Welle – Wikipedia

Wiederholte Schwingung um ein stabiles Gleichgewicht

In der Physik, Mathematik und verwandten Bereichen a Welle ist eine sich ausbreitende dynamische Störung (Änderung aus dem Gleichgewicht) einer oder mehrerer Größen, manchmal wie durch eine Wellengleichung beschrieben. Bei physikalischen Wellen sind mindestens zwei Feldgrößen im Wellenmedium beteiligt. Wellen können periodisch sein. In diesem Fall schwingen diese Größen wiederholt um einen Gleichgewichtswert (Ruhewert) bei einer bestimmten Frequenz. Wenn sich die gesamte Wellenform in eine Richtung bewegt, spricht man von einer Wanderwelle. Im Gegensatz dazu bildet ein Paar überlagerter periodischer Wellen, die sich in entgegengesetzte Richtungen bewegen, eine stehende Welle. In einer stehenden Welle hat die Schwingungsamplitude an einigen Stellen Nullen, an denen die Wellenamplitude kleiner oder sogar Null erscheint.

Die in der klassischen Physik am häufigsten untersuchten Wellentypen sind mechanisch und elektromagnetisch. In einer mechanischen Welle schwingen Spannungs- und Dehnungsfelder um ein mechanisches Gleichgewicht. Eine mechanische Welle ist eine lokale Verformung (Dehnung) in einem physikalischen Medium, die sich von Partikel zu Partikel ausbreitet, indem lokale Spannungen erzeugt werden, die auch in benachbarten Partikeln eine Dehnung verursachen. Beispielsweise sind Schallwellen Variationen des lokalen Drucks und der Partikelbewegung, die sich durch das Medium ausbreiten. Andere Beispiele für mechanische Wellen sind seismische Wellen, Gravitationswellen, Oberflächenwellen, Saitenschwingungen (stehende Wellen) und Wirbel^{[dubious – discuss]}. In einer elektromagnetischen Welle (wie Licht) wird Energie zwischen dem elektrischen und dem magnetischen Feld ausgetauscht, wodurch die Ausbreitung einer Welle, an der diese Felder beteiligt sind, gemäß den Maxwellschen Gleichungen aufrechterhalten wird. Elektromagnetische Wellen können sich durch ein Vakuum und durch einige dielektrische Medien bewegen (bei Wellenlängen, bei denen sie als transparent angesehen werden). Elektromagnetische Wellen haben entsprechend ihrer Frequenzen (oder Wellenlängen) spezifischere Bezeichnungen, einschließlich Radiowellen, Infrarotstrahlung, Terahertzwellen, sichtbares Licht, ultraviolette Strahlung, Röntgenstrahlen und Gammastrahlen.

Andere Arten von Wellen umfassen Gravitationswellen, bei denen es sich um Störungen in der Raumzeit handelt, die sich gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie ausbreiten. Wärmediffusionswellen^{[dubious – discuss]};; Plasmawellen, die mechanische Verformungen und elektromagnetische Felder kombinieren; Reaktionsdiffusionswellen wie bei der Belousov-Zhabotinsky-Reaktion; und viele mehr.

Mechanische und elektromagnetische Wellen übertragen Energie,^[2], Impuls und Information, aber sie übertragen keine Partikel im Medium. In der Mathematik und Elektronik werden Wellen als Signale untersucht.^[3] Auf der anderen Seite haben einige Wellen Hüllkurven, die sich überhaupt nicht bewegen, wie stehende Wellen (die für die Musik von grundlegender Bedeutung sind) und hydraulische Sprünge. Einige, wie die Wahrscheinlichkeitswellen der Quantenmechanik, können vollständig statisch sein^{[dubious – discuss]}.

Eine physikalische Welle ist fast immer auf eine endliche Region des Raums beschränkt, die als ihre bezeichnet wird Domain. Beispielsweise sind die durch Erdbeben erzeugten seismischen Wellen nur im Inneren und auf der Oberfläche des Planeten von Bedeutung, sodass sie außerhalb des Planeten ignoriert werden können. Wellen mit unendlicher Domäne, die sich über den gesamten Raum erstrecken, werden jedoch häufig in der Mathematik untersucht und sind sehr wertvolle Werkzeuge zum Verständnis physikalischer Wellen in endlichen Domänen.

Eine ebene Welle ist eine wichtige mathematische Idealisierung, bei der die Störung entlang einer (unendlichen) Ebene senkrecht zu einer bestimmten Fahrtrichtung identisch ist. Mathematisch gesehen ist die einfachste Welle eine sinusförmige ebene Welle, bei der das Feld an jedem Punkt eine einfache harmonische Bewegung mit einer Frequenz erfährt. In linearen Medien können komplizierte Wellen im Allgemeinen als die Summe vieler sinusförmiger ebener Wellen mit unterschiedlichen Ausbreitungsrichtungen und / oder unterschiedlichen Frequenzen zerlegt werden. Eine ebene Welle wird als Transversalwelle klassifiziert, wenn die Feldstörung an jedem Punkt durch einen Vektor senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (auch die Richtung der Energieübertragung) beschrieben wird; oder longitudinal, wenn diese Vektoren genau sind im die Ausbreitungsrichtung. Mechanische Wellen umfassen sowohl Quer- als auch Longitudinalwellen; Andererseits sind elektromagnetische ebene Wellen streng transversal, während Schallwellen in Flüssigkeiten (wie Luft) nur in Längsrichtung auftreten können. Diese physikalische Richtung eines Schwingungsfeldes relativ zur Ausbreitungsrichtung wird auch als Polarisation der Welle bezeichnet, was ein wichtiges Attribut für Wellen mit mehr als einer einzigen möglichen Polarisation sein kann.

