[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/27\/teilchen-in-einem-eindimensionalen-gitter\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/27\/teilchen-in-einem-eindimensionalen-gitter\/","headline":"Teilchen in einem eindimensionalen Gitter","name":"Teilchen in einem eindimensionalen Gitter","description":"before-content-x4 Modell in der Quantenphysik after-content-x4 In der Quantenmechanik ist die Teilchen in einem eindimensionalen Gitter ist ein Problem, das","datePublished":"2020-12-27","dateModified":"2020-12-27","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/b\/b2\/Potential-actual.PNG","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/b\/b2\/Potential-actual.PNG","height":"248","width":"488"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/27\/teilchen-in-einem-eindimensionalen-gitter\/","wordCount":17229,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Modell in der Quantenphysik       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4In der Quantenmechanik ist die Teilchen in einem eindimensionalen Gitter ist ein Problem, das im Modell eines periodischen Kristallgitters auftritt.  Das Potential wird durch Ionen in der periodischen Struktur des Kristalls verursacht, die ein elektromagnetisches Feld erzeugen, so dass Elektronen innerhalb des Gitters einem regelm\u00e4\u00dfigen Potential ausgesetzt sind.  Es ist eine Verallgemeinerung des freien Elektronenmodells, das innerhalb des Gitters ein Potential von Null annimmt.Table of ContentsProblem Definition[edit]Kronig-Penney-Modell[edit]Bandl\u00fccken im Kronig-Penney-Modell[edit]Kronig-Penney-Modell: alternative L\u00f6sung[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Problem Definition[edit]Wenn es um feste Materialien geht, geht es haupts\u00e4chlich um Kristalle – periodische Gitter.  Hier werden wir ein 1D-Gitter positiver Ionen diskutieren.  Angenommen, der Abstand zwischen zwei Ionen ist einDas Potenzial im Gitter sieht ungef\u00e4hr so \u200b\u200baus:       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Die mathematische Darstellung des Potentials ist eine periodische Funktion mit einer Periode ein.  Nach dem Satz von Bloch[1]  Die Wellenfunktionsl\u00f6sung der Schr\u00f6dinger-Gleichung bei periodischem Potential kann wie folgt geschrieben werden:\u03c8((x)=eichkxu((x),{ displaystyle  psi (x) = e ^ {ikx} u (x),}wo u((x) ist eine periodische Funktion, die erf\u00fcllt u((x + ein) = u((x).  Dies ist der Bloch-Faktor mit dem Floquet-Exponenten        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4k{ displaystyle k}  Daraus ergibt sich die Bandstruktur des Energiespektrums der Schr\u00f6dinger-Gleichung mit einem periodischen Potential wie dem Kronig-Penney-Potential oder einer Kosinusfunktion wie in der Mathieu-Gleichung.Bei Ann\u00e4herung an die R\u00e4nder des Gitters treten Probleme mit der Randbedingung auf.  