Lokal konvexer topologischer Vektorraum

Ein Vektorraum mit einer Topologie, die durch konvexe offene Mengen definiert ist

In der Funktionsanalyse und verwandten Bereichen der Mathematik, lokal konvexe topologische Vektorräume ((LCTVS) oder lokal konvexe Räume sind Beispiele für topologische Vektorräume (TVS), die normierte Räume verallgemeinern. Sie können als topologische Vektorräume definiert werden, deren Topologie durch Übersetzungen ausgeglichener, absorbierender, konvexer Mengen erzeugt wird. Alternativ können sie als Vektorraum mit einer Familie von Seminorms definiert werden, und eine Topologie kann in Bezug auf diese Familie definiert werden. Obwohl solche Räume im Allgemeinen nicht unbedingt normierbar sind, ist die Existenz einer konvexen lokalen Basis für den Nullvektor stark genug, damit das Hahn-Banach-Theorem gilt, was eine ausreichend reiche Theorie kontinuierlicher linearer Funktionale ergibt.

Fréchet-Räume sind lokal konvexe Räume, die vollständig messbar sind (mit einer Auswahl an vollständigen Metriken). Sie sind Verallgemeinerungen von Banach-Räumen, die vollständige Vektorräume in Bezug auf eine durch eine Norm erzeugte Metrik sind.

Geschichte[edit]

Metrisierbare Topologien auf Vektorräumen wurden seit ihrer Einführung in Maurice Fréchets Doktorarbeit von 1902 untersucht Sur quelques points du calcul fonctionnel (wobei der Begriff einer Metrik zuerst eingeführt wurde). Nachdem der Begriff eines allgemeinen topologischen Raums 1914 von Felix Hausdorff definiert wurde,[1] Obwohl lokal konvexe Topologien von einigen Mathematikern implizit verwendet wurden, scheint bis 1934 nur John von Neumann die schwache Topologie auf Hilbert-Räumen und die starke Operatortopologie auf Operatoren auf Hilbert-Räumen explizit definiert zu haben.[2][3] Schließlich führte von Neumann 1935 die allgemeine Definition eines lokal konvexen Raums ein (genannt a konvexer Raum von ihm).[4][5]

Ein bemerkenswertes Beispiel für ein Ergebnis, das auf die Entwicklung und Verbreitung allgemeiner lokal konvexer Räume warten musste (neben anderen Begriffen und Ergebnissen wie Netzen, Produkttopologie und Tychonoffs Theorem), um seine vollständige Allgemeinheit zu beweisen, ist das Banach-Alaoglu Satz, den Stefan Banach 1932 erstmals durch ein elementares diagonales Argument für den Fall trennbarer normierter Räume aufstellte[6] (In diesem Fall ist die Einheitskugel des Duals messbar).

Definition[edit]

Annehmen X. ist ein Vektorraum vorbei 𝕂, ein Unterfeld der komplexen Zahlen (normalerweise selbst oder ). Ein lokal konvexer Raum wird entweder als konvexe Menge oder äquivalent als Seminorm definiert.

Definition über konvexe Mengen[edit]

Eine Teilmenge C. im X. wird genannt

  1. Konvex wenn für alle x, y im C., und 0 ≤ t ≤ 1, tx + (1 – t)y ist in C.. Mit anderen Worten, C. enthält alle Liniensegmente zwischen Punkten in C..
  2. Wenn für alle eingekreist x im C., λx ist in C. wenn |λ| = 1. Wenn 𝕂 = ℝ, Dies bedeutet, dass C. ist gleich seiner Reflexion durch den Ursprung. Zum 𝕂 = ℂbedeutet es für jeden x im C., C. enthält den Kreis durch x, zentriert auf den Ursprung, in dem eindimensionalen komplexen Unterraum, der durch erzeugt wird x.
  3. Ein Kegel (wenn das zugrunde liegende Feld geordnet ist), wenn für alle x im C. und 0 ≤ λ ≤ 1, λx ist in C..
  4. Wenn für alle ausgeglichen x im C., λx ist in C. wenn |λ| ≤ 1. Wenn 𝕂 = ℝDies bedeutet, dass wenn x ist in C., C. enthält das Liniensegment zwischen x und – –x. Zum 𝕂 = ℂbedeutet es für jeden x im C., C. enthält die Festplatte mit x an seiner Grenze, zentriert auf den Ursprung, in dem eindimensionalen komplexen Unterraum, der durch erzeugt wird x. Entsprechend ist ein ausgeglichener Satz ein eingekreister Kegel.
  5. Absorbierend oder absorbierend, wenn für jeden x im X.gibt es r > 0 so dass x ist in tC für alle t ∈ ∈ befriedigend |t| > r. Der Satz C. kann von jedem skaliert werden “groß” Wert, um jeden Punkt im Raum zu absorbieren.
    • In jedem Fernsehgerät ist jede Nachbarschaft des Ursprungs absorbierend.
  6. Absolut konvex oder a Scheibe wenn es sowohl ausgeglichen als auch konvex ist. Dies entspricht dem Schließen unter linearen Kombinationen, deren Koeffizienten absolut summieren ≤ 1;; Ein solches Set ist absorbierend, wenn es sich über alle erstreckt X..

Definition: Ein topologischer Vektorraum wird aufgerufen lokal konvex wenn der Ursprung eine Nachbarschaftsbasis (dh eine lokale Basis) hat, die aus konvexen Mengen besteht.

