Trihexagonale Kacheln – Wikipedia

Trihexagonale Fliesen
Trihexagonale Fliesen
Art Semireguläre Fliesen
Vertex-Konfiguration Kacheln 3-6 vertfig.svg
(3.6)2
Schläfli-Symbol r {6,3} oder
Wythoff-Symbol 2 | 6 3
3 3 | 3
Coxeter-Diagramm CDel node.pngCDel 6.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel-Zweig 10ru.pngCDel split2.pngCDel-Knoten 1.png = CDel-Knoten h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel-Knoten 1.png
Symmetrie p6m, [6,3], (* 632)
Rotationssymmetrie p6, [6,3]+(632)
p3, [3[3]]]+(333)
Bowers Akronym Das
Dual Rhombille Fliesen
Eigenschaften Vertex-transitiv Edge-transitiv

In der Geometrie ist die trihexagonale Fliesen ist eine von 11 gleichmäßigen Kacheln der euklidischen Ebene durch regelmäßige Polygone.[1] Es besteht aus gleichseitigen Dreiecken und regelmäßigen Sechsecken, die so angeordnet sind, dass jedes Sechseck von Dreiecken umgeben ist und umgekehrt. Der Name leitet sich von der Tatsache ab, dass er eine regelmäßige sechseckige Kachelung und eine regelmäßige dreieckige Kachelung kombiniert. Zwei Sechsecke und zwei Dreiecke wechseln sich um jeden Scheitelpunkt ab, und seine Kanten bilden eine unendliche Anordnung von Linien. Sein Dual ist die Rhombillefliese.[2]

Dieses Muster und sein Platz in der Klassifikation einheitlicher Fliesen war Johannes Kepler bereits in seinem Buch von 1619 bekannt Harmonices Mundi.[3] Das Muster wird seit langem in japanischen Körben verwendet, wo es genannt wird kagome. Der japanische Begriff für dieses Muster wurde in der Physik aufgegriffen und heißt a Kagome-Gitter. Es kommt auch in den Kristallstrukturen bestimmter Mineralien vor. Conway nennt es a HexadeltilleKombinieren alternativer Elemente aus einer sechseckigen Kachelung (Hextille) und einer dreieckigen Kachelung (Deltille).[4]

Japanischer Korb, der das Kagome-Muster zeigt

Kagome (Japanisch: 籠 目) ist ein traditionelles japanisches gewebtes Bambusmuster; sein Name setzt sich aus den Wörtern zusammen kago, was „Korb“ bedeutet, und michbedeutet „Auge (n)“ und bezieht sich auf das Lochmuster in einem geflochtenen Korb.

Es ist eine gewebte Anordnung von Latten, die aus verschachtelten Dreiecken besteht, so dass jeder Punkt, an dem sich zwei Latten kreuzen, vier benachbarte Punkte aufweist, die das Muster einer dreieckigen Kachelung bilden. Der Webprozess verleiht dem Kagome eine chirale Tapetengruppensymmetrie, S. 6 (632).

Kagome-Gitter[edit]

Der Begriff Kagome-Gitter wurde vom japanischen Physiker Kôdi Husimi geprägt und erschien erstmals 1951 in einer Arbeit seines Assistenten Ichirō Shōji.[5]

Das Kagomgitter besteht in diesem Sinne aus den Eckpunkten und Kanten der trihexagonalen Kacheln. Trotz des Namens bilden diese Kreuzungspunkte kein mathematisches Gitter.

Eine verwandte dreidimensionale Struktur, die durch die Eckpunkte und Kanten der viertelkubischen Wabe gebildet wird und den Raum durch reguläre Tetraeder und abgeschnittene Tetraeder ausfüllt, wurde als a bezeichnet Hyper-Kagom-Gitter.[6] Es wird durch die Eckpunkte und Kanten der viertelkubischen Wabe dargestellt, die den Raum durch reguläre Tetraeder und abgeschnittene Tetraeder ausfüllt. Es enthält vier Sätze paralleler Ebenen von Punkten und Linien, wobei jede Ebene ein zweidimensionales Kagomgitter ist. Ein zweiter Ausdruck in drei Dimensionen hat parallele Schichten aus zweidimensionalen Gittern und wird als bezeichnet orthorhombisch-kagomisches Gitter.[6] Die trihexagonale prismatische Wabe repräsentiert ihre Kanten und Eckpunkte.

