[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/2020\/12\/22\/liste-der-mathematischen-fachsprache-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/2020\/12\/22\/liste-der-mathematischen-fachsprache-wikipedia\/","headline":"Liste der mathematischen Fachsprache – Wikipedia","name":"Liste der mathematischen Fachsprache – Wikipedia","description":"before-content-x4 Wikipedia-Listenartikel Die Sprache der Mathematik verf\u00fcgt \u00fcber ein umfangreiches Vokabular an Fach- und Fachbegriffen. 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Es hat auch eine gewisse Menge an Jargon: h\u00e4ufig verwendete Phrasen, die Teil der Kultur der Mathematik und nicht des Fachs sind.  Jargon erscheint oft in Vortr\u00e4gen und manchmal in gedruckter Form als informelle Abk\u00fcrzung f\u00fcr strenge Argumente oder pr\u00e4zise Ideen.  Vieles davon ist allgemeines Englisch, aber mit einer bestimmten nicht offensichtlichen Bedeutung, wenn es im mathematischen Sinne verwendet wird.Einige Ausdr\u00fccke, wie “allgemein”, werden unten in mehr als einem Abschnitt angezeigt.Table of Contents  Philosophie der Mathematik[edit]Beschreibende Informalit\u00e4ten[edit]Beweis Terminologie[edit]Beweisverfahren[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Philosophie der Mathematik[edit]abstrakter UnsinnEin ironischer Verweis auf die Kategorietheorie, mit dem man Argumente verwenden kann, die ein (m\u00f6glicherweise konkretes) Ergebnis liefern, ohne auf irgendwelche Besonderheiten des vorliegenden Problems Bezug zu nehmen.  Aus diesem Grund ist es auch bekannt als allgemeiner abstrakter Unsinn oder verallgemeinerter abstrakter Unsinn.[The paper of Eilenberg and Mac Lane\u00a0(1942)]  f\u00fchrte die sehr abstrakte Idee einer “Kategorie” ein – ein Thema, das dann “allgemeiner abstrakter Unsinn” genannt wurde!– –Saunders Mac Lane (1997)[Grothendieck]  hat die algebraische Geometrie auf eine neue Abstraktionsebene gebracht … wenn sich bestimmte Mathematiker eine Zeit lang tr\u00f6sten k\u00f6nnten, in der Hoffnung, dass all diese komplizierten Strukturen “abstrakter Unsinn” sind … zeigten die sp\u00e4teren Arbeiten von Grothendieck und anderen, dass klassische Probleme … Was sich den Bem\u00fchungen mehrerer Generationen talentierter Mathematiker widersetzt hatte, konnte mit … komplizierten Konzepten gel\u00f6st werden.– –Michael Monastyrsky (2001)kanonischEin Verweis auf eine standardm\u00e4\u00dfige oder wahlfreie Darstellung eines mathematischen Objekts (z. B. kanonische Karte, kanonische Form oder kanonische Reihenfolge).  Der gleiche Begriff kann auch informeller verwendet werden, um sich auf etwas “Standard” oder “Klassisches” zu beziehen.  Zum Beispiel k\u00f6nnte man sagen, dass Euklids Beweis der “kanonische Beweis” f\u00fcr die Unendlichkeit der Primzahlen ist.Es gibt zwei kanonische Beweise, die immer verwendet werden, um Nicht-Mathematikern zu zeigen, wie ein mathematischer Beweis aussieht: – Der Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.– Der Beweis f\u00fcr die Irrationalit\u00e4t der Quadratwurzel von zwei.– –Freek Wiedijk (2006, S. 2)tiefEin Ergebnis wird als “tief” bezeichnet, wenn sein Beweis Konzepte und Methoden erfordert, die \u00fcber die zur Formulierung des Ergebnisses erforderlichen Konzepte hinausgehen.  