Tatsächlich hat jedes lokal konvexe Fernsehgerät eine Nachbarschaftsbasis, aus der der Ursprung besteht absolut konvex Mengen (dh Scheiben), wobei diese Nachbarschaftsbasis ferner so gewählt werden kann, dass sie auch vollständig aus offenen Mengen oder vollständig aus geschlossenen Mengen besteht. Jedes Fernsehgerät hat eine Nachbarschaftsbasis am Ursprung, die aus ausgeglichenen Mengen besteht, aber nur ein lokal konvexes Fernsehgerät hat eine Nachbarschaftsbasis am Ursprung, die aus Mengen besteht, die beide ausgeglichen sind und konvex. Beachten Sie, dass ein TVS möglich ist etwas Nachbarschaften des Ursprungs, die konvex und doch sind nicht lokal konvex sein.

Weil Übersetzung ist (per Definition von “topologischer Vektorraum”) kontinuierlich, alle Übersetzungen sind Homöomorphismen, so dass jede Basis für die Nachbarschaften des Ursprungs in eine Basis für die Nachbarschaften eines bestimmten Vektors übersetzt werden kann.

Definition über Seminorms[edit]

EIN Seminorm auf X. ist eine Karte p :: X. → ℝ so dass

  1. p ist positiv oder positiv semidefinit: p((x) ≥ 0;;
  2. p ist positiv homogen oder positiv skalierbar: p((λx) = |λ| p((x) für jeden Skalar λ. Also insbesondere p(0) = 0;;
  3. p ist subadditiv. Es erfüllt die Dreiecksungleichung: p((x + y) ≤ p((x) + p((y).

Wenn p erfüllt positive Bestimmtheit, die besagt, dass wenn p((x) = 0 dann x = 0, dann p ist ein Norm. Während Seminorms im Allgemeinen keine Normen sein müssen, gibt es ein Analogon zu diesem Kriterium für Familien von Seminorms, die nachstehend definierte Trennung.

Definition: Wenn X. ist ein Vektorraum und 𝒫 ist eine Familie von Seminorms auf X. dann eine Teilmenge 𝒬 von 𝒫 heißt a Basis von Seminorms zum 𝒫 wenn für alle p ∈ ∈ es gibt eine q ∈ ∈ und eine echte r > 0 so dass prq.
Definition (zweite Version): A. lokal konvexer Raum wird als Vektorraum definiert X. zusammen mit einer Familie 𝒫 von Seminorms auf X..

Seminorm-Topologie[edit]

Nehme an, dass X. ist ein Vektorraum vorbei 𝕂, wo 𝕂 ist entweder die reelle oder komplexe Zahl, und lassen B.<r (bzw. B.r) bezeichnen die offene (bzw. geschlossene) Kugel mit Radius r > 0 im 𝕂. Eine Familie von Seminorms 𝒫 auf dem Vektorraum X. induziert eine kanonische Vektorraumtopologie auf X., genannt die anfängliche Topologie, die durch die Seminorms induziert wird, und macht sie zu einem topologischen Vektorraum (TVS). Per Definition ist es die gröbste Topologie auf X. für die alle Karten in 𝒫 sind kontinuierlich.

Dass die Vektorraumoperationen in dieser Topologie kontinuierlich sind, ergibt sich aus den obigen Eigenschaften 2 und 3. Es ist leicht zu erkennen, dass der resultierende topologische Vektorraum ist “lokal konvex” im Sinne der zuerst Definition oben gegeben, weil jeder U.B., ε(0) ist absolut konvex und absorbierend (und weil die letzteren Eigenschaften durch Übersetzungen erhalten bleiben).

Beachten Sie, dass eine lokal konvexe Topologie in einem Raum möglich ist X. von einer Familie von Normen induziert werden, aber für X. zu nicht normierbar sein (dh seine Topologie durch eine einzige Norm induzieren lassen).

Basis und Subbasis[edit]

Nehme an, dass 𝒫 ist eine Familie von Seminorms auf X. das induziert eine lokal konvexe Topologie 𝜏 on X.. Eine Unterbasis am Ursprung ist durch alle Sätze des Formulars gegeben

p– –1((B.<r)={x∈X.::p((x)<r}}{ displaystyle p ^ {- 1} left (B_ {

wie p reicht über 𝒫 und r reicht über die positiven reellen Zahlen. Eine Basis am Ursprung ergibt sich aus der Sammlung aller möglichen endlichen Schnittpunkte solcher Subbasismengen.

Denken Sie daran, dass die Topologie eines TVS übersetzungsinvariant ist, dh wenn S. ist eine beliebige Teilmenge von X. mit dem Ursprung dann für jeden xX., S. ist genau dann eine Nachbarschaft von 0, wenn x + S. ist eine Nachbarschaft von x;; Daher reicht es aus, die Topologie am Ursprung zu definieren. Eine Basis von Nachbarschaften von y für diese Topologie wird folgendermaßen erhalten: für jede endliche Teilmenge F. von 𝒫 Und jeder r > 0, Lassen

U.F.,r((y): ={x∈X.::p((x– –y)<r für alle p∈F.}}{ displaystyle U_ {F, r} (y): = left {x in X: p (xy)

.
Grundlagen von Seminorms und gesättigten Familien[edit]
Definition: Wenn X. ist ein lokal konvexer Raum und wenn 𝒬 ist eine Sammlung von fortlaufenden Seminorms auf X., dann 𝒬 heißt a Basis kontinuierlicher Seminorms wenn es eine Basis von Seminorms für die Sammlung von ist alle kontinuierliche seminorms auf X..
  • Dies bedeutet explizit, dass für alle kontinuierlichen Seminorms p auf X.gibt es eine q ∈ ∈ und eine echte r > 0 so dass prq.

Wenn 𝒬 ist eine Basis für kontinuierliche Seminorms für ein lokal konvexes TVS X. dann die Familie aller Mengen der Form

{x∈X.::q((x)<r}}{ displaystyle left {x in X: q left (x right)

wie q variiert über 𝒬 und r variiert über die positiven reellen Zahlen, ist a Base von Nachbarschaften des Ursprungs in X. (nicht nur eine Subbasis, es besteht also keine Notwendigkeit, endliche Schnittpunkte solcher Mengen zu nehmen).

Definition: Eine Familie 𝒫 von Seminorms auf einem Vektorraum X. wird genannt gesättigt wenn für welche p und q im 𝒫, das Seminorm definiert durch x↦max{p((x),q((x)}}{ displaystyle x mapsto max {p (x), q (x) }}

gehört 𝒫.

Wenn 𝒫 ist eine gesättigte Familie kontinuierlicher Seminorms, die die Topologie induziert X. dann die Sammlung aller Sätze des Formulars { xX. ::p(( x) r } wie p reicht über 𝒫 und r erstreckt sich über alle positiven reellen Zahlen, bildet eine Nachbarschaftsbasis am Ursprung, die aus konvexen offenen Mengen besteht; Beachten Sie, dass dies eher eine Basis am Ursprung als nur eine Subbasis bildet, so dass es insbesondere eine gibt Nein müssen endliche Schnittpunkte solcher Mengen nehmen.

Grundlage der Normen[edit]

Der folgende Satz impliziert, dass wenn X. ist ein lokal konvexer Raum dann die Topologie von X. kann durch eine Familie von kontinuierlichen definiert werden Normen auf X. (ein Norm ist ein injektives Seminorm) genau dann, wenn es existiert mindestens ein kontinuierlich Norm auf X.. Wenn es eine kontinuierliche Norm für einen topologischen Vektorraum gibt X. dann X. ist notwendigerweise Hausdorff, aber das Gegenteil ist im Allgemeinen nicht wahr (nicht einmal für lokal konvexe Räume oder Fréchet-Räume).

Satz – – Lassen X. sei ein Fréchet-Raum über dem Feld 𝕂. Dann sind folgende äquivalent:

  1. X. tut nicht Geben Sie eine kontinuierliche Norm zu (dh jede kontinuierliche Seminorm auf X. können nicht eine Norm sein).
  2. X. enthält einen komplementierten Vektor-Unterraum, zu dem TVS-isomorph ist 𝕂.
Netze[edit]

Angenommen, die Topologie eines lokal konvexen Raums X. wird von einer Familie induziert 𝒫 von kontinuierlichen Seminorms auf X.. Wenn xX. und wenn x• • = ( xich)ichich ist ein Netz in X., dann x• •x im X. genau dann, wenn für alle p ∈ ∈, p(( x• • – –x) = (p(( xich – – x))ichich → 0. Darüber hinaus, wenn x• • ist Cauchy in X.dann ist es auch so p((x• •) = (p(( xich))ichich für jeden p ∈ ∈.

Gleichwertigkeit der Definitionen[edit]

Obwohl die Definition in Bezug auf eine Nachbarschaftsbasis ein besseres geometrisches Bild ergibt, ist die Definition in Bezug auf Seminorms in der Praxis einfacher zu handhaben. Die Äquivalenz der beiden Definitionen ergibt sich aus einer Konstruktion, die als Minkowski-Funktions- oder Minkowski-Messgerät bekannt ist. Das Hauptmerkmal von Seminorms, das die Konvexität ihrer sicherstellt ε-balls ist die Dreiecksungleichung.

Für ein absorbierendes Set C. so dass wenn x ist in C., dann tx ist in C. wann immer 0 ≤ t ≤ 1, definieren Sie die Minkowski-Funktion von C. sein

μC.((x)=inf{λ>0::x∈λC.}}.{ displaystyle mu _ {C} (x) = inf { lambda> 0: x in lambda C }.}

μC.
ist ein Seminorm wenn C. ist ausgeglichen und konvex (es ist auch unter der Annahme absorbierend). Umgekehrt, angesichts einer Familie von Seminorms, die Sets
{x::pα1((x)<ε1,…,pαn((x)<εn}}{ displaystyle left {x: p _ { alpha _ {1}} (x) < varepsilon _ {1}, ldots, p _ { alpha _ {n}} (x) < varepsilon _ {n }Recht}}

bilden eine Basis aus konvexen absorbierenden ausgeglichenen Sätzen.

Möglichkeiten zur Definition einer lokal konvexen Topologie[edit]

Satz – – Nehme an, dass X. ist ein (realer oder komplexer) Vektorraum und lassen eine Filterbasis von Teilmengen von sein X. so dass:

  1. Jeder B. ∈ ∈ ist konvex, ausgeglichen und absorbierend;
  2. Für jeden B. ∈ ∈ es gibt einige echte r befriedigend 0r ≤ 1/2 so dass rB ∈ ∈.

Dann ist eine Nachbarschaftsbasis bei 0 für eine lokal konvexe TVS-Topologie X..

Satz – – Nehme an, dass X. ist ein (realer oder komplexer) Vektorraum und lassen 𝒮 eine nicht leere Sammlung von konvexen, ausgeglichenen und absorbierenden Teilmengen von sein X.. Dann setzt sich die Menge aller positiven skalaren Vielfachen endlicher Schnittpunkte von Mengen ein 𝒮 bildet eine Nachbarschaftsbasis bei 0 für eine lokal konvexe TVS-Topologie auf X..

