Zeitableitung – Wikipedia

Eine Ableitung einer Funktion in Bezug auf die Zeit.

EIN Zeitableitung ist eine Ableitung einer Funktion in Bezug auf die Zeit, die üblicherweise als Änderungsrate des Werts der Funktion interpretiert wird.^[1] Die Variable, die die Zeit angibt, wird normalerweise als geschrieben

${ displaystyle t ,}$

.

Notation[edit]

Eine Vielzahl von Notationen wird verwendet, um die Zeitableitung zu bezeichnen. Zusätzlich zur normalen (Leibniz) Notation

${ displaystyle { frac {dx} {dt}}}$

Eine sehr gebräuchliche Kurzschreibweise, insbesondere in der Physik, ist der “Over-Dot”. IE

${ displaystyle { dot {x}}}$

(Dies nennt man Newtons Notation)

Es werden auch höhere Zeitableitungen verwendet: Die zweite zeitliche Ableitung wird als geschrieben

${ displaystyle { frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}}}$

mit der entsprechenden Abkürzung von

${ displaystyle { ddot {x}}}$

.

Als Verallgemeinerung kann die zeitliche Ableitung eines Vektors sagen:

${ displaystyle { vec {V}} = left[v_{1}, v_{2}, v_{3},cdots right],}$

ist definiert als der Vektor, dessen Komponenten die Ableitungen der Komponenten des ursprünglichen Vektors sind. Das ist,

${ displaystyle { frac {d { vec {V}}} {dt}} = left[{frac {dv_{1}}{dt}},{frac {dv_{2}}{dt}},{frac {dv_{3}}{dt}},cdots right].}$

Verwendung in der Physik[edit]

Zeitableitungen sind ein Schlüsselbegriff in der Physik. Zum Beispiel für eine sich ändernde Position

${ displaystyle x}$

, seine Zeitableitung

${ displaystyle { dot {x}}}$

ist seine Geschwindigkeit und seine zweite Ableitung in Bezug auf die Zeit,

${ displaystyle { ddot {x}}}$

ist seine Beschleunigung. Manchmal werden auch noch höhere Ableitungen verwendet: Die dritte Ableitung der Position in Bezug auf die Zeit wird als Ruck bezeichnet. Siehe Bewegungsdiagramme und Ableitungen.

Eine große Anzahl von Grundgleichungen in der Physik beinhaltet erstmalige oder zweite Ableitungen von Größen. Viele andere fundamentale Größen in der Wissenschaft sind zeitliche Ableitungen voneinander:

und so weiter.

Ein häufiges Vorkommen in der Physik ist die zeitliche Ableitung eines Vektors, wie z. B. Geschwindigkeit oder Verschiebung. Im Umgang mit einer solchen Ableitung können sowohl Größe als auch Orientierung von der Zeit abhängen.

Beispiel: Kreisbewegung[edit]

Stellen Sie sich zum Beispiel ein Teilchen vor, das sich auf einer Kreisbahn bewegt. Seine Position ist durch den Verschiebungsvektor gegeben

${ displaystyle r = x { hat { imath}} + y { hat { jmath}}}$

, bezogen auf den Winkel, θund radialer Abstand, r, wie in der Abbildung definiert:

${ displaystyle { begin {align} x & = r cos ( theta) \ y & = r sin ( theta) end {align}}}$

In diesem Beispiel nehmen wir das an θ = t. Daher ist die Verschiebung (Position) jederzeit möglich t ist gegeben durch

${ displaystyle mathbf {v} cdot mathbf {r} =[-y,x] cdot [x,y]= -yx + xy = 0 ,.}$

Die Beschleunigung ist dann die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit:

In Differentialgeometrie[edit]

In der Differentialgeometrie werden Größen häufig in Bezug auf die lokale kovariante Basis ausgedrückt.

${ displaystyle mathbf {e} _ {i}}$

, wo ich reicht über die Anzahl der Dimensionen. Die Komponenten eines Vektors

${ displaystyle mathbf {U}}$

ausgedrückt auf diese Weise transformieren als kontravarianter Tensor, wie im Ausdruck gezeigt

${ displaystyle mathbf {U} = U ^ {i} mathbf {e} _ {i}}$

unter Berufung auf die Einstein-Summationskonvention. Wenn wir die Zeitableitungen dieser Komponenten entlang einer Trajektorie berechnen wollen, so haben wir

${ displaystyle { begin {align} { frac { delta U ^ {i}} { delta t}} = { frac {dU ^ {i}} {dt}} + V ^ {j} Gamma _ {jk} ^ {i} U ^ {k} \ end {align}}}$

wo

${ displaystyle V ^ {j} = { frac {dx ^ {j}} {dt}}}$

(mit

${ displaystyle x ^ {j}}$

das sein jth Koordinate) erfasst die Komponenten der Geschwindigkeit in der lokalen kovarianten Basis und

${ displaystyle Gamma _ {jk} ^ {i}}$

sind die Christoffel-Symbole für das Koordinatensystem. Beachten Sie, dass explizite Abhängigkeit von t wurde in der Notation unterdrückt. Wir können dann schreiben:

${ displaystyle { begin {align} { frac {d mathbf {U}} {dt}} = { frac { delta U ^ {i}} { delta t}} mathbf {e} _ { i} \ end {align}}}$

ebenso gut wie:

${ displaystyle { begin {align} { frac {d ^ {2} mathbf {U}} {dt ^ {2}}} = { frac { delta ^ {2} U ^ {i}} { delta t ^ {2}}} mathbf {e} _ {i} \ end {align}}}$

In Bezug auf das kovariante Derivat

${ displaystyle nabla _ {j}}$

, wir haben:

${ displaystyle { begin {align} { frac { delta U ^ {i}} { delta t}} = V ^ {j} nabla _ {j} U ^ {i} \ end {align }}}$

Verwendung in der Wirtschaft[edit]

In der Wirtschaft werden viele theoretische Modelle der Entwicklung verschiedener wirtschaftlicher Variablen in kontinuierlicher Zeit konstruiert und verwenden daher Zeitableitungen.^{[3]((CH. 1-3)} Eine Situation betrifft eine Aktienvariable und ihre Zeitableitung, eine Flussvariable. Beispiele beinhalten:

Manchmal kann die zeitliche Ableitung einer Flussvariablen in einem Modell erscheinen:

• Die Wachstumsrate der Produktion ist die zeitliche Ableitung des Produktionsflusses geteilt durch die Produktion selbst.
• Die Wachstumsrate der Erwerbsbevölkerung ist die zeitliche Ableitung der Erwerbsbevölkerung geteilt durch die Erwerbsbevölkerung selbst.

Und manchmal erscheint eine zeitliche Ableitung einer Variablen, die im Gegensatz zu den obigen Beispielen nicht in Währungseinheiten gemessen wird:

• Die zeitliche Ableitung eines Leitzinses kann erscheinen.
• Die Inflationsrate ist die Wachstumsrate des Preisniveaus, dh die zeitliche Ableitung des Preisniveaus geteilt durch das Preisniveau selbst.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]