[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/2020\/12\/21\/allgemeine-lineare-gruppe-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/2020\/12\/21\/allgemeine-lineare-gruppe-wikipedia\/","headline":"Allgemeine lineare Gruppe – Wikipedia","name":"Allgemeine lineare Gruppe – Wikipedia","description":"before-content-x4 nxn invertierbare Matrizen \u00fcber einem Ring In der Mathematik ist die allgemeine lineare Gruppe Grad n ist die Menge","datePublished":"2020-12-21","dateModified":"2020-12-21","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/dd8dd4a248d35645d9f29b6fc9457ee7a4f1d042","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/dd8dd4a248d35645d9f29b6fc9457ee7a4f1d042","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/2020\/12\/21\/allgemeine-lineare-gruppe-wikipedia\/","wordCount":6876,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4nxn invertierbare Matrizen \u00fcber einem Ring  In der Mathematik ist die allgemeine lineare Gruppe Grad n ist die Menge von n\u00d7n  invertierbare Matrizen zusammen mit der Operation der gew\u00f6hnlichen Matrixmultiplikation.  Dies bildet eine Gruppe, da das Produkt zweier invertierbarer Matrizen wieder invertierbar ist und die Inverse einer invertierbaren Matrix invertierbar ist, wobei die Identit\u00e4tsmatrix das Identit\u00e4tselement der Gruppe ist.  Die Gruppe wird so genannt, weil die Spalten einer invertierbaren Matrix linear unabh\u00e4ngig sind, daher befinden sich die Vektoren \/ Punkte, die sie definieren, in der allgemeinen linearen Position, und Matrizen in der allgemeinen linearen Gruppe nehmen Punkte in der allgemeinen linearen Position zu Punkten in der allgemeinen linearen Position.Um genauer zu sein, muss angegeben werden, welche Art von Objekten in den Eintr\u00e4gen der Matrix erscheinen darf.  Zum Beispiel ist die allgemeine lineare Gruppe vorbei R. (die Menge der reellen Zahlen) ist die Gruppe von n\u00d7n  invertierbare Matrizen reeller Zahlen und wird mit GL bezeichnetn((R.) oder GL (n, R.).Allgemeiner die allgemeine lineare Gradgruppe n \u00fcber ein beliebiges Feld F. (wie die komplexen Zahlen) oder ein Ring R. (wie der Ring von ganzen Zahlen), ist die Menge von n\u00d7n  invertierbare Matrizen mit Eintr\u00e4gen von F. (oder R.), wieder mit Matrixmultiplikation als Gruppenoperation.[1]  Typische Notation ist GLn((F.) oder GL (n, F.)oder einfach GL (n) wenn das Feld verstanden wird.  Noch allgemeiner ist die allgemeine lineare Gruppe eines Vektorraums GL (V.) ist die abstrakte Automorphismusgruppe, die nicht unbedingt als Matrizen geschrieben ist.Das spezielle lineare Gruppegeschrieben SL (n, F.) oder SLn((F.) ist die Untergruppe von GL (n, F.) bestehend aus Matrizen mit einer Determinante von 1.Die Gruppe GL (n, F.) und seine Untergruppen werden oft genannt lineare Gruppen oder Matrixgruppen (die abstrakte Gruppe GL (V.) ist eine lineare Gruppe, aber keine Matrixgruppe).  Diese Gruppen sind wichtig f\u00fcr die Theorie der Gruppendarstellung und entstehen auch bei der Untersuchung von r\u00e4umlichen Symmetrien und Symmetrien von Vektorr\u00e4umen im Allgemeinen sowie bei der Untersuchung von Polynomen.  