[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/2020\/12\/21\/bornologischer-raum-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/2020\/12\/21\/bornologischer-raum-wikipedia\/","headline":"Bornologischer Raum – Wikipedia","name":"Bornologischer Raum – Wikipedia","description":"before-content-x4 Ein topologischer Vektorraum, in dem jeder begrenzte lineare Operator in einen anderen Raum immer stetig ist In der Mathematik,","datePublished":"2020-12-21","dateModified":"2020-12-21","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/5124d50399187386cb72cf020453f7c852d44b8a","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/5124d50399187386cb72cf020453f7c852d44b8a","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/2020\/12\/21\/bornologischer-raum-wikipedia\/","wordCount":7477,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Ein topologischer Vektorraum, in dem jeder begrenzte lineare Operator in einen anderen Raum immer stetig ist  In der Mathematik, insbesondere in der Funktionsanalyse, a Bornologischer Raum ist eine Art von Raum, der in gewissem Sinne die minimale Struktur besitzt, die erforderlich ist, um Fragen der Begrenztheit von Mengen und linearen Karten zu beantworten, genauso wie ein topologischer Raum die minimale Menge an Struktur besitzt, die erforderlich ist, um Fragen der Kontinuit\u00e4t zu beantworten.  Bornologische R\u00e4ume zeichnen sich durch die Eigenschaft aus, dass eine lineare Abbildung von einem Bornologischen Raum in einen lokal konvexen Raum genau dann stetig ist, wenn es sich um einen begrenzten linearen Operator handelt.Bornologische R\u00e4ume wurden zuerst von Mackey untersucht.  Der Name wurde von Bourbaki nach gepr\u00e4gt born\u00e9, das franz\u00f6sische Wort f\u00fcr “begrenzt”.Table of Contents  Bornologien und begrenzte Karten[edit]Begrenzte Karten[edit]Vektor Bornologien[edit]Bornivore Untergruppen[edit]Mackey-Konvergenz[edit]Bornologie eines topologischen Vektorraums[edit]Induzierte Topologie[edit]Bornologische R\u00e4ume[edit]Quasi-Bornologische R\u00e4ume[edit]Bornologischer Raum[edit]Ausreichende Bedingungen[edit]Eigenschaften[edit]Ultrabornologische R\u00e4ume[edit]Eigenschaften[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Literaturverzeichnis[edit]Bornologien und begrenzte Karten[edit]EIN Bornologie  am Set X. ist eine Sammlung \u212c von Teilmengen von X. die alle folgenden Bedingungen erf\u00fcllen:\u212c Abdeckungen X.dh X. = \u222a \u212c;;\u212c ist unter Einschl\u00fcssen stabil, dh wenn B. \u2208 \u2208 und EIN’ \u2286 B., dann EIN’ \u2208 \u2208;;\u212c ist unter endlichen Gewerkschaften stabil, dh wenn B.1, …, B.n  \u2208 \u2208, dann B.1 \u222a \u22c5\u22c5\u22c5 \u222a B.n  \u2208 \u2208Elemente der Sammlung \u212c werden normalerweise genannt \u212c-gebundene oder einfach begrenzte Mengen.  Das Paar ((X., \u212c) wird eine begrenzte Struktur oder eine Bornologie genannt.EIN Basis der Bornologie \u212c ist eine Teilmenge \u212c0  von \u212c so dass jedes Element von \u212c ist eine Teilmenge eines Elements von \u212c0.Begrenzte Karten[edit]Wenn B.1  und B.2  sind zwei Bornologien \u00fcber den R\u00e4umen X. und Y.bzw. wenn f :: X. \u2192 Y.  ist eine Funktion, dann sagen wir das f ist ein lokal begrenzte Karte  oder ein begrenzte Karte  wenn es kartiert B.1-gebunden setzt ein X. zu B.2-gebunden setzt ein Y..  