Mathematische Beschreibung[edit]

Einzelne Wellen[edit]

Eine Welle kann wie ein Feld beschrieben werden, nämlich als Funktion

${ displaystyle F (x, t)}$

wo

${ displaystyle x}$

ist eine Position und

${ displaystyle t}$

ist eine Zeit.

Der Wert von

${ displaystyle x}$

ist ein Raumpunkt, insbesondere in dem Bereich, in dem die Welle definiert ist. In mathematischen Begriffen ist es normalerweise ein Vektor im kartesischen dreidimensionalen Raum

${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$

. In vielen Fällen kann man jedoch eine Dimension ignorieren und lassen

${ displaystyle x}$

sei ein Punkt der kartesischen Ebene

${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$

. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn Schwingungen einer Trommelhaut untersucht werden. Man kann sogar einschränken

${ displaystyle x}$

zu einem Punkt der kartesischen Linie

${ displaystyle mathbb {R}}$

– das heißt, die Menge der reellen Zahlen. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn Sie Schwingungen in einer Violinsaite oder einem Blockflötengerät untersuchen. Die Zeit

${ displaystyle t}$

Andererseits wird immer angenommen, dass es sich um einen Skalar handelt. das heißt, eine reelle Zahl.

Der Wert von

${ displaystyle F (x, t)}$

kann eine beliebige physikalische interessierende Größe sein, die dem Punkt zugeordnet ist

${ displaystyle x}$

das kann mit der Zeit variieren. Zum Beispiel, wenn

${ displaystyle F}$

repräsentiert die Schwingungen innerhalb eines elastischen Festkörpers, den Wert von

${ displaystyle F (x, t)}$

ist normalerweise ein Vektor, der die aktuelle Verschiebung von angibt

${ displaystyle x}$

der Materialpartikel, die am Punkt sein würden

${ displaystyle x}$

in Abwesenheit von Vibration. Für eine elektromagnetische Welle ist der Wert von

${ displaystyle F}$

kann der elektrische Feldvektor sein

${ displaystyle E}$

oder der Magnetfeldvektor

${ displaystyle H}$

oder eine verwandte Größe, wie z. B. der Poynting-Vektor

${ displaystyle E times H}$

. In der Fluiddynamik ist der Wert von

${ displaystyle F (x, t)}$

könnte der Geschwindigkeitsvektor der Flüssigkeit am Punkt sein

${ displaystyle x}$

oder jede skalare Eigenschaft wie Druck, Temperatur oder Dichte. Bei einer chemischen Reaktion

${ displaystyle F (x, t)}$

könnte die Konzentration einer Substanz in der Nähe von Punkt sein

${ displaystyle x}$

des Reaktionsmediums.

Für jede Dimension

${ displaystyle d}$

(1, 2 oder 3) ist die Domäne der Welle dann eine Teilmenge

${ displaystyle D}$

von

${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$

, so dass der Funktionswert

${ displaystyle F (x, t)}$

ist für jeden Punkt definiert

${ displaystyle x}$

im

${ displaystyle D}$

. Wenn man zum Beispiel die Bewegung einer Trommelhaut beschreibt, kann man berücksichtigen

${ displaystyle D}$

eine Scheibe (Kreis) in der Ebene sein

${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$

mit Zentrum am Ursprung

${ displaystyle (0,0)}$

, und lass

${ displaystyle F (x, t)}$

sei die vertikale Verschiebung der Haut am Punkt

${ displaystyle x}$

von

${ displaystyle D}$

und zur Zeit

${ displaystyle t}$

.

Wellenfamilien[edit]

Manchmal interessiert man sich für eine bestimmte Welle. Häufiger muss man jedoch eine große Menge möglicher Wellen verstehen; wie alle Arten, wie eine Trommelhaut vibrieren kann, nachdem sie einmal mit einem Trommelstock getroffen wurde, oder alle möglichen Radarechos, die man von einem Flugzeug bekommen kann, das sich möglicherweise einem Flughafen nähert.

In einigen dieser Situationen kann man eine solche Wellenfamilie durch eine Funktion beschreiben

${ displaystyle F (A, B, ldots; x, t)}$

das hängt von bestimmten Parametern ab

${ displaystyle A, B, ldots}$

, Außerdem

${ displaystyle x}$

und

${ displaystyle t}$

. Dann kann man verschiedene Wellen erhalten – das heißt verschiedene Funktionen von

${ displaystyle x}$

und

${ displaystyle t}$

– indem Sie unterschiedliche Werte für diese Parameter auswählen.

Beispielsweise ist der Schalldruck in einem Rekorder, der eine “reine” Note spielt, typischerweise eine stehende Welle, die als geschrieben werden kann

${ Anzeigestil F (A, L, n, c; x, t) = A , ( cos 2 pi x { frac {2n-1} {4L}}) ( cos 2 pi ct { frac {2n-1} {4L}})}$

Der Parameter

${ displaystyle A}$

definiert die Amplitude der Welle (dh den maximalen Schalldruck in der Bohrung, der mit der Lautstärke der Note zusammenhängt);

${ displaystyle c}$

ist die Schallgeschwindigkeit;

${ displaystyle L}$

ist die Länge der Bohrung; und

${ displaystyle n}$

ist eine positive ganze Zahl (1,2,3, …), die die Anzahl der Knoten in der stehenden Welle angibt. (Die Position

${ displaystyle x}$

sollte vom Mundstück und der Zeit gemessen werden

${ displaystyle t}$

ab jedem Moment, in dem der Druck am Mundstück maximal ist. Die Quantität

${ displaystyle lambda = 4L / (2n-1)}$

ist die Wellenlänge der emittierten Note und

${ displaystyle f = c / lambda}$

ist seine Frequenz.) Viele allgemeine Eigenschaften dieser Wellen können aus dieser allgemeinen Gleichung abgeleitet werden, ohne spezifische Werte für die Parameter zu wählen.

Als weiteres Beispiel kann es sein, dass die Schwingungen einer Trommelhaut nach einem einzelnen Schlag nur von der Entfernung abhängen

${ displaystyle r}$

von der Mitte der Haut bis zum Auftreffpunkt und auf die Stärke

${ displaystyle s}$

des Streiks. Dann kann die Schwingung für alle möglichen Schläge durch eine Funktion beschrieben werden

${ displaystyle F (r, s; x, t)}$

.

Manchmal hat die Familie der Wellen von Interesse unendlich viele Parameter. Zum Beispiel möchte man vielleicht beschreiben, was mit der Temperatur in einem Metallstab passiert, wenn dieser anfänglich an verschiedenen Punkten entlang seiner Länge auf verschiedene Temperaturen erhitzt und dann im Vakuum von selbst abkühlen gelassen wird. In diesem Fall müsste der Parameter anstelle eines Skalars oder Vektors eine Funktion sein

${ displaystyle h}$

so dass

${ displaystyle h (x)}$

ist die Anfangstemperatur an jedem Punkt

${ displaystyle x}$

der Bar. Dann können die Temperaturen zu späteren Zeiten durch eine Funktion ausgedrückt werden

${ displaystyle F}$

das hängt von der funktion ab

${ displaystyle h}$

(dh ein funktionaler Operator), so dass die Temperatur zu einem späteren Zeitpunkt ist

${ displaystyle F (h; x, t)}$

Differentialwellengleichungen[edit]

Eine andere Möglichkeit, eine Wellenfamilie zu beschreiben und zu untersuchen, besteht darin, eine mathematische Gleichung anzugeben, die nicht explizit den Wert von angibt

${ displaystyle F (x, t)}$

, schränkt nur ein, wie sich diese Werte mit der Zeit ändern können. Dann besteht die fragliche Wellenfamilie aus allen Funktionen

${ displaystyle F}$

die diese Einschränkungen erfüllen – das heißt, alle Lösungen der Gleichung.

Dieser Ansatz ist in der Physik äußerst wichtig, da die Einschränkungen normalerweise eine Folge der physikalischen Prozesse sind, die zur Entwicklung der Welle führen. Zum Beispiel, wenn

${ displaystyle F (x, t)}$

Ist die Temperatur innerhalb eines Blocks aus einem homogenen und isotropen festen Material, wird seine Entwicklung durch die partielle Differentialgleichung eingeschränkt

${ displaystyle { frac { partielles F} { partielles t}} (x, t) = alpha left ({ frac { partielles ^ {2} F} { partielles x_ {1} ^ {2 }}} (x, t) + { frac { partiell ^ {2} F} { partiell x_ {2} ^ {2}}} (x, t) + { frac { partiell ^ {2} F} { partielle x_ {3} ^ {2}}} (x, t) rechts) + beta Q (x, t)}$

wo

${ displaystyle Q (p, f)}$

ist die Wärme, die pro Volumen- und Zeiteinheit in der Nähe von erzeugt wird

${ displaystyle x}$

zum Zeitpunkt

${ displaystyle t}$

(zum Beispiel durch chemische Reaktionen, die dort stattfinden);

${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$

sind die kartesischen Koordinaten des Punktes

${ displaystyle x}$

;;

${ displaystyle partielles F / partielles t}$

ist die (erste) Ableitung von

${ displaystyle F}$

in Gedenken an

${ displaystyle t}$

;; und

${ displaystyle partiell ^ {2} F / partiell x_ {i} ^ {2}}$

ist die zweite Ableitung von

${ displaystyle F}$

relativ zu

${ displaystyle x_ {i}}$

. (Das Symbol “

${ displaystyle partiell}$

“soll bedeuten, dass in der Ableitung in Bezug auf eine Variable alle anderen Variablen als fest betrachtet werden müssen.)

Diese Gleichung kann aus den Gesetzen der Physik abgeleitet werden, die die Diffusion von Wärme in festen Medien regeln. Aus diesem Grund wird es in der Mathematik als Wärmegleichung bezeichnet, obwohl es neben den Temperaturen auch für viele andere physikalische Größen gilt.

In einem anderen Beispiel können wir alle möglichen Geräusche beschreiben, die durch eine Funktion in einem Gasbehälter widerhallen

${ displaystyle F (x, t)}$

das gibt den Druck an einem Punkt

${ displaystyle x}$

und Zeit

${ displaystyle t}$

innerhalb dieses Behälters. Wenn das Gas anfänglich eine einheitliche Temperatur und Zusammensetzung hatte, wurde die Entwicklung von

${ displaystyle F}$

wird durch die Formel eingeschränkt

${ displaystyle { frac { partiell ^ {2} F} { partiell t ^ {2}}} (x, t) = alpha left ({ frac { partiell ^ {2} F} { partiell x_ {1} ^ {2}}} (x, t) + { frac { partiell ^ {2} F} { partiell x_ {2} ^ {2}}} (x, t) + { frac { partiell ^ {2} F} { partiell x_ {3} ^ {2}}} (x, t) rechts) + beta P (x, t)}$

Hier

${ displaystyle P (x, t)}$

ist eine zusätzliche Kompressionskraft, die auf das Gas in der Nähe ausgeübt wird

${ displaystyle x}$

durch einen externen Prozess, wie einen Lautsprecher oder einen Kolben direkt neben

${ displaystyle p}$

.

