Liste der mathematischen Fachsprache – Wikipedia

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Wikipedia-Listenartikel

Die Sprache der Mathematik verfügt über ein umfangreiches Vokabular an Fach- und Fachbegriffen. Es hat auch eine gewisse Menge an Jargon: häufig verwendete Phrasen, die Teil der Kultur der Mathematik und nicht des Fachs sind. Jargon erscheint oft in Vorträgen und manchmal in gedruckter Form als informelle Abkürzung für strenge Argumente oder präzise Ideen. Vieles davon ist allgemeines Englisch, aber mit einer bestimmten nicht offensichtlichen Bedeutung, wenn es im mathematischen Sinne verwendet wird.

Einige Ausdrücke, wie “allgemein”, werden unten in mehr als einem Abschnitt angezeigt.

Philosophie der Mathematik[edit]

abstrakter Unsinn
Ein ironischer Verweis auf die Kategorietheorie, mit dem man Argumente verwenden kann, die ein (möglicherweise konkretes) Ergebnis liefern, ohne auf irgendwelche Besonderheiten des vorliegenden Problems Bezug zu nehmen. Aus diesem Grund ist es auch bekannt als allgemeiner abstrakter Unsinn oder verallgemeinerter abstrakter Unsinn.

[The paper of Eilenberg and Mac Lane (1942)] führte die sehr abstrakte Idee einer “Kategorie” ein – ein Thema, das dann “allgemeiner abstrakter Unsinn” genannt wurde!

– –Saunders Mac Lane (1997)

[Grothendieck] hat die algebraische Geometrie auf eine neue Abstraktionsebene gebracht … wenn sich bestimmte Mathematiker eine Zeit lang trösten könnten, in der Hoffnung, dass all diese komplizierten Strukturen “abstrakter Unsinn” sind … zeigten die späteren Arbeiten von Grothendieck und anderen, dass klassische Probleme … Was sich den Bemühungen mehrerer Generationen talentierter Mathematiker widersetzt hatte, konnte mit … komplizierten Konzepten gelöst werden.

– –Michael Monastyrsky (2001)
kanonisch
Ein Verweis auf eine standardmäßige oder wahlfreie Darstellung eines mathematischen Objekts (z. B. kanonische Karte, kanonische Form oder kanonische Reihenfolge). Der gleiche Begriff kann auch informeller verwendet werden, um sich auf etwas “Standard” oder “Klassisches” zu beziehen. Zum Beispiel könnte man sagen, dass Euklids Beweis der “kanonische Beweis” für die Unendlichkeit der Primzahlen ist.

Es gibt zwei kanonische Beweise, die immer verwendet werden, um Nicht-Mathematikern zu zeigen, wie ein mathematischer Beweis aussieht:

  • – Der Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
  • – Der Beweis für die Irrationalität der Quadratwurzel von zwei.
– –Freek Wiedijk (2006, S. 2)
tief
Ein Ergebnis wird als “tief” bezeichnet, wenn sein Beweis Konzepte und Methoden erfordert, die über die zur Formulierung des Ergebnisses erforderlichen Konzepte hinausgehen. Zum Beispiel wurde der Primzahlsatz – ursprünglich unter Verwendung komplexer Analysetechniken bewiesen – einst als tiefgreifendes Ergebnis angesehen, bis elementare Beweise gefunden wurden.[1] Andererseits ist die Tatsache, dass π irrational ist, gewöhnlich als tiefgreifendes Ergebnis bekannt, da es eine beträchtliche Entwicklung der realen Analyse erfordert, bevor der Beweis erbracht werden kann – obwohl die Behauptung selbst in Form einer einfachen Zahlentheorie angegeben werden kann und Geometrie.
elegant
Ein ästhetischer Begriff, der sich auf die Fähigkeit einer Idee bezieht, Einblicke in die Mathematik zu gewähren, sei es durch die Vereinigung unterschiedlicher Felder, die Einführung einer neuen Perspektive auf ein einzelnes Feld oder durch die Bereitstellung einer Beweismethode, die entweder besonders einfach ist oder die Intuition erfasst oder Vorstellung davon, warum das Ergebnis, das es beweist, wahr ist. In einigen Fällen kann der Begriff “schön” auch in gleicher Weise verwendet werden, obwohl Gian-Carlo Rota zwischen diesen unterschied Eleganz der Präsentation und Schönheit des KonzeptsB. einige Themen könnten elegant beschrieben werden, obwohl der mathematische Inhalt nicht schön ist, und einige Theoreme oder Beweise sind schön, können aber unelegant geschrieben werden.