Zum Beispiel wurde der Primzahlsatz – urspr\u00fcnglich unter Verwendung komplexer Analysetechniken bewiesen – einst als tiefgreifendes Ergebnis angesehen, bis elementare Beweise gefunden wurden.[1]  Andererseits ist die Tatsache, dass \u03c0 irrational ist, gew\u00f6hnlich als tiefgreifendes Ergebnis bekannt, da es eine betr\u00e4chtliche Entwicklung der realen Analyse erfordert, bevor der Beweis erbracht werden kann – obwohl die Behauptung selbst in Form einer einfachen Zahlentheorie angegeben werden kann und Geometrie.elegantEin \u00e4sthetischer Begriff, der sich auf die F\u00e4higkeit einer Idee bezieht, Einblicke in die Mathematik zu gew\u00e4hren, sei es durch die Vereinigung unterschiedlicher Felder, die Einf\u00fchrung einer neuen Perspektive auf ein einzelnes Feld oder durch die Bereitstellung einer Beweismethode, die entweder besonders einfach ist oder die Intuition erfasst oder Vorstellung davon, warum das Ergebnis, das es beweist, wahr ist.  In einigen F\u00e4llen kann der Begriff “sch\u00f6n” auch in gleicher Weise verwendet werden, obwohl Gian-Carlo Rota zwischen diesen unterschied Eleganz der Pr\u00e4sentation und Sch\u00f6nheit des KonzeptsB. einige Themen k\u00f6nnten elegant beschrieben werden, obwohl der mathematische Inhalt nicht sch\u00f6n ist, und einige Theoreme oder Beweise sind sch\u00f6n, k\u00f6nnen aber unelegant geschrieben werden.Die Sch\u00f6nheit einer mathematischen Theorie ist unabh\u00e4ngig von den \u00e4sthetischen Eigenschaften … der strengen Darstellungen der Theorie.  Einige sch\u00f6ne Theorien erhalten m\u00f6glicherweise nie eine Pr\u00e4sentation, die ihrer Sch\u00f6nheit entspricht. Es gibt auch Beispiele f\u00fcr mittelm\u00e4\u00dfige Theorien fragw\u00fcrdiger Sch\u00f6nheit, die brillante, aufregende Darstellungen erhalten.[Category theory] ist reich an sch\u00f6nen und aufschlussreichen Definitionen und arm an eleganten Beweisen ….[The theorems] bleib ungeschickt und langweilig ….[Expositions of projective geometry] wetteiferten in Eleganz der Pr\u00e4sentation und in der Klugheit des Beweises umeinander …. Im Nachhinein fragt man sich, worum es in der ganzen Aufregung ging.Mathematiker k\u00f6nnen sagen, dass ein Satz sch\u00f6n ist, wenn sie wirklich sagen wollen, dass er aufschlussreich ist.  Wir erkennen die Sch\u00f6nheit eines Satzes an, wenn wir sehen, wie der Satz an seine Stelle passt. Wir sagen, dass ein Beweis sch\u00f6n ist, wenn ein solcher Beweis schlie\u00dflich das Geheimnis des Satzes preisgibt.– –Gian-Carlo Rota (1977, S. 173\u2013174, S. 181\u2013182)elementarEin Beweis oder ein Ergebnis wird als “elementar” bezeichnet, wenn es sich nur um grundlegende Konzepte und Methoden auf dem Gebiet handelt, und ist mit tiefen Ergebnissen zu vergleichen, die mehr Entwicklung innerhalb oder au\u00dferhalb des Feldes erfordern.  : Das Konzept des “elementaren Beweises” wird speziell in der Zahlentheorie verwendet, wo es sich normalerweise auf einen Beweis bezieht, der nicht auf Methoden aus der komplexen Analyse zur\u00fcckgreift.[2]Folklore Ein Ergebnis wird als “Folklore” bezeichnet, wenn es nicht offensichtlich, nicht ver\u00f6ffentlicht und den Fachleuten auf einem Gebiet irgendwie allgemein bekannt ist.  