Wenn zus\u00e4tzlich f ist eine Bijektion und f\u2009\u22121  ist auch begrenzt dann sagen wir das f ist ein Bornologischer Isomorphismus.  Vektor Bornologien[edit]Wenn X. ist ein Vektorraum \u00fcber einem Feld \ud835\udd42 dann ein Vektor Bornologie auf X.  ist eine Bornologie \u212c auf X. Dies ist stabil unter Vektoraddition, Skalarmultiplikation und Bildung ausgeglichener H\u00fcllen (dh wenn die Summe zweier begrenzter Mengen begrenzt ist usw.).Wenn X. ist ein topologischer Vektorraum (TVS) und \u212c ist eine Bornologie auf X., dann sind die folgenden \u00e4quivalent:\u212c ist eine Vektor-Bornologie;Endliche Summen und ausgewogene R\u00fcmpfe von \u212c-gebundene Mengen sind \u212c-gebunden;Die skalare Multiplikationskarte \ud835\udd42 \u00d7; X. \u2192 X.  definiert von ((s, x) \u21a6 sx  und die Zusatzkarte X. \u00d7; X. \u2192 X.  definiert von ((x, y) \u21a6 x + ysind beide begrenzt, wenn ihre Dom\u00e4nen ihre Produkt-Bornologien tragen (dh sie ordnen begrenzte Teilmengen begrenzten Teilmengen zu).Eine Vektor-Bornologie \u212c hei\u00dft a konvexe Vektor-Bornologie  wenn es unter der Bildung von konvexen H\u00fcllen stabil ist (dh die konvexe H\u00fclle eines begrenzten Satzes ist begrenzt), dann \u212c hei\u00dft a.  Und eine Vektor-Bornologie \u212c wird genannt getrennt  wenn der einzige begrenzte Vektor-Unterraum von X. ist der 0-dimensionale Trivialraum {0 }.Bornivore Untergruppen[edit]Eine Teilmenge EIN von X. wird genannt geborenfressend  und ein geborener Fresser  wenn es jeden begrenzten Satz absorbiert.In einer Vektor-Bornologie EIN ist geborenfressend, wenn es jede begrenzte ausgeglichene Menge und in einer konvexen Vektor-Bornologie absorbiert EIN ist geborenfressend, wenn es jede begrenzte Scheibe absorbiert.Zwei TVS-Topologien im selben Vektorraum haben genau dann die gleichen begrenzten Teilmengen, wenn sie die gleichen Bornivoren haben.Jede geborene fressende Teilmenge eines lokal konvexen messbaren topologischen Vektorraums ist eine Nachbarschaft des Ursprungs.Mackey-Konvergenz[edit]Eine Sequenz x\u2022 \u2022 = (xich)\u221eich= 1  in einem Fernseher X. wird gesagt, dass Mackey konvergent zu 0  wenn es eine Folge von positiven reellen Zahlen gibt r\u2022 \u2022 = (rich)\u221eich= 1  divergierend zu \u221eso dass ((richxich)\u221eich= 1  konvergiert gegen 0 in X..Bornologie eines topologischen Vektorraums[edit]Jeder topologische Vektorraum X. , zumindest auf einem nicht diskret bewerteten Feld gibt eine Bornologie auf X. durch Definieren einer Teilmenge B. \u2286 X.  begrenzt werden (oder von-Neumann begrenzt werden), genau dann, wenn f\u00fcr alle offenen Mengen U. \u2286 X.  mit Null existiert a r > 0 mit B. \u2286 rU.  