Dieselbe Differentialgleichung beschreibt das Verhalten mechanischer Schwingungen und elektromagnetischer Felder in einem homogenen isotropen nichtleitenden Feststoff. Beachten Sie, dass sich diese Gleichung von der des Wärmeflusses nur dadurch unterscheidet, dass die linke Seite ist

${ displaystyle partiell ^ {2} F / partiell t ^ {2}}$

, die zweite Ableitung von

${ displaystyle F}$

in Bezug auf die Zeit, anstatt die erste Ableitung

${ displaystyle partielles F / partielles t}$

. Diese kleine Änderung macht jedoch einen großen Unterschied bei den Lösungen

${ displaystyle F}$

. Diese Differentialgleichung wird in der Mathematik als “Wellengleichung” bezeichnet, obwohl sie nur eine ganz besondere Art von Wellen beschreibt.

Welle in elastischem Medium[edit]

Betrachten Sie eine wandernde Transversalwelle (die ein Impuls sein kann) auf einer Saite (dem Medium). Betrachten Sie die Zeichenfolge als eine einzelne räumliche Dimension. Betrachten Sie diese Welle als Reisen

Diese Welle kann dann durch die zweidimensionalen Funktionen beschrieben werden

${ displaystyle u (x, t) = F (xv t)}$

(Wellenform

${ displaystyle F}$

nach rechts reisen)

${ displaystyle u (x, t) = G (x + v t)}$

(Wellenform

${ displaystyle G}$

nach links reisen)

oder allgemeiner nach der Formel von d’Alembert:^[6]

${ Anzeigestil u (x, t) = F (x-vt) + G (x + vt). ,}$

Darstellen von Zweikomponenten-Wellenformen

${ displaystyle F}$

und

${ displaystyle G}$

Reisen durch das Medium in entgegengesetzte Richtungen. Eine verallgemeinerte Darstellung dieser Welle kann erhalten werden^[7] als partielle Differentialgleichung

${ displaystyle { frac {1} {v ^ {2}}} { frac { partiell ^ {2} u} { partiell t ^ {2}}} = { frac { partiell ^ {2} u} { partielle x ^ {2}}}. ,}$

Allgemeine Lösungen basieren auf dem Duhamel-Prinzip.^[8]

Wellenformen[edit]

Die Form oder Gestalt von F. in d’Alemberts Formel beinhaltet das Argument x – vt. Konstante Werte dieses Arguments entsprechen konstanten Werten von F.und diese konstanten Werte treten auf, wenn x steigt mit der gleichen Geschwindigkeit wie vt erhöht sich. Das heißt, die Welle hat die Form F. wird sich positiv bewegen x-Richtung mit Geschwindigkeit v (und G wird sich mit der gleichen Geschwindigkeit im Negativ ausbreiten x-Richtung).^[9]

Im Falle einer periodischen Funktion F. mit Punkt λ, das ist, F.((x + λ – – vt) = F.((x – – vt), die Periodizität von F. im Raum bedeutet, dass eine Momentaufnahme der Welle zu einem bestimmten Zeitpunkt t findet die Welle periodisch im Raum mit der Periode variierend λ (die Wellenlänge der Welle). In ähnlicher Weise ist diese Periodizität von F. impliziert auch eine Periodizität in der Zeit: F.((x – – v (t + T)) = F.((x – – vt) unter der Voraussetzung vT = λ, also eine Beobachtung der Welle an einem festen Ort x findet die Welle periodisch in der Zeit mit der Periode wellig T = λ/.v.^[10]

Amplitude und Modulation[edit]

Die Amplitude einer Welle kann konstant sein (in diesem Fall ist die Welle a cw oder kontinuierliche Welle), oder vielleicht moduliert um mit der Zeit und / oder Position zu variieren. Der Umriss der Variation der Amplitude wird als bezeichnet Briefumschlag der Welle. Mathematisch kann die modulierte Welle in folgender Form geschrieben werden:^[11][12][13]

${ displaystyle u (x, t) = A (x, t) sin (kx- omega t + phi) ,}$

wo

${ displaystyle A (x, t)}$

ist die Amplitudenhüllkurve der Welle,

${ displaystyle k}$

ist der Wellenzahl und

${ displaystyle phi}$

ist der Phase. Wenn die Gruppengeschwindigkeit

${ displaystyle v_ {g}}$

(siehe unten) ist wellenlängenunabhängig, diese Gleichung kann vereinfacht werden als:^[14]

${ displaystyle u (x, t) = A (x-v_ {g} t) sin (kx- omega t + phi) ,}$

Dies zeigt, dass sich die Hüllkurve mit der Gruppengeschwindigkeit bewegt und ihre Form beibehält. Andernfalls ändert sich in Fällen, in denen die Gruppengeschwindigkeit mit der Wellenlänge variiert, die Pulsform auf eine Weise, die häufig unter Verwendung von a beschrieben wird Hüllkurvengleichung.^[14][15]

Phasengeschwindigkeit und Gruppengeschwindigkeit[edit]

Es gibt zwei Geschwindigkeiten, die mit Wellen verbunden sind, die Phasengeschwindigkeit und die Gruppengeschwindigkeit.

Die Phasengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Phase der Welle im Raum ausbreitet: Jede gegebene Phase der Welle (zum Beispiel der Scheitel) scheint sich mit der Phasengeschwindigkeit zu bewegen. Die Phasengeschwindigkeit wird als Wellenlänge angegeben λ (Lambda) und Periode T. wie

${ displaystyle v _ { mathrm {p}} = { frac { lambda} {T}}.}$

Die Gruppengeschwindigkeit ist eine Eigenschaft von Wellen mit einer definierten Hüllkurve, die die Ausbreitung der Gesamtform der Wellenamplituden – Modulation oder Hüllkurve der Welle – durch den Raum (dh die Phasengeschwindigkeit) misst.