Die Schönheit einer mathematischen Theorie ist unabhängig von den ästhetischen Eigenschaften … der strengen Darstellungen der Theorie. Einige schöne Theorien erhalten möglicherweise nie eine Präsentation, die ihrer Schönheit entspricht. Es gibt auch Beispiele für mittelmäßige Theorien fragwürdiger Schönheit, die brillante, aufregende Darstellungen erhalten.[Category theory] ist reich an schönen und aufschlussreichen Definitionen und arm an eleganten Beweisen ….[The theorems] bleib ungeschickt und langweilig ….[Expositions of projective geometry] wetteiferten in Eleganz der Präsentation und in der Klugheit des Beweises umeinander …. Im Nachhinein fragt man sich, worum es in der ganzen Aufregung ging.

Mathematiker können sagen, dass ein Satz schön ist, wenn sie wirklich sagen wollen, dass er aufschlussreich ist. Wir erkennen die Schönheit eines Satzes an, wenn wir sehen, wie der Satz an seine Stelle passt. Wir sagen, dass ein Beweis schön ist, wenn ein solcher Beweis schließlich das Geheimnis des Satzes preisgibt.

– –Gian-Carlo Rota (1977, S. 173–174, S. 181–182)
elementar
Ein Beweis oder ein Ergebnis wird als “elementar” bezeichnet, wenn es sich nur um grundlegende Konzepte und Methoden auf dem Gebiet handelt, und ist mit tiefen Ergebnissen zu vergleichen, die mehr Entwicklung innerhalb oder außerhalb des Feldes erfordern. : Das Konzept des “elementaren Beweises” wird speziell in der Zahlentheorie verwendet, wo es sich normalerweise auf einen Beweis bezieht, der nicht auf Methoden aus der komplexen Analyse zurückgreift.[2]
Folklore
Ein Ergebnis wird als “Folklore” bezeichnet, wenn es nicht offensichtlich, nicht veröffentlicht und den Fachleuten auf einem Gebiet irgendwie allgemein bekannt ist. In vielen Szenarien ist unklar, wer das Ergebnis zuerst erhalten hat. Wenn das Ergebnis jedoch signifikant ist, findet es möglicherweise seinen Weg in die Lehrbücher, woraufhin es keine Folklore mehr ist.

Viele der in diesem Artikel erwähnten Ergebnisse sollten als “Folklore” betrachtet werden, da sie lediglich formell Ideen enthalten, die den Forschern auf diesem Gebiet bekannt sind, aber für Anfänger möglicherweise nicht offensichtlich sind und nach meinem besten Wissen nicht an anderer Stelle erscheinen im Druck.

– –Russell Impagliazzo (1995)
natürlich
Ähnlich wie “kanonisch”, aber spezifischer, und bezieht sich auf eine Beschreibung (fast ausschließlich im Zusammenhang mit Transformationen), die unabhängig von jeglichen Entscheidungen gilt. Obwohl dieser Begriff seit langem informell verwendet wird, hat er in der Kategorietheorie eine formale Definition gefunden.
pathologisch
Ein Objekt verhält sich pathologisch (oder, etwas weiter gefasst, in a entartet Weg), wenn es entweder nicht dem generischen Verhalten solcher Objekte entspricht, bestimmte kontextabhängige Regelmäßigkeitseigenschaften nicht erfüllt oder einfach der mathematischen Intuition nicht gehorcht. In vielen Fällen können und sind dies widersprüchliche Anforderungen, während in anderen Fällen der Begriff gezielter verwendet wird, um sich auf ein Objekt zu beziehen, das künstlich als Gegenbeispiel zu diesen Eigenschaften konstruiert wurde. Ein einfaches Beispiel ist, dass aus der Definition eines Dreiecks mit Seiten, die sich zu π Radiant summieren, eine einzelne gerade Linie dieser Definition pathologisch entspricht.

