[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/2020\/12\/12\/normales-schema-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/2020\/12\/12\/normales-schema-wikipedia\/","headline":"Normales Schema – Wikipedia","name":"Normales Schema – Wikipedia","description":"In der algebraischen Geometrie eine algebraische Variante oder ein algebraisches Schema X. ist normal Wenn es an jedem Punkt normal","datePublished":"2020-12-12","dateModified":"2020-12-12","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/8\/88\/Newtonsche_Knoten.png\/220px-Newtonsche_Knoten.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/8\/88\/Newtonsche_Knoten.png\/220px-Newtonsche_Knoten.png","height":"215","width":"220"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/2020\/12\/12\/normales-schema-wikipedia\/","wordCount":4099,"articleBody":"In der algebraischen Geometrie eine algebraische Variante oder ein algebraisches Schema X.  ist normal Wenn es an jedem Punkt normal ist, bedeutet dies, dass der lokale Ring am Punkt eine vollst\u00e4ndig geschlossene Dom\u00e4ne ist.  Eine affine Sorte X. (als irreduzibel verstanden) ist genau dann normal, wenn der Ring \u00d6(X.) von regul\u00e4ren Funktionen auf X. ist eine ganzheitlich geschlossene Dom\u00e4ne.  Eine Auswahl X. \u00fcber einem Feld ist genau dann normal, wenn jeder endliche Birationsmorphismus von irgendeiner Art ist Y. zu X. ist ein Isomorphismus.  Normale Sorten wurden von Zariski (1939, Abschnitt III) eingef\u00fchrt.Table of ContentsGeometrische und algebraische Interpretationen der Normalit\u00e4t[edit]Die Normalisierung[edit]Beispiele[edit]Normalisierung einer Spitze[edit]Normalisierung der Achsen in der affinen Ebene[edit]Normalisierung der reduzierbaren projektiven Vielfalt[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Geometrische und algebraische Interpretationen der Normalit\u00e4t[edit]Ein Morphismus von Sorten ist endlich, wenn das umgekehrte Bild jedes Punktes endlich ist und der Morphismus richtig ist.  Ein Morphismus von Sorten ist birational, wenn er sich auf einen Isomorphismus zwischen dichten offenen Teilmengen beschr\u00e4nkt.  So zum Beispiel die kubische Eckkurve X. in der affinen Ebene EIN2 definiert von x2 = y3 ist nicht normal, weil es einen endlichen birationalen Morphismus gibt EIN1 \u2192 X.(n\u00e4mlich, t Karten zu (t3, t2)) was kein Isomorphismus ist.  Im Gegensatz dazu die affine Linie EIN1 ist normal: es kann nicht weiter durch endliche birationale Morphismen vereinfacht werden.  Eine normale komplexe Sorte X. hat die Eigenschaft, dass jeder Link verbunden ist, wenn er unter Verwendung der klassischen Topologie als geschichteter Raum betrachtet wird.  Gleicherma\u00dfen jeder komplexe Punkt x hat willk\u00fcrlich kleine Nachbarschaften U. so dass U. abz\u00fcglich der singul\u00e4ren Menge von X. Ist verbunden.  Zum Beispiel folgt daraus die kubische Knotenkurve X. in der Figur definiert durch  x2 = y2(y + 1) ist nicht normal.  Dies folgt auch aus der Definition der Normalit\u00e4t, da es einen endlichen birationalen Morphismus gibt EIN1 zu X. das ist kein Isomorphismus;  es sendet zwei Punkte von EIN1 zum gleichen Punkt in X..  Ganz allgemein ein Schema X. ist normal wenn jeder seiner lokalen klingelt\u00d6X, xist eine ganzheitlich geschlossene Dom\u00e4ne.  Das hei\u00dft, jeder dieser Ringe ist eine integrale Dom\u00e4ne R.und jeder Ring S. mit R. \u2286 S. \u2286 Frac (R.) so dass S. wird endlich als R.-Modul ist gleich R..  (Hier Frac (R.) bezeichnet das Feld der Br\u00fcche von R..) Dies ist eine direkte \u00dcbersetzung des geometrischen Zustands, zu dem jeder endliche Birationsmorphismus f\u00fchrt, in Form lokaler Ringe X. ist ein Isomorphismus.Eine \u00e4ltere Vorstellung ist, dass eine Subvariet\u00e4t X. des projektiven Raums ist linear normal, wenn das lineare System, das die Einbettung ergibt, vollst\u00e4ndig ist.  Gleicherma\u00dfen X. \u2286 P.n ist nicht die lineare Projektion einer Einbettung X. \u2286  P.n + 1 (es sei denn X. ist in einer Hyperebene enthalten P.n).  Dies ist die Bedeutung von “normal” in den Phrasen rationale normale Kurve und rationale normale Schriftrolle.  Jedes regul\u00e4re Schema ist normal.  