Daher k\u00f6nnen wir das Ionengitter als Ring darstellen, der den Born-von-Karman-Randbedingungen folgt.  Wenn L. ist die L\u00e4nge des Gitters so, dass L. \u226b einDann ist die Anzahl der Ionen im Gitter so gro\u00df, dass bei Betrachtung eines Ions seine Umgebung nahezu linear ist und die Wellenfunktion des Elektrons unver\u00e4ndert bleibt.  Anstelle von zwei Randbedingungen erhalten wir nun eine kreisf\u00f6rmige Randbedingung:\u03c8((0)=\u03c8((L.).{ displaystyle  psi (0) =  psi (L).}Wenn N. ist die Anzahl der Ionen im Gitter, dann haben wir die Beziehung: ein = L..  Das Ersetzen der Randbedingung und das Anwenden des Blochschen Theorems f\u00fchrt zu einer Quantisierung f\u00fcr k::\u03c8((0)=eichk\u22c50u((0)=eichkL.u((L.)=\u03c8((L.){ displaystyle  psi (0) = e ^ {ik  cdot 0} u (0) = e ^ {ikL} u (L) =  psi (L)}u((0)=eichkL.u((L.)=eichkL.u((N.ein)\u2192eichkL.=1{ displaystyle u (0) = e ^ {ikL} u (L) = e ^ {ikL} u (Na)  bis e ^ {ikL} = 1}\u21d2kL.=2\u03c0n\u2192k=2\u03c0L.n((n=0,\u00b11,\u22ef,\u00b1N.2).{ displaystyle  Rightarrow kL = 2  pi n  bis k = {2  pi  \u00fcber L} n  qquad  left (n = 0,  pm 1,  cdots,  pm {N  over 2}  right ).}Kronig-Penney-Modell[edit]Das Kronig-Penney-Modell (benannt nach Ralph Kronig und William Penney[2]) ist ein einfaches, idealisiertes quantenmechanisches System, das aus einer unendlichen periodischen Anordnung rechteckiger Potentialbarrieren besteht.Die Potentialfunktion wird durch ein rechteckiges Potential angen\u00e4hert:Mit dem Satz von Bloch m\u00fcssen wir nur f\u00fcr eine einzelne Periode eine L\u00f6sung finden, sicherstellen, dass sie kontinuierlich und glatt ist, und die Funktion sicherstellen u((x) ist auch kontinuierlich und glatt.Betrachtet man eine einzelne Periode des Potenzials:Wir haben hier zwei Regionen.  Wir werden f\u00fcr jeden unabh\u00e4ngig l\u00f6sen: Lassen Sie E. sei ein Energiewert \u00fcber dem Brunnen (E> 0)F.\u00d6r0\u210f22m\u03c8xx=E.\u03c8{ displaystyle {-  hbar ^ {2}  over 2m}  psi _ {xx} = E  psi}\u21d2\u03c8=EINeich\u03b1x+EIN‘e– –ich\u03b1x((\u03b12=2mE.\u210f2){ displaystyle  Rightarrow  psi = Ae ^ {i  alpha x} + A’e ^ {- i  alpha x}  quad  left ( alpha ^ {2} = {2mE  over  hbar ^ {2} }Recht)}F.\u00d6r– –b22m\u03c8xx=((E.+V.0)\u03c8{ displaystyle {-  hbar ^ {2}  over 2m}  psi _ {xx} = (E + V_ {0})  psi}\u21d2\u03c8=B.eich\u03b2x+B.‘e– –ich\u03b2x((\u03b22=2m((E.+V.0)\u210f2).{ displaystyle  Rightarrow  psi = Be ^ {i  beta x} + B’e ^ {- i  beta x}  quad  left ( beta ^ {2} = {2m (E + V_ {0})  over  hbar ^ {2}}  right).}Finden u((x) In jeder Region m\u00fcssen wir die Wellenfunktion des Elektrons manipulieren:\u03c8((0x+EIN‘e– –ich\u03b1x=eichkx\u22c5((EINeich((\u03b1– –k)x+EIN‘e– –ich((\u03b1+k)x){ displaystyle  psi (0\u21d2u((0– –k)x+EIN‘e– –ich((\u03b1+k)x.