Einige Mineralien, nämlich Jarosite und Herbertsmithit, enthalten zweidimensionale Schichten oder dreidimensionale Kagomgitteranordnungen von Atomen in ihrer Kristallstruktur. Diese Mineralien weisen neuartige physikalische Eigenschaften auf, die mit geometrisch frustriertem Magnetismus verbunden sind. Beispielsweise ist die Spinanordnung der magnetischen Ionen in Co.3V.2Ö8 ruht in einem Kagomengitter, das bei niedrigen Temperaturen ein faszinierendes magnetisches Verhalten zeigt.[7] Es wurde entdeckt, dass auf Kagome-Gittern realisierte Quantenmagnete viele unerwartete elektronische und magnetische Phänomene aufweisen.[8][9][10][11]

Der Begriff wird heutzutage in der wissenschaftlichen Literatur häufig verwendet, insbesondere von Theoretikern, die die magnetischen Eigenschaften eines theoretischen Kagomgitters untersuchen.

Siehe auch: Kagome-Wappen.

Symmetrie[edit]

Die trihexagonale Kachelung hat das Schläfli-Symbol für r {6,3} oder das Coxeter-Diagramm. CDel node.pngCDel 6.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngDies symbolisiert die Tatsache, dass es sich um eine gleichgerichtete sechseckige Kachel handelt, {6,3}. Seine Symmetrien können durch die Tapetengruppe p6mm (* 632) beschrieben werden.[12] und die Kacheln können als Wythoff-Konstruktion innerhalb der reflektierenden Grunddomänen dieser Gruppe abgeleitet werden. Die trihexagonale Kachelung ist eine quasireguläre Kachelung, die zwei Arten von Polygonen mit Scheitelpunktkonfiguration abwechselt (3.6).2. Es ist auch eine gleichmäßige Kachelung, eine von acht, die von der regulären sechseckigen Kachelung abgeleitet ist.

Gleichmäßige Färbungen[edit]

Es gibt zwei unterschiedliche einheitliche Färbungen einer trihexagonalen Fliese. Benennen der Farben durch Indizes auf den 4 Flächen um einen Scheitelpunkt (3.6.3.6): 1212, 1232.[1] Der zweite heißt a kantische sechseckige Kachelnh2{6,3} mit zwei Farben von Dreiecken, die in p3m1 (* 333) -Symmetrie existieren.

Kreisverpackung[edit]

Die dreiachsige Kachelung kann als Kreispackung verwendet werden, wobei Kreise mit gleichem Durchmesser in der Mitte jedes Punktes platziert werden.[13] Jeder Kreis hat Kontakt zu 4 anderen Kreisen in der Verpackung (Kussnummer).

1-uniform-7-circlepack.svg

Topologisch äquivalente Fliesen[edit]

Das trihexagonale Fliesen kann geometrisch in topologisch äquivalente Fliesen mit geringerer Symmetrie verzerrt werden.[1] Bei diesen Varianten der Kacheln müssen die Kanten nicht unbedingt zu geraden Linien ausgerichtet sein.

