Abstrakte Indexnotation – Wikipedia

Abstrakte Indexnotation ist eine mathematische Notation für Tensoren und Spinoren, die Indizes verwendet, um ihre Typen und nicht ihre Komponenten auf einer bestimmten Basis anzugeben. Die Indizes sind lediglich Platzhalter, die auf keiner Basis basieren und insbesondere nicht numerisch sind. Daher sollte es nicht mit dem Ricci-Kalkül verwechselt werden. Die Notation wurde von Roger Penrose eingeführt, um die formalen Aspekte der Einstein-Summationskonvention zu nutzen, um die Schwierigkeit bei der Beschreibung von Kontraktionen und kovarianten Differenzierungen in der modernen abstrakten Tensornotation zu kompensieren und gleichzeitig die explizite Kovarianz der beteiligten Ausdrücke beizubehalten.

Lassen

${ displaystyle V}$

ein Vektorraum sein, und

${ displaystyle V ^ {*}}$

es ist dual. Betrachten Sie zum Beispiel einen kovarianten Tensor der Ordnung 2

${ displaystyle h in V ^ {*} otimes V ^ {*}}$

. Dann

${ displaystyle h}$

kann mit einer bilinearen Form identifiziert werden

${ displaystyle V}$

. Mit anderen Worten, es ist eine Funktion von zwei Argumenten in

${ displaystyle V}$

die als ein Paar von dargestellt werden kann Schlüssel::

${ displaystyle h = h (-, -).}$

Die abstrakte Indexnotation ist lediglich eine Beschriftung der Slots mit lateinischen Buchstaben, die außer ihrer Bezeichnung als Beschriftung der Slots keine Bedeutung haben (dh sie sind nicht numerisch):

${ displaystyle h = h_ {ab}.}$

Eine Tensorkontraktion (oder -spur) zwischen zwei Tensoren wird durch die Wiederholung eines Indexetiketts dargestellt, wobei ein Etikett kontravariant ist (an oberer Index entsprechend dem Faktor

${ displaystyle V}$

) und ein Label ist kovariant (a niedrigerer Index entsprechend dem Faktor

${ displaystyle V ^ {*}}$

). So zum Beispiel

${ displaystyle {t_ {ab}} ^ {b}}$

ist die Spur eines Tensors

${ displaystyle t = {t_ {ab}} ^ {c}}$

über die letzten beiden Slots. Diese Art der Darstellung von Tensorkontraktionen durch wiederholte Indizes ähnelt formal der Einstein-Summationskonvention. Da die Indizes jedoch nicht numerisch sind, bedeutet dies keine Summierung, sondern entspricht der abstrakten basenunabhängigen Trace-Operation (oder natürlichen Paarung) zwischen Tensorfaktoren des Typs

${ displaystyle V}$

und solche vom Typ

${ displaystyle V ^ {*}}$

.

Abstrakte Indizes und Tensorräume[edit]

Ein allgemeiner homogener Tensor ist ein Element eines Tensorprodukts von Kopien von

${ displaystyle V}$

und

${ displaystyle V ^ {*}}$

, sowie

${ displaystyle V otimes V ^ {*} otimes V ^ {*} otimes V otimes V ^ {*}.}$

Beschriften Sie jeden Faktor in diesem Tensorprodukt mit einem lateinischen Buchstaben in erhöhter Position für jede Kontravariante

${ displaystyle V}$

Faktor und in einer abgesenkten Position für jede Kovariante

${ displaystyle V ^ {*}}$

Position. Schreiben Sie auf diese Weise das Produkt als

${ displaystyle V ^ {a} V_ {b} V_ {c} V ^ {d} V_ {e}}$

oder einfach

${ displaystyle {{{V ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e}.}$

Die letzten beiden Ausdrücke bezeichnen dasselbe Objekt wie der erste. Tensoren dieses Typs werden mit einer ähnlichen Notation bezeichnet, zum Beispiel:

${ displaystyle {{{h ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e} in {{{V ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e } = V otimes V ^ {*} otimes V ^ {*} otimes V otimes V ^ {*}.}$

Kontraktion[edit]

Im Allgemeinen ist immer dann, wenn eine Kontravariante und ein Kovariantenfaktor in einem Tensorprodukt von Räumen auftreten, eine Assoziation vorhanden Kontraktion (oder Spur) Karte. Zum Beispiel,

${ displaystyle mathrm {Tr} _ {12}: V otimes V ^ {*} otimes V ^ {*} otimes V otimes V ^ {*} bis V ^ {*} otimes V otimes V ^ {*}}$

ist die Spur auf den ersten beiden Feldern des Tensorprodukts.