In vielen Szenarien ist unklar, wer das Ergebnis zuerst erhalten hat. Wenn das Ergebnis jedoch signifikant ist, findet es m\u00f6glicherweise seinen Weg in die Lehrb\u00fccher, woraufhin es keine Folklore mehr ist.Viele der in diesem Artikel erw\u00e4hnten Ergebnisse sollten als “Folklore” betrachtet werden, da sie lediglich formell Ideen enthalten, die den Forschern auf diesem Gebiet bekannt sind, aber f\u00fcr Anf\u00e4nger m\u00f6glicherweise nicht offensichtlich sind und nach meinem besten Wissen nicht an anderer Stelle erscheinen im Druck.– –Russell Impagliazzo (1995)nat\u00fcrlich\u00c4hnlich wie “kanonisch”, aber spezifischer, und bezieht sich auf eine Beschreibung (fast ausschlie\u00dflich im Zusammenhang mit Transformationen), die unabh\u00e4ngig von jeglichen Entscheidungen gilt.  Obwohl dieser Begriff seit langem informell verwendet wird, hat er in der Kategorietheorie eine formale Definition gefunden.pathologischEin Objekt verh\u00e4lt sich pathologisch (oder, etwas weiter gefasst, in a entartet Weg), wenn es entweder nicht dem generischen Verhalten solcher Objekte entspricht, bestimmte kontextabh\u00e4ngige Regelm\u00e4\u00dfigkeitseigenschaften nicht erf\u00fcllt oder einfach der mathematischen Intuition nicht gehorcht.  In vielen F\u00e4llen k\u00f6nnen und sind dies widerspr\u00fcchliche Anforderungen, w\u00e4hrend in anderen F\u00e4llen der Begriff gezielter verwendet wird, um sich auf ein Objekt zu beziehen, das k\u00fcnstlich als Gegenbeispiel zu diesen Eigenschaften konstruiert wurde.  Ein einfaches Beispiel ist, dass aus der Definition eines Dreiecks mit Seiten, die sich zu \u03c0 Radiant summieren, eine einzelne gerade Linie dieser Definition pathologisch entspricht.Seit einem halben Jahrhundert haben wir eine Menge bizarrer Funktionen gesehen, die versuchen, den ehrlichen Funktionen, die einem bestimmten Zweck dienen, so wenig wie m\u00f6glich zu \u00e4hneln. Aus logischer Sicht sind es diese seltsamen Funktionen sind die allgemeinsten …. heute werden sie ausdr\u00fccklich erfunden, um die Argumente unserer V\u00e4ter zu beanstanden ….– –Henri Poincar\u00e9 (1913)[The Dirichlet function]  nahm eine enorme Bedeutung an … als Anreiz f\u00fcr die Schaffung neuer Arten von Funktionen, deren Eigenschaften v\u00f6llig von dem abwichen, was intuitiv zul\u00e4ssig schien.  Ein ber\u00fchmtes Beispiel f\u00fcr eine solche sogenannte “pathologische” Funktion … ist die von Weierstrass … Diese Funktion ist kontinuierlich, aber nicht differenzierbar.– –J. Sousa Pinto (2004)Beachten Sie f\u00fcr das letztere Zitat, dass differenzierbare Funktionen umgangssprachlich eine seltene Ausnahme unter den kontinuierlichen Funktionen darstellen, da die differenzierbaren Funktionen im Raum der stetigen Funktionen d\u00fcrftig sind, wie Banach 1931 herausfand.  Es ist daher kaum mehr zu verteidigen, nicht differenzierbare stetige Funktionen als pathologisch zu bezeichnen.Strenge (Strenge)Der Akt der Erstellung eines mathematischen Ergebnisses unter Verwendung unbestreitbarer Logik – anstelle eines informellen beschreibenden Arguments.  