Verwandte quasireguläre Fliesen[edit]

Das trihexagonale Fliesen existiert in einer Folge von Symmetrien von quasiregulären Kacheln mit Scheitelpunktkonfigurationen (3.n)2von den Kacheln der Kugel zur euklidischen Ebene und in die hyperbolische Ebene. Mit Orbifold-Notationssymmetrie von *n32 Alle diese Kacheln sind Wythoff-Konstruktionen innerhalb eines grundlegenden Symmetriebereichs mit Generatorpunkten in der rechten Winkelecke des Bereichs.[14][15]

Verwandte regelmäßige komplexe Apeirogone[edit]

Es gibt 2 reguläre komplexe Apeirogone, die sich die Eckpunkte der trihexagonalen Kacheln teilen. Regelmäßige komplexe Apeirogone haben Eckpunkte und Kanten, wobei Kanten zwei oder mehr Eckpunkte enthalten können. Regelmäßige Apeirogons p{q}}r sind eingeschränkt durch: 1 /p + 2 /q + 1 /r = 1. Kanten haben p Scheitelpunkte, die wie ein reguläres Polygon angeordnet sind, und Scheitelpunktfiguren sind r-gonal.[16]

Die erste besteht aus dreieckigen Kanten, zwei um jeden Scheitelpunkt, die zweite hat sechseckige Kanten, zwei um jeden Scheitelpunkt.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

  1. ^ ein b c Grünbaum, Branko; Shephard, GC (1987). Tilings und Muster. WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3. Siehe insbesondere Satz 2.1.3, S. 59 (Klassifizierung einheitlicher Fliesen); Abbildung 2.1.5, S. 63 (Abbildung dieser Kachelung), Satz 2.9.1, S. 63. 103 (Klassifizierung farbiger Fliesen), Abbildung 2.9.2, S. 105 (Abbildung farbiger Fliesen), Abbildung 2.5.3 (d), S. 83 (topologisch äquivalente Sternkacheln) und Aufgabe 4.1.3, S. 171 (topologische Äquivalenz von dreieckigen und zwei Dreiecken).
  2. ^ Williams, Robert (1979). Die geometrische Grundlage der natürlichen Struktur: Ein Quellbuch des Designs. Dover Publications, Inc. p. 38. ISBN 0-486-23729-X.
  3. ^ Aiton, EJ; Duncan, Alistair Matheson; Field, Judith Veronica, Hrsg. (1997), Die Harmonie der Welt von Johannes Kepler, Memoiren der American Philosophical Society, 209, American Philosophical Society, S. 104–105, ISBN 9780871692092.
  4. ^ Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). „Kapitel 21: Benennung archimedischer und katalanischer Polyeder und Fliesen; euklidische Ebenen-Tessellationen“. Die Symmetrien der Dinge. Wellesley, MA: AK Peters, Ltd. 288. ISBN 978-1-56881-220-5. HERR 2410150.
  5. ^ Mekata, Mamoru (Februar 2003). „Kagome: Die Geschichte des Korbgeflechtgitters“. Physik heute. 56 (2): 12–13. Bibcode:2003PhT …. 56b..12M. doi:10.1063 / 1.1564329.
  6. ^ ein b Lawler, Michael J.; Kee, Hae-Young; Kim, Yong Baek; Vishwanath, Ashvin (2008). Topologische Spinnflüssigkeit auf dem Hyperkagomgitter von Na4Ir3Ö8„. Briefe zur körperlichen Überprüfung. 100 (22): 227201. arXiv:0705.0990. Bibcode:2008PhRvL.100v7201L. doi:10.1103 / physrevlett.100.227201. PMID 18643453. S2CID 31984687.
  7. ^ Yen, F., Chaudhury, RP, Galstyan, E., Lorenz, B., Wang, YQ, Sun, YY, Chu, CW (2008). „Magnetische Phasendiagramme der Kagome-Treppenverbindung Co.3V.2Ö8„. Physica B: Kondensierte Materie. 403 (5–9): 1487–1489. arXiv:0710.1009. Bibcode:2008PhyB..403.1487Y. doi:10.1016 / j.physb.2007.10.334. S2CID 14958188.CS1-Wartung: Verwendet den Autorenparameter (Link)
  8. ^ „Ein Quantenmagnet mit topologischer Wendung“. Entdeckung: Forschung in Princeton. 2019-02-22. Abgerufen 2020-04-26.
  9. ^ Yin, Jia-Xin; Zhang, