[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/2020\/12\/22\/groser-kardinal-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/2020\/12\/22\/groser-kardinal-wikipedia\/","headline":"Gro\u00dfer Kardinal – Wikipedia","name":"Gro\u00dfer Kardinal – Wikipedia","description":"before-content-x4 Set-Theorie-Konzept Im mathematischen Bereich der Mengenlehre a gro\u00dfes Kardinalverm\u00f6gen ist eine bestimmte Art von Eigenschaft transfiniter Kardinalzahlen. 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Kardin\u00e4le mit solchen Eigenschaften sind, wie der Name schon sagt, im Allgemeinen sehr “gro\u00df” (zum Beispiel gr\u00f6\u00dfer als das kleinste \u03b1, so dass \u03b1 = \u03c9 ist\u03b1).  Die Behauptung, dass solche Kardin\u00e4le existieren, kann in der gebr\u00e4uchlichsten Axiomatisierung der Mengenlehre, n\u00e4mlich der ZFC, nicht bewiesen werden, und solche Aussagen k\u00f6nnen als Mittel zur Messung angesehen werden, wie “viel” man \u00fcber die ZFC hinaus annehmen muss, um bestimmte W\u00fcnsche beweisen zu k\u00f6nnen Ergebnisse.  Mit anderen Worten, sie k\u00f6nnen in Dana Scotts Satz als Quantifizierung der Tatsache gesehen werden, “dass man mehr annehmen muss, wenn man mehr will”.[1]Es gibt eine grobe Konvention, dass Ergebnisse, die nur mit ZFC nachweisbar sind, ohne Hypothesen angegeben werden k\u00f6nnen. Wenn der Beweis jedoch andere Annahmen erfordert (z. B. die Existenz gro\u00dfer Kardin\u00e4le), sollten diese angegeben werden.  Ob dies lediglich eine sprachliche Konvention oder etwas anderes ist, ist ein kontroverser Punkt in verschiedenen philosophischen Schulen (siehe Motivationen und epistemischer Status unten).EIN gro\u00dfes Kardinalaxiom  ist ein Axiom, das besagt, dass es einen Kardinal (oder vielleicht viele von ihnen) mit einer bestimmten gro\u00dfen Kardinaleigenschaft gibt.  Die meisten Theoretiker von Arbeitss\u00e4tzen glauben, dass die gro\u00dfen Kardinalaxiome, die derzeit betrachtet werden, mit ZFC \u00fcbereinstimmen[citation needed].  Diese Axiome sind stark genug, um die Konsistenz von ZFC zu implizieren.  Dies hat zur Folge (\u00fcber G\u00f6dels zweiten Unvollst\u00e4ndigkeitssatz), dass ihre Konsistenz mit ZFC in ZFC nicht nachgewiesen werden kann (vorausgesetzt, ZFC ist konsistent).Es gibt keine allgemein vereinbarte genaue Definition dessen, was eine gro\u00dfe Kardinaleigenschaft ist, obwohl im Wesentlichen alle zustimmen, dass diejenigen in der Liste der gro\u00dfen Kardinaleigenschaften gro\u00dfe Kardinaleigenschaften sind.Table of ContentsTeildefinition[edit]Hierarchie der Konsistenzst\u00e4rke[edit]Motivationen und epistemischer Status[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Teildefinition[edit]Eine notwendige Bedingung f\u00fcr eine Eigenschaft von Kardinalzahlen ist a gro\u00dfes Kardinalverm\u00f6gen ist, dass die Existenz eines solchen Kardinals nicht als mit ZFC unvereinbar bekannt ist, und es wurde bewiesen, dass ZFC + “kein solcher Kardinal existiert” konsistent ist, wenn ZFC konsistent ist.  Hierarchie der Konsistenzst\u00e4rke[edit]Eine bemerkenswerte Beobachtung \u00fcber gro\u00dfe Kardinalaxiome ist, dass sie aufgrund ihrer Konsistenzst\u00e4rke in einer strengen linearen Reihenfolge auftreten.  