Passende Untergruppe – Wikipedia

In der Mathematik, insbesondere im Bereich der als Gruppentheorie bekannten Algebra, ist die Untergruppe anpassen F. einer endlichen Gruppe G, benannt nach Hans Fitting, ist die einzigartig größte normale nilpotente Untergruppe von G. Intuitiv stellt es die kleinste Untergruppe dar, die die Struktur von “steuert” G wann G ist lösbar. Wann G ist nicht lösbar, eine ähnliche Rolle spielt die verallgemeinerte Fitting-Untergruppe F.^{* *}, die von der Untergruppe Fitting und der Komponenten von G.

Für eine beliebige (nicht unbedingt endliche) Gruppe GDie Anpassungsuntergruppe ist definiert als die Untergruppe, die von den nicht potenten normalen Untergruppen von erzeugt wird G. Für unendliche Gruppen ist die Untergruppe Fitting nicht immer nullpotent.

Der Rest dieses Artikels befasst sich ausschließlich mit endlichen Gruppen.

Die Untergruppe Fitting[edit]

Die Nullpotenz der Fitting-Untergruppe einer endlichen Gruppe wird durch den Satz von Fitting garantiert, der besagt, dass das Produkt einer endlichen Sammlung normaler nilpotenter Untergruppen von G ist wieder eine normale nilpotente Untergruppe. Es kann auch explizit als Produkt der p-Kerne von konstruiert werden G über alle Primzahlen p Teilen der Reihenfolge von G.

Wenn G ist eine endliche nicht trivial lösbare Gruppe, dann ist die Fitting-Untergruppe immer nicht trivial, dh wenn G≠ 1 ist also endlich lösbar F.((G) ≠ 1. Ebenso die Fitting-Untergruppe von G/.F.((G) ist nicht trivial, wenn G ist selbst nicht nilpotent und führt zum Konzept der Anpassungslänge. Da die Fitting-Untergruppe einer endlichen lösbaren Gruppe einen eigenen Zentralisierer enthält, bietet dies eine Methode zum Verständnis endlicher lösbarer Gruppen als Erweiterung nilpotenter Gruppen durch getreue Automorphismusgruppen nilpotenter Gruppen.

In einer nicht potenten Gruppe wird jeder Hauptfaktor durch jedes Element zentralisiert. Wenn man den Zustand etwas lockert und die Untergruppe der Elemente einer allgemeinen endlichen Gruppe nimmt, die jeden Hauptfaktor zentralisiert, erhält man einfach wieder die Untergruppe Fitting (Huppert 1967, Kap.VI, Satz 5.4, S.686):

${ displaystyle operatorname {Fit} (G) = bigcap {C_ {G} (H / K): H / K { text {ein Hauptfaktor von}} G }.}$

Die Verallgemeinerung auf p-nilpotente Gruppen ist ähnlich.

Die verallgemeinerte Fitting-Untergruppe[edit]

EIN Komponente einer Gruppe ist eine subnormale Quasisimple-Untergruppe. (Eine Gruppe ist quasisimple wenn es eine perfekte zentrale Erweiterung einer einfachen Gruppe ist.) Die Schicht E.((G) oder L.((G) einer Gruppe ist die von allen Komponenten erzeugte Untergruppe. Zwei beliebige Komponenten einer Gruppe pendeln, sodass die Ebene eine perfekte zentrale Erweiterung eines Produkts einfacher Gruppen darstellt und die größte normale Untergruppe von ist G mit dieser Struktur. Die verallgemeinerte Fitting-Untergruppe F.^{* *}((G) ist die von der Schicht und der Anpassungsuntergruppe erzeugte Untergruppe. Die Ebene pendelt mit der Fitting-Untergruppe, sodass die verallgemeinerte Fitting-Untergruppe eine zentrale Erweiterung eines Produkts von ist p-Gruppen und einfache Gruppen.

Die Ebene ist auch die maximale normale Semisimple-Untergruppe, in der eine Gruppe aufgerufen wird halb einfach wenn es eine perfekte zentrale Erweiterung eines Produkts einfacher Gruppen ist.

Diese Definition der verallgemeinerten Fitting-Untergruppe kann durch einige ihrer Verwendungszwecke motiviert sein. Betrachten Sie das Problem, eine normale Untergruppe zu identifizieren H. von G das enthält seinen eigenen Zentralisierer und die Anpassungsgruppe. Wenn C. ist der Zentralisierer von H. das wollen wir beweisen C. ist enthalten in H.. Wenn nicht, wählen Sie eine minimale charakteristische Untergruppe aus M / Z (H) von C / Z (H), wo Z (H) ist das Zentrum von H., das ist der gleiche wie der Schnittpunkt von C. und H.. Dann M./.Z.((H.) ist ein Produkt einfacher oder cyclischer Gruppen, da es charakteristisch einfach ist. Wenn M./.Z.((H.) ist dann ein Produkt cyclischer Gruppen M. muss in der Untergruppe Fitting sein. Wenn M./.Z.((H.) ist ein Produkt nicht-abelscher einfacher Gruppen, dann die abgeleitete Untergruppe von M. ist eine normale semisimple Untergruppenzuordnung auf M./.Z.((H.). Also wenn H. enthält dann die Untergruppe Fitting und alle normalen Semisimple-Untergruppen M./.Z.((H.) muss also trivial sein H. enthält einen eigenen Zentralisierer. Die verallgemeinerte Fitting-Untergruppe ist die kleinste Untergruppe, die die Fitting-Untergruppe und alle normalen Semisimple-Untergruppen enthält.