Sinuswellen[edit]

Mathematisch gesehen ist die grundlegendste Welle die (räumlich) eindimensionale Sinuswelle (auch genannt) harmonische Welle oder sinusförmig) mit einer Amplitude

${ displaystyle u}$

beschrieben durch die Gleichung:

${ displaystyle u (x, t) = A sin (kx- omega t + phi) ,}$

wo

Die Einheiten der Amplitude hängen von der Art der Welle ab. Transversale mechanische Wellen (zum Beispiel eine Welle auf einer Saite) haben eine Amplitude, die als Abstand (zum Beispiel Meter) ausgedrückt wird, mechanische longitudinale Wellen (zum Beispiel Schallwellen) verwenden Druckeinheiten (zum Beispiel Pascal) und elektromagnetische Wellen (eine Form der transversalen Vakuumwelle) drücken die Amplitude in Form ihres elektrischen Feldes (z. B. Volt / Meter) aus.

Die Wellenlänge

${ displaystyle lambda}$

ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Kämmen oder Tälern (oder anderen äquivalenten Punkten), der im Allgemeinen in Metern gemessen wird. Eine Wellenzahl

${ displaystyle k}$

Die räumliche Frequenz der Welle im Bogenmaß pro Entfernungseinheit (typischerweise pro Meter) kann durch die Beziehung der Wellenlänge zugeordnet werden

${ displaystyle k = { frac {2 pi} { lambda}}. ,}$

Die Periode

${ displaystyle T}$

ist die Zeit für einen vollständigen Zyklus einer Schwingung einer Welle. Die Frequenz

${ displaystyle f}$

ist die Anzahl der Perioden pro Zeiteinheit (pro Sekunde) und wird typischerweise in Hertz gemessen, das als Hz bezeichnet wird. Diese sind verwandt mit:

${ displaystyle f = { frac {1} {T}}. ,}$

Mit anderen Worten, die Frequenz und die Periode einer Welle sind wechselseitig.

Die Winkelfrequenz

${ displaystyle omega}$

repräsentiert die Frequenz im Bogenmaß pro Sekunde. Es hängt mit der Häufigkeit oder Periode von zusammen

${ displaystyle omega = 2 pi f = { frac {2 pi} {T}}. ,}$

Die Wellenlänge

${ displaystyle lambda}$

einer sinusförmigen Wellenform, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt

${ displaystyle v}$

ist gegeben durch:^[16]

${ displaystyle lambda = { frac {v} {f}},}$

wo

${ displaystyle v}$

wird die Phasengeschwindigkeit (Größe der Phasengeschwindigkeit) der Welle und genannt

${ displaystyle f}$

ist die Frequenz der Welle.

Wellenlänge kann ein nützliches Konzept sein, selbst wenn die Welle im Raum nicht periodisch ist. Zum Beispiel wogt in einer Ozeanwelle, die sich dem Ufer nähert, die ankommende Welle mit einer Variation lokal Wellenlänge, die teilweise von der Tiefe des Meeresbodens im Vergleich zur Wellenhöhe abhängt. Die Analyse der Welle kann auf einem Vergleich der lokalen Wellenlänge mit der lokalen Wassertiefe beruhen.^[17]

Obwohl sich beliebige Wellenformen in verlustfreien linearen zeitinvarianten Systemen unverändert ausbreiten, ist die Sinuswelle bei Vorhandensein von Dispersion die einzigartige Form, die sich unverändert ausbreitet, jedoch für Phase und Amplitude, was die Analyse erleichtert.^[18] Aufgrund der Kramers-Kronig-Beziehungen weist ein lineares Medium mit Dispersion ebenfalls Verluste auf, sodass die sich in einem dispersiven Medium ausbreitende Sinuswelle in bestimmten Frequenzbereichen gedämpft wird, die vom Medium abhängen.^[19]

Die Sinusfunktion ist periodisch, daher hat die Sinuswelle oder Sinuskurve eine Wellenlänge im Raum und eine Zeitperiode.^[20][21]

Die Sinuskurve ist für alle Zeiten und Entfernungen definiert, während wir uns in physischen Situationen normalerweise mit Wellen befassen, die für eine begrenzte Zeitspanne und Zeitdauer existieren. Eine beliebige Wellenform kann mithilfe der Fourier-Analyse in einen unendlichen Satz von Sinuswellen zerlegt werden. Infolgedessen kann der einfache Fall einer einzelnen Sinuswelle auf allgemeinere Fälle angewendet werden.^[22][23] Insbesondere sind viele Medien linear oder nahezu linear, sodass die Berechnung des Verhaltens beliebiger Wellen durch Addition der Antworten auf einzelne Sinuswellen unter Verwendung des Überlagerungsprinzips ermittelt werden kann, um die Lösung für eine allgemeine Wellenform zu finden.^[24] Wenn ein Medium nichtlinear ist, kann die Reaktion auf komplexe Wellen nicht aus einer Sinuswellenzerlegung bestimmt werden.

Flugzeugwellen[edit]

Eine ebene Welle ist eine Art Welle, deren Wert nur in einer Raumrichtung variiert. Das heißt, sein Wert ist in einer Ebene, die senkrecht zu dieser Richtung ist, konstant. Ebenenwellen können durch einen Vektor mit Längeneinheiten angegeben werden

${ displaystyle { hat {n}}}$

Angabe der Richtung, in der sich die Welle ändert, und eines Wellenprofils, das beschreibt, wie sich die Welle als Funktion der Verschiebung entlang dieser Richtung ändert (

${ displaystyle { hat {n}} cdot { vec {x}}}$

) und Zeit (

${ displaystyle t}$

). Da das Wellenprofil nur von der Position abhängt

${ displaystyle { vec {x}}}$

in der Kombination

${ displaystyle { hat {n}} cdot { vec {x}}}$

jede Verschiebung in Richtungen senkrecht zu

${ displaystyle { hat {n}}}$

kann den Wert des Feldes nicht beeinflussen.