Seit einem halben Jahrhundert haben wir eine Menge bizarrer Funktionen gesehen, die versuchen, den ehrlichen Funktionen, die einem bestimmten Zweck dienen, so wenig wie möglich zu ähneln. Aus logischer Sicht sind es diese seltsamen Funktionen sind die allgemeinsten …. heute werden sie ausdrücklich erfunden, um die Argumente unserer Väter zu beanstanden ….

– –Henri Poincaré (1913)

[The Dirichlet function] nahm eine enorme Bedeutung an … als Anreiz für die Schaffung neuer Arten von Funktionen, deren Eigenschaften völlig von dem abwichen, was intuitiv zulässig schien. Ein berühmtes Beispiel für eine solche sogenannte “pathologische” Funktion … ist die von Weierstrass … Diese Funktion ist kontinuierlich, aber nicht differenzierbar.

– –J. Sousa Pinto (2004)
Beachten Sie für das letztere Zitat, dass differenzierbare Funktionen umgangssprachlich eine seltene Ausnahme unter den kontinuierlichen Funktionen darstellen, da die differenzierbaren Funktionen im Raum der stetigen Funktionen dürftig sind, wie Banach 1931 herausfand. Es ist daher kaum mehr zu verteidigen, nicht differenzierbare stetige Funktionen als pathologisch zu bezeichnen.
Strenge (Strenge)
Der Akt der Erstellung eines mathematischen Ergebnisses unter Verwendung unbestreitbarer Logik – anstelle eines informellen beschreibenden Arguments. Rigorosität ist ein Eckpfeiler der Mathematik und kann eine wichtige Rolle dabei spielen, zu verhindern, dass Mathematik zu Irrtümern degeneriert.
brav
Ein Objekt benimmt sich gut (im Gegensatz zum Sein pathologisch) wenn es bestimmte vorherrschende Regelmäßigkeitseigenschaften erfüllt oder wenn es der mathematischen Intuition entspricht (obwohl Intuition oft auch entgegengesetzte Verhaltensweisen suggerieren kann). In einigen Fällen (z. B. Analyse) wird der Begriff “glatt” verwendet“” kann auch mit dem gleichen Effekt verwendet werden.

Beschreibende Informalitäten[edit]

Obwohl letztendlich jedes mathematische Argument einen hohen Präzisionsstandard erfüllen muss, verwenden Mathematiker beschreibende, aber informelle Aussagen, um wiederkehrende Themen oder Konzepte mit unhandlichen formalen Aussagen zu diskutieren. Beachten Sie, dass viele der Begriffe im Kontext völlig streng sind.