Die verallgemeinerte Anpassungsuntergruppe kann auch als verallgemeinerter Zentralisierer der Hauptfaktoren angesehen werden. Eine nichtabelsche Semisimple-Gruppe kann sich nicht zentralisieren, sondern fungiert selbst als innerer Automorphismus. Eine Gruppe soll sein quasi nilpotent wenn jedes Element als innerer Automorphismus für jeden Hauptfaktor wirkt. Die verallgemeinerte Fitting-Untergruppe ist die einzigartig größte subnormale quasi-nilpotente Untergruppe und entspricht der Menge aller Elemente, die als innere Automorphismen für jeden Hauptfaktor der gesamten Gruppe wirken (Huppert & Blackburn 1982, Kapitel X, Satz 5.4, p. 126):

${ displaystyle operatorname {Fit} ^ {*} (G) = bigcap {HC_ {G} (H / K): H / K { text {ein Hauptfaktor von}} G }.}$

Hier ein Element G ist in H.C._G((H./.K.) genau dann, wenn es welche gibt h im H. so dass für jeden x im H., x^G ≡ x^h mod K..

Eigenschaften[edit]

Wenn G ist eine endliche lösbare Gruppe, dann enthält die Fitting-Untergruppe einen eigenen Zentralisierer. Der Zentralisierer der Fitting-Untergruppe ist das Zentrum der Fitting-Untergruppe. In diesem Fall ist die verallgemeinerte Anpassungsuntergruppe gleich der Anpassungsuntergruppe. Allgemeiner, wenn G ist eine endliche Gruppe, dann enthält die verallgemeinerte Fitting-Untergruppe einen eigenen Zentralisierer. Dies bedeutet, dass in gewissem Sinne die verallgemeinerte Fitting-Untergruppe steuert G, weil G Modulo der Zentralisierer von F.^{* *}((G) ist in der Automorphismusgruppe von enthalten F.^{* *}((G) und der Zentralisierer von F.^{* *}((G) ist enthalten in F.^{* *}((G). Insbesondere gibt es nur eine begrenzte Anzahl von Gruppen mit einer bestimmten verallgemeinerten Anpassungsuntergruppe.

Anwendungen[edit]

Die Normalisierer von nichttrivial p-Untergruppen einer endlichen Gruppe heißen die p-lokale Untergruppen und viel Kontrolle über die Struktur der Gruppe ausüben (was eine sogenannte lokale Analyse ermöglicht). Eine endliche Gruppe soll von sein charakteristisch p Art wenn F.^{* *}((G) ist ein p-Gruppe für jeden p-lokale Untergruppe, weil jede Gruppe vom Lie-Typ über ein charakteristisches Feld definiert ist p hat diese Eigenschaft. Bei der Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen kann man erraten, über welches Feld eine einfache Gruppe definiert werden soll. Beachten Sie, dass einige Gruppen charakteristisch sind p Typ für mehr als eine p.

Wenn eine einfache Gruppe nicht vom Lie-Typ ist, über einem Feld mit gegebener Charakteristik p, dann ist die p-lokale Untergruppen haben normalerweise Komponenten in der verallgemeinerten Anpassungsuntergruppe, obwohl es viele Ausnahmen für Gruppen gibt, die einen kleinen Rang haben, über kleine Felder definiert sind oder sporadisch sind. Dies wird verwendet, um die endlichen einfachen Gruppen zu klassifizieren, denn wenn a p-lokale Untergruppe hat eine bekannte Komponente, es ist oft möglich, die gesamte Gruppe zu identifizieren (Aschbacher & Seitz 1976).

Die Analyse endlicher einfacher Gruppen anhand der Struktur und Einbettung der verallgemeinerten Fitting-Untergruppen ihrer maximalen Untergruppen stammt von Helmut Bender (Bender 1970) und ist als Bender-Methode bekannt geworden. Es ist besonders effektiv in Ausnahmefällen, in denen Komponenten oder Signalgeberfunktionen nicht anwendbar sind.

Verweise[edit]

• Aschbacher, Michael (2000), Theorie der endlichen Gruppe, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78675-1
• Aschbacher, Michael; Seitz, Gary M. (1976), “Über Gruppen mit einer Standardkomponente bekannten Typs”, Osaka J. Math., 13 (3): 439–482
• Bender, Helmut (1970), “Über Gruppen mit abelschen Sylow-2-Untergruppen”, Mathematische Zeitschrift, 117: 164–176, doi:10.1007 / BF01109839, ISSN 0025-5874, HERR 0288180
• Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-03825-2, HERR 0224703, OCLC 527050
• Huppert, Bertram; Blackburn, Norman (1982), Endliche Gruppen. III., Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 243, Berlin-New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-10633-2, HERR 0650245