Flugzeugwellen werden häufig verwendet, um elektromagnetische Wellen weit entfernt von einer Quelle zu modellieren. Bei elektromagnetischen ebenen Wellen sind die elektrischen und magnetischen Felder selbst quer zur Ausbreitungsrichtung und auch senkrecht zueinander.

Stehende Wellen[edit]

Eine stehende Welle, auch bekannt als stationäre Welleist eine Welle, deren Hüllkurve in einer konstanten Position bleibt. Dieses Phänomen entsteht durch Interferenz zwischen zwei Wellen, die sich in entgegengesetzte Richtungen bewegen.

Das Summe aus zwei sich gegenläufig ausbreitenden Wellen (gleicher Amplitude und Frequenz) entsteht a stehende Welle. Stehende Wellen entstehen üblicherweise, wenn eine Grenze die weitere Ausbreitung der Welle blockiert, wodurch eine Wellenreflexion verursacht wird und daher eine sich gegenläufig ausbreitende Welle eingeführt wird. Wenn beispielsweise eine Violinsaite verschoben wird, breiten sich Querwellen dahin aus, wo die Saite an der Brücke und an der Mutter an Ort und Stelle gehalten wird, wo die Wellen zurückreflektiert werden. An der Brücke und der Mutter sind die beiden gegenüberliegenden Wellen gegenphasig und heben sich gegenseitig auf, wodurch ein Knoten entsteht. Auf halber Strecke zwischen zwei Knoten befindet sich ein Gegenknoten, an dem sich die beiden Wellen gegenläufig ausbreiten verbessern einander maximal. Es gibt keine Nettoausbreitung von Energie über die Zeit.

Physikalische Eigenschaften[edit]

Wellen zeigen unter einer Reihe von Standardsituationen ein allgemeines Verhalten, zum Beispiel:

Übertragung und Medien[edit]

Wellen bewegen sich normalerweise in einer geraden Linie (dh geradlinig) durch a Übertragungsmedium. Solche Medien können in eine oder mehrere der folgenden Kategorien eingeteilt werden:

• EIN gebundenes Medium wenn es endlich ist, sonst ein unbegrenztes Medium
• EIN lineares Medium wenn die Amplituden verschiedener Wellen an einem bestimmten Punkt im Medium addiert werden können
• EIN einheitliches Medium oder homogenes Medium wenn seine physikalischen Eigenschaften an verschiedenen Orten im Raum unverändert sind
• Ein anisotropes Medium wenn sich eine oder mehrere seiner physikalischen Eigenschaften in eine oder mehrere Richtungen unterscheiden
• Ein isotropes Medium wenn seine physikalischen Eigenschaften die sind gleich in alle Richtungen

Absorption[edit]

Wellen werden normalerweise in Medien definiert, die es ermöglichen, dass sich der größte Teil oder die gesamte Energie einer Welle ohne Verlust ausbreitet. Materialien können jedoch als “verlustbehaftet” charakterisiert werden, wenn sie einer Welle Energie entziehen und diese normalerweise in Wärme umwandeln. Dies wird als “Absorption” bezeichnet. Ein Material, das die Energie einer Welle entweder durch Transmission oder durch Reflexion absorbiert, zeichnet sich durch einen komplexen Brechungsindex aus. Das Ausmaß der Absorption hängt im Allgemeinen von der Frequenz (Wellenlänge) der Welle ab, was beispielsweise erklärt, warum Objekte farbig erscheinen können.

Reflexion[edit]

Wenn eine Welle auf eine reflektierende Oberfläche trifft, ändert sie ihre Richtung, so dass der Winkel, den die einfallende Welle und die Linie senkrecht zur Oberfläche bilden, dem Winkel entspricht, den die reflektierte Welle und dieselbe normale Linie bilden.

Brechung[edit]

Brechung ist das Phänomen, dass eine Welle ihre Geschwindigkeit ändert. Mathematisch bedeutet dies, dass sich die Größe der Phasengeschwindigkeit ändert. Typischerweise tritt eine Brechung auf, wenn eine Welle von einem Medium in ein anderes übergeht. Der Betrag, um den eine Welle von einem Material gebrochen wird, ist durch den Brechungsindex des Materials gegeben. Die Einfalls- und Brechungsrichtungen beziehen sich nach dem Snellschen Gesetz auf die Brechungsindizes der beiden Materialien.

Beugung[edit]

Eine Welle zeigt Beugung, wenn sie auf ein Hindernis trifft, das die Welle biegt, oder wenn sie sich nach dem Austreten aus einer Öffnung ausbreitet. Beugungseffekte sind stärker ausgeprägt, wenn die Größe des Hindernisses oder der Öffnung mit der Wellenlänge der Welle vergleichbar ist.

Interferenz[edit]

Wenn sich Wellen in einem linearen Medium (im Normalfall) in einem Raumbereich kreuzen, interagieren sie nicht miteinander, sondern fahren fort, als ob das andere nicht vorhanden wäre. Jedoch zu jedem Zeitpunkt im diese Region die Feldmengen Die Beschreibung dieser Wellen addiert sich nach dem Überlagerungsprinzip. Wenn die Wellen in einer festen Phasenbeziehung dieselbe Frequenz haben, gibt es im Allgemeinen Positionen, an denen sich die beiden Wellen befinden in Phase und ihre Amplituden hinzufügenund andere Positionen, wo sie sind außer Phase und ihre Amplituden (teilweise oder vollständig) stornieren. Dies wird als Interferenzmuster bezeichnet.

