Bornologischer Raum – Wikipedia

Ein topologischer Vektorraum, in dem jeder begrenzte lineare Operator in einen anderen Raum immer stetig ist

In der Mathematik, insbesondere in der Funktionsanalyse, a Bornologischer Raum ist eine Art von Raum, der in gewissem Sinne die minimale Struktur besitzt, die erforderlich ist, um Fragen der Begrenztheit von Mengen und linearen Karten zu beantworten, genauso wie ein topologischer Raum die minimale Menge an Struktur besitzt, die erforderlich ist, um Fragen der Kontinuität zu beantworten. Bornologische Räume zeichnen sich durch die Eigenschaft aus, dass eine lineare Abbildung von einem Bornologischen Raum in einen lokal konvexen Raum genau dann stetig ist, wenn es sich um einen begrenzten linearen Operator handelt.

Bornologische Räume wurden zuerst von Mackey untersucht. Der Name wurde von Bourbaki nach geprägt borné, das französische Wort für “begrenzt”.

Bornologien und begrenzte Karten[edit]

EIN Bornologie am Set X. ist eine Sammlung ℬ von Teilmengen von X. die alle folgenden Bedingungen erfüllen:

1. ℬ Abdeckungen X.dh X. = ∪ ℬ;;
2. ℬ ist unter Einschlüssen stabil, dh wenn B. ∈ ∈ und EIN’ ⊆ B., dann EIN’ ∈ ∈;;
3. ℬ ist unter endlichen Gewerkschaften stabil, dh wenn B.₁, …, B._n ∈ ∈, dann B.₁ ∪ ⋅⋅⋅ ∪ B._n ∈ ∈

Elemente der Sammlung ℬ werden normalerweise genannt ℬ-gebundene oder einfach begrenzte Mengen. Das Paar ((X., ℬ) wird eine begrenzte Struktur oder eine Bornologie genannt.

EIN Basis der Bornologie ℬ ist eine Teilmenge ℬ₀ von ℬ so dass jedes Element von ℬ ist eine Teilmenge eines Elements von ℬ₀.

Begrenzte Karten[edit]

Wenn B.₁ und B.₂ sind zwei Bornologien über den Räumen X. und Y.bzw. wenn f :: X. → Y. ist eine Funktion, dann sagen wir das f ist ein lokal begrenzte Karte oder ein begrenzte Karte wenn es kartiert B.₁-gebunden setzt ein X. zu B.₂-gebunden setzt ein Y.. Wenn zusätzlich f ist eine Bijektion und f ⁻¹ ist auch begrenzt dann sagen wir das f ist ein Bornologischer Isomorphismus.

Vektor Bornologien[edit]

Wenn X. ist ein Vektorraum über einem Feld 𝕂 dann ein Vektor Bornologie auf X. ist eine Bornologie ℬ auf X. Dies ist stabil unter Vektoraddition, Skalarmultiplikation und Bildung ausgeglichener Hüllen (dh wenn die Summe zweier begrenzter Mengen begrenzt ist usw.).

Wenn X. ist ein topologischer Vektorraum (TVS) und ℬ ist eine Bornologie auf X., dann sind die folgenden äquivalent:

1. ℬ ist eine Vektor-Bornologie;
2. Endliche Summen und ausgewogene Rümpfe von ℬ-gebundene Mengen sind ℬ-gebunden;
3. Die skalare Multiplikationskarte 𝕂 ×; X. → X. definiert von ((s, x) ↦ sx und die Zusatzkarte X. ×; X. → X. definiert von ((x, y) ↦ x + ysind beide begrenzt, wenn ihre Domänen ihre Produkt-Bornologien tragen (dh sie ordnen begrenzte Teilmengen begrenzten Teilmengen zu).

Eine Vektor-Bornologie ℬ heißt a konvexe Vektor-Bornologie wenn es unter der Bildung von konvexen Hüllen stabil ist (dh die konvexe Hülle eines begrenzten Satzes ist begrenzt), dann ℬ heißt a. Und eine Vektor-Bornologie ℬ wird genannt getrennt wenn der einzige begrenzte Vektor-Unterraum von X. ist der 0-dimensionale Trivialraum {0 }.

Bornivore Untergruppen[edit]

Eine Teilmenge EIN von X. wird genannt geborenfressend und ein geborener Fresser wenn es jeden begrenzten Satz absorbiert.

In einer Vektor-Bornologie EIN ist geborenfressend, wenn es jede begrenzte ausgeglichene Menge und in einer konvexen Vektor-Bornologie absorbiert EIN ist geborenfressend, wenn es jede begrenzte Scheibe absorbiert.

Zwei TVS-Topologien im selben Vektorraum haben genau dann die gleichen begrenzten Teilmengen, wenn sie die gleichen Bornivoren haben.

Jede geborene fressende Teilmenge eines lokal konvexen messbaren topologischen Vektorraums ist eine Nachbarschaft des Ursprungs.

Mackey-Konvergenz[edit]

Eine Sequenz x_{• •} = (x_ich)^∞
_{ich= 1} in einem Fernseher X. wird gesagt, dass Mackey konvergent zu 0 wenn es eine Folge von positiven reellen Zahlen gibt r_{• •} = (r_ich)^∞
_{ich= 1} divergierend zu ∞so dass ((r_ichx_ich)^∞
_{ich= 1} konvergiert gegen 0 in X..

Bornologie eines topologischen Vektorraums[edit]

Jeder topologische Vektorraum X. , zumindest auf einem nicht diskret bewerteten Feld gibt eine Bornologie auf X. durch Definieren einer Teilmenge B. ⊆ X. begrenzt werden (oder von-Neumann begrenzt werden), genau dann, wenn für alle offenen Mengen U. ⊆ X. mit Null existiert a r > 0 mit B. ⊆ rU. Wenn X. ist dann ein lokal konvexer topologischer Vektorraum B. ⊆ X. ist genau dann begrenzt, wenn alle kontinuierlichen Halbnormen an sind X.sind begrenzt auf B. .

Die Menge aller begrenzten Teilmengen eines topologischen Vektorraums X. wird genannt das Bornologie oder das von Neumann Bornologie von X..

Wenn X. ist ein lokal konvexer topologischer Vektorraum, dann eine absorbierende Scheibe D. im X. ist genau dann geboren (bzw. infrabornivor), wenn seine Minkowski-Funktion lokal begrenzt ist (bzw. infraboundiert).

Induzierte Topologie[edit]

Wenn ℬist eine konvexe Vektor-Bornologie auf einem Vektorraum X. , dann die Sammlung 𝒩_ℬ(0) aller konvex ausgeglichenen Teilmengen von X. Die geborenen Fleischfresser bilden eine Nachbarschaftsbasis am Ursprung für eine lokal konvexe Topologie X. namens das Topologie induziert durch ℬ.

Wenn ((X., τ) ist dann ein TVS das Bornologischer Raum verbunden mit X. ist der Vektorraum X.ausgestattet mit der lokal konvexen Topologie, die durch die von Neumann-Bornologie von ((X., τ) .

Bornologische Räume[edit]

In der Funktionsanalyse ist ein lokal konvexer topologischer Vektorraum ein bornologischer Raum, wenn seine Topologie auf natürliche Weise aus seiner Bornologie wiederhergestellt werden kann.

Quasi-Bornologische Räume[edit]

Quasi-Bornologische Räume wurden 1968 von S. Iyahen eingeführt.

Ein topologischer Vektorraum (TVS) ((X., τ) mit einem kontinuierlichen dual X. ‘ heißt a quasi-Bornologischer Raum wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft:

1. Jeder begrenzte lineare Operator von X. in ein anderes TVS ist kontinuierlich.
2. Jeder begrenzte lineare Operator von X. in ein vollständig messbares TVS ist kontinuierlich.
3. Jeder Knoten in einer geborenen fressenden Schnur ist eine Nachbarschaft des Ursprungs.

Jedes pseudometrisierbare Fernsehgerät ist quasi geboren. Ein Fernseher ((X., τ) in dem jede geborene fressende Menge eine Nachbarschaft des Ursprungs ist, ist ein quasi-geborener Raum. Wenn X. ist ein quasi-geborenes TVS dann die feinste lokal konvexe Topologie auf X. das ist gröber als τ macht X. in einen lokal konvexen geborenen Raum.

