Morse-Kelley-Mengenlehre – Wikipedia

In den Grundlagen der Mathematik, Morse-Kelley-Mengenlehre (MK), Kelley-Morse-Mengenlehre (KM), Morse-Tarski-Mengenlehre (MT), Quine-Morse-Mengenlehre (QM) oder der System von Quine und Morse ist eine axiomatische Mengenlehre erster Ordnung, die eng mit der von Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre (NBG) verwandt ist. Während die von Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre die gebundenen Variablen in der im Axiomschema des Klassenverständnisses enthaltenen schematischen Formel so einschränkt, dass sie sich nur über Mengen erstrecken, erlaubt die Morse-Kelley-Mengenlehre diesen gebundenen Variablen, sich über geeignete Klassen sowie Mengen zu erstrecken. wie erstmals 1940 von Quine für sein System ML vorgeschlagen.

Die Morse-Kelley-Mengenlehre ist nach den Mathematikern John L. Kelley und Anthony Morse benannt und wurde zuerst von Wang (1949) und später in einem Anhang zu Kelleys Lehrbuch dargelegt Allgemeine Topologie (1955), eine Einführung in die Topologie auf Hochschulniveau. Kelley sagte, das System in seinem Buch sei eine Variante der Systeme aufgrund von Thoralf Skolem und Morse. Morses eigene Version erschien später in seinem Buch Eine Theorie der Mengen (1965).

Während die von Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre eine konservative Erweiterung der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC, die kanonische Mengenlehre) in dem Sinne ist, dass eine Aussage in der Sprache der ZFC in NBG genau dann nachweisbar ist, wenn sie in nachweisbar ist Die ZFC-, Morse-Kelley-Mengenlehre ist eine angemessene Erweiterung von ZFC. Im Gegensatz zur von Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre, bei der das Axiomschema des Klassenverständnisses durch endlich viele seiner Instanzen ersetzt werden kann, kann die Morse-Kelley-Mengenlehre nicht endlich axiomatisiert werden.

MK Axiome und Ontologie[edit]

NBG und MK teilen eine gemeinsame Ontologie. Das Diskursuniversum besteht aus Klassen. Klassen, die Mitglieder anderer Klassen sind, werden als Mengen bezeichnet. Eine Klasse, die keine Menge ist, ist eine richtige Klasse. Die primitiven Atomsätze beinhalten Mitgliedschaft oder Gleichheit.

Mit Ausnahme des Klassenverständnisses sind die folgenden Axiome dieselben wie die für NBG, abgesehen von unwesentlichen Details. Die symbolischen Versionen der Axiome verwenden die folgenden Notationsvorrichtungen:

• Die Großbuchstaben außer M., die in Extensionality, Class Comprehension und Foundation erscheinen, bezeichnen Variablen, die sich über Klassen erstrecken. Ein Kleinbuchstabe kennzeichnet eine Variable, die keine richtige Klasse sein kann, da sie links von einem ∈ erscheint. Da MK eine einsortierte Theorie ist, ist diese Notationskonvention nur mnemonisch.
• Das monadische Prädikat
  ${ displaystyle Mx,}$

  deren beabsichtigte Lesart ist “die Klasse x ist eine Menge “, abgekürzt

  ${ displaystyle existiert W (x in W).}$

  

• Das leere Set
  ${ displaystyle varnothing}$

  ist definiert durch

  ${ displaystyle forall x (x not in varnothing).}$

  

• Die Klasse V.Die universelle Klasse mit allen möglichen Mengen als Mitglieder wird definiert durch
  ${ displaystyle forall x (Mx bis x in V).}$

  V. ist auch das Von Neumann-Universum.

Extensionalität: Klassen mit denselben Mitgliedern sind dieselbe Klasse.

${ displaystyle forall X , forall Y , ( forall z , (z in X leftrightarrow z in Y) rightarrow X = Y).}$

Eine Menge und eine Klasse mit derselben Erweiterung sind identisch. Daher ist MK keine gegenteilige Theorie, trotz gegenteiliger Erscheinungen.

Stiftung: Jede nicht leere Klasse EIN ist von mindestens einem seiner Mitglieder getrennt.