fast alles
Ein Kurzbegriff für “alle außer einer Menge von Maß Null”, wenn es ein Maß gibt, von dem zu sprechen ist. Zum Beispiel “fast alle reellen Zahlen sind transzendent”, weil die algebraischen reellen Zahlen eine zählbare Teilmenge der reellen Zahlen mit dem Maß Null bilden. Man kann auch von “fast allen” ganzen Zahlen sprechen, die eine Eigenschaft haben, die “alle außer endlich vielen” bedeutet, obwohl die ganzen Zahlen keine Maßnahme zulassen, für die dies mit der vorherigen Verwendung übereinstimmt. Zum Beispiel “fast alle Primzahlen sind ungerade”. Es gibt auch eine kompliziertere Bedeutung für ganze Zahlen, die im Hauptartikel erörtert wird. Schließlich wird dieser Begriff manchmal synonym mit verwendet generischunten.
beliebig groß
Begriffe, die hauptsächlich im Zusammenhang mit Grenzen auftreten und sich auf das Wiederauftreten eines Phänomens beziehen, wenn sich die Grenze nähert. Eine Aussage wie dieses Prädikat P. wird durch beliebig große Werte erfüllt, kann in formellerer Notation durch ausgedrückt werden x : ∃yx :: P.((y). Siehe auch häufig. Die Aussage dieser Menge f((x) es hängt davon ab x “kann gemacht werden” beliebig groß, entspricht y : ∃x :: f((x) ≥ y.
willkürlich
Eine Abkürzung für den universellen Quantifizierer. Eine willkürliche Wahl ist eine, die uneingeschränkt getroffen wird, oder alternativ gilt eine Aussage für ein beliebiges Element einer Menge, wenn sie für ein Element dieser Menge gilt. Auch viel im allgemeinen Sprachgebrauch unter Mathematikern: “Natürlich kann dieses Problem beliebig kompliziert sein”.
schließlich
Im Zusammenhang mit Grenzen ist dies eine Kurzbedeutung für ausreichend große Argumente;; Die relevanten Argumente sind im Kontext implizit. Als Beispiel das Funktionsprotokoll (log (x)) schließlich wird größer als 100 “; in diesem Zusammenhang bedeutet” schließlich “” ausreichend groß ” x. “
Faktor durch
Ein Begriff in der Kategorietheorie, der sich auf die Zusammensetzung von Morphismen bezieht. Wenn wir drei Objekte haben EIN, B., und C. und eine Karte
endlich
“Nicht unendlich”. Wenn beispielsweise die Varianz einer Zufallsvariablen als endlich bezeichnet wird, bedeutet dies, dass es sich um eine nicht negative reelle Zahl handelt.
häufig
Im Zusammenhang mit Grenzen ist dies eine Abkürzung für beliebig große Argumente und seine Verwandten; wie bei schließlichist die beabsichtigte Variante implizit. Als Beispiel die Reihenfolge
generisch
Dieser Begriff hat ähnliche Konnotationen wie fast alles wird aber insbesondere für Konzepte außerhalb des Bereichs der Maßtheorie verwendet. Eine Eigenschaft gilt “allgemein” für eine Menge, wenn die Menge einen (kontextabhängigen) Begriff der Dichte erfüllt oder wenn ihr Komplement einen (kontextabhängigen) Begriff der Kleinheit erfüllt. Zum Beispiel eine Eigenschaft, die eine dichte hält Gδ (Schnittpunkt von zählbar vielen offenen Mengen) soll generisch gelten. In der algebraischen Geometrie sagt man, dass eine Eigenschaft von Punkten auf einer algebraischen Varietät, die auf einer dichten offenen Zariski-Menge gilt, generisch wahr ist; Es wird jedoch normalerweise nicht gesagt, dass eine Eigenschaft, die nur eine dichte Menge enthält (die nicht Zariski offen ist), in dieser Situation generisch ist.
im Allgemeinen
In einem beschreibenden Kontext führt dieser Satz eine einfache Charakterisierung einer breiten Klasse von Objekten ein, um ein einheitliches Prinzip zu identifizieren. Dieser Begriff führt eine “elegante” Beschreibung ein, die für “beliebige” Objekte gilt. Ausnahmen von dieser Beschreibung können ausdrücklich als “pathologische” Fälle erwähnt werden.

Norbert A’Campo von der Universität Basel hat Grothendieck einmal nach etwas gefragt, das mit den platonischen Festkörpern zu tun hat. Grothendieck riet zur Vorsicht. Die platonischen Körper sind so schön und so außergewöhnlich, dass man nicht davon ausgehen kann, dass solch außergewöhnliche Schönheit in allgemeineren Situationen Bestand hat.