Die modulare Gruppe kann als Quotient der speziellen linearen Gruppe realisiert werden SL (2, Z.).Wenn n \u2265 2, dann die Gruppe GL (n, F.) ist nicht abelisch.  Table of ContentsAllgemeine lineare Gruppe eines Vektorraums[edit]In Bezug auf Determinanten[edit]Als L\u00fcgengruppe[edit]Echter Fall[edit]Komplexer Fall[edit]\u00dcber endlichen Feldern[edit]Geschichte[edit]Spezielle lineare Gruppe[edit]Andere Untergruppen[edit]Diagonale Untergruppen[edit]Klassische Gruppen[edit]Verwandte Gruppen und Monoide[edit]Projektive lineare Gruppe[edit]Affine Gruppe[edit]Allgemeine semilineare Gruppe[edit]Volles lineares Monoid[edit]Unendliche allgemeine lineare Gruppe[edit]Siehe auch[edit]Externe Links[edit]Allgemeine lineare Gruppe eines Vektorraums[edit]Wenn V. ist ein Vektorraum \u00fcber dem Feld F., die allgemeine lineare Gruppe von V., geschrieben GL (V.) oder Aut (V.) ist die Gruppe aller Automorphismen von V.dh die Menge aller bijektiven linearen Transformationen V. \u2192 V.zusammen mit der funktionellen Zusammensetzung als Gruppenoperation.  Wenn V. hat endliche Dimension n, dann GL (V.) und GL (n, F.) sind isomorph.  Der Isomorphismus ist nicht kanonisch;  es h\u00e4ngt von einer Wahl der Basis in ab V..  Eine Basis gegeben ((e1, …, en) von V. und ein Automorphismus T. in GL (V.) haben wir dann f\u00fcr jeden Basisvektor eich  DasT.eich=\u2211j=1neinichjej{ displaystyle Te_ {i} =  sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} e_ {j}}f\u00fcr einige Konstanten einij  im F.;;  die Matrix entsprechend T. ist dann nur die Matrix mit Eintr\u00e4gen von der einij.In \u00e4hnlicher Weise f\u00fcr einen kommutativen Ring R. die Gruppe GL (n, R.) kann als die Gruppe von Automorphismen von a interpretiert werden kostenlos R.-Modul M. von Rang n.  Man kann auch GL definieren (M.) f\u00fcr jeden R.-Modul, aber im Allgemeinen ist dies nicht isomorph zu GL (n, R.) (f\u00fcr jeden n).In Bezug auf Determinanten[edit]\u00dcber ein Feld F.Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.  Daher eine alternative Definition von GL (n, F.) ist als die Gruppe von Matrizen mit einer Determinante ungleich Null.\u00dcber einen kommutativen Ring R.ist mehr Sorgfalt erforderlich: eine Matrix \u00fcber R. ist genau dann invertierbar, wenn seine Determinante eine Einheit in ist R.das hei\u00dft, wenn seine Determinante invertierbar ist in R..  Deshalb, GL (n, R.) kann als die Gruppe von Matrizen definiert werden, deren Determinanten Einheiten sind.\u00dcber einen nicht kommutativen Ring R., Determinanten verhalten sich \u00fcberhaupt nicht gut.  In diesem Fall, GL (n, R.) kann als die Einheitsgruppe des Matrixrings definiert werden M (n, R.).Als L\u00fcgengruppe[edit]Echter Fall[edit]Die allgemeine lineare Gruppe GL (n, R.) \u00fcber dem Feld der reellen Zahlen befindet sich eine reale Lie-Dimensionsgruppe n2.  Um dies zu sehen, beachten Sie, dass die Menge von allen n\u00d7n  echte Matrizen, M.n((R.) bildet einen realen Vektorraum der Dimension n2.  