{ displaystyle  Rightarrow u (0Und auf die gleiche Weise:u((– –bk)x+B.‘e– –ich((\u03b2+k)x.{ displaystyle u (-bUm die L\u00f6sung zu vervollst\u00e4ndigen, m\u00fcssen wir sicherstellen, dass die Wahrscheinlichkeitsfunktion kontinuierlich und glatt ist, dh:\u03c8((0– –)=\u03c8((0+)\u03c8‘((0– –)=\u03c8‘((0+).{ displaystyle  psi (0 ^ {-}) =  psi (0 ^ {+})  qquad  psi ‘(0 ^ {-}) =  psi’ (0 ^ {+}).}Und das u((x) und u ‘((x) sind periodisch:u((– –b)=u((ein– –b)u‘((– –b)=u‘((ein– –b).{ displaystyle u (-b) = u (ab)  qquad u ‘(- b) = u’ (ab).}Diese Bedingungen ergeben die folgende Matrix:((11– –1– –1\u03b1– –\u03b1– –\u03b2\u03b2eich((\u03b1– –k)((ein– –b)e– –ich((\u03b1+k)((ein– –b)– –e– –ich((\u03b2– –k)b– –eich((\u03b2+k)b((\u03b1– –k)eich((\u03b1– –k)((ein– –b)– –((\u03b1+k)e– –ich((\u03b1+k)((ein– –b)– –((\u03b2– –k)e– –ich((\u03b2– –k)b((\u03b2+k)eich((\u03b2+k)b)((EINEIN‘B.B.‘)=((0000).{ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ alpha & –  alpha & –  beta &  beta \\ e ^ {i ( alpha -k) (ab)} & e ^ {- i ( alpha + k) (ab)} & – e ^ {- i ( beta-k) b} & – e ^ {i ( beta + k) b} \\ ( alpha-k) e ^ { i ( alpha-k) (ab)} & – ( alpha + k) e ^ {- i ( alpha + k) (ab)} & – ( beta-k) e ^ {- i ( beta -k) b} & ( beta + k) e ^ {i ( beta + k) b}  end {pmatrix}} { begin {pmatrix} A \\ A ‘\\ B \\ B’  end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0  end {pmatrix}}.}Damit wir eine nicht triviale L\u00f6sung haben, muss die Determinante der Matrix 0 sein. Dies f\u00fchrt uns zu folgendem Ausdruck:cos\u2061((kein)=cos\u2061((\u03b2b)cos\u2061[\u03b1(a\u2212b)]– –\u03b12+\u03b222\u03b1\u03b2S\u00fcnde\u2061((\u03b2b)S\u00fcnde\u2061[\u03b1(a\u2212b)].{ displaystyle  cos (ka) =  cos ( beta b)  cos[alpha (a-b)]- { alpha ^ {2} +  beta ^ {2}  \u00fcber 2  alpha  beta}  sin ( beta b)  sin[alpha (a-b)].}Um den Ausdruck weiter zu vereinfachen, f\u00fchren wir die folgenden N\u00e4herungen durch:b\u21920;;V.0\u2192\u221e;;V.0b=c\u00d6nsteinnt{ displaystyle b  bis 0;  quad V_ {0}  bis  infty;  quad V_ {0} b =  mathrm {Konstante}}\u21d2\u03b22b=c\u00d6nsteinnt;;\u03b12b\u21920{ displaystyle  Rightarrow  beta ^ {2} b =  mathrm {Konstante};  quad  alpha ^ {2} b  bis 0}\u21d2\u03b2b\u21920;;S\u00fcnde\u2061((\u03b2b)\u2192\u03b2b;;cos\u2061((\u03b2b)\u21921.{ displaystyle  Rightarrow  beta b  bis 0;  quad  sin ( beta b)  bis  beta b;  quad  cos ( beta b)  bis 1.}Der Ausdruck wird nun sein:cos\u2061((kein)=cos\u2061((\u03b1ein)+P.S\u00fcnde\u2061((\u03b1ein)\u03b1ein,P.=mV.0bein\u210f2.{ displaystyle  cos (ka) =  cos ( alpha a) + P { frac { sin ( alpha a)} { alpha a}},  qquad P = { frac {mV_ {0} ba } { hbar ^ {2}}}.