– –Allyn Jackson (2004, S.1197)
linke Seite, rechte Seite (LHS, RHS)
Meistens beziehen sich diese einfach auf die linke oder die rechte Seite einer Gleichung; zum Beispiel,
nett
Ein mathematisches Objekt wird umgangssprachlich genannt nett oder ausreichend schön wenn es Hypothesen oder Eigenschaften erfüllt, die manchmal nicht spezifiziert oder sogar unbekannt sind und in einem bestimmten Kontext besonders wünschenswert sind. Es ist ein informelles Antonyme für pathologische. Zum Beispiel könnte man vermuten, dass ein Differentialoperator eine bestimmte Begrenzungsbedingung “für schöne Testfunktionen” erfüllen sollte, oder man könnte sagen, dass eine interessante topologische Invariante für schöne Räume berechenbar sein sollte X.. “
auf zu
Eine Funktion (die in der Mathematik allgemein als Abbildung der Elemente einer Menge A auf Elemente einer anderen B definiert ist) wird nur dann als “A auf B” (anstelle von “A nach B”) bezeichnet, wenn sie surjektiv ist. es kann sogar gesagt werden, dass “f ist auf” (dh surjektiv). Nicht übersetzbar (ohne Umschreibungen) in andere Sprachen als Englisch.
richtig
Wenn Objekte für einen Unterstrukturbegriff Unterstrukturen von sich selbst sind (dh die Beziehung ist reflexiv), dann die Qualifikation richtig erfordert, dass die Objekte unterschiedlich sind. Zum Beispiel a richtig Teilmenge einer Menge S. ist eine Teilmenge von S. das ist anders als S., und ein richtig Teiler einer Zahl n ist ein Teiler von n das ist anders als n. Dieses überladene Wort ist auch kein Jargon für einen richtigen Morphismus.
regulär
Eine Funktion wird aufgerufen regulär wenn es zufriedenstellende Kontinuitäts- und Differenzierbarkeitseigenschaften erfüllt, die oft kontextabhängig sind. Diese Eigenschaften können den Besitz einer bestimmten Anzahl von Derivaten umfassen, wobei die Funktion und ihre Derivate einige aufweisen nett Eigentum (siehe nett oben), wie Hölder-Kontinuität. Informell wird dieser Begriff manchmal synonym mit verwendet glattunten. Diese ungenauen Verwendungen des Wortes regulär sind nicht mit der Vorstellung eines regulären topologischen Raums zu verwechseln, der streng definiert ist.
bzw.
(Jeweils) Eine Konvention zur Verkürzung paralleler Belichtungen. “A (bzw. B) [has some relationship to] X (bzw. Y) “bedeutet, dass A. [has some relationship to] X und auch das B. [has (the same) relationship to] Y. Zum Beispiel haben Quadrate (bzw. Dreiecke) 4 Seiten (bzw. 3 Seiten); oder kompakte (bzw. Lindelöf) Räume sind solche, in denen jede offene Abdeckung eine endliche (bzw. zählbare) offene Unterabdeckung hat.
Scharf
Oft legt ein mathematischer Satz Einschränkungen für das Verhalten eines Objekts fest; Beispielsweise wird gezeigt, dass eine Funktion eine Ober- oder Untergrenze hat. Die Einschränkung ist Scharf (manchmal optimal) wenn es nicht restriktiver gemacht werden kann, ohne in einigen Fällen zu scheitern. Zum Beispiel für beliebige nichtnegative reelle Zahlen x, die Exponentialfunktion ex, wo e = 2.7182818 … gibt eine Obergrenze für die Werte der quadratischen Funktion an x2. Das ist nicht scharf; Die Lücke zwischen den Funktionen beträgt überall mindestens 1. Unter den Exponentialfunktionen der Form αxSetzen von α = e2 /e = 2.0870652 … führt zu einer scharfen Obergrenze; die etwas kleinere Wahl α = 2 erzeugt keine Obergrenze, seitdem α3 = 8 <32. In angewandten Feldern wird das Wort “eng” oft mit der gleichen Bedeutung verwendet.[3]
glatt
