Allgemeine lineare Gruppe – Wikipedia

nxn invertierbare Matrizen über einem Ring

In der Mathematik ist die allgemeine lineare Gruppe Grad n ist die Menge von n×n invertierbare Matrizen zusammen mit der Operation der gewöhnlichen Matrixmultiplikation. Dies bildet eine Gruppe, da das Produkt zweier invertierbarer Matrizen wieder invertierbar ist und die Inverse einer invertierbaren Matrix invertierbar ist, wobei die Identitätsmatrix das Identitätselement der Gruppe ist. Die Gruppe wird so genannt, weil die Spalten einer invertierbaren Matrix linear unabhängig sind, daher befinden sich die Vektoren / Punkte, die sie definieren, in der allgemeinen linearen Position, und Matrizen in der allgemeinen linearen Gruppe nehmen Punkte in der allgemeinen linearen Position zu Punkten in der allgemeinen linearen Position.

Um genauer zu sein, muss angegeben werden, welche Art von Objekten in den Einträgen der Matrix erscheinen darf. Zum Beispiel ist die allgemeine lineare Gruppe vorbei R. (die Menge der reellen Zahlen) ist die Gruppe von n×n invertierbare Matrizen reeller Zahlen und wird mit GL bezeichnet_n((R.) oder GL (n, R.).

Allgemeiner die allgemeine lineare Gradgruppe n über ein beliebiges Feld F. (wie die komplexen Zahlen) oder ein Ring R. (wie der Ring von ganzen Zahlen), ist die Menge von n×n invertierbare Matrizen mit Einträgen von F. (oder R.), wieder mit Matrixmultiplikation als Gruppenoperation.^[1] Typische Notation ist GL_n((F.) oder GL (n, F.)oder einfach GL (n) wenn das Feld verstanden wird.

Noch allgemeiner ist die allgemeine lineare Gruppe eines Vektorraums GL (V.) ist die abstrakte Automorphismusgruppe, die nicht unbedingt als Matrizen geschrieben ist.

Das spezielle lineare Gruppegeschrieben SL (n, F.) oder SL_n((F.) ist die Untergruppe von GL (n, F.) bestehend aus Matrizen mit einer Determinante von 1.

Die Gruppe GL (n, F.) und seine Untergruppen werden oft genannt lineare Gruppen oder Matrixgruppen (die abstrakte Gruppe GL (V.) ist eine lineare Gruppe, aber keine Matrixgruppe). Diese Gruppen sind wichtig für die Theorie der Gruppendarstellung und entstehen auch bei der Untersuchung von räumlichen Symmetrien und Symmetrien von Vektorräumen im Allgemeinen sowie bei der Untersuchung von Polynomen. Die modulare Gruppe kann als Quotient der speziellen linearen Gruppe realisiert werden SL (2, Z.).

Wenn n ≥ 2, dann die Gruppe GL (n, F.) ist nicht abelisch.

Allgemeine lineare Gruppe eines Vektorraums[edit]

Wenn V. ist ein Vektorraum über dem Feld F., die allgemeine lineare Gruppe von V., geschrieben GL (V.) oder Aut (V.) ist die Gruppe aller Automorphismen von V.dh die Menge aller bijektiven linearen Transformationen V. → V.zusammen mit der funktionellen Zusammensetzung als Gruppenoperation. Wenn V. hat endliche Dimension n, dann GL (V.) und GL (n, F.) sind isomorph. Der Isomorphismus ist nicht kanonisch; es hängt von einer Wahl der Basis in ab V.. Eine Basis gegeben ((e₁, …, e_n) von V. und ein Automorphismus T. in GL (V.) haben wir dann für jeden Basisvektor e_ich Das

${ displaystyle Te_ {i} = sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} e_ {j}}$

für einige Konstanten ein_ij im F.;; die Matrix entsprechend T. ist dann nur die Matrix mit Einträgen von der ein_ij.

In ähnlicher Weise für einen kommutativen Ring R. die Gruppe GL (n, R.) kann als die Gruppe von Automorphismen von a interpretiert werden kostenlos R.-Modul M. von Rang n. Man kann auch GL definieren (M.) für jeden R.-Modul, aber im Allgemeinen ist dies nicht isomorph zu GL (n, R.) (für jeden n).

In Bezug auf Determinanten[edit]

Über ein Feld F.Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich Null ist. Daher eine alternative Definition von GL (n, F.) ist als die Gruppe von Matrizen mit einer Determinante ungleich Null.

Über einen kommutativen Ring R.ist mehr Sorgfalt erforderlich: eine Matrix über R. ist genau dann invertierbar, wenn seine Determinante eine Einheit in ist R.das heißt, wenn seine Determinante invertierbar ist in R.. Deshalb, GL (n, R.) kann als die Gruppe von Matrizen definiert werden, deren Determinanten Einheiten sind.

Über einen nicht kommutativen Ring R., Determinanten verhalten sich überhaupt nicht gut. In diesem Fall, GL (n, R.) kann als die Einheitsgruppe des Matrixrings definiert werden M (n, R.).

Als Lügengruppe[edit]

Echter Fall[edit]

Die allgemeine lineare Gruppe GL (n, R.) über dem Feld der reellen Zahlen befindet sich eine reale Lie-Dimensionsgruppe n². Um dies zu sehen, beachten Sie, dass die Menge von allen n×n echte Matrizen, M._n((R.) bildet einen realen Vektorraum der Dimension n². Die Teilmenge GL (n, R.) besteht aus den Matrizen, deren Determinante ungleich Null ist. Die Determinante ist eine Polynomkarte und daher GL (n, R.) ist eine offene affine Subvarietät von M._n((R.) (eine nicht leere offene Teilmenge von M._n((R.) in der Zariski-Topologie) und daher^[2]

ein glatter Verteiler der gleichen Dimension.

Die Lügenalgebra von GL (n, R.)bezeichnet

${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n},}$

besteht aus allen n×n echte Matrizen mit dem Kommutator als Lie-Klammer.

Als Mannigfaltigkeit GL (n, R.) ist nicht verbunden, sondern hat zwei verbundene Komponenten: die Matrizen mit positiver Determinante und die mit negativer Determinante. Die Identitätskomponente, bezeichnet mit GL⁺((n, R.)besteht aus dem Realen n×n Matrizen mit positiver Determinante. Dies ist auch eine Lie-Dimensionsgruppe n²;; es hat die gleiche Lie-Algebra wie GL (n, R.).

Die Gruppe GL (n, R.) ist auch nicht kompakt. “Das” ^[3]maximale kompakte Untergruppe von GL (n, R.) ist die orthogonale Gruppe O (n), während “die” maximale kompakte Untergruppe von GL⁺((n, R.) ist die spezielle orthogonale Gruppe SO (n). Wie für SO (n), die Gruppe GL⁺((n, R.) ist nicht einfach verbunden (außer wenn n = 1), sondern hat eine grundlegende Gruppe isomorph zu Z. zum n = 2 oder Z.₂ zum n > 2.

Komplexer Fall[edit]

Die allgemeine lineare Gruppe über dem Feld komplexer Zahlen, GL (n, C.), ist ein Komplex Lie Gruppe der komplexen Dimension n². Als echte Lie-Gruppe (durch Realisierung) hat sie Dimension 2n². Die Menge aller reellen Matrizen bildet eine echte Lie-Untergruppe. Diese entsprechen den Einschlüssen

GL (n, R.) n, C.) 2n, R.),

die reale Dimensionen haben n², 2n², und 4n² = (2n)². Komplex n-dimensionale Matrizen können als reelle 2 charakterisiert werdenn-dimensionale Matrizen, die eine lineare komplexe Struktur bewahren – konkret, die mit einer Matrix pendeln J. so dass J.² = –ich, wo J. entspricht der Multiplikation mit der imaginären Einheit ich.