${ displaystyle mathrm {Tr} _ {15}: V otimes V ^ {*} otimes V ^ {*} otimes V otimes V ^ {*} bis V ^ {*} otimes V ^ { *} otimes V}$

ist die Spur im ersten und letzten Feld.

Diese Verfolgungsoperationen werden auf Tensoren durch die Wiederholung eines Index angezeigt. Somit ist die erste Trace-Map gegeben durch

${ displaystyle mathrm {Tr} _ {12}: {{{h ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e} mapsto {{{h ^ {a}} _ {ac }} ^ {d}} _ {e}}$

und der zweite von

${ displaystyle mathrm {Tr} _ {15}: {{{h ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e} mapsto {{{h ^ {a}} _ {bc }} ^ {d}} _ {a}.}$

Flechten[edit]

Jedem Tensorprodukt auf einem einzelnen Vektorraum sind Flechtkarten zugeordnet. Zum Beispiel die Flechtkarte

${ displaystyle tau _ {(12)}: V otimes V rightarrow V otimes V}$

vertauscht die beiden Tensorfaktoren (so dass seine Wirkung auf einfache Tensoren gegeben ist durch

${ displaystyle tau _ {(12)} (v otimes w) = w otimes v}$

). Im Allgemeinen stimmen die Flechtkarten eins zu eins mit Elementen der symmetrischen Gruppe überein, indem sie die Tensorfaktoren permutieren. Hier verwenden wir

${ displaystyle tau _ { sigma}}$

um die der Permutation zugeordnete Flechtkarte zu bezeichnen

${ displaystyle sigma}$

(dargestellt als Produkt disjunkter zyklischer Permutationen).

Flechtkarten sind beispielsweise in der Differentialgeometrie wichtig, um die Bianchi-Identität auszudrücken. Hier lassen

${ displaystyle R}$

bezeichnen den Riemannschen Tensor, der als Tensor in angesehen wird

${ displaystyle V ^ {*} otimes V ^ {*} otimes V ^ {*} otimes V}$

. Die erste Bianchi-Identität behauptet dies dann

${ displaystyle R + tau _ {(123)} R + tau _ {(132)} R = 0.}$

Die abstrakte Indexnotation behandelt das Flechten wie folgt. Bei einem bestimmten Tensorprodukt ist eine Reihenfolge der abstrakten Indizes festgelegt (normalerweise handelt es sich um eine lexikografische Reihenfolge). Das Geflecht wird dann in Notation dargestellt, indem die Beschriftungen der Indizes permutiert werden. So zum Beispiel mit dem Riemann-Tensor

${ displaystyle R = {R_ {abc}} ^ {d} in {V_ {abc}} ^ {d} = V ^ {*} otimes V ^ {*} otimes V ^ {*} otimes V. ,}$

Die Bianchi-Identität wird

${ displaystyle {R_ {abc}} ^ {d} + {R_ {cab}} ^ {d} + {R_ {bca}} ^ {d} = 0.}$

Antisymmetrisierung und Symmetrisierung[edit]

Ein allgemeiner Tensor kann antisymmetrisiert oder symmetrisiert sein, und es gibt eine entsprechende Notation.

Wir demonstrieren die Notation anhand eines Beispiels. Lassen Sie uns den Typ- (0,3) -Tensor antisymmetrisieren

${ displaystyle omega _ {abc}}$

, wo

${ displaystyle Sigma _ {3}}$

ist die symmetrische Gruppe auf drei Elementen.

${ displaystyle omega _ {[abc]}: = { frac {1} {3!}} sum _ { sigma in Sigma _ {3}} (- 1) ^ {{ text {sgn}} ( sigma)} omega _ { sigma (a) sigma (b) sigma (c)}}$

Ebenso können wir symmetrisieren:

${ displaystyle omega _ {(abc)}: = { frac {1} {3!}} sum _ { sigma in Sigma _ {3}} omega _ { sigma (a) sigma (b) sigma (c)}}$

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

• Roger Penrose, Der Weg zur Realität: Ein vollständiger Leitfaden zu den Gesetzen des Universums, 2004, hat ein Kapitel, das es erklärt.
• Roger Penrose und Wolfgang Rindler, Spinoren und Raumzeit, Band I, Zwei-Spinor-Kalkül und relativistische Felder.