[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/27\/abstrakte-indexnotation-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/27\/abstrakte-indexnotation-wikipedia\/","headline":"Abstrakte Indexnotation – Wikipedia","name":"Abstrakte Indexnotation – Wikipedia","description":"before-content-x4 Abstrakte Indexnotation ist eine mathematische Notation f\u00fcr Tensoren und Spinoren, die Indizes verwendet, um ihre Typen und nicht ihre","datePublished":"2020-12-27","dateModified":"2020-12-27","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/27\/abstrakte-indexnotation-wikipedia\/","wordCount":6557,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Abstrakte Indexnotation ist eine mathematische Notation f\u00fcr Tensoren und Spinoren, die Indizes verwendet, um ihre Typen und nicht ihre Komponenten auf einer bestimmten Basis anzugeben.  Die Indizes sind lediglich Platzhalter, die auf keiner Basis basieren und insbesondere nicht numerisch sind.  Daher sollte es nicht mit dem Ricci-Kalk\u00fcl verwechselt werden.  Die Notation wurde von Roger Penrose eingef\u00fchrt, um die formalen Aspekte der Einstein-Summationskonvention zu nutzen, um die Schwierigkeit bei der Beschreibung von Kontraktionen und kovarianten Differenzierungen in der modernen abstrakten Tensornotation zu kompensieren und gleichzeitig die explizite Kovarianz der beteiligten Ausdr\u00fccke beizubehalten.  Lassen V.{ displaystyle V}  ein Vektorraum sein, und V.\u2217{ displaystyle V ^ {*}}  es ist dual.  Betrachten Sie zum Beispiel einen kovarianten Tensor der Ordnung 2  h\u2208V.\u2217\u2297V.\u2217{ displaystyle h  in V ^ {*}  otimes V ^ {*}}.  Dann h{ displaystyle h}  kann mit einer bilinearen Form identifiziert werden V.{ displaystyle V}.  Mit anderen Worten, es ist eine Funktion von zwei Argumenten in V.{ displaystyle V}  die als ein Paar von dargestellt werden kann Schl\u00fcssel::  h=h((– –,– –).{ displaystyle h = h (-, -).}Die abstrakte Indexnotation ist lediglich eine Beschriftung der Slots mit lateinischen Buchstaben, die au\u00dfer ihrer Bezeichnung als Beschriftung der Slots keine Bedeutung haben (dh sie sind nicht numerisch):h=heinb.{ displaystyle h = h_ {ab}.}Eine Tensorkontraktion (oder -spur) zwischen zwei Tensoren wird durch die Wiederholung eines Indexetiketts dargestellt, wobei ein Etikett kontravariant ist (an oberer Index entsprechend dem Faktor V.{ displaystyle V}) und ein Label ist kovariant (a niedrigerer Index entsprechend dem Faktor V.\u2217{ displaystyle V ^ {*}}).  So zum Beispielteinbb{ displaystyle {t_ {ab}} ^ {b}}ist die Spur eines Tensors t=teinbc{ displaystyle t = {t_ {ab}} ^ {c}}  \u00fcber die letzten beiden Slots.  Diese Art der Darstellung von Tensorkontraktionen durch wiederholte Indizes \u00e4hnelt formal der Einstein-Summationskonvention.  Da die Indizes jedoch nicht numerisch sind, bedeutet dies keine Summierung, sondern entspricht der abstrakten basenunabh\u00e4ngigen Trace-Operation (oder nat\u00fcrlichen Paarung) zwischen Tensorfaktoren des Typs V.{ displaystyle V}  und solche vom Typ V.\u2217{ displaystyle V ^ {*}}.Table of ContentsAbstrakte Indizes und Tensorr\u00e4ume[edit]Kontraktion[edit]Flechten[edit]Antisymmetrisierung und Symmetrisierung[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Abstrakte Indizes und Tensorr\u00e4ume[edit]Ein allgemeiner homogener Tensor ist ein Element eines Tensorprodukts von Kopien von V.{ displaystyle V}  und V.\u2217{ displaystyle V ^ {*}}, sowieV.\u2297V.\u2217\u2297V.\u2217\u2297V.\u2297V.\u2217.{ displaystyle V  otimes V ^ {*}  otimes V ^ {*}  otimes V  otimes V ^ {*}.}Beschriften Sie jeden Faktor in diesem Tensorprodukt mit einem lateinischen Buchstaben in erh\u00f6hter Position f\u00fcr jede Kontravariante V.{ displaystyle V}  Faktor und in einer abgesenkten Position f\u00fcr jede Kovariante V.\u2217{ displaystyle V ^ {*}}  Position.  Schreiben Sie auf diese Weise das Produkt alsV.einV.bV.cV.dV.e{ displaystyle V ^ {a} V_ {b} V_ {c} V ^ {d} V_ {e}}oder einfachV.einbcde.{ displaystyle {{{V ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e}.}Die letzten beiden Ausdr\u00fccke bezeichnen dasselbe Objekt wie der erste.  Tensoren dieses Typs werden mit einer \u00e4hnlichen Notation bezeichnet, zum Beispiel:heinbcde\u2208V.einbcde=V.\u2297V.\u2217\u2297V.\u2217\u2297V.\u2297V.\u2217.{ displaystyle {{{h ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e}  in {{{V ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e } = V  otimes V ^ {*}  otimes V ^ {*}  otimes V  otimes V ^ {*}.}Kontraktion[edit]Im Allgemeinen ist immer dann, wenn eine Kontravariante und ein Kovariantenfaktor in einem Tensorprodukt von R\u00e4umen auftreten, eine Assoziation vorhanden Kontraktion (oder Spur) Karte.  Zum Beispiel,T.r12::V.\u2297V.\u2217\u2297V.\u2217\u2297V.\u2297V.\u2217\u2192V.\u2217\u2297V.\u2297V.\u2217{ displaystyle  mathrm {Tr} _ {12}: V  otimes V ^ {*}  otimes V ^ {*}  otimes V  otimes V ^ {*}  bis V ^ {*}  otimes V  otimes V ^ {*}}ist die Spur auf den ersten beiden Feldern des Tensorprodukts.T.r15::V.\u2297V.\u2217\u2297V.\u2217\u2297V.\u2297V.\u2217\u2192V.\u2217\u2297V.\u2217\u2297V.{ displaystyle  mathrm {Tr} _ {15}: V  otimes V ^ {*}  otimes V ^ {*}  otimes V  otimes V ^ {*}  bis V ^ {*}  otimes V ^ { *}  otimes V}ist die Spur im ersten und letzten Feld.Diese Verfolgungsoperationen werden auf Tensoren durch die Wiederholung eines Index angezeigt.  Somit ist die erste Trace-Map gegeben durchT.r12::heinbcde\u21a6heineincde{ displaystyle  mathrm {Tr} _ {12}: {{{h ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e}  mapsto {{{h ^ {a}} _ {ac }} ^ {d}} _ {e}}und der zweite vonT.r15::heinbcde\u21a6heinbcdein.{ displaystyle  mathrm {Tr} _ {15}: {{{h ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e}  mapsto {{{h ^ {a}} _ {bc }} ^ {d}} _ {a}.}Flechten[edit]Jedem Tensorprodukt auf einem einzelnen Vektorraum sind Flechtkarten zugeordnet.  Zum Beispiel die Flechtkarte\u03c4((12)::V.\u2297V.\u2192V.\u2297V.