${ displaystyle forall A.[Anot =varnothing rightarrow exists b(bin Aland forall c(cin brightarrow cnot in A))].}$

Klassenverständnis: Sei φ (x) sei eine beliebige Formel in der Sprache von MK, in der x ist eine freie Variable und Y. ist nicht frei. φ (x) kann Parameter enthalten, die entweder Mengen oder richtige Klassen sind. Folglich sind die quantifizierten Variablen in φ (x) kann sich über alle Klassen und nicht nur über alle Mengen erstrecken; Nur so unterscheidet sich MK von NBG. Dann gibt es eine Klasse

${ displaystyle Y = {x mid phi (x) }}$

deren Mitglieder sind genau diese setzt x so dass

${ displaystyle phi (x)}$

kommt wahr heraus. Formal, wenn Y. ist in φ nicht frei:

${ displaystyle forall W_ {1} … W_ {n} existiert Y forall x[xin Yleftrightarrow (phi (x,W_{1},…W_{n})land Mx)].}$

Paarung: Für alle Sets x und ygibt es eine Menge

${ displaystyle z = {x, y }}$

deren Mitglieder sind genau x und y.

${ displaystyle forall x , forall y ,[(Mxland My)rightarrow exists z,(Mzland forall s,[sin zleftrightarrow (s=x,lor ,s=y)])].}$

Durch das Pairing wird das ungeordnete Paar lizenziert, anhand dessen das bestellte Paar

${ displaystyle langle x, y rangle}$

kann auf übliche Weise definiert werden als

${ displaystyle { {x }, {x, y } }}$

. Mit geordneten Paaren in der Hand ermöglicht das Klassenverständnis das Definieren von Beziehungen und Funktionen auf Mengen als Mengen geordneter Paare, wodurch das nächste Axiom ermöglicht wird:

Größenbeschränkung: C. ist genau dann eine richtige Klasse, wenn V. kann eins zu eins zugeordnet werden C..

${ displaystyle { begin {array} {l} forall C.[lnot MCleftrightarrow exists F(forall x[Mxrightarrow exists s(sin Cland langle x,srangle in F)] land \ qquad forall x forall y forall s[(langle x,srangle in Fland langle y,srangle in F)rightarrow x=y])]. end {array}}}$

Die formale Version dieses Axioms ähnelt dem Axiomschema der Ersetzung und verkörpert die Klassenfunktion F.. Im nächsten Abschnitt wird erläutert, wie die Größenbeschränkung stärker ist als die üblichen Formen des Axioms der Wahl.

Power Set: Lassen p eine Klasse sein, deren Mitglieder alle möglichen Teilmengen der Menge sind ein. Dann p Ist ein Satz.

${ displaystyle forall a , forall p ,[(Maland forall x,[xin pleftrightarrow forall y,(yin xrightarrow yin a)]) rightarrow Mp].}$

Union: Lassen

${ displaystyle s = bigcup a}$

sei die Summenklasse der Menge ein, nämlich die Vereinigung aller Mitglieder von ein. Dann s Ist ein Satz.

${ displaystyle forall a , forall s ,[(Maland forall x,[xin sleftrightarrow exists y,(xin yland yin a)]) rightarrow Ms].}$

Unendlichkeit: Es gibt einen induktiven Satz ywas bedeutet, dass (i) die leere Menge ein Mitglied von ist y;; (ii) wenn x ist Mitglied von ydann ist es auch so

${ displaystyle x cup {x }.}$

.

${ displaystyle existiert y[Myland varnothing in yland forall z(zin yrightarrow exists x[xin yland forall w(win xleftrightarrow [w=zlor win z])])].}$

Beachten Sie, dass p und s in Power Set und Union werden universell und nicht existenziell quantifiziert, da das Klassenverständnis ausreicht, um die Existenz von zu begründen p und s. Power Set und Union dienen nur dazu, dies festzustellen p und s kann keine richtige Klasse sein.

Die obigen Axiome werden wie folgt mit anderen Mengen-Theorien geteilt:

• ZFC und NBG: Pairing, Power Set, Union, Infinity;
• NBG (und ZFC, wenn quantifizierte Variablen auf Mengen beschränkt waren): Extensionalität, Grundlage;
• NBG: Größenbeschränkung.

Diskussion[edit]

Monk (1980) und Rubin (1967) sind satztheoretische Texte, die sich um MK drehen. Rubins Ontologie umfasst Urelemente. Diese Autoren und Mendelson (1997: 287) behaupten, dass MK das tut, was von einer Mengenlehre erwartet wird, während es weniger umständlich ist als ZFC und NBG.