Polarisation[edit]

Das Phänomen der Polarisation tritt auf, wenn Wellenbewegungen gleichzeitig in zwei orthogonalen Richtungen auftreten können. Beispielsweise können Transversalwellen polarisiert werden. Wenn die Polarisation als Deskriptor ohne Qualifikation verwendet wird, bezieht sie sich normalerweise auf den speziellen, einfachen Fall der linearen Polarisation. Eine Transversalwelle ist linear polarisiert, wenn sie nur in eine Richtung oder Ebene schwingt. Im Fall einer linearen Polarisation ist es oft nützlich, die relative Ausrichtung dieser Ebene senkrecht zur Fahrtrichtung zu addieren, in der die Schwingung auftritt, wie beispielsweise “horizontal”, wenn die Polarisationsebene parallel zur ist Boden. Elektromagnetische Wellen, die sich beispielsweise im freien Raum ausbreiten, sind transversal; Sie können mit einem Polarisationsfilter polarisiert werden.

Longitudinalwellen wie Schallwellen weisen keine Polarisation auf. Für diese Wellen gibt es nur eine Schwingungsrichtung, nämlich entlang der Fahrtrichtung.

Dispersion[edit]

Eine Welle wird dispergiert, wenn entweder die Phasengeschwindigkeit oder die Gruppengeschwindigkeit von der Wellenfrequenz abhängt. Die Dispersion lässt sich am leichtesten erkennen, wenn weißes Licht durch ein Prisma geleitet wird, wodurch das Farbspektrum des Regenbogens erzeugt wird. Isaac Newton führte Experimente mit Licht und Prismen durch und präsentierte seine Ergebnisse in der Opticks (1704), dass weißes Licht aus mehreren Farben besteht und dass diese Farben nicht weiter zerlegt werden können.^[25]

Mechanische Wellen[edit]

Wellen auf Saiten[edit]

Die Geschwindigkeit einer Transversalwelle, die sich entlang einer vibrierenden Saite bewegt ( v ) ist direkt proportional zur Quadratwurzel der Spannung der Saite ( T. ) über die lineare Massendichte ( μ ):

${ displaystyle v = { sqrt { frac {T} { mu}}}, ,}$

wo die lineare Dichte μ ist die Masse pro Längeneinheit der Saite.

Schallwellen[edit]

Schall- oder Schallwellen bewegen sich mit der von

${ displaystyle v = { sqrt { frac {B} { rho _ {0}}}, ,}$

oder die Quadratwurzel des adiabatischen Volumenmoduls geteilt durch die Umgebungsflüssigkeitsdichte (siehe Schallgeschwindigkeit).

Wasserwellen[edit]

• Wellen auf der Oberfläche eines Teiches sind eigentlich eine Kombination aus Quer- und Längswellen; Daher folgen die Punkte auf der Oberfläche Umlaufbahnen.
• Schall – eine mechanische Welle, die sich durch Gase, Flüssigkeiten, Feststoffe und Plasmen ausbreitet;
• Trägheitswellen, die in rotierenden Flüssigkeiten auftreten und durch den Coriolis-Effekt wiederhergestellt werden;
• Meeresoberflächenwellen, die Störungen sind, die sich durch Wasser ausbreiten.

Seismische Wellen[edit]

Seismische Wellen sind Energiewellen, die sich durch die Erdschichten bewegen und das Ergebnis von Erdbeben, Vulkanausbrüchen, Magmabewegungen, großen Erdrutschen und großen künstlichen Explosionen sind, die niederfrequente akustische Energie abgeben.

Doppler-Effekt[edit]

Das Doppler-Effekt (oder der Doppler-Verschiebung) ist die Frequenzänderung von a Welle in Bezug auf einen Beobachter, der sich relativ zur Wellenquelle bewegt.^[26] Es ist nach dem österreichischen Physiker Christian Doppler benannt, der das Phänomen 1842 beschrieb.

Stoßwellen[edit]

Eine Stoßwelle ist eine Art Ausbreitungsstörung. Wenn sich eine Welle schneller als die lokale Schallgeschwindigkeit in einer Flüssigkeit bewegt, handelt es sich um eine Stoßwelle. Wie eine gewöhnliche Welle trägt eine Stoßwelle Energie und kann sich durch ein Medium ausbreiten. Es ist jedoch durch eine abrupte, nahezu diskontinuierliche Änderung von Druck, Temperatur und Dichte des Mediums gekennzeichnet.^[27]

Andere[edit]

• Verkehrswellen, dh Ausbreitung unterschiedlicher Dichten von Kraftfahrzeugen usw., die als kinematische Wellen modelliert werden können^[28]
• Metachronale Welle bezieht sich auf das Auftreten einer Wanderwelle, die durch koordinierte sequentielle Aktionen erzeugt wird.

Elektromagnetische Wellen[edit]

Eine elektromagnetische Welle besteht aus zwei Wellen, die Schwingungen des elektrischen und magnetischen Feldes sind. Eine elektromagnetische Welle bewegt sich in einer Richtung, die rechtwinklig zur Schwingungsrichtung beider Felder ist. Im 19. Jahrhundert zeigte James Clerk Maxwell, dass im Vakuum die elektrischen und magnetischen Felder die Wellengleichung mit einer Geschwindigkeit erfüllen, die der Geschwindigkeit des Lichts entspricht. Daraus entstand die Idee, dass Licht eine elektromagnetische Welle ist. Elektromagnetische Wellen können unterschiedliche Frequenzen (und damit Wellenlängen) haben, wodurch verschiedene Arten von Strahlung entstehen, wie z. B. Radiowellen, Mikrowellen, Infrarot, sichtbares Licht, Ultraviolett-, Röntgen- und Gammastrahlen.

Quantenmechanische Wellen[edit]

Schrödinger-Gleichung[edit]

Die Schrödinger-Gleichung beschreibt das wellenartige Verhalten von Teilchen in der Quantenmechanik. Lösungen dieser Gleichung sind Wellenfunktionen, mit denen die Wahrscheinlichkeitsdichte eines Teilchens beschrieben werden kann.