Bornologischer Raum[edit]

Beachten Sie, dass jeder lokal konvexe quasi-Bornologische Raum Bornologie ist, es jedoch Bornologie-Räume gibt nicht quasi-bornologisch.

Ein topologischer Vektorraum (TVS) ((X., τ) mit einem kontinuierlichen dual X. ‘ heißt a Bornologischer Raum wenn es lokal konvex ist und eine der folgenden äquivalenten Bedingungen gilt:

1. Jeder konvexe, ausgeglichene und geborene Fleischfresser setzte ein X. ist eine Nachbarschaft von Null.
2. Jeder begrenzte lineare Operator von X. in ein lokal konvexes TVS ist kontinuierlich.
   • Denken Sie daran, dass eine lineare Karte genau dann begrenzt ist, wenn sie eine Sequenz abbildet, die zu konvergiert 0 in der Domäne zu einer begrenzten Teilmenge der Codomäne. Insbesondere ist jede lineare Karte, die am Ursprung sequentiell kontinuierlich ist, begrenzt.
3. Jeder begrenzte lineare Operator von X. in einen halbnormierten Raum ist kontinuierlich.
4. Jeder begrenzte lineare Operator von X. in einen Banachraum ist kontinuierlich.

Wenn X. ist ein lokal konvexer Hausdorff-Raum, dann können wir dieser Liste hinzufügen:

5. Die lokal konvexe Topologie induziert durch die von Neumann-Bornologie am X.ist das gleiche wie τ, X. ist Topologie gegeben.
6. Jedes begrenzte Seminar auf X. ist kontinuierlich.
7. Jede andere lokal konvexe topologische Vektorraumtopologie von Hausdorff auf X. das hat die gleiche (von-Neumann) Bornologie wie ((X., τ)ist notwendigerweise gröber als 𝜏 .
8. X. ist die induktive Grenze von normierten Räumen.
9. X. ist die induktive Grenze der normierten Räume X._D. wie D. variiert über die geschlossenen und begrenzten Scheiben von X. (oder als D.variiert über die begrenzten Festplatten von X. ).
10. X. trägt die Mackey-Topologie
    ${ displaystyle tau (X, X ‘)}$

    und alle begrenzten linearen Funktionen auf X. sind kontinuierlich.

11. X. hat beide der folgenden Eigenschaften:
    • X. ist konvex-sequentiell oder C-sequentiell, was bedeutet, dass jede konvexe sequentiell offene Teilmenge von X. ist offen,
    • X. ist sequentiell Bornologie oder S-Bornological, was bedeutet, dass jede konvexe und geborenfressende Untergruppe von X. ist nacheinander geöffnet.

    wo eine Teilmenge EIN von X. wird genannt nacheinander öffnen wenn jede Sequenz zu konvergiert 0gehört schließlich zu EIN .

Jeder sequentiell kontinuierliche lineare Operator von einem lokal konvexen geborenen Raum in ein lokal konvexes TVS ist kontinuierlich, wobei daran erinnert wird, dass ein linearer Operator genau dann sequentiell kontinuierlich ist, wenn er am Ursprung sequentiell kontinuierlich ist. Für lineare Karten von einem geborenen Raum in einen lokal konvexen Raum entspricht die Kontinuität der sequentiellen Kontinuität am Ursprung. Im Allgemeinen haben wir sogar Folgendes:

• Beliebige lineare Karte F. :: X. → Y. von einem lokal konvexen geborenen Raum in einen lokal konvexen Raum Y. das ordnet Nullsequenzen in X. zu begrenzten Teilmengen von Y. ist notwendigerweise kontinuierlich.

Ausreichende Bedingungen[edit]

Infolge des Mackey-Ulam-Theorems “ist das Produkt geborener Räume für alle praktischen Zwecke geboren.”

