Großer Kardinal – Wikipedia

Set-Theorie-Konzept

Im mathematischen Bereich der Mengenlehre a großes Kardinalvermögen ist eine bestimmte Art von Eigenschaft transfiniter Kardinalzahlen. Kardinäle mit solchen Eigenschaften sind, wie der Name schon sagt, im Allgemeinen sehr “groß” (zum Beispiel größer als das kleinste α, so dass α = ω ist_α). Die Behauptung, dass solche Kardinäle existieren, kann in der gebräuchlichsten Axiomatisierung der Mengenlehre, nämlich der ZFC, nicht bewiesen werden, und solche Aussagen können als Mittel zur Messung angesehen werden, wie “viel” man über die ZFC hinaus annehmen muss, um bestimmte Wünsche beweisen zu können Ergebnisse. Mit anderen Worten, sie können in Dana Scotts Satz als Quantifizierung der Tatsache gesehen werden, “dass man mehr annehmen muss, wenn man mehr will”.^[1]

Es gibt eine grobe Konvention, dass Ergebnisse, die nur mit ZFC nachweisbar sind, ohne Hypothesen angegeben werden können. Wenn der Beweis jedoch andere Annahmen erfordert (z. B. die Existenz großer Kardinäle), sollten diese angegeben werden. Ob dies lediglich eine sprachliche Konvention oder etwas anderes ist, ist ein kontroverser Punkt in verschiedenen philosophischen Schulen (siehe Motivationen und epistemischer Status unten).

EIN großes Kardinalaxiom ist ein Axiom, das besagt, dass es einen Kardinal (oder vielleicht viele von ihnen) mit einer bestimmten großen Kardinaleigenschaft gibt.

Die meisten Theoretiker von Arbeitssätzen glauben, dass die großen Kardinalaxiome, die derzeit betrachtet werden, mit ZFC übereinstimmen^{[citation needed]}. Diese Axiome sind stark genug, um die Konsistenz von ZFC zu implizieren. Dies hat zur Folge (über Gödels zweiten Unvollständigkeitssatz), dass ihre Konsistenz mit ZFC in ZFC nicht nachgewiesen werden kann (vorausgesetzt, ZFC ist konsistent).

Es gibt keine allgemein vereinbarte genaue Definition dessen, was eine große Kardinaleigenschaft ist, obwohl im Wesentlichen alle zustimmen, dass diejenigen in der Liste der großen Kardinaleigenschaften große Kardinaleigenschaften sind.

Teildefinition[edit]

Eine notwendige Bedingung für eine Eigenschaft von Kardinalzahlen ist a großes Kardinalvermögen ist, dass die Existenz eines solchen Kardinals nicht als mit ZFC unvereinbar bekannt ist, und es wurde bewiesen, dass ZFC + “kein solcher Kardinal existiert” konsistent ist, wenn ZFC konsistent ist.

Hierarchie der Konsistenzstärke[edit]

Eine bemerkenswerte Beobachtung über große Kardinalaxiome ist, dass sie aufgrund ihrer Konsistenzstärke in einer strengen linearen Reihenfolge auftreten. Das heißt, es ist keine Ausnahme für Folgendes bekannt: Bei zwei großen Kardinalaxiomen EIN₁ und EIN₂, genau eines von drei Dingen passiert:

1. Sofern ZFC nicht inkonsistent ist, wird ZFC +EIN₁ ist genau dann konsistent, wenn ZFC +EIN₂ ist konsistent;
2. ZFC +EIN₁ beweist, dass ZFC +EIN₂ ist konsistent; oder
3. ZFC +EIN₂ beweist, dass ZFC +EIN₁ ist konsistent.

Diese schließen sich gegenseitig aus, es sei denn, eine der fraglichen Theorien ist tatsächlich inkonsistent.

In Fall 1 sagen wir das EIN₁ und EIN₂ sind gleichkonsistent. In Fall 2 sagen wir das EIN₁ ist konsistent stärker als EIN₂ (umgekehrt für Fall 3). Wenn EIN₂ ist stärker als EIN₁, dann ZFC +EIN₁ kann ZFC + nicht beweisenEIN₂ ist konsistent, auch mit der zusätzlichen Hypothese, dass ZFC +EIN₁ ist selbst konsistent (vorausgesetzt natürlich, dass es wirklich ist). Dies folgt aus Gödels zweitem Unvollständigkeitssatz.

Die Beobachtung, dass große Kardinalaxiome linear nach Konsistenzstärke geordnet sind, ist genau das, eine Beobachtung, kein Satz. (Ohne eine akzeptierte Definition von großem Kardinaleigentum unterliegt es keinem Beweis im gewöhnlichen Sinne). Es ist auch nicht in jedem Fall bekannt, welcher der drei Fälle gilt. Saharon Shelah hat gefragt: “[i]Gibt es einen Satz, der dies erklärt, oder ist unsere Vision nur einheitlicher als wir denken? “Woodin leitet dies jedoch aus der Ω-Vermutung ab, dem ungelösten Hauptproblem seiner Ω-Logik. Es ist auch bemerkenswert, dass es viele kombinatorische Aussagen gibt genau gleichbedeutend mit einem großen Kardinal, anstatt beispielsweise zwischen ihnen zu liegen.

