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Arithmetische Operation

20/4 = 5, hier mit Äpfeln dargestellt. Dies wird mündlich gesagt: “Zwanzig geteilt durch vier gleich fünf.”

Teilung ist eine der vier Grundoperationen der Arithmetik, die Art und Weise, wie Zahlen zu neuen Zahlen kombiniert werden. Die anderen Operationen sind Addition, Subtraktion und Multiplikation (was als Umkehrung der Division angesehen werden kann). Das Teilungszeichen ÷Ein Symbol, das aus einer kurzen horizontalen Linie mit einem Punkt darüber und einem weiteren Punkt unten besteht, wird häufig verwendet, um die mathematische Teilung anzuzeigen. Obwohl diese Verwendung in anglophonen Ländern weit verbreitet ist, ist sie weder universell noch empfehlenswert: Die Norm ISO 80000-2 für die mathematische Notation empfiehlt nur den Solidus /. oder Bruchbalken für die Teilung oder der Doppelpunkt für Verhältnisse; es heißt, dass dieses Symbol “nicht verwendet werden sollte” für die Teilung.^[1]

Auf elementarer Ebene ist die Aufteilung zweier natürlicher Zahlen – neben anderen möglichen Interpretationen – der Prozess der Berechnung der Häufigkeit, mit der eine Zahl in einer anderen enthalten ist.^[2]::7 Diese Anzahl von Malen ist nicht immer eine ganze Zahl (eine Zahl, die unter Verwendung der anderen arithmetischen Operationen für die natürlichen Zahlen erhalten werden kann), was zu zwei unterschiedlichen Konzepten führte.^{[citation needed]}

Die Division mit Rest oder euklidischer Division zweier natürlicher Zahlen liefert a QuotientDies ist die Häufigkeit, mit der der zweite im ersten enthalten ist, und a RestDies ist der Teil der ersten Zahl, der verbleibt, wenn im Verlauf der Berechnung des Quotienten kein weiterer vollständiger Teil der Größe der zweiten Zahl zugewiesen werden kann.

Damit eine Modifikation dieser Division nur ein einziges Ergebnis liefert, müssen die natürlichen Zahlen auf rationale Zahlen (die Zahlen, die durch Arithmetik für natürliche Zahlen erhalten werden können) oder reelle Zahlen erweitert werden. In diesen Systemen mit vergrößerter Zahl ist Division die inverse Operation zur Multiplikation, d. H. ein = c /. b meint ein × b = c, so lange wie b ist nicht Null. Wenn b = 0, dann ist dies eine Division durch Null, die nicht definiert ist.^[a][5]::246

Beide Formen der Teilung treten in verschiedenen algebraischen Strukturen auf, verschiedene Arten der Definition der mathematischen Struktur. Diejenigen, in denen eine euklidische Division (mit Rest) definiert ist, werden als euklidische Domänen bezeichnet und enthalten Polynomringe in einer unbestimmten (die Multiplikation und Addition über einfach variierbare Formeln definieren). Diejenigen, in denen eine Division (mit einem einzigen Ergebnis) durch alle Nicht-Null-Elemente definiert ist, werden Felder und Divisionsringe genannt. In einem Ring werden die Elemente, durch die eine Division immer möglich ist, als Einheiten bezeichnet (z. B. 1 und –1 im Ring der ganzen Zahlen). Eine weitere Verallgemeinerung der Division in algebraische Strukturen ist die Quotientengruppe, bei der das Ergebnis der ‘Division’ eher eine Gruppe als eine Zahl ist.

Einführung[edit]

Die einfachste Art, die Aufteilung zu betrachten, besteht in Bezug auf Zitat und Aufteilung: aus der Perspektive des Zitats, 20/5 bedeutet die Anzahl der 5s, die hinzugefügt werden müssen, um 20 zu erhalten. 20/5 bedeutet die Größe von jeweils 5 Teilen, in die ein Satz der Größe 20 unterteilt ist. Zum Beispiel teilen sich 20 Äpfel in fünf Gruppen von vier Äpfeln, was bedeutet, dass zwanzig geteilt durch fünf ist gleich vier. Dies wird als bezeichnet 20/5 = 4, oder 20/.5 = 4.^[3] Was geteilt wird, heißt das Dividende, die durch die geteilt wird Divisorund das Ergebnis heißt das Quotient. Im Beispiel ist 20 die Dividende, 5 der Divisor und 4 der Quotient.

Im Gegensatz zu den anderen Grundoperationen gibt es beim Teilen natürlicher Zahlen manchmal einen Rest, der nicht gleichmäßig in die Dividende fließt. zum Beispiel, 10/3 hinterlässt einen Rest von 1, da 10 kein Vielfaches von 3 ist. Manchmal wird dieser Rest dem Quotienten als Bruchteil hinzugefügt, also 10/3 entspricht 3+1/.3 oder 3,33 …Im Kontext der Ganzzahldivision, bei der Zahlen keinen Bruchteil haben, wird der Rest jedoch separat aufbewahrt (ausnahmsweise verworfen oder gerundet).^[6] Wenn der Rest als Bruch gehalten wird, führt dies zu einer rationalen Zahl. Die Menge aller rationalen Zahlen wird durch Erweitern der ganzen Zahlen mit allen möglichen Ergebnissen der Teilung von ganzen Zahlen erzeugt.

Im Gegensatz zu Multiplikation und Addition ist Division nicht kommutativ, was bedeutet, dass ein /. b ist nicht immer gleich b /. ein.^[7] Division ist im Allgemeinen auch nicht assoziativ, was bedeutet, dass bei mehrmaliger Division die Reihenfolge der Division das Ergebnis ändern kann.^[8] Zum Beispiel, (20/5) / 2 = 2, aber 20 / (5/2) = 8 (wobei die Verwendung von Klammern angibt, dass die Operationen in Klammern vor den Operationen außerhalb von Klammern ausgeführt werden).

Die Teilung wird jedoch traditionell als linksassoziativ angesehen. Das heißt, wenn mehrere Unterteilungen in einer Reihe vorhanden sind, geht die Berechnungsreihenfolge von links nach rechts:^[9][10]

${ Anzeigestil a / b / c = (a / b) / c = a / (b mal c) neq a / (b / c) = (a mal c) / b.}$

Die Division ist über Addition und Subtraktion in dem Sinne rechtsverteilend

${ displaystyle { frac {a pm b} {c}} = (a pm b) / c = (a / c) pm (b / c) = { frac {a} {c}} pm { frac {b} {c}}.}$

Dies gilt auch für die Multiplikation als ${ displaystyle (a + b) mal c = a mal c + b mal c}$. Die Teilung ist jedoch nicht linksverteilend, as

${ displaystyle { frac {a} {b + c}} = a / (b + c) neq (a / b) + (a / c) = { frac {ac + ab} {bc}}. }}$

Dies ist anders als bei der Multiplikation, die sowohl linksverteilend als auch rechtsverteilend und somit verteilend ist.

Notation[edit]

Plus und Minuspunkte. Ein Obelus, der als Variante des Minuszeichens in einem Auszug aus einem offiziellen norwegischen Handelsausweisformular mit dem Namen «Næringsoppgave 1» für das Steuerjahr 2010 verwendet wird.

Die Teilung wird in Algebra und Wissenschaft häufig durch Platzieren der Dividende über dem Divisor mit einer horizontalen Linie, auch Bruchbalken genannt, zwischen ihnen. Zum Beispiel, “ein geteilt durch b“kann geschrieben werden als:

${ displaystyle { frac {a} {b}}}$

was auch laut als “teilen” vorgelesen werden kann ein durch b” oder “ein Über b“. Eine Möglichkeit, die Teilung in einer Zeile auszudrücken, besteht darin, die zu schreiben Dividende (oder Zähler), dann ein Schrägstrich, dann die Divisor (oder Nenner) wie folgt:

${ displaystyle a / b}$

Dies ist die übliche Art, die Unterteilung in den meisten Computerprogrammiersprachen anzugeben, da sie leicht als einfache Folge von ASCII-Zeichen eingegeben werden kann. Einige mathematische Programme wie MATLAB und GNU Octave ermöglichen das Schreiben der Operanden in umgekehrter Reihenfolge, indem der Backslash als Divisionsoperator verwendet wird:

${ displaystyle b backslash a}$

Eine typografische Variation auf halbem Weg zwischen diesen beiden Formen verwendet einen Solidus (Bruchstrich), erhöht jedoch die Dividende und senkt den Divisor:

${ displaystyle {} ^ {a} / {} _ {b}}$

Jedes dieser Formulare kann verwendet werden, um einen Bruch anzuzeigen. Ein Bruch ist ein Divisionsausdruck, bei dem sowohl Dividende als auch Divisor ganze Zahlen sind (normalerweise als Zähler und Nenner), und es gibt keine Implikation, dass die Aufteilung weiter bewertet werden muss. Eine zweite Möglichkeit, die Teilung anzuzeigen, besteht darin, das in der Arithmetik übliche Teilungszeichen (÷, auch als Obelus bekannt, obwohl der Begriff zusätzliche Bedeutungen hat) auf folgende Weise zu verwenden:

${ displaystyle a div b}$

Diese Form ist selten, außer in der Elementararithmetik. ISO 80000-2-9.6 besagt, dass es nicht verwendet werden sollte. Dieses Teilungszeichen wird auch allein verwendet, um die Teilungsoperation selbst darzustellen, beispielsweise als Beschriftung auf einem Schlüssel eines Taschenrechners. Der Obelus wurde 1659 vom Schweizer Mathematiker Johann Rahn eingeführt Teutsche Algebra.^[11]::211 Das Symbol ÷ wird verwendet, um die Subtraktion in einigen europäischen Ländern anzuzeigen, sodass die Verwendung möglicherweise missverstanden wird.

In einigen nicht englischsprachigen Ländern wird ein Doppelpunkt verwendet, um die Teilung zu bezeichnen:^[12]

${ displaystyle a: b}$

Diese Notation wurde 1684 von Gottfried Wilhelm Leibniz eingeführt Acta eruditorum.^[11]::295 Leibniz mochte es nicht, getrennte Symbole für Verhältnis und Teilung zu haben. Im englischen Sprachgebrauch beschränkt sich der Doppelpunkt jedoch darauf, das verwandte Konzept der Verhältnisse auszudrücken.

Seit dem 19. Jahrhundert werden US-Lehrbücher verwendet ${ displaystyle b) a}$ oder ${ displaystyle b { overline {) a}}}$ zu bezeichnen ein geteilt durch bvor allem, wenn es um lange Teilung geht. Die Geschichte dieser Notation ist nicht ganz klar, da sie sich im Laufe der Zeit entwickelt hat.^[13]

Computing[edit]

Manuelle Methoden[edit]

Die Unterteilung wird häufig durch den Begriff der “Aufteilung” einer Reihe von Objekten, beispielsweise eines Haufens von Lollies, in mehrere gleiche Teile eingeführt. Das Verteilen der Objekte auf mehrere Teile gleichzeitig in jeder Teilungsrunde auf jeden Teil führt zu der Idee des “Aufteilens” – einer Form der Teilung, bei der wiederholt ein Vielfaches des Teilers von der Dividende selbst subtrahiert wird.

Indem man erlaubt, mehr Vielfache zu subtrahieren, als der Teilrest in einem bestimmten Stadium zulässt, können auch flexiblere Methoden wie die bidirektionale Variante des Chunking entwickelt werden.^[14]

Eine Person, die die Multiplikationstabellen kennt, ist systematischer und effizienter (aber auch formalisierter, regelbasierter und von einem ganzheitlichen Gesamtbild der erzielten Division entfernt) und kann mit der Methode von zwei ganze Zahlen mit Bleistift und Papier teilen kurze Division, wenn der Divisor klein ist, oder lange Division, wenn der Divisor größer ist. Wenn die Dividende einen Bruchteil hat (ausgedrückt als Dezimalbruch), kann der Algorithmus so weit wie gewünscht über die Stelle hinaus fortgesetzt werden. Wenn der Divisor einen Bruchteil hat, kann man das Problem wiederholen, indem man die Dezimalstelle in beiden Zahlen nach rechts verschiebt, bis der Divisor keinen Bruch hat.

Eine Person kann die Teilung mit einem Abakus berechnen.^[15]

Eine Person kann Logarithmentabellen verwenden, um zwei Zahlen zu teilen, indem sie die Logarithmen der beiden Zahlen subtrahiert und dann den Antilogarithmus des Ergebnisses nachschlägt.

Eine Person kann die Division mit einem Rechenschieber berechnen, indem sie den Divisor auf der C-Skala mit der Dividende auf der D-Skala ausrichtet. Der Quotient befindet sich auf der D-Skala, wo er mit dem linken Index auf der C-Skala ausgerichtet ist. Der Benutzer ist jedoch dafür verantwortlich, den Dezimalpunkt mental zu verfolgen.

Per Computer oder mit Computerunterstützung[edit]

Moderne Computer berechnen die Division durch Methoden, die schneller als die lange Division sind, wobei die effizienteren auf Approximationstechniken aus der numerischen Analyse beruhen. Informationen zur Division mit Rest finden Sie unter Divisionsalgorithmus.

In der modularen Arithmetik (Modulo eine Primzahl) und für reelle Zahlen haben Zahlen ungleich Null eine multiplikative Inverse. In diesen Fällen erfolgt eine Division durch x kann als Produkt durch die multiplikative Inverse von berechnet werden x. Dieser Ansatz ist häufig mit den schnelleren Methoden in der Computerarithmetik verbunden.

Aufteilung in verschiedene Kontexte[edit]

Euklidische Teilung[edit]

Die euklidische Division ist die mathematische Formulierung des Ergebnisses des üblichen Prozesses der Division von ganzen Zahlen. Es wird behauptet, dass bei zwei ganzen Zahlen ein, das Dividende, und b, das Divisor, so dass b ≠ 0, es gibt eindeutige ganze Zahlen q, das Quotient, und r, der Rest, so dass ein = bq + r und 0 ≤ r <|b|, wo |b| bezeichnet den absoluten Wert von b.

Von ganzen Zahlen[edit]

Ganzzahlen werden nicht unter Division geschlossen. Abgesehen davon, dass die Division durch Null undefiniert ist, ist der Quotient keine ganze Zahl, es sei denn, die Dividende ist ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors. Zum Beispiel kann 26 nicht durch 11 geteilt werden, um eine ganze Zahl zu erhalten. In einem solchen Fall wird einer von fünf Ansätzen verwendet:

1. Sagen Sie, dass 26 nicht durch 11 geteilt werden kann; Teilung wird eine Teilfunktion.
2. Geben Sie eine ungefähre Antwort als “echte” Zahl an. Dies ist der Ansatz, der normalerweise bei der numerischen Berechnung verwendet wird.
3. Geben Sie die Antwort als Bruch an, der eine rationale Zahl darstellt. Das Ergebnis der Division von 26 durch 11 ist also ${ displaystyle { tfrac {26} {11}}}$ (oder als gemischte Zahl, also ${ displaystyle { tfrac {26} {11}} = 2 { tfrac {4} {11}}.}$) Normalerweise sollte der resultierende Bruch vereinfacht werden: Das Ergebnis der Division von 52 durch 22 ist auch ${ displaystyle { tfrac {26} {11}}}$. Diese Vereinfachung kann durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers erfolgen.
4. Geben Sie die Antwort als Ganzzahl an Quotient und ein Rest, damit ${ displaystyle { tfrac {26} {11}} = 2 { mbox {rest}} 4.}$ Um die Unterscheidung zum vorherigen Fall zu treffen, wird diese Division mit zwei ganzen Zahlen manchmal genannt Euklidische Teilung, weil es die Basis des euklidischen Algorithmus ist.
5. Geben Sie also den ganzzahligen Quotienten als Antwort an ${ displaystyle { tfrac {26} {11}} = 2.}$ Dies wird manchmal genannt Ganzzahldivision.

Das Teilen von ganzen Zahlen in einem Computerprogramm erfordert besondere Sorgfalt. Einige Programmiersprachen wie C behandeln die Ganzzahldivision wie in Fall 5 oben, daher ist die Antwort eine Ganzzahl. Andere Sprachen wie MATLAB und jedes Computeralgebrasystem geben eine rationale Zahl als Antwort zurück, wie in Fall 3 oben. Diese Sprachen bieten auch Funktionen, um die Ergebnisse der anderen Fälle entweder direkt oder aus dem Ergebnis von Fall 3 zu erhalten.

Namen und Symbole, die für die Ganzzahldivision verwendet werden, umfassen div, /, und%. Die Definitionen variieren in Bezug auf die Ganzzahldivision, wenn die Dividende oder der Divisor negativ ist: Die Rundung kann gegen Null (sogenannte T-Division) oder gegen −∞ (F-Division) erfolgen; Es können seltenere Stile auftreten – Einzelheiten finden Sie unter Modulo-Betrieb.

Teilbarkeitsregeln können manchmal verwendet werden, um schnell zu bestimmen, ob sich eine Ganzzahl genau in eine andere teilt.

Von rationalen Zahlen[edit]

Das Ergebnis der Division zweier rationaler Zahlen ist eine weitere rationale Zahl, wenn der Divisor nicht 0 ist. Die Division zweier rationaler Zahlen p/.q und r/.s kann berechnet werden als

${ displaystyle {p / q über r / s} = {p über q} times {s über r} = {ps über qr}.}$

Alle vier Größen sind ganze Zahlen und nur p kann 0 sein. Diese Definition stellt sicher, dass Division die inverse Operation der Multiplikation ist.

Von reellen Zahlen[edit]

Die Division von zwei reellen Zahlen führt zu einer anderen reellen Zahl (wenn der Divisor ungleich Null ist). Es ist so definiert, dass ein/.b = c dann und nur dann, wenn ein = cb und b ≠ 0.

Von komplexen Zahlen[edit]

Das Teilen von zwei komplexen Zahlen (wenn der Divisor ungleich Null ist) führt zu einer anderen komplexen Zahl, die unter Verwendung des Konjugats des Nenners gefunden wird:

${ displaystyle {p + iq über r + ist} = {(p + iq) (r-ist) über (r + ist) (r-ist)} = {pr + qs + i (qr-ps) über r ^ {2} + s ^ {2}} = {pr + qs über r ^ {2} + s ^ {2}} + i {qr-ps über r ^ {2} + s ^ { 2}}.}$

Dieser Prozess des Multiplizierens und Dividierens durch ${ displaystyle r-is}$ wird “Verwirklichung” oder (analog) Rationalisierung genannt. Alle vier Mengen p, q, r, s sind reelle Zahlen und r und s darf nicht beide 0 sein.

Die Division für komplexe Zahlen in polarer Form ist einfacher als die obige Definition:

${ displaystyle {pe ^ {iq} over re ^ {is}} = {pe ^ {iq} e ^ {- is} over re ^ {is} e ^ {- is}} = {p over r } e ^ {i (qs)}.}$

Wieder alle vier Mengen p, q, r, s sind reelle Zahlen und r darf nicht 0 sein.

Von Polynomen[edit]

Man kann die Divisionsoperation für Polynome in einer Variablen über ein Feld definieren. Dann hat man wie bei ganzen Zahlen einen Rest. Siehe Euklidische Teilung von Polynomen und für handschriftliche Berechnung Polynom-Langteilung oder synthetische Teilung.

Von Matrizen[edit]

Man kann eine Divisionsoperation für Matrizen definieren. Der übliche Weg, dies zu tun, ist zu definieren EIN /. B. = AB⁻¹, wo B.⁻¹ bezeichnet die Umkehrung von B., aber es ist weitaus üblicher zu schreiben AB⁻¹ ausdrücklich, um Verwirrung zu vermeiden. Eine elementweise Unterteilung kann auch in Bezug auf das Hadamard-Produkt definiert werden.