Die folgenden topologischen Vektorräume sind alle Bornologie:

• Jedes lokal konvexe pseudometrisierbare TVS ist Bornologie.
• Irgendwelche strengen LF-Raum ist Bornologie.
  • Dies zeigt, dass es Bornologieräume gibt, die nicht messbar sind.
• Ein zählbares Produkt lokal konvexer Bornologie-Räume ist Bornologie.
• Quotienten von Hausdorff lokal konvexen geborenen Räumen sind geboren.
• Die direkte Summe und induktive Grenze von Hausdorff lokal konvexen Bornologie-Räumen ist Bornologie.
• Fréchet Montel Räume haben Bornologie starke Duale.
• Das starke Dual jedes reflexiven Fréchet-Raums ist Bornologie.
• Wenn das starke Dual eines messbaren lokal konvexen Raums trennbar ist, dann ist es Bornologie.
• Ein Vektor-Unterraum eines lokal konvexen geborenen Raumes von Hausdorff X. das hat endliche codimension in X. ist Bornologie.
• Die feinste lokal konvexe Topologie auf einem Vektorraum ist die Bornologie.

Gegenbeispiele

• Es gibt einen Bornologischen LB-Raum, dessen starkes Bidual ist nicht Bornologie.
• Ein geschlossener Vektor-Unterraum eines lokal konvexen Bornologie-Raums ist nicht unbedingt Bornologie.
• Bornologische Räume müssen nicht fassbar sein und tonnenförmige Räume müssen nicht geborene sein.
  • Da jeder lokal konvexe ultrabornologische Raum abgefüllt ist, folgt daraus, dass ein Bornologischer Raum nicht unbedingt ultrabornologisch ist.
• Es gibt einen geschlossenen Vektor-Unterraum eines lokal konvexen Bornologie-Raums, der vollständig (und somit sequentiell vollständig), aber weder tonnenförmig noch Bornologisch ist.

Eigenschaften[edit]

• Der starke duale Raum eines lokal konvexen geborenen Raums ist vollständig.
• Jeder lokal konvexe geborene Raum ist infrabarrelliert.
• Jedes Hausdorff sequentiell vollständige Bornologische TVS ist ultrabornologisch.
  • Somit ist jeder konkurrierende hausdorff Bornologische Raum ultrabornologisch.
  • Insbesondere ist jeder Fréchet-Raum ultrabornologisch.
• Das endliche Produkt lokal konvexer ultrabornologischer Räume ist ultrabornologisch.
• Jeder geborene Hausdorff-Raum ist quasi tonnenförmig.
• Angesichts eines geborenen Raumes X.mit kontinuierlichem dual X.‘ , die Topologie von X.stimmt mit der Mackey-Topologie überein τ (X.,X.‘) .
• Jeder quasi vollständige (dh alle geschlossenen und begrenzten Teilmengen sind vollständig) geborenen Raum ist fassbar. Es gibt jedoch Bornologische Räume, die nicht verriegelt sind.
• Jeder Bornologische Raum ist die induktive Grenze normierter Räume (und Banach-Räume, wenn der Raum auch quasi vollständig ist).

• Lassen X. sei ein messbarer lokal konvexer Raum mit kontinuierlichem Dual

  ${ displaystyle X ‘}$

  . Dann sind folgende äquivalent:

  1. 
     ${ displaystyle beta (X ‘, X)}$

     ist Bornologie.

  2. 
     ${ displaystyle beta (X ‘, X)}$

     ist quasi fassig.

  3. 
     ${ displaystyle beta (X ‘, X)}$

     ist fassbar.

  4. X. ist ein ausgezeichneter Raum.
• Wenn L. :: X. → Y. ist eine lineare Abbildung zwischen lokal konvexen Räumen und if X.ist bornologisch, dann sind folgende gleichwertig:
  1. L. :: X. → Y. ist kontinuierlich.
  2. L. :: X. → Y. ist sequentiell kontinuierlich.
  3. Für jeden Satz B. ⊆ X. das ist begrenzt X. , L.((B.) ist begrenzt.
  4. Wenn ((x_n) ⊆ X. ist eine Nullsequenz in X. dann ((L.((x_n))ist eine Nullsequenz in Y. .
  5. Wenn ((x_n) ⊆ X. ist eine konvergente Mackey-Nullsequenz in X. dann ((L.((x_n))ist eine begrenzte Teilmenge von Y. .
• Nehme an, dass X. und Y. sind lokal konvexe TVS und dass der Raum von kontinuierlichen linearen Karten L._b((X.;; Y.)ist mit der Topologie der einheitlichen Konvergenz auf begrenzten Teilmengen von ausgestattet X. . Wenn X. ist ein geborener Raum und wenn Y. ist dann abgeschlossen L._b((X.;; Y.) ist ein komplettes TVS.
  • Insbesondere ist das starke Dual eines lokal konvexen geborenen Raums vollständig. Es muss jedoch nicht Bornologie sein.