Dirac-Gleichung[edit]

Die Dirac-Gleichung ist eine relativistische Wellengleichung, die elektromagnetische Wechselwirkungen detailliert. Dirac-Wellen erklärten die feinen Details des Wasserstoffspektrums auf völlig strenge Weise. Die Wellengleichung implizierte auch die Existenz einer neuen Form von Materie, Antimaterie, die zuvor nicht vermutet und nicht beobachtet wurde und die experimentell bestätigt wurde. Im Kontext der Quantenfeldtheorie wird die Dirac-Gleichung neu interpretiert, um Quantenfelder zu beschreiben, die Spin-½-Teilchen entsprechen.

de Broglie winkt[edit]

Louis de Broglie postulierte, dass alle Teilchen mit Impuls eine Wellenlänge haben

${ displaystyle lambda = { frac {h} {p}},}$

wo h ist Plancks Konstante und p ist die Größe des Impulses des Teilchens. Diese Hypothese lag der Quantenmechanik zugrunde. Heutzutage wird diese Wellenlänge als de Broglie-Wellenlänge bezeichnet. Beispielsweise haben die Elektronen in einer CRT-Anzeige eine De-Broglie-Wellenlänge von etwa 10⁻¹³ m.

Eine Welle, die ein solches Teilchen darstellt, das sich in der k-Direktion wird durch die Wellenfunktion wie folgt ausgedrückt:

${ displaystyle psi ( mathbf {r}, t = 0) = A e ^ {i mathbf {k cdot r}} ,}$

wobei die Wellenlänge durch den Wellenvektor bestimmt wird k wie:

${ displaystyle lambda = { frac {2 pi} {k}} ,}$

und die Dynamik von:

${ displaystyle mathbf {p} = hbar mathbf {k} .}$

Eine Welle wie diese mit einer bestimmten Wellenlänge ist jedoch nicht im Raum lokalisiert und kann daher kein im Raum lokalisiertes Teilchen darstellen. Um ein Teilchen zu lokalisieren, schlug de Broglie eine Überlagerung verschiedener Wellenlängen vor, die um einen zentralen Wert in einem Wellenpaket herum liegen.^[30] Eine Wellenform, die in der Quantenmechanik häufig zur Beschreibung der Wellenfunktion eines Teilchens verwendet wird. In einem Wellenpaket ist die Wellenlänge des Partikels nicht genau und die lokale Wellenlänge weicht auf beiden Seiten des Hauptwellenlängenwerts ab.

Bei der Darstellung der Wellenfunktion eines lokalisierten Teilchens wird häufig angenommen, dass das Wellenpaket eine Gaußsche Form hat und als a bezeichnet wird Gaußsches Wellenpaket.^[31] Gaußsche Wellenpakete werden auch zur Analyse von Wasserwellen verwendet.^[32]

Zum Beispiel könnte eine Gaußsche Wellenfunktion ψ die Form annehmen:^[33]

${ displaystyle psi (x, t = 0) = A exp left (- { frac {x ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}} + ik_ {0} x right ) ,}$

zu einem ersten Zeitpunkt t = 0, wobei die zentrale Wellenlänge mit dem zentralen Wellenvektor zusammenhängt k₀ als λ₀ = 2π / k₀. Es ist aus der Theorie der Fourier-Analyse bekannt,^[34] oder nach dem Heisenbergschen Unsicherheitsprinzip (im Fall der Quantenmechanik), dass ein enger Wellenlängenbereich erforderlich ist, um ein lokalisiertes Wellenpaket zu erzeugen, und je lokaler die Hüllkurve ist, desto größer ist die Streuung der erforderlichen Wellenlängen. Die Fourier-Transformation eines Gaußschen ist selbst ein Gaußscher.^[35] Angesichts des Gaußschen:

${ displaystyle f (x) = e ^ {- x ^ {2} / (2 sigma ^ {2})} ,}$

Die Fourier-Transformation lautet:

${ displaystyle { tilde {f}} (k) = sigma e ^ {- sigma ^ {2} k ^ {2} / 2} .}$

Der Gaußsche im Raum besteht daher aus Wellen:

${ displaystyle f (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}} int _ {- infty} ^ { infty} { tilde {f}} (k) e ^ {ikx} dk ;}$

das heißt, eine Anzahl von Wellen mit Wellenlängen λ, so dass kλ = 2 π.

Der Parameter σ bestimmt die räumliche Ausbreitung des Gaußschen entlang der x-Achse, während die Fourier-Transformation eine Ausbreitung im Wellenvektor zeigt k bestimmt durch 1 / σ. Das heißt, je kleiner die Ausdehnung im Raum ist, desto größer ist die Ausdehnung im Raum kund damit in λ = 2π /k.

Gravitationswellen[edit]

Gravitationswellen sind Wellen, die in einem flüssigen Medium oder an der Grenzfläche zwischen zwei Medien erzeugt werden, wenn die Schwerkraft oder der Auftrieb versucht, das Gleichgewicht wiederherzustellen. Eine Welle auf einem Teich ist ein Beispiel.

Gravitationswellen[edit]

Gravitationswellen wandern auch durch den Raum. Die erste Beobachtung von Gravitationswellen wurde am 11. Februar 2016 angekündigt.^[36]

Gravitationswellen sind Störungen in der Krümmung der Raumzeit, die von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie vorhergesagt werden.

Siehe auch[edit]

Wellen im Allgemeinen[edit]

Parameter[edit]

Wellenformen[edit]

Elektromagnetische Wellen[edit]

In Flüssigkeiten[edit]

In der Quantenmechanik[edit]

In der Relativitätstheorie[edit]

Andere spezifische Arten von Wellen[edit]

verwandte Themen[edit]

Verweise[edit]

Quellen[edit]

Externe Links[edit]