Die Lie-Algebra entspricht GL (n, C.) besteht aus allen n×n komplexe Matrizen mit dem Kommutator als Lie-Klammer.

Im Gegensatz zum realen Fall, GL (n, C.) Ist verbunden. Dies folgt teilweise seit der multiplikativen Gruppe komplexer Zahlen C.^∗ Ist verbunden. Die Gruppe vielfältig GL (n, C.) ist nicht kompakt; vielmehr ist seine maximale kompakte Untergruppe die einheitliche Gruppe U (n). Wie für U (n), die Gruppenvielfalt GL (n, C.) ist nicht einfach verbunden, sondern hat eine grundlegende Gruppe, die isomorph ist Z..

Über endlichen Feldern[edit]

Wenn F. ist ein endliches Feld mit q Elemente, dann schreiben wir manchmal GL (n, q) Anstatt von GL (n, F.). Wann p ist Prime, GL (n, p) ist die äußere Automorphismusgruppe der Gruppe Z._pⁿund auch die Automorphismusgruppe, weil Z._pⁿ ist abelisch, daher ist die innere Automorphismusgruppe trivial.

Die Reihenfolge von GL (n, q) ist:

${ displaystyle prod _ {k = 0} ^ {n-1} (q ^ {n} -q ^ {k}) = (q ^ {n} -1) (q ^ {n} -q) ( q ^ {n} -q ^ {2}) cdots (q ^ {n} -q ^ {n-1}).}$

Dies kann durch Zählen der möglichen Spalten der Matrix gezeigt werden: Die erste Spalte kann alles andere als der Nullvektor sein; Die zweite Spalte kann alles andere als das Vielfache der ersten Spalte sein. und im Allgemeinen die kDie Spalte kann ein beliebiger Vektor sein, der sich nicht in der linearen Spanne der ersten befindet k – 1 Säulen. Im q-analog Notation, das ist

${ displaystyle [n]_ {q}! (q-1) ^ {n} q ^ {n wähle 2}}$

.

Zum Beispiel, GL (3, 2) hat Ordnung (8-1) (8-2) (8-4) = 168. Es ist die Automorphismusgruppe der Fano-Ebene und der Gruppe Z.₂³und ist auch bekannt als PSL (2, 7).

Im Allgemeinen kann man Punkte von Grassmannian überzählen F.: mit anderen Worten die Anzahl der Teilräume einer bestimmten Dimension k. Dies erfordert nur das Finden der Reihenfolge der Stabilisator-Untergruppe eines solchen Unterraums und das Teilen in die gerade gegebene Formel durch den Orbit-Stabilisator-Satz.

Diese Formeln sind mit der Schubert-Zerlegung des Grassmannschen verbunden und sind q-Analogs der Betti-Zahlen komplexer Grassmannianer. Dies war einer der Hinweise, die zu den Weil-Vermutungen führten.

Beachten Sie, dass in der Grenze q ↦ 1 Die Reihenfolge von GL (n, q) geht auf 0! – aber nach dem richtigen Verfahren (dividiert durch ((q – 1)ⁿ) wir sehen, dass es die Ordnung der symmetrischen Gruppe ist (siehe Lorscheids Artikel) – in der Philosophie des Feldes mit einem Element interpretiert man somit die symmetrische Gruppe als die allgemeine lineare Gruppe über dem Feld mit einem Element: S._n ≅ GL (n, 1).

Geschichte[edit]

Die allgemeine lineare Gruppe über einem Primfeld, GL (ν, p)wurde 1832 von Évariste Galois in seinem letzten Brief (an Chevalier) und seinem zweiten (von drei) angehängten Manuskripten konstruiert und seine Reihenfolge berechnet, die er im Zusammenhang mit der Untersuchung der Galois-Gruppe der allgemeinen Ordnungsgleichung verwendete p^ν.^[4]

Spezielle lineare Gruppe[edit]

Die spezielle lineare Gruppe, SL (n, F.)ist die Gruppe aller Matrizen mit Determinante 1. Sie sind insofern besonders, als sie auf einer Subvarietät liegen – sie erfüllen eine Polynomgleichung (da die Determinante in den Einträgen ein Polynom ist). Matrizen dieses Typs bilden eine Gruppe, da die Determinante des Produkts zweier Matrizen das Produkt der Determinanten jeder Matrix ist. SL (n, F.) ist eine normale Untergruppe von GL (n, F.).