Weitere Definitionen[edit]

  • Eine Familie von Seminorms {pα}}α wird genannt gesamt oder getrennt oder soll getrennte Punkte wenn wann immer pα((x) = 0 gilt für jeden α dann x ist unbedingt 0. Ein lokal konvexer Raum ist Hausdorff genau dann, wenn er eine getrennte Familie von Seminorms hat. Viele Autoren nehmen das Hausdorff-Kriterium in die Definition auf.
  • Eine Pseudometrie ist eine Verallgemeinerung einer Metrik, die die Bedingung nicht erfüllt, dass d(( x, y) = 0 nur wenn x =y. Ein lokal konvexer Raum ist pseudometrisierbar, was bedeutet, dass seine Topologie genau dann aus einer pseudometrischen stammt, wenn er eine zählbare Familie von Seminorms hat. In der Tat ist dann eine Pseudometrie gegeben, die dieselbe Topologie induziert
    d((x,y)=∑n∞12npn((x– –y)1+pn((x– –y){ displaystyle d (x, y) = sum _ {n} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n}}} { frac {p_ {n} (xy)} {1+ p_ {n} (xy)}}}

    (bei dem die 1/2n kann durch eine beliebige positive summierbare Sequenz ersetzt werden einn). Diese Pseudometrie ist translatorisch invariant, aber nicht homogen d(( kx,ky) ≠ |k|d(( x,y)und definiert daher keine (Pseudo-) Norm. Die Pseudometrie ist genau dann eine ehrliche Metrik, wenn die Familie der Seminorms getrennt ist, da dies genau dann der Fall ist, wenn der Raum Hausdorff ist. Wenn der Raum außerdem vollständig ist, wird der Raum als Fréchet-Raum bezeichnet.

  • Wie bei jedem topologischen Vektorraum ist auch ein lokal konvexer Raum ein einheitlicher Raum. Man kann also von einheitlicher Kontinuität, einheitlicher Konvergenz und Cauchy-Sequenzen sprechen.
  • Ein Cauchy-Netz in einem lokal konvexen Raum ist ein Netz { xκ}}κ so dass für jeden ε > 0 und jedes Seminorm pαgibt es eine κ so dass für alle λ, μ >κ, pα(( xλ – – xμ) ε. Mit anderen Worten, das Netz muss in allen Seminaren gleichzeitig Cauchy sein. Die Definition der Vollständigkeit wird hier in Form von Netzen anstelle der bekannteren Sequenzen angegeben, da im Gegensatz zu Fréchet-Räumen, die messbar sind, allgemeine Räume durch eine unzählige Familie von Pseudometrien definiert werden können. Sequenzen, die per Definition zählbar sind, können nicht ausreichen, um die Konvergenz in solchen Räumen zu charakterisieren. Ein lokal konvexer Raum ist genau dann vollständig, wenn jedes Cauchy-Netz konvergiert.
  • Eine Familie von Seminorms wird zu einer vorbestellten Menge unter der Beziehung pαpβ genau dann, wenn es eine gibt M. > 0 so dass für alle x, pα(( x) ≤Mpβ(( x). Man sagt, es ist ein gerichtete Familie von Seminorms Wenn die Familie eine gerichtete Menge mit Zusatz als Join ist, mit anderen Worten, wenn für jeden α und β, da ist ein γ so dass pα + pβpγ. Jede Familie von Seminorms hat eine gleichwertige gerichtete Familie, dh eine, die dieselbe Topologie definiert. In der Tat eine Familie gegeben { pα}}αich, Lassen Φ sei die Menge der endlichen Teilmengen von ichdann für jeden F. im Φ, definieren
    qF.=∑α∈F.pα{ displaystyle q_ {F} = sum _ { alpha in F} p _ { alpha}}

    .

    Man kann das überprüfen { qF.}}F. ∈ ∈ ist eine gleichwertige gerichtete Familie.

  • Wenn die Topologie des Raums von einem einzelnen Seminorm induziert wird, ist der Raum seminormable. Jeder lokal konvexe Raum mit einer endlichen Familie von Seminorms ist seminormierbar. Wenn der Raum Hausdorff ist (die Familie ist getrennt), ist der Raum darüber hinaus normierbar, wobei die Norm durch die Summe der Seminorms gegeben ist. In Bezug auf die offenen Mengen ist ein lokal konvexer topologischer Vektorraum genau dann seminormierbar, wenn 0 hat eine begrenzte Nachbarschaft.

Ausreichende Bedingungen[edit]

Hahn-Banach-Erweiterungsgrundstück

Lassen X. ein Fernseher sein. Sagen Sie, dass ein Vektor-Unterraum M. von X. hat die Erweiterungseigenschaft wenn eine kontinuierliche lineare Funktion eingeschaltet ist M. kann auf eine kontinuierliche lineare Funktion erweitert werden X.. Sag das X. hat die Hahn-Banach-Erweiterungsgrundstück ((HBEP) wenn jeder Vektorunterraum von X. hat die Erweiterungseigenschaft.

Das Hahn-Banach-Theorem garantiert, dass jeder lokal konvexe Hausdorff-Raum das HBEP hat. Für vollständig messbare TVS gibt es eine Umkehrung:

Satz (Kalton) – – Jedes vollständige messbare Fernsehgerät mit der Erweiterungseigenschaft Hahn-Banach ist lokal konvex.

Wenn ein Vektorraum X. hat unzählige Dimensionen und wenn wir es mit der besten Vektortopologie ausstatten, dann ist dies ein TVS mit dem HBEP, das weder lokal konvex noch messbar ist.

Eigenschaften[edit]

Während, 𝒫 ist eine Familie kontinuierlicher Seminorms, die die Topologie von generieren X..