Linke und rechte Teilung[edit]

Da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, kann man auch eine linke Division oder sogenannte definieren Backslash-Division wie EIN . B. = EIN⁻¹B.. Damit dies genau definiert ist, B.⁻¹ muss jedoch nicht existieren EIN⁻¹ muss existieren. Um Verwirrung zu vermeiden, teilen Sie wie definiert durch EIN /. B. = AB⁻¹ wird manchmal genannt rechte Teilung oder Schrägstrich-Teilung in diesem Zusammenhang.

Beachten Sie, dass mit der so definierten linken und rechten Teilung EIN / ((BC) ist im Allgemeinen nicht dasselbe wie ((EIN /. B.) / C., weder noch ((AB) C. das Gleiche wie EIN (B. . C.). Das gilt jedoch EIN / ((BC) = (EIN /. C.) / B. und ((AB) C. = B. (EIN . C.).

Pseudoinverse[edit]

Um Probleme zu vermeiden, wenn EIN⁻¹ und / oder B.⁻¹ nicht existieren, Division kann auch als Multiplikation mit der Pseudoinverse definiert werden. Das ist, EIN /. B. = AB⁺ und EIN . B. = EIN⁺B., wo EIN⁺ und B.⁺ bezeichnen die Pseudoinversen von EIN und B..

Abstrakte Algebra[edit]

In der abstrakten Algebra wird bei einem Magma mit binärer Operation ∗ (das nominell als Multiplikation bezeichnet werden kann) die linke Division von b durch ein (geschrieben ein . b) wird typischerweise als Lösung definiert x zur Gleichung ein ∗ x = b, wenn dies existiert und einzigartig ist. Ebenso die rechte Aufteilung von b durch ein (geschrieben b /. ein) ist die Lösung y zur Gleichung y ∗ ein = b. Eine Teilung in diesem Sinne erfordert nicht, dass ∗ bestimmte Eigenschaften aufweist (wie Kommutativität, Assoziativität oder ein Identitätselement).

“Division” im Sinne von “Stornierung” kann in jedem Magma durch ein Element mit der Stornierungseigenschaft erfolgen. Beispiele sind Matrixalgebren und Quaternionsalgebren. Eine Quasigruppe ist eine Struktur, in der eine Teilung auch ohne Identitätselement immer möglich ist und sich daher umkehrt. In einer integralen Domäne, in der nicht jedes Element eine Umkehrung haben muss, Teilung durch ein stornierendes Element ein kann weiterhin für Elemente des Formulars ausgeführt werden ab oder ca. durch Stornierung nach links bzw. rechts. Wenn ein Ring endlich ist und jedes Nicht-Null-Element aufhebt, ist durch Anwendung des Pigeonhole-Prinzips jedes Nicht-Null-Element des Rings invertierbar, und Teilung durch jedes Element ungleich Null ist möglich. Um zu erfahren, wann Algebren (im technischen Sinne) eine Divisionsoperation haben, siehe Seite über Divisionsalgebren. Insbesondere kann die Bott-Periodizität verwendet werden, um zu zeigen, dass jede reelle normierte Divisionsalgebra entweder zu den reellen Zahlen isomorph sein muss R., die komplexen Zahlen C., die Quaternionen H.oder die Oktonionen Ö.

Infinitesimalrechnung[edit]

Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen ergibt sich aus der Quotientenregel:

${ displaystyle { left ({ frac {f} {g}} right)} ‘= { frac {f’g-fg’} {g ^ {2}}}.}$

Durch Null teilen[edit]

Die Division einer beliebigen Zahl durch Null ist in den meisten mathematischen Systemen undefiniert, da Null multipliziert mit einer endlichen Zahl immer ein Produkt von Null ergibt.^[16] Die Eingabe eines solchen Ausdrucks in die meisten Taschenrechner führt zu einer Fehlermeldung. In bestimmten höheren Mathematikbereichen ist jedoch eine Division durch Null durch den Nullring und Algebren wie Räder möglich.^[17] In diesen Algebren unterscheidet sich die Bedeutung der Teilung von den traditionellen Definitionen.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Externe Links[edit]