Das hei\u00dft, es ist keine Ausnahme f\u00fcr Folgendes bekannt: Bei zwei gro\u00dfen Kardinalaxiomen EIN1 und EIN2, genau eines von drei Dingen passiert:Sofern ZFC nicht inkonsistent ist, wird ZFC +EIN1 ist genau dann konsistent, wenn ZFC +EIN2 ist konsistent;ZFC +EIN1 beweist, dass ZFC +EIN2 ist konsistent;  oderZFC +EIN2 beweist, dass ZFC +EIN1 ist konsistent.Diese schlie\u00dfen sich gegenseitig aus, es sei denn, eine der fraglichen Theorien ist tats\u00e4chlich inkonsistent.In Fall 1 sagen wir das EIN1 und EIN2 sind gleichkonsistent.  In Fall 2 sagen wir das EIN1 ist konsistent st\u00e4rker als EIN2 (umgekehrt f\u00fcr Fall 3).  Wenn EIN2 ist st\u00e4rker als EIN1, dann ZFC +EIN1 kann ZFC + nicht beweisenEIN2 ist konsistent, auch mit der zus\u00e4tzlichen Hypothese, dass ZFC +EIN1 ist selbst konsistent (vorausgesetzt nat\u00fcrlich, dass es wirklich ist).  Dies folgt aus G\u00f6dels zweitem Unvollst\u00e4ndigkeitssatz.Die Beobachtung, dass gro\u00dfe Kardinalaxiome linear nach Konsistenzst\u00e4rke geordnet sind, ist genau das, eine Beobachtung, kein Satz.  (Ohne eine akzeptierte Definition von gro\u00dfem Kardinaleigentum unterliegt es keinem Beweis im gew\u00f6hnlichen Sinne).  Es ist auch nicht in jedem Fall bekannt, welcher der drei F\u00e4lle gilt.  Saharon Shelah hat gefragt: “[i]Gibt es einen Satz, der dies erkl\u00e4rt, oder ist unsere Vision nur einheitlicher als wir denken? “Woodin leitet dies jedoch aus der \u03a9-Vermutung ab, dem ungel\u00f6sten Hauptproblem seiner \u03a9-Logik. Es ist auch bemerkenswert, dass es viele kombinatorische Aussagen gibt genau gleichbedeutend mit einem gro\u00dfen Kardinal, anstatt beispielsweise zwischen ihnen zu liegen.Die Reihenfolge der Konsistenzst\u00e4rke entspricht nicht unbedingt der Reihenfolge der Gr\u00f6\u00dfe des kleinsten Zeugen eines gro\u00dfen Kardinalaxioms.  Zum Beispiel ist die Existenz eines riesigen Kardinals in Bezug auf die Konsistenzst\u00e4rke viel st\u00e4rker als die Existenz eines superkompakten Kardinals, aber wenn beide existieren, ist der erste gro\u00dfe Kardinal kleiner als der erste superkompakte Kardinal.Motivationen und epistemischer Status[edit]Gro\u00dfe Kardin\u00e4le werden im Kontext des von Neumann-Universums V verstanden, das durch transfiniter Iteration der Powerset-Operation aufgebaut wird, die alle Teilmengen einer gegebenen Menge zusammenfasst.  Typischerweise Modelle mit gro\u00dfen Kardinalaxiomen Scheitern kann auf nat\u00fcrliche Weise als Untermodelle derjenigen angesehen werden, in denen die Axiome gelten.  Wenn es beispielsweise einen unzug\u00e4nglichen Kardinal gibt, ergibt das “Abschneiden des Universums” auf der H\u00f6he des ersten solchen Kardinals ein Universum, in dem es keinen unzug\u00e4nglichen Kardinal gibt.  Oder wenn es einen messbaren Kardinal gibt, dann iterieren Sie den definierbar Die Powerset-Operation anstelle der vollst\u00e4ndigen ergibt G\u00f6dels konstruierbares Universum L, das die Aussage “Es gibt einen messbaren Kardinal” nicht erf\u00fcllt (obwohl es den messbaren Kardinal als Ordnungszahl enth\u00e4lt).Unter einem bestimmten Gesichtspunkt, den viele Mengen-Theoretiker vertreten (insbesondere solche, die von der Tradition der Kabalen inspiriert sind), “sagen” gro\u00dfe Kardinal-Axiome, dass wir alle Mengen betrachten, die wir “ber\u00fccksichtigen” sollen, w\u00e4hrend ihre Negationen sind “restriktiv” und sagen, dass wir nur einige dieser Mengen in Betracht ziehen.  