Glätte ist ein Konzept, das die Mathematik mit vielen Bedeutungen ausgestattet hat, von einfacher Differenzierbarkeit über unendliche Differenzierbarkeit bis hin zu Analytizität und noch anderen, die komplizierter sind. Jede solche Verwendung versucht, den physikalisch intuitiven Begriff der Glätte aufzurufen.
stark, stärker
Ein Satz soll sein stark wenn es restriktive Ergebnisse aus allgemeinen Hypothesen ableitet. Ein berühmtes Beispiel ist Donaldsons Theorem, das eine ansonsten scheinbar große Klasse von Mannigfaltigkeiten streng einschränkt. Diese (informelle) Verwendung spiegelt die Meinung der mathematischen Gemeinschaft wider: Ein solcher Satz sollte nicht nur im beschreibenden Sinne (unten) stark sein, sondern auch in seinem Bereich endgültig sein. Ein Satz, ein Ergebnis oder eine Bedingung wird weiter genannt stärker als ein anderer, wenn ein Beweis des zweiten leicht vom ersten erhalten werden kann, aber nicht umgekehrt. Ein Beispiel ist die Folge von Theoremen: Fermats kleiner Satz, Eulers Satz, Lagranges Satz, von denen jeder stärker ist als der letzte; eine andere ist, dass eine scharfe Obergrenze (siehe Scharf oben) ist ein stärkeres Ergebnis als ein nicht scharfes. Zum Schluss das Adjektiv stark oder das Adverb stark kann zu einem mathematischen Begriff hinzugefügt werden, um einen verwandten stärkeren Begriff anzuzeigen; Beispielsweise ist eine starke Antichain eine Antichain, die bestimmte zusätzliche Bedingungen erfüllt, und ebenso ist ein stark regelmäßiger Graph ein regulärer Graph, der stärkere Bedingungen erfüllt. Auf diese Weise verwendet, ist der stärkere Begriff (wie “starkes Antichain”) ein technischer Begriff mit einer genau definierten Bedeutung; Die Art der zusätzlichen Bedingungen kann nicht aus der Definition des schwächeren Begriffs (wie “Antichain”) abgeleitet werden.
ausreichend groß, geeignet klein, ausreichend nah
Im Zusammenhang mit Grenzwerten beziehen sich diese Begriffe auf einen (nicht spezifizierten, sogar unbekannten) Punkt, an dem ein Phänomen vorherrscht, wenn sich der Grenzwert nähert. Eine Aussage wie dieses Prädikat P. gilt für ausreichend große Werte, kann in formaler Notation durch ∃ ausgedrückt werdenx : ∀yx :: P.((y). Siehe auch schließlich.
oben, unten
Ein beschreibender Begriff, der sich auf die Notation bezieht, in der zwei Objekte übereinander geschrieben sind; der obere ist nach oben und der untere, unten. Beispielsweise wird in einem Faserbündel häufig der Gesamtraum genannt nach obenmit dem Grundraum unten. In einem Bruchteil wird der Zähler gelegentlich als bezeichnet nach oben und der Nenner unten, wie in “einen Begriff nach oben bringen”.
bis zu, modulo, mod out von
Eine Erweiterung des mathematischen Diskurses der Begriffe der modularen Arithmetik. Eine Aussage ist wahr bis zu eine Bedingung, wenn die Begründung dieser Bedingung das einzige Hindernis für die Richtigkeit der Aussage ist. Wird auch bei der Arbeit mit Mitgliedern von Äquivalenzklassen verwendet, insb. in der Kategorietheorie, wo die Äquivalenzbeziehung (kategorialer) Isomorphismus ist; Zum Beispiel: “Das Tensorprodukt in einer schwachen monoidalen Kategorie ist bis zu einem natürlichen Isomorphismus assoziativ und unital.”
verschwinden
Um den Wert 0 anzunehmen. Zum Beispiel “Die Funktion sin (x) verschwindet für diese Werte von x das sind ganzzahlige Vielfache von π. “Dies kann auch für Grenzen gelten: siehe Verschwinden im Unendlichen.
schwach, schwächer
Das Gegenteil von stark.
gut definiert
Genau und genau beschrieben oder spezifiziert. Beispielsweise hängt eine Definition manchmal von der Auswahl eines Objekts ab. Das Ergebnis der Definition muss dann unabhängig von dieser Wahl sein.