Wenn X. ist dann ein lokal konvexer topologischer Vektorraum B. \u2286 X.  ist genau dann begrenzt, wenn alle kontinuierlichen Halbnormen an sind X.sind begrenzt auf B. .Die Menge aller begrenzten Teilmengen eines topologischen Vektorraums X. wird genannt das Bornologie  oder das von Neumann Bornologie von X..Wenn X. ist ein lokal konvexer topologischer Vektorraum, dann eine absorbierende Scheibe D. im X. ist genau dann geboren (bzw. infrabornivor), wenn seine Minkowski-Funktion lokal begrenzt ist (bzw. infraboundiert).Induzierte Topologie[edit]Wenn \u212cist eine konvexe Vektor-Bornologie auf einem Vektorraum X. , dann die Sammlung  \ud835\udca9\u212c(0) aller konvex ausgeglichenen Teilmengen von X. Die geborenen Fleischfresser bilden eine Nachbarschaftsbasis am Ursprung f\u00fcr eine lokal konvexe Topologie X. namens das Topologie induziert durch \u212c.Wenn ((X., \u03c4) ist dann ein TVS das Bornologischer Raum verbunden mit X.  ist der Vektorraum X.ausgestattet mit der lokal konvexen Topologie, die durch die von Neumann-Bornologie von ((X., \u03c4) .Satz – – Lassen X. und Y. lokal konvex TVS sein und lassen X.b  bezeichnen X.ausgestattet mit der von von Neumann geborenen Topologie von X. .  Definieren Y.b  \u00e4hnlich.  Dann eine lineare Karte L. :: X. \u2192 Y.  ist genau dann ein begrenzter linearer Operator, wenn L. :: X.b  \u2192 Y.  ist kontinuierlich.Dar\u00fcber hinaus, wenn X. ist Bornologie, Y. ist Hausdorff und L. :: X. \u2192 Y.  ist dann eine kontinuierliche lineare Karte L. :: X. \u2192 Y.b.  Wenn zus\u00e4tzlich X.ist auch ultrabornologisch, dann die Kontinuit\u00e4t von L. :: X. \u2192 Y.  impliziert die Kontinuit\u00e4t von L. :: X. \u2192 Y.ub, wo Y.ub  ist der ultrabornologische Raum, der mit assoziiert ist Y. .Bornologische R\u00e4ume[edit]In der Funktionsanalyse ist ein lokal konvexer topologischer Vektorraum ein bornologischer Raum, wenn seine Topologie auf nat\u00fcrliche Weise aus seiner Bornologie wiederhergestellt werden kann.Quasi-Bornologische R\u00e4ume[edit]Quasi-Bornologische R\u00e4ume wurden 1968 von S. Iyahen eingef\u00fchrt.Ein topologischer Vektorraum (TVS) ((X., \u03c4) mit einem kontinuierlichen dual  X.\u2009‘  hei\u00dft a quasi-Bornologischer Raum wenn eine der folgenden \u00e4quivalenten Bedingungen zutrifft:Jeder begrenzte lineare Operator von X. in ein anderes TVS ist kontinuierlich.Jeder begrenzte lineare Operator von X. in ein vollst\u00e4ndig messbares TVS ist kontinuierlich.Jeder Knoten in einer geborenen fressenden Schnur ist eine Nachbarschaft des Ursprungs.Jedes pseudometrisierbare Fernsehger\u00e4t ist quasi geboren.  Ein Fernseher ((X., \u03c4) in dem jede geborene fressende Menge eine Nachbarschaft des Ursprungs ist, ist ein quasi-geborener Raum.  Wenn X. ist ein quasi-geborenes TVS dann die feinste lokal konvexe Topologie auf X. das ist gr\u00f6ber als \u03c4 macht X. in einen lokal konvexen geborenen Raum.Bornologischer Raum[edit]Beachten Sie, dass jeder lokal konvexe quasi-Bornologische Raum Bornologie ist, es jedoch Bornologie-R\u00e4ume gibt nicht quasi-bornologisch.Ein topologischer Vektorraum (TVS) ((X., \u03c4) mit einem kontinuierlichen dual  X.