Dar\u00fcber hinaus scheinen die Konsequenzen gro\u00dfer Kardinalaxiome in nat\u00fcrliche Muster zu fallen (siehe Maddy, “Believing the Axioms, II”).  Aus diesen Gr\u00fcnden neigen solche Mengen-Theoretiker dazu, gro\u00dfe Kardinal-Axiome als bevorzugten Status unter den Erweiterungen von ZFC zu betrachten, einen, den Axiome mit weniger klarer Motivation (wie Martins Axiom) oder andere, die sie intuitiv f\u00fcr unwahrscheinlich halten (wie V =), nicht teilen L).  Die Hardcore-Realisten in dieser Gruppe w\u00fcrden einfacher sagen, dass gro\u00dfe Kardinalaxiome sind wahr.Dieser Standpunkt ist unter Mengen-Theoretikern keineswegs universell.  Einige Formalisten w\u00fcrden behaupten, dass die Standardmengen-Theorie per Definition die Untersuchung der Konsequenzen von ZFC ist, und obwohl sie m\u00f6glicherweise nicht grunds\u00e4tzlich gegen die Untersuchung der Konsequenzen anderer Systeme sind, sehen sie keinen Grund, gro\u00dfe Kardin\u00e4le als bevorzugt herauszustellen.  Es gibt auch Realisten, die leugnen, dass ontologischer Maximalismus eine angemessene Motivation ist, und sogar glauben, dass gro\u00dfe Kardinalaxiome falsch sind.  Und schlie\u00dflich gibt es einige, die leugnen, dass die Negationen gro\u00dfer Kardinalaxiome sind restriktiv und weist darauf hin, dass es (zum Beispiel) in L ein transitives Mengenmodell geben kann, das glaubt, dass es einen messbaren Kardinal gibt, obwohl L selbst diesen Satz nicht erf\u00fcllt.Siehe auch[edit]Verweise[edit]Drake, FR (1974). Mengenlehre: Eine Einf\u00fchrung in gro\u00dfe Kardin\u00e4le (Studium der Logik und der Grundlagen der Mathematik; V. 76).  Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.Jech, Thomas (2002). Mengenlehre, dritte Jahrtausendausgabe (\u00fcberarbeitet und erweitert).  Springer.  ISBN 3-540-44085-2.Kanamori, Akihiro (2003). Das H\u00f6here Unendliche: Gro\u00dfe Kardin\u00e4le in der Mengenlehre von Anfang an (2. Aufl.).  Springer.  ISBN 3-540-00384-3.Kanamori, Akihiro;  Magidor, M. (1978), “Die Entwicklung gro\u00dfer Kardinalaxiome in der Mengenlehre”, H\u00f6here Mengenlehre, Lecture Notes in Mathematics, 669 (Typoskript), Springer Berlin \/ Heidelberg, S. 99\u2013275, doi:10.1007 \/ BFb0103104, ISBN 978-3-540-08926-1Maddy, Penelope (1988).  “Ich glaube an die Axiome”. Zeitschrift f\u00fcr symbolische Logik. 53 (2): 481\u2013511.  doi:10.2307 \/ 2274520.  JSTOR 2274520.Maddy, Penelope (1988). “An die Axiome glauben, II”. Zeitschrift f\u00fcr symbolische Logik. 53 (3): 736\u2013764.  doi:10.2307 \/ 2274569.  JSTOR 2274569.Shelah, Saharon (2002).  “Die Zukunft der Mengenlehre”.  arXiv:math \/ 0211397.Solovay, Robert M.;  William N. Reinhardt;  Akihiro Kanamori (1978). “Starke Axiome der Unendlichkeit und elementare Einbettungen” (PDF). Annalen der mathematischen Logik. 13 (1): 73\u2013116.  doi:10.1016 \/ 0003-4843 (78) 90031-1.Woodin, W. Hugh (2001).  “Die Kontinuumshypothese, Teil II”. Mitteilungen der American Mathematical Society. 48 (7): 681\u2013690.Externe Links[edit]     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/2020\/12\/22\/groser-kardinal-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Gro\u00dfer Kardinal – Wikipedia"}}]}]