Die Teilmenge GL (n, R.) besteht aus den Matrizen, deren Determinante ungleich Null ist.  Die Determinante ist eine Polynomkarte und daher GL (n, R.) ist eine offene affine Subvariet\u00e4t von M.n((R.) (eine nicht leere offene Teilmenge von M.n((R.) in der Zariski-Topologie) und daher[2]ein glatter Verteiler der gleichen Dimension.Die L\u00fcgenalgebra von GL (n, R.)bezeichnet Gln,{ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n},}  besteht aus allen n\u00d7n  echte Matrizen mit dem Kommutator als Lie-Klammer.Als Mannigfaltigkeit GL (n, R.) ist nicht verbunden, sondern hat zwei verbundene Komponenten: die Matrizen mit positiver Determinante und die mit negativer Determinante.  Die Identit\u00e4tskomponente, bezeichnet mit GL+((n, R.)besteht aus dem Realen n\u00d7n  Matrizen mit positiver Determinante.  Dies ist auch eine Lie-Dimensionsgruppe n2;;  es hat die gleiche Lie-Algebra wie GL (n, R.).Die Gruppe GL (n, R.) ist auch nicht kompakt.  “Das” [3]maximale kompakte Untergruppe von GL (n, R.) ist die orthogonale Gruppe O (n), w\u00e4hrend “die” maximale kompakte Untergruppe von GL+((n, R.) ist die spezielle orthogonale Gruppe SO (n).  Wie f\u00fcr SO (n), die Gruppe GL+((n, R.) ist nicht einfach verbunden (au\u00dfer wenn n = 1), sondern hat eine grundlegende Gruppe isomorph zu Z. zum n = 2 oder Z.2 zum n > 2.Komplexer Fall[edit]Die allgemeine lineare Gruppe \u00fcber dem Feld komplexer Zahlen, GL (n, C.), ist ein Komplex Lie Gruppe der komplexen Dimension n2.  Als echte Lie-Gruppe (durch Realisierung) hat sie Dimension 2n2.  Die Menge aller reellen Matrizen bildet eine echte Lie-Untergruppe.  Diese entsprechen den Einschl\u00fcssenGL (n, R.) 1((qn– –qk)=((qn– –1)((qn– –q)((qn– –q2) \u22ef ((qn– –qn– –1).{ displaystyle  prod _ {k = 0} ^ {n-1} (q ^ {n} -q ^ {k}) = (q ^ {n} -1) (q ^ {n} -q) ( q ^ {n} -q ^ {2})   cdots  (q ^ {n} -q ^ {n-1}).}Dies kann durch Z\u00e4hlen der m\u00f6glichen Spalten der Matrix gezeigt werden: Die erste Spalte kann alles andere als der Nullvektor sein;  Die zweite Spalte kann alles andere als das Vielfache der ersten Spalte sein.  und im Allgemeinen die kDie Spalte kann ein beliebiger Vektor sein, der sich nicht in der linearen Spanne der ersten befindet k – 1 S\u00e4ulen.  Im q-analog Notation, das ist [n]q!((q– –1)nq((n2){ displaystyle [n]_ {q}! (q-1) ^ {n} q ^ {n  w\u00e4hle 2}}.Zum Beispiel, GL (3, 2) hat Ordnung (8-1) (8-2) (8-4) = 168.  Es ist die Automorphismusgruppe der Fano-Ebene und der Gruppe Z.23und ist auch bekannt als PSL (2, 7).Im Allgemeinen kann man Punkte von Grassmannian \u00fcberz\u00e4hlen F.: mit anderen Worten die Anzahl der Teilr\u00e4ume einer bestimmten Dimension k.  Dies erfordert nur das Finden der Reihenfolge der Stabilisator-Untergruppe eines solchen Unterraums und das Teilen in die gerade gegebene Formel durch den Orbit-Stabilisator-Satz.Diese Formeln sind mit der Schubert-Zerlegung des Grassmannschen verbunden und sind q-Analogs der Betti-Zahlen komplexer Grassmannianer.  Dies war einer der Hinweise, die zu den Weil-Vermutungen f\u00fchrten.Beachten Sie, dass in der Grenze q \u21a6 1 Die Reihenfolge von GL (n, q) geht auf 0!  – aber nach dem richtigen Verfahren (dividiert durch ((q – 1)n) wir sehen, dass es die Ordnung der symmetrischen Gruppe ist (siehe Lorscheids Artikel) – in der Philosophie des Feldes mit einem Element interpretiert man somit die symmetrische Gruppe als die allgemeine lineare Gruppe \u00fcber dem Feld mit einem Element: S.n \u2245 GL (n, 1).Geschichte[edit]Die allgemeine lineare Gruppe \u00fcber einem Primfeld, GL (\u03bd, p)wurde 1832 von \u00c9variste Galois in seinem letzten Brief (an Chevalier) und seinem zweiten (von drei) angeh\u00e4ngten Manuskripten konstruiert und seine Reihenfolge berechnet, die er im Zusammenhang mit der Untersuchung der Galois-Gruppe der allgemeinen Ordnungsgleichung verwendete p\u03bd.[4]Spezielle lineare Gruppe[edit]Die spezielle lineare Gruppe, SL (n, F.)ist die Gruppe aller Matrizen mit Determinante 1. Sie sind insofern besonders, als sie auf einer Subvariet\u00e4t liegen – sie erf\u00fcllen eine Polynomgleichung (da die Determinante in den Eintr\u00e4gen ein Polynom ist).  Matrizen dieses Typs bilden eine Gruppe, da die Determinante des Produkts zweier Matrizen das Produkt der Determinanten jeder Matrix ist. SL (n, F.) ist eine normale Untergruppe von GL (n, F.).Wenn wir schreiben F.\u00d7 f\u00fcr die multiplikative Gruppe von F. (ohne 0), dann ist die Determinante ein Gruppenhomomorphismusdet: GL (n, F.) \u2192 F.\u00d7.das ist surjektiv und sein Kern ist die spezielle lineare Gruppe.  Nach dem ersten Isomorphismus-Theorem GL (n, F.) \/ SL (n, F.) ist isomorph zu F.\u00d7.  Eigentlich, GL (n, F.) kann als halbdirektes Produkt geschrieben werden:GL (n, F.) = SL (n, F.) \u22ca F.\u00d7Die spezielle lineare Gruppe ist auch die abgeleitete Gruppe (auch als Kommutator-Untergruppe bekannt) des GL (n, F.) (f\u00fcr ein Feld oder einen Teilungsring F.) unter der Vorraussetzung, dass n\u22602{ displaystyle n  neq 2}  oder k ist nicht das Feld mit zwei Elementen.[5]Wann F. ist R. oder C., SL (n, F.) ist eine Lie-Untergruppe von GL (n, F.) der Dimension n2 – 1.  Die L\u00fcgenalgebra von SL (n, F.) besteht aus allen n\u00d7n  Matrizen vorbei F. mit verschwindender Spur.  Die Lie-Klammer wird vom Kommutator gegeben.Die spezielle lineare Gruppe SL (n, R.) kann als die Gruppe von charakterisiert werden Volumen und Orientierung erhalten lineare Transformationen von R.n.Die Gruppe SL (n, C.) ist einfach verbunden, w\u00e4hrend SL (n, R.) ist nicht. SL (n, R.) hat die gleiche Grundgruppe wie GL+((n, R.), das ist, Z. zum n = 2 und Z.2 zum n > 2.Andere Untergruppen[edit]Diagonale Untergruppen[edit]Die Menge aller invertierbaren Diagonalmatrizen bildet eine Untergruppe von GL (n, F.) isomorph zu (F.\u00d7)n.  In Feldern wie R. und C.entsprechen diese einer Neuskalierung des Raums;  die sogenannten Dilatationen und Kontraktionen.EIN Skalarmatrix ist eine Diagonalmatrix, die eine Konstante mal der Identit\u00e4tsmatrix ist.  Die Menge aller Skalarmatrizen ungleich Null bildet eine Untergruppe von GL (n, F.) isomorph zu F.\u00d7 .  Diese Gruppe ist das Zentrum von GL (n, F.).  