}F\u00fcr Energiewerte im Brunnen (E. ((\u03b2b)cosh\u2061[\u03b1(a\u2212b)]– –\u03b22– –\u03b122\u03b1\u03b2S\u00fcnde\u2061((\u03b2b)sinh\u2061[\u03b1(a\u2212b)],{ displaystyle  cos (ka) =  cos ( beta b)  cosh[alpha (a-b)]- { beta ^ {2} –  alpha ^ {2}  over 2  alpha  beta}  sin ( beta b)  sinh[alpha (a-b)],}mit \u03b12=2m|E.|\u210f2{ displaystyle  alpha ^ {2} = {2m | E |   over  hbar ^ {2}}}  und \u03b22=2m((V.0– –|E.|)\u210f2{ displaystyle  beta ^ {2} = {2m (V_ {0} – | E |)  over  hbar ^ {2}}}.Folgen Sie den gleichen Ann\u00e4herungen wie oben (b\u21920;;V.0\u2192\u221e;;V.0b=c\u00d6nsteinnt{ displaystyle b  bis 0; , V_ {0}  bis  infty; , V_ {0} b =  mathrm {Konstante}}) kommen wir ancos\u2061((kein)=cosh\u2061((\u03b1ein)+P.sinh\u2061((\u03b1ein)\u03b1ein{ displaystyle  cos (ka) =  cosh ( alpha a) + P { frac { sinh ( alpha a)} { alpha a}}}mit der gleichen Formel f\u00fcr P. wie im vorherigen Fall ((P.=mV.0bein\u210f2){ displaystyle  left (P = { frac {mV_ {0} ba} { hbar ^ {2}}}  right)}.Bandl\u00fccken im Kronig-Penney-Modell[edit]  Der Wert des Ausdrucks, dem cos (ka) in der Dispersionsrelation gleichgesetzt wird, mit P = 1,5.  Die schwarzen Balken kennzeichnen Regionen von \u03b1ein{ displaystyle  alpha a}  f\u00fcr die k berechnet werden kann.  Die Dispersionsrelation f\u00fcr das Kronig-Penney-Modell mit P = 1,5.Im vorherigen Absatz sind die einzigen Variablen, die nicht durch die Parameter des physikalischen Systems bestimmt werden, die Energie E. und der Kristallimpuls k.  Durch Auswahl eines Wertes f\u00fcr E.kann man die rechte Seite berechnen und dann berechnen k durch die Einnahme der Arccos{ displaystyle  arccos}  von beiden Seiten.  Somit f\u00fchrt der Ausdruck zu der Dispersionsbeziehung.Die rechte Seite des letzten Ausdrucks oben kann manchmal gr\u00f6\u00dfer als 1 oder kleiner als \u20131 sein. In diesem Fall gibt es keinen Wert von k das kann die Gleichung wahr machen.  Schon seit \u03b1ein\u221dE.{ displaystyle  alpha a  propto { sqrt {E}}}Das hei\u00dft, es gibt bestimmte Werte von E. f\u00fcr die es keine Eigenfunktionen der Schr\u00f6dinger-Gleichung gibt.  Diese Werte bilden die Bandl\u00fccke.Somit ist das Kronig-Penney-Modell eines der einfachsten periodischen Potentiale, um eine Bandl\u00fccke aufzuweisen.Kronig-Penney-Modell: alternative L\u00f6sung[edit]Eine alternative Behandlung zu einem \u00e4hnlichen Problem wird gegeben.  Hier haben wir eine Delta periodisches Potenzial:V.((x)=EIN\u22c5\u2211n=– –\u221e\u221e\u03b4((x– –n\u22c5ein).{ displaystyle V (x) = A  cdot  sum _ {n = –  infty} ^ { infty}  delta (xn  cdot a).}EIN ist eine Konstante, und ein ist die Gitterkonstante (der Abstand zwischen jeder Stelle).  Da dieses Potenzial periodisch ist, k\u00f6nnten wir es als Fourier-Reihe erweitern:V.((x)=\u2211K.V.~((K.)\u22c5eich\u22c5K.\u22c5x,{ displaystyle V (x) =  sum _ {K} { tilde {V}} (K)  cdot e ^ {i  cdot K  cdot x},}woV.~((K.)