Rigorosit\u00e4t ist ein Eckpfeiler der Mathematik und kann eine wichtige Rolle dabei spielen, zu verhindern, dass Mathematik zu Irrt\u00fcmern degeneriert.bravEin Objekt benimmt sich gut (im Gegensatz zum Sein pathologisch) wenn es bestimmte vorherrschende Regelm\u00e4\u00dfigkeitseigenschaften erf\u00fcllt oder wenn es der mathematischen Intuition entspricht (obwohl Intuition oft auch entgegengesetzte Verhaltensweisen suggerieren kann).  In einigen F\u00e4llen (z. B. Analyse) wird der Begriff “glatt” verwendet“” kann auch mit dem gleichen Effekt verwendet werden.Beschreibende Informalit\u00e4ten[edit]Obwohl letztendlich jedes mathematische Argument einen hohen Pr\u00e4zisionsstandard erf\u00fcllen muss, verwenden Mathematiker beschreibende, aber informelle Aussagen, um wiederkehrende Themen oder Konzepte mit unhandlichen formalen Aussagen zu diskutieren.  Beachten Sie, dass viele der Begriffe im Kontext v\u00f6llig streng sind.fast allesEin Kurzbegriff f\u00fcr “alle au\u00dfer einer Menge von Ma\u00df Null”, wenn es ein Ma\u00df gibt, von dem zu sprechen ist.  Zum Beispiel “fast alle reellen Zahlen sind transzendent”, weil die algebraischen reellen Zahlen eine z\u00e4hlbare Teilmenge der reellen Zahlen mit dem Ma\u00df Null bilden.  Man kann auch von “fast allen” ganzen Zahlen sprechen, die eine Eigenschaft haben, die “alle au\u00dfer endlich vielen” bedeutet, obwohl die ganzen Zahlen keine Ma\u00dfnahme zulassen, f\u00fcr die dies mit der vorherigen Verwendung \u00fcbereinstimmt.  Zum Beispiel “fast alle Primzahlen sind ungerade”.  Es gibt auch eine kompliziertere Bedeutung f\u00fcr ganze Zahlen, die im Hauptartikel er\u00f6rtert wird.  Schlie\u00dflich wird dieser Begriff manchmal synonym mit verwendet generischunten.beliebig gro\u00dfBegriffe, die haupts\u00e4chlich im Zusammenhang mit Grenzen auftreten und sich auf das Wiederauftreten eines Ph\u00e4nomens beziehen, wenn sich die Grenze n\u00e4hert.  Eine Aussage wie dieses Pr\u00e4dikat P. wird durch beliebig gro\u00dfe Werte erf\u00fcllt, kann in formellerer Notation durch ausgedr\u00fcckt werden \u2200x : \u2203y \u2265 x :: P.((y).  Siehe auch h\u00e4ufig.  Die Aussage dieser Menge f((x) es h\u00e4ngt davon ab x “kann gemacht werden” beliebig gro\u00df, entspricht \u2200y : \u2203x :: f((x) \u2265 y.willk\u00fcrlichEine Abk\u00fcrzung f\u00fcr den universellen Quantifizierer.  Eine willk\u00fcrliche Wahl ist eine, die uneingeschr\u00e4nkt getroffen wird, oder alternativ gilt eine Aussage f\u00fcr ein beliebiges Element einer Menge, wenn sie f\u00fcr ein Element dieser Menge gilt.  Auch viel im allgemeinen Sprachgebrauch unter Mathematikern: “Nat\u00fcrlich kann dieses Problem beliebig kompliziert sein”.schlie\u00dflichIm Zusammenhang mit Grenzen ist dies eine Kurzbedeutung f\u00fcr ausreichend gro\u00dfe Argumente;;  Die relevanten Argumente sind im Kontext implizit.  Als Beispiel das Funktionsprotokoll (log (x)) schlie\u00dflich wird gr\u00f6\u00dfer als 100 “; in diesem Zusammenhang bedeutet” schlie\u00dflich “” ausreichend gro\u00df ” x. “Faktor durchEin Begriff in der Kategorietheorie, der sich auf die Zusammensetzung von Morphismen bezieht.  Wenn wir drei Objekte haben EIN, B., und C. und eine Karte f::EIN\u2192C.{ displaystyle f  Doppelpunkt A  bis C}  welches als Komposition geschrieben ist f=h\u2218G{ displaystyle f = h  circ g}  mit   G::EIN\u2192B.