Topologische Eigenschaften[edit]

  • Nehme an, dass Y. ist ein TVS (nicht unbedingt lokal konvex oder Hausdorff) über die reellen oder komplexen Zahlen. Dann die offenen konvexen Teilmengen von Y. sind genau diejenigen, die von der Form sind z + { yY. ::p(( y) <1} = { yY. ::p(( y – – z) <1} für einige zY. und einige positive kontinuierliche sublineare Funktionen p auf Y..
  • Wenn S.X. und xX., dann x ∈ cl S. genau dann, wenn für jeden r > 0 und jede endliche Sammlung p1, …, pn ∈ ∈ es gibt einige sS. so dass Σn
    ich= 1
    pich(( x – – s) r
    .
  • Die Schließung von {0 } im X. entspricht
    ∩p∈P.p– –1((0){ displaystyle cap _ {p in { mathcal {P}}} p ^ {- 1} (0)}

    .
  • Jedes lokal konvexe Hausdorff-Fernsehgerät ist homöomorph zu einem Unterraum eines Produkts von Banach-Räumen.

Topologische Eigenschaften konvexer Teilmengen[edit]

  • Das Innere und Schließen einer konvexen Teilmenge eines Fernsehgeräts ist wiederum konvex.
  • Die Minkowski-Summe zweier konvexer Mengen ist konvex; außerdem ist das skalare Vielfache einer konvexen Menge wieder konvex.
  • Wenn C. ist eine konvexe Menge mit nicht leerem Innenraum, dann der Verschluss von C.ist gleich dem Verschluss des Innenraums von C. ;; außerdem das Innere von C.ist gleich dem Inneren des Verschlusses von C. .
    • Also wenn eine konvexe Menge C. hat dann nicht leeres Interieur C. ist genau dann ein geschlossener (bzw. offener) Satz, wenn es sich um einen regulären geschlossenen (bzw. regulären offenen) Satz handelt.
  • Wenn C. ist eine konvexe Teilmenge eines TVS X. (nicht unbedingt Hausdorff), xgehört zum Inneren von S. , und ygehört zur Schließung von S. , dann die offene Liniensegmentverbindung x und y(dh { t x + (1 – t) y : 0 t <1}) gehört zum Inneren von S. .
  • Wenn X. ist ein lokal konvexer Raum (nicht unbedingt Hausdorff), M.ist ein geschlossener Vektorunterraum von X., V. ist eine konvexe Nachbarschaft von 0 in M. , und wenn zX. ist ein Vektor nicht im V.dann gibt es eine konvexe Nachbarschaft U. von 0 in X. so dass V. = U.M. und zU..
  • Das Schließen einer konvexen Teilmenge eines lokal konvexen Hausdorff-TVS X. ist für alle lokal konvexen Hausdorff TVS-Topologien gleich X. das sind kompatibel mit Dualität zwischen X. und sein kontinuierlicher dualer Raum.
  • In einem lokal konvexen Raum sind die konvexe Hülle und die Scheibenhülle eines vollständig begrenzten Satzes vollständig begrenzt.
  • In einem vollständigen lokal konvexen Raum sind sowohl die konvexe Hülle als auch die Scheibenhülle eines kompakten Satzes kompakt.
    • Allgemeiner, wenn K. ist eine kompakte Teilmenge eines lokal konvexen Raums, dann der konvexen Hülle co K. (bzw. der Scheibenrumpf kobalK.) ist genau dann kompakt, wenn es vollständig ist.
  • In einem lokal konvexen Raum sind konvexe Hüllen begrenzter Mengen begrenzt. Dies gilt im Allgemeinen nicht für TVS.
  • In einem Fréchet-Raum ist der geschlossene konvexe Rumpf eines kompakten Sets kompakt.
  • In einem lokal konvexen Raum ist jede lineare Kombination von vollständig begrenzten Mengen vollständig begrenzt.

Eigenschaften von konvexen Rümpfen[edit]

Für jede Teilmenge S.eines Fernsehgeräts X., das konvexer Rumpf (bzw. geschlossener konvexer Rumpf, ausgewogener Rumpf, bzw. konvex ausbalancierter Rumpf) von S. , bezeichnet durch co (S.)(bzw.

co¯((S.){ displaystyle { overline { operatorname {co}}} (S)}

, bal (S.), kobal ( S.) ) ist die kleinste konvexe (bzw. geschlossene konvexe, ausgeglichene, konvexe ausgeglichene) Teilmenge von X.enthält S. .