MK ist streng stärker als ZFC und seine konservative Erweiterung NBG, die andere bekannte Mengenlehre mit geeigneten Klassen. Tatsächlich kann NBG – und damit ZFC – in MK als konsistent nachgewiesen werden. Die Stärke von MK beruht darauf, dass das Axiomschema des Klassenverständnisses nicht aussagekräftig ist, was bedeutet, dass φ (x) kann quantifizierte Variablen enthalten, die sich über Klassen erstrecken. Die quantifizierten Variablen im Axiomschema des Klassenverständnisses von NBG sind auf Mengen beschränkt. Daher muss das Klassenverständnis in NBG prädikativ sein. (Die Trennung in Bezug auf Mengen ist in NBG immer noch nicht aussagekräftig, da die Quantifizierer in φ (x) kann sich über alle Mengen erstrecken.) Das NBG-Axiomschema des Klassenverständnisses kann durch endlich viele seiner Instanzen ersetzt werden; Dies ist in MK nicht möglich. MK ist konsistent in Bezug auf ZFC, ergänzt durch ein Axiom, das die Existenz stark unzugänglicher Kardinäle behauptet.

Der einzige Vorteil des Axioms der Größenbeschränkung besteht darin, dass es das Axiom der globalen Wahl impliziert. Eine Größenbeschränkung erscheint nicht in Rubin (1967), Monk (1980) oder Mendelson (1997). Stattdessen berufen sich diese Autoren auf eine übliche Form des lokalen Axioms der Wahl und ein “Axiom des Ersatzes”.^[1] Wenn die Domäne einer Klassenfunktion eine Menge ist, ist ihr Bereich auch eine Menge. Ersatz kann alles beweisen, was die Größenbeschränkung beweist, außer irgendeine Form des Axioms der Wahl.

Größenbeschränkung plus ich eine Menge zu sein (daher ist das Universum nicht leer), macht die Sethood der leeren Menge beweisbar; daher ist kein Axiom der leeren Menge erforderlich. Ein solches Axiom könnte natürlich hinzugefügt werden, und geringfügige Störungen der obigen Axiome würden diese Hinzufügung erforderlich machen. Der Satz ich wird nicht mit der Grenzwert-Ordnungszahl identifiziert

${ displaystyle omega,}$

wie ich könnte ein Satz größer sein als

${ displaystyle omega.}$

In diesem Fall ist die Existenz von

${ displaystyle omega}$

würde aus jeder Form der Größenbeschränkung folgen.

Die Klasse der von Neumann-Ordnungszahlen kann gut geordnet werden. Es kann keine Menge sein (unter dem Schmerz des Paradoxons); Daher ist diese Klasse eine richtige Klasse, und alle richtigen Klassen haben die gleiche Größe wie V.. Daher V. Auch kann gut geordnet werden.

MK kann mit ZFC zweiter Ordnung, ZFC mit Logik zweiter Ordnung (die Objekte zweiter Ordnung in Mengen und nicht in Prädikatsprache darstellt) als Hintergrundlogik verwechselt werden. Die Sprache von ZFC zweiter Ordnung ähnelt der von MK (obwohl eine Menge und eine Klasse mit derselben Erweiterung nicht mehr identifiziert werden können), und ihre syntaktischen Ressourcen für den praktischen Beweis sind nahezu identisch (und identisch, wenn MK die Starken enthält Form der Größenbeschränkung). Die Semantik von ZFC zweiter Ordnung unterscheidet sich jedoch erheblich von der von MK. Wenn MK beispielsweise konsistent ist, hat es ein zählbares Modell erster Ordnung, während ZFC zweiter Ordnung keine zählbaren Modelle hat.

Modelltheorie[edit]

ZFC, NBG und MK haben jeweils Modelle, die in Bezug auf beschrieben werden können V., das Standardmodell von ZFC und dem von Neumann-Universum. Der unzugängliche Kardinal κ sei ein Mitglied von V.. Lassen Sie auch Def (X.) bezeichnen das Δ₀ definierbare Teilmengen von X. (siehe konstruierbares Universum). Dann:

• V._κ ist ein beabsichtigtes Modell von ZFC;
• Def (V._κ) ist ein beabsichtigtes Modell von Mendelsons Version von NBG, das die globale Auswahl ausschließt und die Größenbeschränkung durch Ersetzung und gewöhnliche Auswahl ersetzt;
• V._{κ + 1}, die Leistung von V._κist ein beabsichtigtes Modell von MK.