\u2009‘  hei\u00dft a Bornologischer Raum wenn es lokal konvex ist und eine der folgenden \u00e4quivalenten Bedingungen gilt:Jeder konvexe, ausgeglichene und geborene Fleischfresser setzte ein X. ist eine Nachbarschaft von Null.Jeder begrenzte lineare Operator von X. in ein lokal konvexes TVS ist kontinuierlich.Denken Sie daran, dass eine lineare Karte genau dann begrenzt ist, wenn sie eine Sequenz abbildet, die zu konvergiert 0 in der Dom\u00e4ne zu einer begrenzten Teilmenge der Codom\u00e4ne.  Insbesondere ist jede lineare Karte, die am Ursprung sequentiell kontinuierlich ist, begrenzt.Jeder begrenzte lineare Operator von X. in einen halbnormierten Raum ist kontinuierlich.Jeder begrenzte lineare Operator von X. in einen Banachraum ist kontinuierlich.Wenn X. ist ein lokal konvexer Hausdorff-Raum, dann k\u00f6nnen wir dieser Liste hinzuf\u00fcgen:Die lokal konvexe Topologie induziert durch die von Neumann-Bornologie am X.ist das gleiche wie \u03c4, X. ist Topologie gegeben.Jedes begrenzte Seminar auf X. ist kontinuierlich.Jede andere lokal konvexe topologische Vektorraumtopologie von Hausdorff auf X. das hat die gleiche (von-Neumann) Bornologie wie ((X., \u03c4)ist notwendigerweise gr\u00f6ber als \ud835\udf0f .X. ist die induktive Grenze von normierten R\u00e4umen.X. ist die induktive Grenze der normierten R\u00e4ume X.D.  wie D. variiert \u00fcber die geschlossenen und begrenzten Scheiben von X. (oder als D.variiert \u00fcber die begrenzten Festplatten von X. ).X. tr\u00e4gt die Mackey-Topologie \u03c4((X.,X.‘){ displaystyle  tau (X, X ‘)}  und alle begrenzten linearen Funktionen auf X. sind kontinuierlich.X. hat beide der folgenden Eigenschaften:X. ist konvex-sequentiell oder C-sequentiell, was bedeutet, dass jede konvexe sequentiell offene Teilmenge von X. ist offen,X. ist sequentiell Bornologie oder S-Bornological, was bedeutet, dass jede konvexe und geborenfressende Untergruppe von X. ist nacheinander ge\u00f6ffnet.wo eine Teilmenge EIN von X. wird genannt nacheinander \u00f6ffnen wenn jede Sequenz zu konvergiert 0geh\u00f6rt schlie\u00dflich zu EIN .Jeder sequentiell kontinuierliche lineare Operator von einem lokal konvexen geborenen Raum in ein lokal konvexes TVS ist kontinuierlich, wobei daran erinnert wird, dass ein linearer Operator genau dann sequentiell kontinuierlich ist, wenn er am Ursprung sequentiell kontinuierlich ist.  F\u00fcr lineare Karten von einem geborenen Raum in einen lokal konvexen Raum entspricht die Kontinuit\u00e4t der sequentiellen Kontinuit\u00e4t am Ursprung.  Im Allgemeinen haben wir sogar Folgendes:Beliebige lineare Karte F. :: X. \u2192 Y.  von einem lokal konvexen geborenen Raum in einen lokal konvexen Raum Y. das ordnet Nullsequenzen in X. zu begrenzten Teilmengen von Y. ist notwendigerweise kontinuierlich.Ausreichende Bedingungen[edit]Mackey-Ulam-Theorem – – Das Produkt einer Sammlung X.