zu aktualisieren, wenn neue Beweise oder Informationen gewonnen werden.Beweise als mentale Objekte[edit]Der Psychologismus betrachtet mathematische Beweise als psychologische oder mentale Objekte.  Mathematikerphilosophen wie Leibniz, Frege und Carnap haben diese Ansicht unterschiedlich kritisiert und versucht, eine Semantik f\u00fcr das zu entwickeln, was sie als Sprache des Denkens betrachteten, wobei Standards des mathematischen Beweises auf die empirische Wissenschaft angewendet werden k\u00f6nnten.[citation needed]Einfluss mathematischer Beweismethoden au\u00dferhalb der Mathematik[edit]Philosophen-Mathematiker wie Spinoza haben versucht, philosophische Argumente auf axiomatische Weise zu formulieren, wobei mathematische Beweisstandards auf die Argumentation in der allgemeinen Philosophie angewendet werden k\u00f6nnten.  Andere Mathematiker-Philosophen haben versucht, Standards des mathematischen Beweises und der Vernunft ohne Empirismus zu verwenden, um zu Aussagen au\u00dferhalb der Mathematik zu gelangen, wobei sie jedoch die Gewissheit haben, dass S\u00e4tze in einem mathematischen Beweis wie Descartes ‘abgeleitet werden cogito Streit.Einen Beweis beenden[edit]Manchmal die Abk\u00fcrzung “QED” wird geschrieben, um das Ende eines Beweises anzuzeigen.  Diese Abk\u00fcrzung steht f\u00fcr “quod erat demonstrandum”, was lateinisch ist f\u00fcr “das, was demonstriert werden sollte”.  Eine h\u00e4ufigere Alternative ist die Verwendung eines Quadrats oder Rechtecks \u200b\u200bwie \u25a1 oder \u220e, das nach seinem Namensgeber Paul Halmos als “Grabstein” oder “Halmos” bezeichnet wird.[5]  Oft wird “was gezeigt werden sollte” m\u00fcndlich angegeben, wenn w\u00e4hrend einer m\u00fcndlichen Pr\u00e4sentation “QED”, “\u25a1” oder “\u220e” geschrieben wird.Siehe auch[edit]Verweise[edit]^ Bill Casselman. “Eines der \u00e4ltesten erhaltenen Diagramme von Euklid”.  Universit\u00e4t von British Columbia.  Abgerufen 26. September 2008.^ Clapham, C. & Nicholson, JN. Das pr\u00e4gnante Oxford Dictionary of Mathematics, 4. Auflage. Eine Aussage, deren Wahrheit entweder als selbstverst\u00e4ndlich anzusehen oder anzunehmen ist.  Bestimmte Bereiche der Mathematik umfassen die Auswahl einer Reihe von Axiomen und die Ermittlung der daraus ableitbaren Ergebnisse, um Beweise f\u00fcr die erhaltenen Theoreme zu liefern.^ Cupillari, Antonella (2005) [2001]. Die Schrauben und Muttern von Beweisen: Eine Einf\u00fchrung in mathematische Beweise (Dritte Ausgabe).  Akademische Presse.  p.  3. ISBN 978-0-12-088509-1.^ Gossett, Eric (Juli 2009). Diskrete Mathematik mit Beweis.  John Wiley & Sons.  p.  86. ISBN 978-0470457931. Definition 3.1.  Beweis: Eine informelle Definition^ ein b c “Das endg\u00fcltige Glossar des h\u00f6heren mathematischen Jargons”. Math Vault.  1. August 2019.  Abgerufen 20. Oktober 2019.^ “Beweis” New Shorter Oxford English Dictionary, 1993, OUP, Oxford.^ Hacking, Ian (1984) [1975]. Die Entstehung der Wahrscheinlichkeit: Eine philosophische Untersuchung fr\u00fcher Ideen \u00fcber Wahrscheinlichkeit, Induktion und statistische Inferenz.  Cambridge University Press.  ISBN 978-0-521-31803-7.