Wenn wir schreiben F.^× für die multiplikative Gruppe von F. (ohne 0), dann ist die Determinante ein Gruppenhomomorphismus

det: GL (n, F.) → F.^×.

das ist surjektiv und sein Kern ist die spezielle lineare Gruppe. Nach dem ersten Isomorphismus-Theorem GL (n, F.) / SL (n, F.) ist isomorph zu F.^×. Eigentlich, GL (n, F.) kann als halbdirektes Produkt geschrieben werden:

GL (n, F.) = SL (n, F.) ⋊ F.^×

Die spezielle lineare Gruppe ist auch die abgeleitete Gruppe (auch als Kommutator-Untergruppe bekannt) des GL (n, F.) (für ein Feld oder einen Teilungsring F.) unter der Vorraussetzung, dass

${ displaystyle n neq 2}$

oder k ist nicht das Feld mit zwei Elementen.^[5]

Wann F. ist R. oder C., SL (n, F.) ist eine Lie-Untergruppe von GL (n, F.) der Dimension n² – 1. Die Lügenalgebra von SL (n, F.) besteht aus allen n×n Matrizen vorbei F. mit verschwindender Spur. Die Lie-Klammer wird vom Kommutator gegeben.

Die spezielle lineare Gruppe SL (n, R.) kann als die Gruppe von charakterisiert werden Volumen und Orientierung erhalten lineare Transformationen von R.ⁿ.

Die Gruppe SL (n, C.) ist einfach verbunden, während SL (n, R.) ist nicht. SL (n, R.) hat die gleiche Grundgruppe wie GL⁺((n, R.), das ist, Z. zum n = 2 und Z.₂ zum n > 2.

Andere Untergruppen[edit]

Diagonale Untergruppen[edit]

Die Menge aller invertierbaren Diagonalmatrizen bildet eine Untergruppe von GL (n, F.) isomorph zu (F.^×)ⁿ. In Feldern wie R. und C.entsprechen diese einer Neuskalierung des Raums; die sogenannten Dilatationen und Kontraktionen.

EIN Skalarmatrix ist eine Diagonalmatrix, die eine Konstante mal der Identitätsmatrix ist. Die Menge aller Skalarmatrizen ungleich Null bildet eine Untergruppe von GL (n, F.) isomorph zu F.^× . Diese Gruppe ist das Zentrum von GL (n, F.). Insbesondere handelt es sich um eine normale abelsche Untergruppe.

Die Mitte von SL (n, F.) ist einfach die Menge aller Skalarmatrizen mit Einheitsdeterminante und ist isomorph zur Gruppe von nDie Wurzeln der Einheit auf dem Gebiet F..

Klassische Gruppen[edit]

Die sogenannten klassischen Gruppen sind Untergruppen von GL (V.), die eine bilineare Form auf einem Vektorraum bewahren V.. Dazu gehören die

• orthogonale Gruppe, Ö(V.), die eine nicht entartete quadratische Form auf bewahrt V.,
• symplektische Gruppe, Sp (V.), die eine symplektische Form auf bewahrt V. (eine nicht entartete alternierende Form),
• einheitliche Gruppe, U (V.), Welches wann F. = C., bewahrt eine nicht entartete hermitische Form auf V..

Diese Gruppen liefern wichtige Beispiele für Lie-Gruppen.