Insbesondere handelt es sich um eine normale abelsche Untergruppe.Die Mitte von SL (n, F.) ist einfach die Menge aller Skalarmatrizen mit Einheitsdeterminante und ist isomorph zur Gruppe von nDie Wurzeln der Einheit auf dem Gebiet F..Klassische Gruppen[edit]Die sogenannten klassischen Gruppen sind Untergruppen von GL (V.), die eine bilineare Form auf einem Vektorraum bewahren V..  Dazu geh\u00f6ren dieorthogonale Gruppe, \u00d6(V.), die eine nicht entartete quadratische Form auf bewahrt V.,symplektische Gruppe, Sp (V.), die eine symplektische Form auf bewahrt V. (eine nicht entartete alternierende Form),einheitliche Gruppe, U (V.), Welches wann F. = C., bewahrt eine nicht entartete hermitische Form auf V..Diese Gruppen liefern wichtige Beispiele f\u00fcr Lie-Gruppen.Verwandte Gruppen und Monoide[edit]Projektive lineare Gruppe[edit]Die projektive lineare Gruppe PGL (n, F.) und die projektive spezielle lineare Gruppe PSL (n, F.) sind die Quotienten von GL (n, F.) und SL (n, F.) durch ihre Zentren (die aus den Vielfachen der darin enthaltenen Identit\u00e4tsmatrix bestehen);  Sie sind die induzierte Aktion auf den zugeh\u00f6rigen projektiven Raum.Affine Gruppe[edit]Die affine Gruppe Aff (n, F.) ist eine Erweiterung von GL (n, F.) von der Gruppe der \u00dcbersetzungen in F.n.  Es kann als halbdirektes Produkt geschrieben werden:Aff (n, F.) = GL (n, F.) \u22c9 F.nwo GL (n, F.) wirkt auf F.n  auf nat\u00fcrliche Weise.  Die affine Gruppe kann als die Gruppe aller affinen Transformationen des dem Vektorraum zugrunde liegenden affinen Raums angesehen werden F.n.Man hat analoge Konstruktionen f\u00fcr andere Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe: Zum Beispiel ist die spezielle affine Gruppe die durch das semidirekte Produkt definierte Untergruppe, SL (n, F.) \u22c9 F.nund die Poincar\u00e9-Gruppe ist die affine Gruppe, die der Lorentz-Gruppe zugeordnet ist, O (1, 3, F.) \u22c9 F.n.Allgemeine semilineare Gruppe[edit]Die allgemeine semilineare Gruppe \u0393L (n, F.) ist die Gruppe aller invertierbaren semilinearen Transformationen und enth\u00e4lt GL.  Eine semilineare Transformation ist eine Transformation, die linear “bis zu einer Verdrehung” ist, was “bis zu einem Feldautomorphismus unter skalarer Multiplikation” bedeutet.  Es kann als halbdirektes Produkt geschrieben werden:\u0393L (n, F.) = Gal (F.) \u22c9 GL (n, F.)wo Gal (F.) ist die Galois-Gruppe von F. (\u00fcber seinem Hauptfeld), das auf wirkt GL (n, F.) durch die Galois-Aktion auf die Eintr\u00e4ge.Das Hauptinteresse von \u0393L (n, F.) ist, dass die zugeh\u00f6rige projektive semilineare Gruppe P\u0393L (n, F.) (was beinhaltet PGL (n, F.)) ist die Kollineationsgruppe des projektiven Raumes, z n > 2und daher sind semilineare Karten f\u00fcr die projektive Geometrie von Interesse.Volles lineares Monoid[edit]Diese Abteilung braucht Erweiterung mit: Grundeigenschaften. Sie k\u00f6nnen helfen, indem Sie es hinzuf\u00fcgen.  ((April 2015)Wenn man die Beschr\u00e4nkung der Determinante aufhebt, die nicht Null ist, ist die resultierende algebraische Struktur ein Monoid, das \u00fcblicherweise als das bezeichnet wird volles lineares Monoid,[6][7][8]  aber gelegentlich auch volle lineare Halbgruppe,[9]allgemeines lineares Monoid[10][11]  usw. Es ist eigentlich eine regul\u00e4re Halbgruppe.