{ displaystyle  tau _ {(12)}: V  otimes V  rightarrow V  otimes V}vertauscht die beiden Tensorfaktoren (so dass seine Wirkung auf einfache Tensoren gegeben ist durch \u03c4((12)((v\u2297w)=w\u2297v{ displaystyle  tau _ {(12)} (v  otimes w) = w  otimes v}).  Im Allgemeinen stimmen die Flechtkarten eins zu eins mit Elementen der symmetrischen Gruppe \u00fcberein, indem sie die Tensorfaktoren permutieren.  Hier verwenden wir \u03c4\u03c3{ displaystyle  tau _ { sigma}}  um die der Permutation zugeordnete Flechtkarte zu bezeichnen \u03c3{ displaystyle  sigma}  (dargestellt als Produkt disjunkter zyklischer Permutationen).Flechtkarten sind beispielsweise in der Differentialgeometrie wichtig, um die Bianchi-Identit\u00e4t auszudr\u00fccken.  Hier lassen R.{ displaystyle R}  bezeichnen den Riemannschen Tensor, der als Tensor in angesehen wird V.\u2217\u2297V.\u2217\u2297V.\u2217\u2297V.{ displaystyle V ^ {*}  otimes V ^ {*}  otimes V ^ {*}  otimes V}.  Die erste Bianchi-Identit\u00e4t behauptet dies dannR.+\u03c4((123)R.+\u03c4((132)R.=0.{ displaystyle R +  tau _ {(123)} R +  tau _ {(132)} R = 0.}Die abstrakte Indexnotation behandelt das Flechten wie folgt.  Bei einem bestimmten Tensorprodukt ist eine Reihenfolge der abstrakten Indizes festgelegt (normalerweise handelt es sich um eine lexikografische Reihenfolge).  Das Geflecht wird dann in Notation dargestellt, indem die Beschriftungen der Indizes permutiert werden.  So zum Beispiel mit dem Riemann-TensorR.=R.einbcd\u2208V.einbcd=V.\u2217\u2297V.\u2217\u2297V.\u2217\u2297V.,{ displaystyle R = {R_ {abc}} ^ {d}  in {V_ {abc}} ^ {d} = V ^ {*}  otimes V ^ {*}  otimes V ^ {*}  otimes V. ,}Die Bianchi-Identit\u00e4t wirdR.einbcd+R.ceinbd+R.bceind=0.{ displaystyle {R_ {abc}} ^ {d} + {R_ {cab}} ^ {d} + {R_ {bca}} ^ {d} = 0.}Antisymmetrisierung und Symmetrisierung[edit]Ein allgemeiner Tensor kann antisymmetrisiert oder symmetrisiert sein, und es gibt eine entsprechende Notation.Wir demonstrieren die Notation anhand eines Beispiels.  Lassen Sie uns den Typ- (0,3) -Tensor antisymmetrisieren \u03c9einbc{ displaystyle  omega _ {abc}}, wo \u03a33{ displaystyle  Sigma _ {3}}  ist die symmetrische Gruppe auf drei Elementen.\u03c9[abc]: =13!\u2211\u03c3\u2208\u03a33((– –1)sgn((\u03c3)\u03c9\u03c3((ein)\u03c3((b)\u03c3((c){ displaystyle  omega _ {[abc]}: = { frac {1} {3!}}  sum _ { sigma  in  Sigma _ {3}} (- 1) ^ {{ text {sgn}} ( sigma)}  omega _ { sigma (a)  sigma (b)  sigma (c)}}Ebenso k\u00f6nnen wir symmetrisieren:\u03c9((einbc): =13!\u2211\u03c3\u2208\u03a33\u03c9\u03c3((ein)\u03c3((b)\u03c3((c){ displaystyle  omega _ {(abc)}: = { frac {1} {3!}}  sum _ { sigma  in  Sigma _ {3}}  omega _ { sigma (a)  sigma (b)  sigma (c)}}Siehe auch[edit]Verweise[edit]Roger Penrose, Der Weg zur Realit\u00e4t: Ein vollst\u00e4ndiger Leitfaden zu den Gesetzen des Universums, 2004, hat ein Kapitel, das es erkl\u00e4rt.Roger Penrose und Wolfgang Rindler, Spinoren und Raumzeit, Band I, Zwei-Spinor-Kalk\u00fcl und relativistische Felder.     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/27\/abstrakte-indexnotation-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Abstrakte Indexnotation – Wikipedia"}}]}]