  • In einem quasi vollständigen lokal konvexen TVS ist der Verschluss der konvexen Hülle einer kompakten Teilmenge wieder kompakt.
  • In einem lokal konvexen Hausdorff-TVS ist die konvexe Hülle eines Vorkompaktsatzes wieder vorkompakt. Folglich ist in einem vollständigen lokal konvexen Hausdorff-Fernsehgerät die geschlossene konvexe Hülle einer kompakten Teilmenge wieder kompakt.
  • In jedem Fernseher die konvexe Hülle einer endlichen Vereinigung von Kompakten konvex Sets ist kompakt (und konvex).
    • Beachten Sie, dass dies impliziert, dass in jedem Hausdorff-Fernsehgerät die konvexe Hülle einer endlichen Vereinigung kompakter konvexer Mengen ist geschlossen (zusätzlich zu kompakt und konvex); Insbesondere ist die konvexe Hülle einer solchen Vereinigung gleich der geschlossen konvexe Hülle dieser Vereinigung.
    • Im Allgemeinen ist die geschlossene konvexe Hülle eines kompakten Satzes nicht unbedingt kompakt.
    • In jedem Nicht-Hausdorff-Fernsehgerät gibt es Teilmengen, die kompakt (und damit vollständig) sind, aber nicht geschlossen.
  • Der bipolare Satz besagt, dass der bipolare (dh der Polar des Polars) einer Teilmenge eines lokal konvexen Hausdorff-TVS gleich dem geschlossenen konvexen ausgeglichenen Rumpf dieser Menge ist.
  • Der ausgeglichene Rumpf eines konvexen Satzes istnicht unbedingt konvex.
  • Wenn C. und D. sind konvexe Teilmengen eines topologischen Vektorraums (TVS) X.und wenn x ∈ co ( C.D.) , dann gibt es cC., dD.und eine reelle Zahl r befriedigend 0 ≤ r ≤ 1 so dass x = r c + (1 –r) d.
  • Wenn M.ist ein Vektorunterraum eines TVS X. , C.eine konvexe Teilmenge von M. , und D. eine konvexe Teilmenge von X.so dass D.M.C., dann C. =M. ∩ co ( C.D.) .
  • Denken Sie daran, dass die kleinste ausgeglichene Teilmenge von X. mit einem Satz S. heißt das ausgewogener Rumpf von S.und wird mit bezeichnet bal (S.) . Für jede Teilmenge S.von X., das konvex ausbalancierter Rumpf von S., bezeichnet durch kobal (S.) ist die kleinste Teilmenge von X. enthält S. das ist konvex und ausgeglichen. Der konvex ausbalancierte Rumpf von S. ist gleich der konvexen Hülle der ausgeglichenen Hülle von S.(dh kobal (S.) = co (bal ( S.)) ), aber der konvex ausbalancierte Rumpf von S. istnicht notwendigerweise gleich dem ausgeglichenen Rumpf des konvexen Rumpfes von S. (dh kobal (S.)ist nicht unbedingt gleich bal (co ( S.)) ).
  • Wenn EIN undB. sind Teilmengen eines TVS X. und wenn rist dann ein Skalar co (EINB.) = co (EIN) ∪co (B.), co ( rA) =rco ( EIN) , und
    co¯((rEIN)=rco¯((EIN){ displaystyle { overline { operatorname {co}}} (rA) = r { overline { operatorname {co}}} (A)}

    . Darüber hinaus, wenn co¯((EIN){ displaystyle { overline { operatorname {co}}} (A)}

    ist dann kompakt co¯((EIN+B.)=co¯((EIN)+co¯((B.){ displaystyle { overline { operatorname {co}}} (A + B) = { overline { operatorname {co}}} (A) + { overline { operatorname {co}}} (B)}

  • Wenn EIN und B. sind Teilmengen eines TVS X. deren geschlossene konvexe Rümpfe sind dann kompakt
    co¯((EIN∪B.)=co¯((co¯((EIN)∪co¯((B.)){ displaystyle { overline { operatorname {co}}} (A cup B) = { overline { operatorname {co}}} left ({ overline { operatorname {co}}} (A) cup { overline { operatorname {co}}} (B) right)}

    .
  • Wenn S. ist eine konvexe Menge in einem komplexen Vektorraum X.und es gibt einige zX. so dass z,iz, –z, – izS., dann rz + GrößeS. für alle echt r, s so dass |r| + |s| ≤ 1 . Speziell, azS. für alle Skalare einso dass |ein |21/.2.

Beispiele und Nichtbeispiele[edit]

Feinste und gröbste lokal konvexe Topologie[edit]

Grobste Vektortopologie

Beliebiger Vektorraum X. Ausgestattet mit der trivialen Topologie (dh der indiskreten Topologie) ist ein lokal konvexes TVS (und natürlich die gröbste solche Topologie). Diese Topologie ist genau dann Hausdorff X. = {0 }. Die indiskrete Topologie macht jeden Vektorraum zu einem vollständigen pseudometrisierbaren lokal konvexen TVS.

Im Gegensatz dazu bildet die diskrete Topologie eine Vektortopologie auf X. wenn und nur X. = {0 }. Dies folgt aus der Tatsache, dass jeder topologische Vektorraum ein verbundener Raum ist.

Feinste lokal konvexe Topologie

Wenn X. ist ein realer oder komplexer Vektorraum und wenn 𝒫 ist die Menge aller Seminorms auf X.dann die lokal konvexe TVS-Topologie, bezeichnet mit 𝜏lc, Das 𝒫 induziert auf X.heißt das feinste lokal konvexe Topologie auf X. . Diese Topologie kann auch als TVS-Topologie bezeichnet werden X. mit als Nachbarschaftsbasis bei 0 die Menge aller absorbierenden Scheiben in X. . Jede lokal konvexe TVS-Topologie auf X. ist notwendigerweise eine Teilmenge von 𝜏lc.
((X., 𝜏lc) ist Hausdorff. Jede lineare Karte von ((X., 𝜏lc)in ein anderes lokal konvexes TVS ist notwendigerweise kontinuierlich. Insbesondere ist jede lineare Funktion eingeschaltet ((X., 𝜏lc) ist stetig und jeder Vektor-Unterraum von X. ist geschlossen in ((X., 𝜏lc) .; daher, wenn X. ist dann unendlich dimensional (( X., 𝜏lc) ist nicht pseudometrisierbar (und somit nicht messbar). Außerdem, 𝜏lc ist dernur Hausdorff lokal konvexe Topologie auf X.mit der Eigenschaft, dass jede lineare Karte von ihr in einen lokal konvexen Raum von Hausdorff kontinuierlich ist. Der Raum ((X., 𝜏lc) ist ein geborener Raum.

Beispiele für lokal konvexe Räume[edit]

Jeder normierte Raum ist ein lokal konvexer Hausdorff-Raum, und ein Großteil der Theorie lokal konvexer Räume verallgemeinert Teile der Theorie normierter Räume. Die Familie der Seminorms kann als die einzige Norm angesehen werden. Jeder Banachraum ist ein kompletter lokaldorxer Hausdorffraum, insbesondere der L.p Räume mit p ≥ 1 sind lokal konvex.

Im Allgemeinen ist jeder Fréchet-Raum lokal konvex. Ein Fréchet-Raum kann als vollständiger lokal konvexer Raum mit einer getrennten zählbaren Familie von Seminorms definiert werden.