Verwandte Gruppen und Monoide[edit]

Projektive lineare Gruppe[edit]

Die projektive lineare Gruppe PGL (n, F.) und die projektive spezielle lineare Gruppe PSL (n, F.) sind die Quotienten von GL (n, F.) und SL (n, F.) durch ihre Zentren (die aus den Vielfachen der darin enthaltenen Identitätsmatrix bestehen); Sie sind die induzierte Aktion auf den zugehörigen projektiven Raum.

Affine Gruppe[edit]

Die affine Gruppe Aff (n, F.) ist eine Erweiterung von GL (n, F.) von der Gruppe der Übersetzungen in F.ⁿ. Es kann als halbdirektes Produkt geschrieben werden:

Aff (n, F.) = GL (n, F.) ⋉ F.ⁿ

wo GL (n, F.) wirkt auf F.ⁿ auf natürliche Weise. Die affine Gruppe kann als die Gruppe aller affinen Transformationen des dem Vektorraum zugrunde liegenden affinen Raums angesehen werden F.ⁿ.

Man hat analoge Konstruktionen für andere Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe: Zum Beispiel ist die spezielle affine Gruppe die durch das semidirekte Produkt definierte Untergruppe, SL (n, F.) ⋉ F.ⁿund die Poincaré-Gruppe ist die affine Gruppe, die der Lorentz-Gruppe zugeordnet ist, O (1, 3, F.) ⋉ F.ⁿ.

Allgemeine semilineare Gruppe[edit]

Die allgemeine semilineare Gruppe ΓL (n, F.) ist die Gruppe aller invertierbaren semilinearen Transformationen und enthält GL. Eine semilineare Transformation ist eine Transformation, die linear “bis zu einer Verdrehung” ist, was “bis zu einem Feldautomorphismus unter skalarer Multiplikation” bedeutet. Es kann als halbdirektes Produkt geschrieben werden:

ΓL (n, F.) = Gal (F.) ⋉ GL (n, F.)

wo Gal (F.) ist die Galois-Gruppe von F. (über seinem Hauptfeld), das auf wirkt GL (n, F.) durch die Galois-Aktion auf die Einträge.

Das Hauptinteresse von ΓL (n, F.) ist, dass die zugehörige projektive semilineare Gruppe PΓL (n, F.) (was beinhaltet PGL (n, F.)) ist die Kollineationsgruppe des projektiven Raumes, z n > 2und daher sind semilineare Karten für die projektive Geometrie von Interesse.

Volles lineares Monoid[edit]

Diese Abteilung braucht Erweiterung mit: Grundeigenschaften. Sie können helfen, indem Sie es hinzufügen. ((April 2015)

Wenn man die Beschränkung der Determinante aufhebt, die nicht Null ist, ist die resultierende algebraische Struktur ein Monoid, das üblicherweise als das bezeichnet wird volles lineares Monoid,^[6][7][8] aber gelegentlich auch volle lineare Halbgruppe,^[9]allgemeines lineares Monoid^[10][11] usw. Es ist eigentlich eine reguläre Halbgruppe.^[7]

Unendliche allgemeine lineare Gruppe[edit]

Das unendliche allgemeine lineare Gruppe oder stabile allgemeine lineare Gruppe ist die direkte Grenze der Einschlüsse GL (n, F.) → GL (n + 1, F.) als obere linke Blockmatrix. Es wird entweder mit GL (F.) oder GL (∞, F.)und kann auch als invertierbare unendliche Matrizen interpretiert werden, die sich von der Identitätsmatrix nur an endlich vielen Stellen unterscheiden.^[12]

Es wird in der algebraischen K-Theorie verwendet, um K zu definieren₁und over the reals hat dank Bott-Periodizität eine gut verstandene Topologie.

Es sollte nicht mit dem Raum von (begrenzten) invertierbaren Operatoren auf einem Hilbert-Raum verwechselt werden, der eine größere Gruppe darstellt und topologisch viel einfacher ist, nämlich kontrahierbar – siehe Kuipers Theorem.

Siehe auch[edit]

Externe Links[edit]