Beweis Terminologie[edit]

Die formale Beweissprache basiert wiederholt auf einem kleinen Pool von Ideen, von denen viele in der Praxis durch verschiedene lexikalische Abkürzungen aufgerufen werden.

ein Liter
Ein veralteter Begriff, der verwendet wird, um dem Leser eine alternative Methode oder einen Beweis für ein Ergebnis anzukündigen. In einem Beweis kennzeichnet es daher eine Argumentation, die aus logischer Sicht überflüssig ist, aber ein anderes Interesse hat.
im Widerspruch (BWOC) oder “für, wenn nicht, …”
Der rhetorische Auftakt zu einem Beweis durch Widerspruch, der der Negation der zu beweisenden Aussage vorausgeht.
genau dann, wenn (iff)
Eine Abkürzung für die logische Äquivalenz von Aussagen.
im Allgemeinen
Im Zusammenhang mit Beweisen wird dieser Satz häufig in Induktionsargumenten beim Übergang vom Basisfall zum “Induktionsschritt” und in ähnlicher Weise in der Definition von Sequenzen gesehen, deren erste Begriffe als Beispiele für die Formel angegeben sind, die jeden Term von angibt die Sequenz.
notwendig und ausreichend
Eine Nebenvariante zu “genau dann, wenn”; “A ist notwendig ((ausreichend) für B “bedeutet” A wenn (nur wenn) B “. Zum Beispiel” Für ein Feld K. Um algebraisch geschlossen zu sein, ist es notwendig und ausreichend, dass es keine endlichen Felderweiterungen gibt.K. wird nur dann algebraisch geschlossen, wenn es keine endlichen Erweiterungen hat “. Wird häufig in Listen verwendet, wie in” Die folgenden Bedingungen sind notwendig und ausreichend, damit ein Feld algebraisch geschlossen wird … “.
müssen zeigen (NTS), müssen beweisen (RTP), wollen zeigen, wollen zeigen (WTS)
Beweise gehen manchmal vor, indem mehrere Bedingungen aufgezählt werden, deren Befriedigung zusammen den gewünschten Satz impliziert; also eins muss zeigen nur diese Aussagen.
der eine und einzige
Eine Aussage über die Einzigartigkeit eines Objekts; das Objekt existiert, und außerdem existiert kein anderes solches Objekt.
QED
((Quod erat demonstrandum): Eine lateinische Abkürzung, die “was demonstriert werden sollte” bedeutet und historisch am Ende der Beweise steht, aber derzeit weniger verbreitet ist und durch die Halmos-Marke für das Ende des Beweises ersetzt wurde, ein quadratisches Zeichen ∎.
ausreichend schön
Eine Bedingung für Objekte im Rahmen der Diskussion, die später angegeben wird und die garantiert, dass eine bestimmte Eigenschaft für sie gilt. Bei der Ausarbeitung eines Theorems weist die Verwendung dieses Ausdrucks in der Aussage des Theorems darauf hin, dass die betreffenden Bedingungen dem Sprecher möglicherweise noch nicht bekannt sind und dass die Absicht besteht, die Bedingungen zu sammeln, die für erforderlich befunden werden der Beweis des Satzes durchzugehen.
die folgenden sind äquivalent (TFAE)
In der Praxis sind häufig mehrere äquivalente Bedingungen (insbesondere für eine Definition wie eine normale Untergruppe) gleichermaßen nützlich. man führt einen Satz ein, der eine Äquivalenz von mehr als zwei Aussagen mit TFAE besagt.
Transport der Struktur
Es ist häufig der Fall, dass zwei Objekte in irgendeiner Weise als gleichwertig dargestellt werden und eines von ihnen mit einer zusätzlichen Struktur ausgestattet ist. Mit der Äquivalenz können wir eine solche Struktur auch für das zweite Objekt über definieren Transport der Struktur. Beispielsweise sind zwei beliebige Vektorräume derselben Dimension isomorph; Wenn einem von ihnen ein inneres Produkt gegeben wird und wir einen bestimmten Isomorphismus fixieren, können wir ein inneres Produkt auf dem anderen Raum durch definieren Factoring durch der Isomorphismus.

Lassen V. sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über k….Lassen (eich)1 ≤ ichn eine Basis sein für V.…. Es gibt einen Isomorphismus der Polynomalgebra k[Tij]1 ≤ ich,jn auf die Algebra Symk((V.V.* *) …. Es erstreckt sich auf einen Isomorphismus von k[GLn] zur lokalisierten Algebra Symk((V.V.* *)D., wo D. = det (eichej* *)….Wir schreiben k[GL(V)] für diese letzte Algebra. Durch den Transport der Struktur erhalten wir eine lineare algebraische Gruppe GL((V.) isomorph zu GLn.

– –Igor Shafarevich (1991, S. 12)
ohne (jeglichen) Verlust der Allgemeinheit (WLOG, WOLOG, WALOG) können wir annehmen (WMA)
Manchmal kann ein Satz mit zusätzlichen Annahmen zu den betreffenden Objekten leichter bewiesen werden. Wenn der Satz wie angegeben aus diesem modifizierten mit einer einfachen und minimalen Erklärung folgt (zum Beispiel, wenn die verbleibenden Sonderfälle identisch sind, aber zur Notation), werden die modifizierten Annahmen mit diesem Satz eingeführt und der geänderte Satz wird bewiesen.

Beweisverfahren[edit]

Mathematiker haben mehrere Sätze, um Beweise oder Beweisverfahren zu beschreiben. Diese werden häufig als Hinweise zum Ausfüllen langwieriger Details verwendet.