Die Reihenfolge der Konsistenzstärke entspricht nicht unbedingt der Reihenfolge der Größe des kleinsten Zeugen eines großen Kardinalaxioms. Zum Beispiel ist die Existenz eines riesigen Kardinals in Bezug auf die Konsistenzstärke viel stärker als die Existenz eines superkompakten Kardinals, aber wenn beide existieren, ist der erste große Kardinal kleiner als der erste superkompakte Kardinal.

Motivationen und epistemischer Status[edit]

Große Kardinäle werden im Kontext des von Neumann-Universums V verstanden, das durch transfiniter Iteration der Powerset-Operation aufgebaut wird, die alle Teilmengen einer gegebenen Menge zusammenfasst. Typischerweise Modelle mit großen Kardinalaxiomen Scheitern kann auf natürliche Weise als Untermodelle derjenigen angesehen werden, in denen die Axiome gelten. Wenn es beispielsweise einen unzugänglichen Kardinal gibt, ergibt das “Abschneiden des Universums” auf der Höhe des ersten solchen Kardinals ein Universum, in dem es keinen unzugänglichen Kardinal gibt. Oder wenn es einen messbaren Kardinal gibt, dann iterieren Sie den definierbar Die Powerset-Operation anstelle der vollständigen ergibt Gödels konstruierbares Universum L, das die Aussage “Es gibt einen messbaren Kardinal” nicht erfüllt (obwohl es den messbaren Kardinal als Ordnungszahl enthält).

Unter einem bestimmten Gesichtspunkt, den viele Mengen-Theoretiker vertreten (insbesondere solche, die von der Tradition der Kabalen inspiriert sind), “sagen” große Kardinal-Axiome, dass wir alle Mengen betrachten, die wir “berücksichtigen” sollen, während ihre Negationen sind “restriktiv” und sagen, dass wir nur einige dieser Mengen in Betracht ziehen. Darüber hinaus scheinen die Konsequenzen großer Kardinalaxiome in natürliche Muster zu fallen (siehe Maddy, “Believing the Axioms, II”). Aus diesen Gründen neigen solche Mengen-Theoretiker dazu, große Kardinal-Axiome als bevorzugten Status unter den Erweiterungen von ZFC zu betrachten, einen, den Axiome mit weniger klarer Motivation (wie Martins Axiom) oder andere, die sie intuitiv für unwahrscheinlich halten (wie V =), nicht teilen L). Die Hardcore-Realisten in dieser Gruppe würden einfacher sagen, dass große Kardinalaxiome sind wahr.

Dieser Standpunkt ist unter Mengen-Theoretikern keineswegs universell. Einige Formalisten würden behaupten, dass die Standardmengen-Theorie per Definition die Untersuchung der Konsequenzen von ZFC ist, und obwohl sie möglicherweise nicht grundsätzlich gegen die Untersuchung der Konsequenzen anderer Systeme sind, sehen sie keinen Grund, große Kardinäle als bevorzugt herauszustellen. Es gibt auch Realisten, die leugnen, dass ontologischer Maximalismus eine angemessene Motivation ist, und sogar glauben, dass große Kardinalaxiome falsch sind. Und schließlich gibt es einige, die leugnen, dass die Negationen großer Kardinalaxiome sind restriktiv und weist darauf hin, dass es (zum Beispiel) in L ein transitives Mengenmodell geben kann, das glaubt, dass es einen messbaren Kardinal gibt, obwohl L selbst diesen Satz nicht erfüllt.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

• Drake, FR (1974). Mengenlehre: Eine Einführung in große Kardinäle (Studium der Logik und der Grundlagen der Mathematik; V. 76). Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
• Jech, Thomas (2002). Mengenlehre, dritte Jahrtausendausgabe (überarbeitet und erweitert). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kanamori, Akihiro (2003). Das Höhere Unendliche: Große Kardinäle in der Mengenlehre von Anfang an (2. Aufl.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.
• Kanamori, Akihiro; Magidor, M. (1978), “Die Entwicklung großer Kardinalaxiome in der Mengenlehre”, Höhere Mengenlehre, Lecture Notes in Mathematics, 669 (Typoskript), Springer Berlin / Heidelberg, S. 99–275, doi:10.1007 / BFb0103104, ISBN 978-3-540-08926-1
• Maddy, Penelope (1988). “Ich glaube an die Axiome”. Zeitschrift für symbolische Logik. 53 (2): 481–511. doi:10.2307 / 2274520. JSTOR 2274520.
• Maddy, Penelope (1988). “An die Axiome glauben, II”. Zeitschrift für symbolische Logik. 53 (3): 736–764. doi:10.2307 / 2274569. JSTOR 2274569.
• Shelah, Saharon (2002). “Die Zukunft der Mengenlehre”. arXiv:math / 0211397.
• Solovay, Robert M.; William N. Reinhardt; Akihiro Kanamori (1978). “Starke Axiome der Unendlichkeit und elementare Einbettungen” (PDF). Annalen der mathematischen Logik. 13 (1): 73–116. doi:10.1016 / 0003-4843 (78) 90031-1.
• Woodin, W. Hugh (2001). “Die Kontinuumshypothese, Teil II”. Mitteilungen der American Mathematical Society. 48 (7): 681–690.

Externe Links[edit]