Teilmengen

• In einem lokal konvexen geborenen Raum ist jede konvexe geborenfressende Menge B. ist eine Nachbarschaft von 0 ((B. ist nicht erforderlich, um eine Festplatte zu sein).
• Jede geborene fressende Teilmenge eines lokal konvexen messbaren topologischen Vektorraums ist eine Nachbarschaft des Ursprungs.
• Geschlossene Vektor-Subräume des Bornological Space müssen nicht Bornological sein.

Ultrabornologische Räume[edit]

Eine Scheibe in einem topologischen Vektorraum X. wird genannt infrabornivorous wenn es alle Banach-Scheiben absorbiert.

Wenn X. ist lokal konvex und Hausdorff, dann ist eine Scheibe genau dann infrabornivore, wenn sie alle CDs absorbiert.

Ein lokal konvexer Raum wird aufgerufen ultrabornologisch wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft:

1. Jede infrabornivore Scheibe ist eine Nachbarschaft des Ursprungs.
2. X. ist die induktive Grenze der Räume X._D. wie D.variiert über alle CDs in X. .
3. Ein Seminar über X. das auf jeder Banach-Scheibe begrenzt ist, ist notwendigerweise kontinuierlich.
4. Für jeden lokal konvexen Raum Y. und jede lineare Karte u :: X. → Y., wenn u ist dann auf jeder Banach-Platte begrenzt u ist kontinuierlich.
5. Für jeden Banachraum Y. und jede lineare Karte u :: X. → Y., wenn u ist dann auf jeder Banach-Platte begrenzt uist kontinuierlich.

Eigenschaften[edit]

Das endliche Produkt ultrabornologischer Räume ist ultrabornologisch. Induktive Grenzen ultrabornologischer Räume sind ultrabornologisch.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Literaturverzeichnis[edit]

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topologische Vektorräume: Die Theorie ohne Konvexitätsbedingungen. Vorlesungsunterlagen in Mathematik. 639. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003.
• Berberian, Sterling K. (1974). Vorlesungen in Funktionsanalyse und Operatortheorie. Diplomtexte in Mathematik. 15. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401.
• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur bestimmte espaces vectoriels topologiques [Topological Vector Spaces: Chapters 1–5]. Annales de l’Institut Fourier. Éléments de mathématique. 2. Übersetzt von Eggleston, HG; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
• Conway, John (1990). Ein Kurs in Funktionsanalyse. Diplomtexte in Mathematik. 96 (2. Aufl.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
• Edwards, Robert E. (1995). Funktionsanalyse: Theorie und Anwendungen. New York: Dover-Veröffentlichungen. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
• Grothendieck, Alexander (1973). Topologische Vektorräume. Übersetzt von Chaljub, Orlando. New York: Gordon und Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologien und Funktionsanalyse. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., S. xii + 144. ISBN 0-7204-0712-5. HERR 0500064.
• Jarchow, Hans (1981). Lokal konvexe Räume. Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Köthe, Gottfried (1969). Topologische Vektorräume I.. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159. Übersetzt von Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. HERR 0248498. OCLC 840293704.
• Khaleelulla, SM (1982). Geschrieben in Berlin Heidelberg. Gegenbeispiele in topologischen Vektorräumen. Vorlesungsunterlagen in Mathematik. 936. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
• Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). Die bequeme Einstellung der globalen Analyse. Mathematische Umfragen und Monographien. Amerikanische Mathematische Gesellschaft. ISBN 9780821807804.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologische Vektorräume. Reine und angewandte Mathematik (2. Aufl.). Boca Raton, FL: CRC-Presse. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologische Vektorräume. GTM. 8 (Zweite Ausgabe). New York, NY: Springer New Yorker Aufdruck Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Swartz, Charles (1992). Eine Einführung in die Funktionsanalyse. New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.
• Wilansky, Albert (2013). Moderne Methoden in topologischen Vektorräumen. Mineola, New York: ISBN von Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.