\u2022 \u2022 = (X.ich)ich \u2208 ich  lokal konvexe geborene R\u00e4ume sind genau dann geboren, wenn ich tut nicht eine Ulam-Ma\u00dfnahme zugeben.Infolge des Mackey-Ulam-Theorems “ist das Produkt geborener R\u00e4ume f\u00fcr alle praktischen Zwecke geboren.”Die folgenden topologischen Vektorr\u00e4ume sind alle Bornologie:Jedes lokal konvexe pseudometrisierbare TVS ist Bornologie.Irgendwelche strengen LF-Raum ist Bornologie.Dies zeigt, dass es Bornologier\u00e4ume gibt, die nicht messbar sind.Ein z\u00e4hlbares Produkt lokal konvexer Bornologie-R\u00e4ume ist Bornologie.Quotienten von Hausdorff lokal konvexen geborenen R\u00e4umen sind geboren.Die direkte Summe und induktive Grenze von Hausdorff lokal konvexen Bornologie-R\u00e4umen ist Bornologie.Fr\u00e9chet Montel R\u00e4ume haben Bornologie starke Duale.Das starke Dual jedes reflexiven Fr\u00e9chet-Raums ist Bornologie.Wenn das starke Dual eines messbaren lokal konvexen Raums trennbar ist, dann ist es Bornologie.Ein Vektor-Unterraum eines lokal konvexen geborenen Raumes von Hausdorff X. das hat endliche codimension in X. ist Bornologie.Die feinste lokal konvexe Topologie auf einem Vektorraum ist die Bornologie.GegenbeispieleEs gibt einen Bornologischen LB-Raum, dessen starkes Bidual ist nicht Bornologie.Ein geschlossener Vektor-Unterraum eines lokal konvexen Bornologie-Raums ist nicht unbedingt Bornologie.Bornologische R\u00e4ume m\u00fcssen nicht fassbar sein und tonnenf\u00f6rmige R\u00e4ume m\u00fcssen nicht geborene sein.Da jeder lokal konvexe ultrabornologische Raum abgef\u00fcllt ist, folgt daraus, dass ein Bornologischer Raum nicht unbedingt ultrabornologisch ist.Es gibt einen geschlossenen Vektor-Unterraum eines lokal konvexen Bornologie-Raums, der vollst\u00e4ndig (und somit sequentiell vollst\u00e4ndig), aber weder tonnenf\u00f6rmig noch Bornologisch ist.Eigenschaften[edit]Der starke duale Raum eines lokal konvexen geborenen Raums ist vollst\u00e4ndig.Jeder lokal konvexe geborene Raum ist infrabarrelliert.Jedes Hausdorff sequentiell vollst\u00e4ndige Bornologische TVS ist ultrabornologisch.Somit ist jeder konkurrierende hausdorff Bornologische Raum ultrabornologisch.Insbesondere ist jeder Fr\u00e9chet-Raum ultrabornologisch.Das endliche Produkt lokal konvexer ultrabornologischer R\u00e4ume ist ultrabornologisch.Jeder geborene Hausdorff-Raum ist quasi tonnenf\u00f6rmig.Angesichts eines geborenen Raumes X.mit kontinuierlichem dual X.‘ , die Topologie von X.stimmt mit der Mackey-Topologie \u00fcberein \u03c4 (X.,X.‘) .Jeder quasi vollst\u00e4ndige (dh alle geschlossenen und begrenzten Teilmengen sind vollst\u00e4ndig) geborenen Raum ist fassbar.  Es gibt jedoch Bornologische R\u00e4ume, die nicht verriegelt sind.Jeder Bornologische Raum ist die induktive Grenze normierter R\u00e4ume (und Banach-R\u00e4ume, wenn der Raum auch quasi vollst\u00e4ndig ist).Lassen X. sei ein messbarer lokal konvexer Raum mit kontinuierlichem Dual X.‘{ displaystyle X ‘}.  Dann sind folgende \u00e4quivalent:\u03b2((X.‘,X.){ displaystyle  beta (X ‘, X)}  ist Bornologie.\u03b2((X.‘,X.){ displaystyle  beta (X ‘, X)}  ist quasi fassig.\u03b2((X.‘,X.){ displaystyle  beta (X ‘, X)}  ist fassbar.X. ist ein ausgezeichneter Raum.Wenn L. :: X. \u2192 Y.  ist eine lineare Abbildung zwischen lokal konvexen R\u00e4umen und if X.ist bornologisch, dann sind folgende gleichwertig:L. :: X. \u2192 Y.  ist kontinuierlich.L. :: X. \u2192 Y.  ist sequentiell kontinuierlich.F\u00fcr jeden Satz B. \u2286 X.  das ist begrenzt X. , L.((B.) ist begrenzt.Wenn ((xn) \u2286 X.  ist eine Nullsequenz in X. dann ((L.