Geschichte[edit]

MK wurde zuerst in Wang (1949) gegründet und in einem Anhang zu JL Kelley’s (1955) populär gemacht. Allgemeine Topologieunter Verwendung der im nächsten Abschnitt angegebenen Axiome. Das System von Anthony Morse (1965) Eine Theorie der Mengen ist äquivalent zu Kelleys, aber in einer eigenwilligen formalen Sprache formuliert und nicht wie hier in der Standardlogik erster Ordnung. Die erste Mengenlehre, die ein aussagekräftiges Klassenverständnis beinhaltete, war Quines ML, die eher auf neuen Grundlagen als auf ZFC aufbaute.^[2]Ein aussagekräftiges Klassenverständnis wurde auch in Mostowski (1951) und Lewis (1991) vorgeschlagen.

Die Axiome bei Kelley Allgemeine Topologie[edit]

Die Axiome und Definitionen in diesem Abschnitt stammen, abgesehen von einigen unwesentlichen Details, aus dem Anhang zu Kelley (1955). Die folgenden Erläuterungen sind nicht seine. Der Anhang enthält 181 Theoreme und Definitionen und rechtfertigt eine sorgfältige Lektüre als abgekürzte Darstellung der axiomatischen Mengenlehre durch einen arbeitenden Mathematiker ersten Ranges. Kelley führte seine Axiome nach und nach ein, um die nach jeder Instanz von aufgeführten Themen zu entwickeln Entwickeln unten.

Notationen, die unten erscheinen und jetzt bekannt sind, sind nicht definiert. Zu den Besonderheiten von Kelleys Notation gehören:

• Er hat nicht Variablen, die sich über Klassen erstrecken, von solchen unterscheiden, die sich über Mengen erstrecken;
• Domain f und Bereich f bezeichnen die Domäne und den Bereich der Funktion f;; Diese Besonderheit wurde im Folgenden sorgfältig respektiert.
• Seine primitive logische Sprache enthält Klassenzusammenfassungen der Form
  ${ displaystyle {x: A (x) },}$

  “die Klasse aller Sätze x befriedigend EIN(x). “

Definition: x ist ein einstellen (und daher keine richtige Klasse), wenn für einige y,

${ displaystyle x in y}$

.

I. Umfang: Für jeden x und jede y, x = y genau dann, wenn für jeden z,

${ displaystyle z in x}$

wann und nur wann

${ displaystyle z in y.}$

Identisch mit Extensionalität über. ich wäre identisch mit dem Axiom der Extensionalität in ZFC, außer dass der Umfang von ich Enthält geeignete Klassen sowie Sets.

II. Klassifizierung (Schema): Ein Axiom ergibt sich, wenn in

Für jeden

${ displaystyle beta}$

,

${ displaystyle beta in { alpha: A }}$

dann und nur dann, wenn

${ displaystyle beta}$

ist ein Satz und

${ displaystyle B,}$

‘α’ und ‘β’ werden durch Variablen ersetzt. ‘ EIN ‘durch eine Formel Æ und’ B. ‘durch die aus Æ erhaltene Formel durch Ersetzen jedes Auftretens der Variablen, die α ersetzte, durch die Variable, die β ersetzte, vorausgesetzt, die Variable, die β ersetzte, erscheint nicht gebunden in EIN.

Entwickeln: Boolesche Algebra von Mengen. Existenz der Nullklasse und der Universalklasse V..

III. Teilmengen: Wenn x ist eine Menge, es existiert eine Menge y so dass für jeden z, wenn

${ displaystyle z subseteq x}$

, dann

${ displaystyle z in y.}$

Der Import von III ist das von Power Set über. Skizze des Power Set-Nachweises von III: für jeden Klasse z Das ist eine Unterklasse der Menge x, die Klasse z ist ein Mitglied des Sets y deren Existenz III behauptet. Daher z Ist ein Satz.

Entwickeln:: V. ist kein Satz. Existenz von Singletons. Trennung nachweisbar.

IV. Union: Wenn x und y sind dann beide Sätze

${ displaystyle x cup y}$

Ist ein Satz.

Der Import von IV ist das von Paarung über. Skizze des Paarungsnachweises von IV: der Singleton

${ displaystyle {x }}$

eines Satzes x ist eine Menge, weil es eine Unterklasse der Potenzmenge von ist x (durch zwei Anwendungen von III). Dann IV impliziert, dass

${ displaystyle {x, y }}$

ist ein Satz wenn x und y sind Sätze.

Entwickeln: Ungeordnete und geordnete Paare, Beziehungen, Funktionen, Domäne, Bereich, Funktionszusammensetzung.