Winkeljagd
Wird verwendet, um einen geometrischen Beweis zu beschreiben, bei dem Beziehungen zwischen den verschiedenen Winkeln in einem Diagramm gefunden werden.[4]
Back-of-the-Envelope-Berechnung
Eine informelle Berechnung, bei der viel Genauigkeit weggelassen wird, ohne die Korrektheit zu beeinträchtigen. Oft ist diese Berechnung ein “Proof of Concept” und behandelt nur einen zugänglichen Sonderfall.
rohe Gewalt
Anstatt zugrunde liegende Prinzipien oder Muster zu finden, ist dies eine Methode, bei der so viele Fälle wie nötig bewertet werden, um ausreichend zu beweisen oder überzeugende Beweise dafür zu liefern, dass die fragliche Sache wahr ist. Manchmal muss dabei jeder mögliche Fall bewertet werden (wo dies auch als Beweis durch Erschöpfung bezeichnet wird).
zum Beispiel
EIN Beweis durch Beispiel ist ein Argument, bei dem eine Aussage nicht bewiesen, sondern anhand eines Beispiels veranschaulicht wird. Wenn es gut gemacht würde, würde sich das spezifische Beispiel leicht auf einen allgemeinen Beweis verallgemeinern lassen.
Durch Inspektion
Eine rhetorische Abkürzung von Autoren, die den Leser einladen, auf einen Blick die Richtigkeit eines vorgeschlagenen Ausdrucks oder Abzugs zu überprüfen. Wenn ein Ausdruck durch einfache Anwendung einfacher Techniken und ohne Rückgriff auf erweiterte Berechnungen oder allgemeine Theorie bewertet werden kann, kann er bewertet werden Durch Inspektion. Es wird auch zum Lösen von Gleichungen angewendet; Wenn Sie beispielsweise die Wurzeln einer quadratischen Gleichung durch Inspektion finden, müssen Sie sie „bemerken“ oder sie mental überprüfen. “Durch Inspektion” kann eine Art spielen Gestalt Rolle: Die Antwort oder Lösung rastet einfach ein.
durch Einschüchterung
Beweisart, bei der Behauptungen, die vom Autor als leicht überprüfbar angesehen werden, als “offensichtlich” oder “trivial” gekennzeichnet werden, was häufig zu einer Verwirrung des Lesers führt.
klar, kann leicht gezeigt werden
Ein Begriff, der Abkürzungen für die Berechnung enthält, die der Mathematiker als mühsam oder routinemäßig empfindet und der jedem Publikum mit dem erforderlichen Fachwissen auf diesem Gebiet zugänglich ist. Laplace verwendet offensichtlich (Französisch: offensichtlich).
vollständige Intuition
üblicherweise für Witze reserviert (Wortspiele bei vollständiger Einführung).
Diagrammjagd
[5] Wenn man bei einem kommutativen Diagramm von Objekten und Morphismen zwischen ihnen eine Eigenschaft der Morphismen (wie die Injektivität) nachweisen möchte, die in Form von Elementen angegeben werden kann, kann der Beweis fortgesetzt werden, indem der Pfad der Elemente verschiedener Objekte um sie herum verfolgt wird Das Diagramm als aufeinanderfolgende Morphismen wird darauf angewendet. Das heißt, einer Verfolgungsjagden Elemente um das Diagramm herum oder tut a Diagrammjagd.
winken
Eine Nicht-Beweis-Technik, die hauptsächlich in Vorlesungen angewendet wird, in denen formale Argumente nicht unbedingt erforderlich sind. Es erfolgt durch Weglassen von Details oder sogar wesentlichen Bestandteilen und ist lediglich ein Plausibilitätsargument.
im Allgemeinen
In einem Kontext, der keine Genauigkeit erfordert, erscheint dieser Satz häufig als arbeitssparendes Mittel, wenn die technischen Details eines vollständigen Arguments die konzeptionellen Vorteile überwiegen würden. Der Autor gibt einen Beweis in einem Fall, der einfach genug ist, dass die Berechnungen angemessen sind, und gibt dann an, dass “im Allgemeinen” der Beweis ähnlich ist.
Indexkampf
für Beweise mit Objekten mit mehreren Indizes, die gelöst werden können, indem man nach unten geht (wenn jemand die Mühe aufnehmen möchte). Ähnlich wie bei der Diagrammverfolgung.
trivial
Ähnlich zu deutlich. Ein Konzept ist trivial, wenn es per Definition gilt, unmittelbar eine bekannte Aussage ist oder ein einfacher Sonderfall eines allgemeineren Konzepts ist.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

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