{ displaystyle g  Doppelpunkt A  bis B}  und h::B.\u2192C.{ displaystyle h  Doppelpunkt B  bis C}, dann f wird gesagt Faktor durch alle (und alle) von B.{ displaystyle B}, G{ displaystyle g}, und h{ displaystyle h}.endlich“Nicht unendlich”.  Wenn beispielsweise die Varianz einer Zufallsvariablen als endlich bezeichnet wird, bedeutet dies, dass es sich um eine nicht negative reelle Zahl handelt.h\u00e4ufigIm Zusammenhang mit Grenzen ist dies eine Abk\u00fcrzung f\u00fcr beliebig gro\u00dfe Argumente und seine Verwandten;  wie bei schlie\u00dflichist die beabsichtigte Variante implizit.  Als Beispiel die Reihenfolge ((– –1)n{ displaystyle (-1) ^ {n}}  liegt h\u00e4ufig im Intervall (1\/2, 3\/2), weil es beliebig gro\u00dfe gibt n f\u00fcr die der Wert der Sequenz im Intervall liegt.generischDieser Begriff hat \u00e4hnliche Konnotationen wie fast alles wird aber insbesondere f\u00fcr Konzepte au\u00dferhalb des Bereichs der Ma\u00dftheorie verwendet.  Eine Eigenschaft gilt “allgemein” f\u00fcr eine Menge, wenn die Menge einen (kontextabh\u00e4ngigen) Begriff der Dichte erf\u00fcllt oder wenn ihr Komplement einen (kontextabh\u00e4ngigen) Begriff der Kleinheit erf\u00fcllt.  Zum Beispiel eine Eigenschaft, die eine dichte h\u00e4lt G\u03b4 (Schnittpunkt von z\u00e4hlbar vielen offenen Mengen) soll generisch gelten.  In der algebraischen Geometrie sagt man, dass eine Eigenschaft von Punkten auf einer algebraischen Variet\u00e4t, die auf einer dichten offenen Zariski-Menge gilt, generisch wahr ist;  Es wird jedoch normalerweise nicht gesagt, dass eine Eigenschaft, die nur eine dichte Menge enth\u00e4lt (die nicht Zariski offen ist), in dieser Situation generisch ist.im AllgemeinenIn einem beschreibenden Kontext f\u00fchrt dieser Satz eine einfache Charakterisierung einer breiten Klasse von Objekten ein, um ein einheitliches Prinzip zu identifizieren.  Dieser Begriff f\u00fchrt eine “elegante” Beschreibung ein, die f\u00fcr “beliebige” Objekte gilt.  Ausnahmen von dieser Beschreibung k\u00f6nnen ausdr\u00fccklich als “pathologische” F\u00e4lle erw\u00e4hnt werden.Norbert A’Campo von der Universit\u00e4t Basel hat Grothendieck einmal nach etwas gefragt, das mit den platonischen Festk\u00f6rpern zu tun hat.  Grothendieck riet zur Vorsicht.  Die platonischen K\u00f6rper sind so sch\u00f6n und so au\u00dfergew\u00f6hnlich, dass man nicht davon ausgehen kann, dass solch au\u00dfergew\u00f6hnliche Sch\u00f6nheit in allgemeineren Situationen Bestand hat.– –Allyn Jackson (2004, S.1197)linke Seite, rechte Seite (LHS, RHS)Meistens beziehen sich diese einfach auf die linke oder die rechte Seite einer Gleichung;  zum Beispiel, x=y+1{ displaystyle x = y + 1}  hat x auf der LHS und y + 1 auf der rechten Seite.  Gelegentlich werden diese im Sinne von lWert und rWert verwendet: Ein RHS ist primitiv und ein LHS ist abgeleitet.nettEin mathematisches Objekt wird umgangssprachlich genannt nett oder ausreichend sch\u00f6n wenn es Hypothesen oder Eigenschaften erf\u00fcllt, die manchmal nicht spezifiziert oder sogar unbekannt sind und in einem bestimmten Kontext besonders w\u00fcnschenswert sind.  Es ist ein informelles Antonyme f\u00fcr pathologische.  