Umgekehrt zeigte Zariski (1939, Satz 11), dass jede normale Sorte au\u00dferhalb einer Teilmenge der Codimension von mindestens 2 regelm\u00e4\u00dfig ist, und ein \u00e4hnliches Ergebnis gilt f\u00fcr Schemata.[1]  So ist beispielsweise jede normale Kurve regelm\u00e4\u00dfig.Die Normalisierung[edit]Jedes reduzierte Schema X. hat eine einzigartige Normalisierung: ein normales Schema Y. mit einem integralen birationalen Morphismus Y. \u2192 X..  (Zum X. eine Vielfalt \u00fcber ein Feld, der Morphismus Y. \u2192 X. ist endlich, was st\u00e4rker ist als “Integral”.[2]) Die Normalisierung eines Schemas der Dimension 1 ist regelm\u00e4\u00dfig, und die Normalisierung eines Schemas der Dimension 2 weist nur isolierte Singularit\u00e4ten auf.  Die Normalisierung wird normalerweise nicht zur Aufl\u00f6sung von Singularit\u00e4ten f\u00fcr Schemata h\u00f6herer Dimension verwendet.Um die Normalisierung zu definieren, nehmen wir zun\u00e4chst an, dass X. ist ein irreduzibles reduziertes Schema X..  Jede affine offene Untergruppe von X. hat die Form Spec R. mit R. eine integrale Dom\u00e4ne.  Schreiben X. als Vereinigung affiner offener Teilmengen Spec EINich.  Lassen B.ich der integrale Verschluss von sein EINich in seinem Bruchfeld.  Dann die Normalisierung von X. wird durch Zusammenkleben der affinen Schemata Spec definiert B.ich.Beispiele[edit]Wenn das anf\u00e4ngliche Schema nicht irreduzibel ist, wird die Normalisierung als die disjunkte Vereinigung der Normalisierungen der irreduziblen Komponenten definiert.Normalisierung einer Spitze[edit]Betrachten Sie die affine KurveC.=Spec(k[x,y]y2– –x5){ displaystyle C = { text {Spec}}  left ({ frac {k[x,y]} {y ^ {2} -x ^ {5}}}  right)}mit der H\u00f6ckersingularit\u00e4t am Ursprung.  Seine Normalisierung kann durch die Karte gegeben werdenSpec(k[t])\u2192C.{ displaystyle { text {Spec}} (k[t])  bis C}induziert aus der Algebra-Kartex\u21a6t2,y\u21a6t5{ displaystyle x  mapsto t ^ {2}, y  mapsto t ^ {5}}Normalisierung der Achsen in der affinen Ebene[edit]Zum Beispiel,X.=Spec(C.[x,y]\/.(xy)){ displaystyle X = { text {Spec}} ( mathbb {C} [x,y]\/ (xy))}ist kein irreduzibles Schema, da es zwei Komponenten hat.  Seine Normalisierung ist durch den Schemamorphismus gegebenSpec(C.[x,y]\/.(x)\u00d7C.[x,y]\/.(y))\u2192Spec(C.[x,y]\/.(xy)){ displaystyle { text {Spec}} ( mathbb {C} [x,y]\/ (x)  times  mathbb {C} [x,y]\/ (y))  to { text {Spec}} ( mathbb {C} [x,y]\/ (xy))}induziert aus den beiden QuotientenkartenC.[x,y]\/.(xy)\u2192C.[x,y]\/.(x,xy)=C.[x,y]\/.(x){ displaystyle  mathbb {C} [x,y]\/ (xy)  to  mathbb {C} [x,y]\/ (x, xy) =  mathbb {C} [x,y]\/ (x)}C.[x,y]\/.(xy)\u2192C.[x,y]\/.(y,xy)=C.[x,y]\/.(y){ displaystyle  mathbb {C} [x,y]\/ (xy)  to  mathbb {C} [x,y]\/ (y, xy) =  mathbb {C} [x,y]\/ (y)}Normalisierung der reduzierbaren projektiven Vielfalt[edit]Ebenso f\u00fcr homogene irreduzible Polynome f1,\u2026,fk{ displaystyle f_ {1},  ldots, f_ {k}}  in einem UFD die Normalisierung vonProj(k[x0,\u2026,xn](f1\u22effk,G)){ displaystyle { text {Proj}}  left ({ frac {k[x_{0},ldots ,x_{n}]} {(f_ {1}  cdots f_ {k}, g)}}  right)}ist durch den Morphismus gegebenProj(\u220fk[x0\u2026,xn](fich,G))\u2192Proj(k[x0,\u2026,xn](f1\u22effk,G)){ displaystyle { text {Proj}}  left ( prod { frac {k[x_{0}ldots ,x_{n}]} {(f_ {i}, g)}}  right)  to { text {Proj}}  left ({ frac {k[x_{0},ldots ,x_{n}]} {(f_ {1}  cdots f_ {k}, g)}}  right)}Siehe auch[edit]^ Eisenbud, D. Kommutative Algebra (1995).  Springer, Berlin.  Satz 11.5^ Eisenbud, D. Kommutative Algebra (1995).  Springer, Berlin.  Folgerung 13.13Verweise[edit]Eisenbud, David (1995), Kommutative Algebra.  Mit Blick auf die algebraische Geometrie., Diplomtexte in Mathematik, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 \/ 978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, HERR 1322960Hartshorne, Robin (1977), Algebraische Geometrie, Diplomtexte in Mathematik, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, HERR 0463157, p.  91Zariski, Oscar (1939), “Einige Ergebnisse in der arithmetischen Theorie algebraischer Variet\u00e4ten.”, Amer.  J. Math., 61 (2): 249\u2013294, doi:10.2307 \/ 2371499, JSTOR 2371499, HERR 1507376"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/2020\/12\/12\/normales-schema-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Normales Schema – Wikipedia"}}]}]