((xn))ist eine Nullsequenz in Y. .Wenn ((xn) \u2286 X.  ist eine konvergente Mackey-Nullsequenz in X. dann ((L.((xn))ist eine begrenzte Teilmenge von Y. .Nehme an, dass X. und Y. sind lokal konvexe TVS und dass der Raum von kontinuierlichen linearen Karten L.b((X.;; Y.)ist mit der Topologie der einheitlichen Konvergenz auf begrenzten Teilmengen von ausgestattet X. .  Wenn X. ist ein geborener Raum und wenn Y. ist dann abgeschlossen L.b((X.;; Y.) ist ein komplettes TVS.Insbesondere ist das starke Dual eines lokal konvexen geborenen Raums vollst\u00e4ndig.  Es muss jedoch nicht Bornologie sein.TeilmengenIn einem lokal konvexen geborenen Raum ist jede konvexe geborenfressende Menge B. ist eine Nachbarschaft von 0 ((B. ist nicht erforderlich, um eine Festplatte zu sein).Jede geborene fressende Teilmenge eines lokal konvexen messbaren topologischen Vektorraums ist eine Nachbarschaft des Ursprungs.Geschlossene Vektor-Subr\u00e4ume des Bornological Space m\u00fcssen nicht Bornological sein.Ultrabornologische R\u00e4ume[edit]Eine Scheibe in einem topologischen Vektorraum X. wird genannt infrabornivorous  wenn es alle Banach-Scheiben absorbiert.Wenn X. ist lokal konvex und Hausdorff, dann ist eine Scheibe genau dann infrabornivore, wenn sie alle CDs absorbiert.Ein lokal konvexer Raum wird aufgerufen ultrabornologisch  wenn eine der folgenden \u00e4quivalenten Bedingungen zutrifft:Jede infrabornivore Scheibe ist eine Nachbarschaft des Ursprungs.X. ist die induktive Grenze der R\u00e4ume X.D.  wie D.variiert \u00fcber alle CDs in X. .Ein Seminar \u00fcber X. das auf jeder Banach-Scheibe begrenzt ist, ist notwendigerweise kontinuierlich.F\u00fcr jeden lokal konvexen Raum Y. und jede lineare Karte u :: X. \u2192 Y., wenn u ist dann auf jeder Banach-Platte begrenzt u ist kontinuierlich.F\u00fcr jeden Banachraum Y. und jede lineare Karte u :: X. \u2192 Y., wenn u ist dann auf jeder Banach-Platte begrenzt uist kontinuierlich.Eigenschaften[edit]Das endliche Produkt ultrabornologischer R\u00e4ume ist ultrabornologisch.  Induktive Grenzen ultrabornologischer R\u00e4ume sind ultrabornologisch.Siehe auch[edit]Verweise[edit]Literaturverzeichnis[edit]Adasch, Norbert;  Ernst, Bruno;  Keim, Dieter (1978). Topologische Vektorr\u00e4ume: Die Theorie ohne Konvexit\u00e4tsbedingungen.  Vorlesungsunterlagen in Mathematik. 639.  Berlin New York: Springer-Verlag.  ISBN 978-3-540-08662-8.  OCLC 297140003.Berberian, Sterling K. (1974). Vorlesungen in Funktionsanalyse und Operatortheorie.  Diplomtexte in Mathematik. 15.  New York: Springer.  ISBN 978-0-387-90081-0.  OCLC 878109401.Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur bestimmte espaces vectoriels topologiques [Topological Vector Spaces: Chapters 1\u20135]. Annales de l’Institut Fourier.  \u00c9l\u00e9ments de math\u00e9matique. 2.  \u00dcbersetzt von Eggleston, HG;  Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag.  ISBN 978-3-540-42338-6.  OCLC 17499190.Conway, John (1990). Ein Kurs in Funktionsanalyse.  Diplomtexte in Mathematik. 96 (2. Aufl.).  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