V. Substitution: Wenn f ist ein [class] Funktion und Domain f ist also ein Satz Bereich f Ist ein Satz.

Der Import von V. ist das des Axiomschemas des Ersatzes in NBG und ZFC.

VI. Verschmelzung: Wenn x ist also ein Satz

${ displaystyle bigcup x}$

Ist ein Satz.

Der Import von VI ist das von Union über. IV und VI kann zu einem Axiom kombiniert werden.^[3]

Entwickeln: Kartesisches Produkt, Injektion, Surjektion, Bijektion, Ordnungstheorie.

VII. Regelmäßigkeit: Wenn

${ displaystyle x neq varnothing}$

Es gibt ein Mitglied y von x so dass

${ displaystyle x cap y = varnothing.}$

Der Import von VII ist das von Stiftung über.

Entwickeln: Ordnungszahlen, transfinite Induktion.

VIII. Unendlichkeit: Es gibt eine Menge y, so dass

${ displaystyle varnothing in y}$

und

${ displaystyle x cup {x } in y}$

wann immer

${ displaystyle x in y.}$

Dieses Axiom oder Äquivalente dazu sind in ZFC und NBG enthalten. VIII behauptet die bedingungslose Existenz von zwei Mengen, der unendlichen induktiven Menge yund die Nullmenge

${ displaystyle varnothing.}$

${ displaystyle varnothing}$

ist ein Set, einfach weil es ein Mitglied von ist y. Bis zu diesem Punkt ist alles, was bewiesen wurde, eine Klasse, und Kelleys Diskussion über Mengen war völlig hypothetisch.

Entwickeln: Natürliche Zahlen, N. ist eine Menge, Peano-Axiome, ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen.

Definition: c ist ein Auswahlfunktion wenn c ist eine Funktion und

${ displaystyle c (x) in x}$

für jedes Mitglied x von Domäne c.

IX. Wahl: Es gibt eine Auswahlfunktion c wessen Domain ist

${ displaystyle V – { varnothing }.}$

.

IX ist dem Axiom der globalen Wahl sehr ähnlich, von dem abgeleitet werden kann Größenbeschränkung über.

Entwickeln: Äquivalente des Axioms der Wahl. Wie bei ZFC erfordert die Entwicklung der Kardinalzahlen irgendeine Form der Wahl.

Wenn der Umfang aller quantifizierten Variablen in den obigen Axiomen auf Mengen beschränkt ist, gelten alle Axiome außer III und das Schema IV sind ZFC-Axiome. IV ist in ZFC nachweisbar. Daher die Kelley-Behandlung von MK macht sehr deutlich, dass alles, was unterscheidet MK von ZFC sind Variablen, die sich über richtige Klassen sowie Mengen und das Klassifizierungsschema erstrecken.

Verweise[edit]

• John L. Kelley 1975 (1955) Allgemeine Topologie. Springer. Frühere Ausgabe, Van Nostrand. Anhang “Elementare Mengenlehre”.
• Lemmon, EJ (1986) Einführung in die Axiomatische Mengenlehre. Routledge & Kegan Paul.
• David K. Lewis (1991) Teile von Klassen. Oxford: Basil Blackwell.
• Mendelson, Elliott (1997). Einführung in die mathematische Logik. Chapman & Hall. ISBN 0-534-06624-0. Die endgültige Behandlung der eng verwandten Mengenlehre NBG, gefolgt von einer Seite über MK. Härter als Mönch oder Rubin.
• Monk, J. Donald (1980) Einführung in die Mengenlehre. Krieger. Einfacher und weniger gründlich als Rubin.
• Morse, AP (1965) Eine Theorie der Mengen. Akademische Presse.
• Mostowski, Andrzej (1950), “Einige improvisatorische Definitionen in der axiomatischen Mengenlehre” (PDF), Fundamenta Mathematicae, 37: 111–124, doi:10.4064 / fm-37-1-111-124.
• Rubin, Jean E. (1967) Mengenlehre für den Mathematiker. San Francisco: Holden Day. Gründlicher als Monk; Die Ontologie umfasst Urelemente.
• Wang, Hao (1949), “Über Zermelos und von Neumanns Axiome für die Mengenlehre”, Proc. Natl. Acad. Sci. Vereinigte Staaten von Amerika, 35: 150–155, doi:10.1073 / pnas.35.3.150, JSTOR 88430, HERR 0029850, PMC 1062986, PMID 16588874.

Externe Links[edit]

Aus der Diskussionsgruppe Grundlagen der Mathematik (FOM):