^ ein b Die Geschichte und das Konzept des mathematischen BeweisesSteven G. Krantz.  1. 5. Februar 2007^ Kneale, William;  Kneale, Martha (Mai 1985) [1962]. Die Entwicklung der Logik (Neue Ausgabe).  Oxford University Press.  p.  3. 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Indras Perlen: Die Vision von Felix Klein.  Cambridge University Press.  ISBN 978-0-521-35253-6. Was tun mit den Bildern?  Zwei Gedanken tauchten auf: Der erste war, dass sie auf \u00fcbliche Weise nicht ver\u00f6ffentlicht werden konnten, es gab keine Theoreme, nur sehr suggestive Bilder.  Sie lieferten \u00fcberzeugende Beweise f\u00fcr viele Vermutungen und locken zur weiteren Erforschung, aber Theoreme waren M\u00fcnzen des Reiches, und die Konventionen dieses Tages diktierten, dass Zeitschriften nur Theoreme ver\u00f6ffentlichten.^ “Ein Hinweis zur Geschichte der Fraktale”.  Archiviert von das Original am 15. Februar 2009. Mandelbrot, der im IBM Research Laboratory arbeitete, f\u00fchrte einige Computersimulationen f\u00fcr diese Sets durch, unter der vern\u00fcnftigen Annahme, dass es hilfreich sein k\u00f6nnte, die Antwort im Voraus zu kennen, wenn Sie etwas beweisen m\u00f6chten.^ Lesmoir-Gordon, Nigel (2000). Einf\u00fchrung in die Fraktalgeometrie.  Icon B\u00fccher.  ISBN 978-1-84046-123-7. … wieder nach Benoit nach Hause gebracht [Mandelbrot] dass es eine “Mathematik des Auges” gab, dass die Visualisierung eines Problems eine ebenso g\u00fcltige Methode war wie jede andere, um eine L\u00f6sung zu finden.  Erstaunlicherweise war er mit dieser Vermutung allein.  Der Mathematikunterricht in Frankreich wurde von einer Handvoll dogmatischer Mathematiker dominiert, die sich hinter dem Pseudonym ‘Bourbaki’ versteckten …^ Herbst, Patricio G. (2002). “Etablierung eines Beweisbrauchs in der amerikanischen Schulgeometrie: Entwicklung des zweis\u00e4uligen Beweises im fr\u00fchen 20. Jahrhundert” (PDF). Didaktik der Mathematik. 49 (3): 283\u2013312.  doi:10.1023 \/ A: 1020264906740.^ Dr. Fisher Burns. “Einf\u00fchrung in den zweispaltigen Beweis”. onemathematicalcat.org.  Abgerufen 15. Oktober 2009.Weiterf\u00fchrende Literatur[edit]P\u00f3lya, G. (1954), Mathematik und plausibles Denken, Princeton University Press.Fallis, Don (2002), “Was wollen Mathematiker? Probabilistische Beweise und die erkenntnistheoretischen Ziele von Mathematikern”, Logique et Analyze, 45: 373\u201388.Franklin, J.;  Daoud, A. (2011), Beweis in der Mathematik: Eine Einf\u00fchrung, Kew Books, ISBN 978-0-646-54509-7.Gold, Bonnie;  Simons, Rogers A. (2008). Beweis und andere Dilemmata: Mathematik und Philosophie.  MAA.Solow, D. (2004), Wie man Beweise liest und macht: Eine Einf\u00fchrung in mathematische Denkprozesse, Wiley, ISBN 978-0-471-68058-1.Velleman, D. (2006), Wie man es beweist: Ein strukturierter Ansatz, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-67599-4.Externe Links[edit]Nachsehen Beweis  in Wiktionary, dem kostenlosen W\u00f6rterbuch."},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/26\/mathematischer-beweis-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Mathematischer Beweis – Wikipedia"}}]}]