[7]Unendliche allgemeine lineare Gruppe[edit]Das unendliche allgemeine lineare Gruppe oder stabile allgemeine lineare Gruppe ist die direkte Grenze der Einschl\u00fcsse GL (n, F.) \u2192 GL (n + 1, F.) als obere linke Blockmatrix.  Es wird entweder mit GL (F.) oder GL (\u221e, F.)und kann auch als invertierbare unendliche Matrizen interpretiert werden, die sich von der Identit\u00e4tsmatrix nur an endlich vielen Stellen unterscheiden.[12]Es wird in der algebraischen K-Theorie verwendet, um K zu definieren1und over the reals hat dank Bott-Periodizit\u00e4t eine gut verstandene Topologie.Es sollte nicht mit dem Raum von (begrenzten) invertierbaren Operatoren auf einem Hilbert-Raum verwechselt werden, der eine gr\u00f6\u00dfere Gruppe darstellt und topologisch viel einfacher ist, n\u00e4mlich kontrahierbar – siehe Kuipers Theorem.Siehe auch[edit]^ Hier wird angenommen, dass Ringe assoziativ und unital sind.^ Da die Zariski-Topologie gr\u00f6ber ist als die metrische Topologie;  Entsprechend sind Polynomkarten stetig.^ Eine maximale kompakte Untergruppe ist nicht eindeutig, sondern im Wesentlichen eindeutig, daher wird h\u00e4ufig von \u201eder\u201c maximalen kompakten Untergruppe gesprochen.^ Galois, \u00c9variste (1846). “Lettre de Galois \u00e0 M. Auguste Chevalier”. Journal de Math\u00e9matiques Pures et Appliqu\u00e9es. XI: 408\u2013415.  Abgerufen 2009-02-04, GL (\u03bd,p) diskutiert auf p.  410.^ Suprunenko, DA (1976), Matrixgruppen, \u00dcbersetzungen mathematischer Monographien, American Mathematical SocietySatz II.9.4^ Jan Okni\u0144ski (1998). Halbgruppen von Matrizen.  World Scientific.  Kapitel 2: Volllineares Monoid.  ISBN 978-981-02-3445-4.^ ein b Meakin (2007).  “Gruppen und Halbgruppen: Verbindungen und Kontrast”.  In CM Campbell (Hrsg.). Gruppen St Andrews 2005.  Cambridge University Press.  p.  471. ISBN 978-0-521-69470-4.^ John Rhodes;  Benjamin Steinberg (2009). Die Q-Theorie endlicher Halbgruppen.  Springer Science & Business Media.  p.  306. ISBN 978-0-387-09781-7.^ Eric Jespers;  Jan Okniski (2007). Noetherian Semigroup Algebras.  Springer Science & Business Media.  2.3: Volllineare Halbgruppe.  ISBN 978-1-4020-5810-3.^ Meinolf Geck (2013). Eine Einf\u00fchrung in die algebraische Geometrie und algebraische Gruppen.  Oxford University Press.  p.  132. ISBN 978-0-19-967616-3.^ Mahir Bilen Can;  Zhenheng Li;  Benjamin Steinberg;  Qiang Wang (2014). Algebraische Monoide, Gruppeneinbettungen und algebraische Kombinatorik.  Springer.  p.  142. ISBN 978-1-4939-0938-4.^ Milnor, John Willard (1971). Einf\u00fchrung in die algebraische K-Theorie.  Annalen der Mathematik. 72.  Princeton, NJ: Princeton University Press.  p.  25. MR 0349811.  Zbl 0237.18005.Externe Links[edit]     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/2020\/12\/21\/allgemeine-lineare-gruppe-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Allgemeine lineare Gruppe – Wikipedia"}}]}]