=1ein\u222b– –ein\/.2ein\/.2dxV.((x)e– –ich\u22c5K.\u22c5x=1ein\u222b– –ein\/.2ein\/.2dx\u2211n=– –\u221e\u221eEIN\u22c5\u03b4((x– –nein)e– –ichK.x=EINein{ displaystyle { tilde {V}} (K) = { frac {1} {a}}  int _ {- a \/ 2} ^ {a \/ 2} dx , V (x) , e ^ {-i  cdot K  cdot x} = { frac {1} {a}}  int _ {- a \/ 2} ^ {a \/ 2} dx  sum _ {n = –  infty} ^ { infty} A  cdot  delta (x-na) , e ^ {- i , K , x} = { frac {A} {a}}}.Die Wellenfunktion ist nach dem Satz von Bloch gleich \u03c8k((x)=eichkxuk((x){ displaystyle  psi _ {k} (x) = e ^ {ikx} u_ {k} (x)}  wo uk((x){ displaystyle u_ {k} (x)}  ist eine Funktion, die im Gitter periodisch ist, was bedeutet, dass wir sie auch als Fourier-Reihe erweitern k\u00f6nnen:uk((x)=\u2211K.u~k((K.)eichK.x.{ displaystyle u_ {k} (x) =  sum _ {K} { tilde {u}} _ {k} (K) e ^ {iKx}.}Somit ist die Wellenfunktion:\u03c8k((x)=\u2211K.u~k((K.)eich((k+K.)x.{ displaystyle  psi _ {k} (x) =  sum _ {K} { tilde {u}} _ {k} (K) , e ^ {i (k + K) x}.}Wenn wir dies in die Schr\u00f6dinger-Gleichung einf\u00fcgen, erhalten wir:[\u210f2(k+K)22m\u2212Ek]\u22c5u~k((K.)+\u2211K.‘V.~((K.– –K.‘)u~k((K.‘)=0{ displaystyle  left[{frac {hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}right] cdot { tilde {u}} _ {k} (K) +  sum _ {K ‘} { tilde {V}} (K-K’) , { tilde {u}} _ {k} (K ‘) = 0}oder eher:[\u210f2(k+K)22m\u2212Ek]\u22c5u~k((K.)+EINein\u2211K.‘u~k((K.‘)=0{ displaystyle  left[{frac {hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}right] cdot { tilde {u}} _ {k} (K) + { frac {A} {a}}  sum _ {K ‘} { tilde {u}} _ {k} (K’) = 0}Jetzt erkennen wir das:uk((0)=\u2211K.‘u~k((K.‘){ displaystyle u_ {k} (0) =  sum _ {K ‘} { tilde {u}} _ {k} (K’)}Stecken Sie dies in die Schr\u00f6dinger-Gleichung:[\u210f2(k+K)22m\u2212Ek]\u22c5u~k((K.)+EINeinuk((0)=0{ displaystyle  left[{frac {hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}right] cdot { tilde {u}} _ {k} (K) + { frac {A} {a}} u_ {k} (0) = 0}L\u00f6sung f\u00fcr u~k((K.){ displaystyle { tilde {u}} _ {k} (K)}  wir bekommen:u~k((K.)=2m\u210f2EINeinf((k)2mE.k\u210f2– –((k+K.)2=2m\u210f2EINein2mE.k\u210f2– –((k+K.)2uk((0){ displaystyle { tilde {u}} _ {k} (K) = { frac {{ frac {2m} { hbar ^ {2}}} { frac {A} {a}} f (k )} {{ frac {2mE_ {k}} { hbar ^ {2}}} – (k + K) ^ {2}}} = { frac {{ frac {2m} { hbar ^ {2 }}} { frac {A} {a}}} {{ frac {2mE_ {k}} { hbar ^ {2}}} – (k + K) ^ {2}}} , u_ {k } (0)}Wir summieren diese letzte Gleichung \u00fcber alle Werte von K. Ankommen in:\u2211K.u~k((K.)