Zum Beispiel k\u00f6nnte man vermuten, dass ein Differentialoperator eine bestimmte Begrenzungsbedingung “f\u00fcr sch\u00f6ne Testfunktionen” erf\u00fcllen sollte, oder man k\u00f6nnte sagen, dass eine interessante topologische Invariante f\u00fcr sch\u00f6ne R\u00e4ume berechenbar sein sollte X.. “auf zuEine Funktion (die in der Mathematik allgemein als Abbildung der Elemente einer Menge A auf Elemente einer anderen B definiert ist) wird nur dann als “A auf B” (anstelle von “A nach B”) bezeichnet, wenn sie surjektiv ist.  es kann sogar gesagt werden, dass “f ist auf” (dh surjektiv).  Nicht \u00fcbersetzbar (ohne Umschreibungen) in andere Sprachen als Englisch.richtigWenn Objekte f\u00fcr einen Unterstrukturbegriff Unterstrukturen von sich selbst sind (dh die Beziehung ist reflexiv), dann die Qualifikation richtig erfordert, dass die Objekte unterschiedlich sind.  Zum Beispiel a richtig Teilmenge einer Menge S. ist eine Teilmenge von S. das ist anders als S., und ein richtig Teiler einer Zahl n ist ein Teiler von n das ist anders als n.  Dieses \u00fcberladene Wort ist auch kein Jargon f\u00fcr einen richtigen Morphismus.regul\u00e4r Eine Funktion wird aufgerufen regul\u00e4r wenn es zufriedenstellende Kontinuit\u00e4ts- und Differenzierbarkeitseigenschaften erf\u00fcllt, die oft kontextabh\u00e4ngig sind.  Diese Eigenschaften k\u00f6nnen den Besitz einer bestimmten Anzahl von Derivaten umfassen, wobei die Funktion und ihre Derivate einige aufweisen nett Eigentum (siehe nett oben), wie H\u00f6lder-Kontinuit\u00e4t.  Informell wird dieser Begriff manchmal synonym mit verwendet glattunten.  Diese ungenauen Verwendungen des Wortes regul\u00e4r sind nicht mit der Vorstellung eines regul\u00e4ren topologischen Raums zu verwechseln, der streng definiert ist.bzw.(Jeweils) Eine Konvention zur Verk\u00fcrzung paralleler Belichtungen.  “A (bzw. B) [has some relationship to] X (bzw. Y) “bedeutet, dass A. [has some relationship to] X und auch das B. [has (the same) relationship to] Y. Zum Beispiel haben Quadrate (bzw. Dreiecke) 4 Seiten (bzw. 3 Seiten);  oder kompakte (bzw. Lindel\u00f6f) R\u00e4ume sind solche, in denen jede offene Abdeckung eine endliche (bzw. z\u00e4hlbare) offene Unterabdeckung hat.ScharfOft legt ein mathematischer Satz Einschr\u00e4nkungen f\u00fcr das Verhalten eines Objekts fest;  Beispielsweise wird gezeigt, dass eine Funktion eine Ober- oder Untergrenze hat.  Die Einschr\u00e4nkung ist Scharf (manchmal optimal) wenn es nicht restriktiver gemacht werden kann, ohne in einigen F\u00e4llen zu scheitern.  Zum Beispiel f\u00fcr beliebige nichtnegative reelle Zahlen x, die Exponentialfunktion ex, wo e = 2.7182818 … gibt eine Obergrenze f\u00fcr die Werte der quadratischen Funktion an x2.  Das ist nicht scharf;  Die L\u00fccke zwischen den Funktionen betr\u00e4gt \u00fcberall mindestens 1. Unter den Exponentialfunktionen der Form \u03b1xSetzen von \u03b1 = e2 \/e = 2.0870652 … f\u00fchrt zu einer scharfen Obergrenze;  die etwas kleinere Wahl \u03b1 = 2 erzeugt keine Obergrenze, seitdem \u03b13 = 8      (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki13\/2020\/12\/22\/liste-der-mathematischen-fachsprache-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Liste der mathematischen Fachsprache – Wikipedia"}}]}]