Der Raum ω von reellen Sequenzen mit der Familie der Seminorms von

pich(({xn}}n)=|xich|,ich∈N.{ displaystyle p_ {i} left ( left {x_ {n} right } _ {n} right) = left | x_ {i} right |, qquad i in mathbf {N. }}

ist lokal konvex. Die zählbare Familie von Seminorms ist vollständig und trennbar, so dass dies ein Fréchet-Raum ist, der nicht normierbar ist. Beachten Sie, dass dies auch die Grenztopologie der Leerzeichen ist n, eingebettet in ω auf natürliche Weise durch Vervollständigen endlicher Sequenzen mit unendlich vielen 0 .

Gegeben ein beliebiger Vektorraum X. und eine Sammlung F.von linearen Funktionalen darauf, X. kann in einen lokal konvexen topologischen Vektorraum umgewandelt werden, indem ihm die schwächste Topologie gegeben wird, in der alle linearen Funktionale enthalten sind F. kontinuierlich. Dies ist bekannt als die schwache Topologie oder die anfängliche Topologie, die durch bestimmt wird F.. Die Sammlung F. kann das algebraische Dual von sein X. oder eine andere Sammlung. Die Familie der Seminorms ist in diesem Fall gegeben durch pf((x) = |f((x )| für alle fim F..

Räume differenzierbarer Funktionen geben andere nicht normierbare Beispiele. Betrachten Sie den Raum der glatten Funktionen f : ℝn → ℂso dass supx|xeinD.bf| , wo einund bsind Multiindizes. Die Familie der Seminorms definiert durch pein,b((f) = supx |xeinD.bf((x ) | ist getrennt und zählbar, und der Raum ist vollständig, so dass dieser messbare Raum ein Fréchet-Raum ist. Es ist bekannt als der Schwartz-Raum oder der Raum der Funktionen der schnellen Abnahme, und sein dualer Raum ist der Raum der temperierten Verteilungen.

Ein wichtiger Funktionsraum in der Funktionsanalyse ist der Raum D.((U.) von reibungslosen Funktionen mit kompakter Unterstützung in U.⊆ ℝn. Eine detailliertere Konstruktion ist für die Topologie dieses Raums erforderlich, da der Raum C.
0
((U. )
ist in der einheitlichen Norm nicht vollständig. Die Topologie auf D.(( U. ) ist wie folgt definiert: für jedes feste kompakte Set K.U., der Raum C.
0
(( K.)
von Funktionen fC.
0
(( U.)
mit supp (f) ⊂K. ist ein Fréchet-Raum mit einer zählbaren Familie von Seminorms ||f||m = supk ≤ msupx|D.kf((x) | (Dies sind eigentlich Normen und die Vervollständigung des Raumes C.
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((K. )
mit dem ||||m Norm ist ein Banachraum D.m((K.) ). Gegeben jede Sammlung {K.λ}}λ von kompakten Mengen, gerichtet durch Inklusion und so, dass ihre Vereinigung gleich ist U. , das C.
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((K.λ)
bilden ein direktes System, und D.((U.) ist definiert als die Grenze dieses Systems. Eine solche Begrenzung der Fréchet-Räume wird als LF-Raum bezeichnet. Genauer gesagt, D.((U.) ist die Vereinigung aller C.
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(( K.λ)
mit dem stärkstenlokal konvexTopologie, die jede Einschlusskarte erstellt C.
0
(( K.λ) ↪D. ((U. )
kontinuierlich. Dieser Raum ist lokal konvex und vollständig. Es ist jedoch nicht messbar und daher kein Fréchet-Raum. Der doppelte Raum von D.(ℝn) ist der Raum der Verteilungen auf n.

Abstrakter gegeben, angesichts eines topologischen Raums X. , der Raum C.((X.)von kontinuierlichen (nicht unbedingt begrenzten) Funktionen auf X. kann die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen gegeben werden. Diese Topologie wird durch Halbnormen definiert φK.((f ) = max {|f (( x ) | :: xK. }}(wie K. variiert über die gerichtete Menge aller kompakten Teilmengen von X. ). Wann X. ist lokal kompakt (zB ein offener Satz in n) Es gilt das Stone-Weierstrass-Theorem – im Fall von reellen Funktionen jede Subalgebra von C. ((X. ) Das trennt Punkte und enthält die konstanten Funktionen (z. B. die Subalgebra der Polynome) ist dicht.

Beispiele für Räume ohne lokale Konvexität[edit]

Viele topologische Vektorräume sind lokal konvex. Beispiele für Räume ohne lokale Konvexität sind:

‖f‖p=∫01|f((x)|pdx.{ displaystyle | f | _ {p} = int _ {0} ^ {1} | f (x) | ^ {p} , dx.}

Sie sind nicht lokal konvex, da die einzige konvexe Nachbarschaft von Null der gesamte Raum ist. Ganz allgemein die Räume L.p(( μ ) mit einem atomlosen, endlichen Maß μund 0 p <1sind nicht lokal konvex.
d((f,G)=∫01|f((x)– –G((x)|1+|f((x)– –G((x)|dx.{ displaystyle d (f, g) = int _ {0} ^ {1} { frac {| f (x) -g (x) |} {1+ | f (x) -g (x) | }} , dx.}

Dieser Raum wird oft bezeichnet L.0.

Beide Beispiele haben die Eigenschaft, dass jede kontinuierliche lineare Abbildung auf die reellen Zahlen ist 0 . Insbesondere ist ihr dualer Raum trivial, das heißt, er enthält nur die Nullfunktion.

  • Der Sequenzraum p((N.), 0 p <1 ist nicht lokal konvex.