=\u2211K.2m\u210f2EINein2mE.k\u210f2– –((k+K.)2uk((0){ displaystyle  sum _ {K} { tilde {u}} _ {k} (K) =  sum _ {K} { frac {{ frac {2m} { hbar ^ {2}}} {  frac {A} {a}}} {{ frac {2mE_ {k}} { hbar ^ {2}}} – (k + K) ^ {2}}} , u_ {k} (0) }}Oder:uk((0)=\u2211K.2m\u210f2EINein2mE.k\u210f2– –((k+K.)2uk((0){ displaystyle u_ {k} (0) =  sum _ {K} { frac {{ frac {2m} { hbar ^ {2}}} { frac {A} {a}}} {{ frac {2mE_ {k}} { hbar ^ {2}}} – (k + K) ^ {2}}} , u_ {k} (0)}Praktischerweise uk((0){ displaystyle u_ {k} (0)}  stornieren und wir bekommen:1=\u2211K.2m\u210f2EINein2mE.k\u210f2– –((k+K.)2{ displaystyle 1 =  sum _ {K} { frac {{ frac {2m} { hbar ^ {2}}} { frac {A} {a}}} {{ frac {2mE_ {k} } { hbar ^ {2}}} – (k + K) ^ {2}}}}Oder:\u210f22meinEIN=\u2211K.12mE.k\u210f2– –((k+K.)2{ displaystyle { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {a} {A}} =  sum _ {K} { frac {1} {{ frac {2mE_ {k} } { hbar ^ {2}}} – (k + K) ^ {2}}}}Um uns unn\u00f6tigen Schreibaufwand zu ersparen, definieren wir eine neue Variable:\u03b12: =2mE.k\u210f2{ displaystyle  alpha ^ {2}: = { frac {2mE_ {k}} { hbar ^ {2}}}}und schlie\u00dflich ist unser Ausdruck:\u210f22meinEIN=\u2211K.1\u03b12– –((k+K.)2{ displaystyle { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {a} {A}} =  sum _ {K} { frac {1} { alpha ^ {2} – ( k + K) ^ {2}}}}Jetzt, K. ist ein reziproker Gittervektor, was bedeutet, dass eine Summe \u00fcber K. ist eigentlich eine Summe \u00fcber ganzzahlige Vielfache von 2\u03c0ein{ displaystyle { frac {2  pi} {a}}}::\u210f22meinEIN=\u2211n=– –\u221e\u221e1\u03b12– –((k+2\u03c0nein)2{ displaystyle { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {a} {A}} =  sum _ {n = –  infty} ^ { infty} { frac {1} { alpha ^ {2} – (k + { frac {2  pi n} {a}}) ^ {2}}}}Wir k\u00f6nnen diesen Ausdruck ein wenig jonglieren, um ihn suggestiver zu machen (verwenden Sie die partielle Bruchzerlegung):\u210f22meinEIN=\u2211n=– –\u221e\u221e1\u03b12– –((k+2\u03c0nein)2=– –12\u03b1\u2211n=– –\u221e\u221e[1(k+2\u03c0na)\u2212\u03b1\u22121(k+2\u03c0na)+\u03b1]=– –ein4\u03b1\u2211n=– –\u221e\u221e[1\u03c0n+ka2\u2212\u03b1a2\u22121\u03c0n+ka2+\u03b1a2]=– –ein4\u03b1[\u2211n=\u2212\u221e\u221e1\u03c0n+ka2\u2212\u03b1a2\u2212\u2211n=\u2212\u221e\u221e1\u03c0n+ka2+\u03b1a2]{ displaystyle { begin {align} { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {a} {A}} & =  sum _ {n = –  infty} ^ { infty } { frac {1} { alpha ^ {2} – (k + { frac {2  pi n} {a}}) ^ {2}}} \\ & = – { frac {1} {2  alpha}}  sum _ {n = –  infty} ^ { infty}  left[{frac {1}{(k+{frac {2pi n}{a}})-alpha }}-{frac {1}{(k+{frac {2pi n}{a}})+alpha }}right]\\ & = – { frac {a} {4  alpha}}  sum _ {n = –  infty} ^ { infty}  left[{frac {1}{pi n+{frac {ka}{2}}-{frac {alpha a}{2}}}}-{frac {1}{pi n+{frac {ka}{2}}+{frac {alpha a}{2}}}}right]\\ & = – { frac {a} {4  alpha}}  left[sum _{n=-infty }^{infty }{frac {1}{pi n+{frac {ka}{2}}-{frac {alpha a}{2}}}}-sum _{n=-infty }^{infty }{frac {1}{pi n+{frac {ka}{2}}+{frac {alpha a}{2}}}}right] end {align}}}Wenn wir eine sch\u00f6ne Identit\u00e4t einer Summe der Kotangensfunktion verwenden (Gleichung 18) was sagt:Kinderbett\u2061((x)=\u2211n=– –\u221e\u221e12\u03c0n+2x– –12\u03c0n– –2x{ displaystyle  cot (x) =  sum _ {n = –  infty} ^ { infty} { frac {1} {2  pi n + 2x}} – { frac {1} {2  pi n-2x}}}und stecken Sie es in unseren Ausdruck, den wir bekommen zu:\u210f22meinEIN=– –ein4\u03b1[cot\u2061(ka2\u2212\u03b1a2)\u2212cot\u2061(ka2+\u03b1a2)]{ displaystyle { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {a} {A}} = – { frac {a} {4  alpha}}  left[cot left({tfrac {ka}{2}}-{tfrac {alpha a}{2}}right)-cot left({tfrac {ka}{2}}+{tfrac {alpha a}{2}}right)right]}}Wir verwenden die Summe von Kinderbett und dann das Produkt von S\u00fcnde (welches Teil der Formel f\u00fcr die Summe von ist Kinderbett) Ankommen in:cos\u2061((kein)=cos\u2061((\u03b1ein)+mEIN\u210f2\u03b1S\u00fcnde\u2061((\u03b1ein){ displaystyle  cos (ka) =  cos ( alpha a) + { frac {mA} { hbar ^ {2}  alpha}}  sin ( alpha a)}Diese Gleichung zeigt die Beziehung zwischen der Energie (durch \u03b1) und der Wellenvektor, kund wie Sie sehen k\u00f6nnen, kann die linke Seite der Gleichung nur von reichen \u22121 zu 1 dann gibt es einige Grenzen f\u00fcr die Werte, die \u03b1 (und damit die Energie) kann nehmen, dh in einigen Wertebereichen der Energie gibt es keine L\u00f6sung gem\u00e4\u00df dieser Gleichung, und daher wird das System diese Energien nicht haben: Energiel\u00fccken.  Dies sind die sogenannten Bandl\u00fccken, in denen gezeigt werden kann, dass sie existieren irgendein Form des periodischen Potentials (nicht nur Delta oder quadratische Barrieren).F\u00fcr eine andere und detaillierte Berechnung der L\u00fcckenformel (dh der L\u00fccke zwischen B\u00e4ndern) und der Pegelaufteilung von Eigenwerten der eindimensionalen Schr\u00f6dinger-Gleichung siehe M\u00fcller-Kirsten.[3]  Entsprechende Ergebnisse f\u00fcr das Kosinuspotential (Mathieu-Gleichung) sind in dieser Referenz ebenfalls ausf\u00fchrlich angegeben.Siehe auch[edit]Verweise[edit]^ Bloch, Felix (1929).  “\u00dcber die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern”. Zeitschrift f\u00fcr Physik (auf Deutsch).  Springer Science and Business Media LLC. 52 (7\u20138): 555\u2013600.  doi:10.1007 \/ bf01339455.  ISSN 1434-6001.^ de L. Kronig, R.;  Penney, WG (3. Februar 1931). “Quantenmechanik von Elektronen in Kristallgittern”. Verfahren der Royal Society A: Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften.  Die k\u00f6nigliche Gesellschaft. 130 (814): 499\u2013513.  doi:10.1098 \/ rspa.1931.0019.  ISSN 1364-5021.^ Harald JW M\u00fcller-Kirsten, Einf\u00fchrung in die Quantenmechanik: Schr\u00f6dinger-Gleichung und Pfadintegral, 2. Aufl., World Scientific (Singapur, 2012), 325\u2013329, 458\u2013477.Externe Links[edit]     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/27\/teilchen-in-einem-eindimensionalen-gitter\/#breadcrumbitem","name":"Teilchen in einem eindimensionalen Gitter"}}]}]