Kontinuierliche Zuordnungen[edit]

Satz – – Lassen T. :: X.Y. ein linearer Operator zwischen TVS sein, wo Y. ist lokal konvex (beachten Sie, dass X.brauchen nicht lokal konvex sein). Dann T. ist genau dann kontinuierlich, wenn für jedes kontinuierliche Seminar q auf Y. gibt es ein kontinuierliches Seminorm p auf X. so dass qT.p.

Da lokal konvexe Räume sowohl topologische Räume als auch Vektorräume sind, sind die natürlichen Funktionen, die zwischen zwei lokal konvexen Räumen zu berücksichtigen sind, kontinuierliche lineare Karten. Unter Verwendung der Seminorms kann ein notwendiges und ausreichendes Kriterium für die Kontinuität einer linearen Karte angegeben werden, das der bekannteren Begrenzungsbedingung für Banach-Räume sehr ähnlich ist.

Gegeben lokal konvexe Räume X.und Y. mit Familien von Seminorms {pα}}α und { qβ}}β jeweils eine lineare Karte T. :: X.Y. ist genau dann kontinuierlich, wenn für jeden β , es gibt α1, α2, …,αn und M.> 0 so dass für alle v im X.

qβ((T.v)≤M.((pα1((v)+⋯+pαn((v)).{ displaystyle q _ { beta} (Tv) leq M left (p _ { alpha _ {1}} (v) + dotsb + p _ { alpha _ {n}} (v) right).}

Mit anderen Worten, jedes Seminorm des Bereichs von T. ist oben durch eine endliche Summe von Seminorms in der Domäne begrenzt. Wenn die Familie { pα}}α ist eine gerichtete Familie, und es kann immer so gewählt werden, dass sie wie oben erläutert geleitet wird, dann wird die Formel noch einfacher und vertrauter:

qβ((T.v)≤M.pα((v).{ displaystyle q _ { beta} (Tv) leq Mp _ { alpha} (v).}

Die Klasse aller lokal konvexen topologischen Vektorräume bildet eine Kategorie mit kontinuierlichen linearen Karten als Morphismen.

Lineare Funktionen[edit]

Satz – – Wenn X.ist ein TVS (nicht unbedingt lokal konvex) und wenn f ist eine lineare Funktion auf X. , dann f ist genau dann kontinuierlich, wenn es ein kontinuierliches Seminorm gibt p auf X. so dass |f| ≤ p.

Beachten Sie, dass wenn X.ist ein realer oder komplexer Vektorraum, f ist eine lineare Funktion auf X., und p ist ein seminorm auf X. , dann |f| ≤ p dann und nur dann, wenn fp. Wenn f ist eine lineare Nicht-0-Funktion in einem realen Vektorraum X.und wenn p ist ein seminorm auf X. , dann fp dann und nur dann, wenn

f– –1((1)∩{x∈X.::p((x)<1}}=∅{ displaystyle f ^ {- 1} left (1 right) cap left {x in X: p (x) <1 right } = Emptyset}

.

Multilineare Karten[edit]

Lassen n ≥ 1 sei eine ganze Zahl, X.1, …, X.n TVS sein (nicht unbedingt lokal konvex), lassen Y. ein lokal konvexes Fernsehgerät sein, dessen Topologie von einer Familie bestimmt wird 𝒬 von kontinuierlichen Seminorms, und lassen

M.::∏ich=1nX.ich→Y.{ displaystyle M: ​​ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} bis Y}

ein multilinearer Operator sein, der in jedem seiner linear ist nKoordinaten. Folgendes ist äquivalent:

  1. M.ist kontinuierlich.
  2. Für jeden q ∈ ∈Es gibt kontinuierliche Seminorms p1, …, pn auf X.1, …, X.njeweils so, dass
    q((M.((x))≤p1((x1)⋯pn((xn){ displaystyle q left (M left (x right) right) leq p_ {1} left (x_ {1} right) cdots p_ {n} left (x_ {n} right) }}

    für alle x=((x1,…,xn)∈∏ich=1nX.ich{ displaystyle x = left (x_ {1}, ldots, x_ {n} right) in prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}

    .
  3. Für jeden q ∈ ∈gibt es eine Nachbarschaft von 0 in
    ∏ich=1nX.ich{ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}

    auf welche qM. ist begrenzt.

Siehe auch[edit]

  1. ^ Hausdorff, F. Grundzüge der Mengenlehre(1914)
  2. ^ von Neumann, J. Gesammelte Werke. Band II. S.94-104
  3. ^ Dieudonne, J. Geschichte der Funktionsanalyse Kapitel VIII. Abschnitt 1.
  4. ^ von Neumann, J. Gesammelte Werke. Band II. S.508-527
  5. ^ Dieudonne, J. Geschichte der FunktionsanalyseKapitel VIII. Sektion 2.
  6. ^ Banach, S. Theorie der linearen OperationenS.75. CH. VIII. Sec. 3. Satz 4., übersetzt aus Theorie des Operations lineaires(1932)

Verweise[edit]

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  • Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur bestimmte espaces vectoriels topologiques [Topological Vector Spaces: Chapters 1–5]. Annales de l’Institut Fourier. Éléments de mathématique. 2. Übersetzt von Eggleston, HG; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
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  • Dunford, Nelson (1988). Lineare Operatoren(auf Rumänisch). New York: Interscience Publishers. ISBN 0-471-60848-3. OCLC 18412261.
  • Edwards, Robert E. (1995). Funktionsanalyse: Theorie und Anwendungen. New York: Dover-Veröffentlichungen. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
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  • Wilansky, Albert (2013).Moderne Methoden in topologischen Vektorräumen. Mineola, New York: ISBN von Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.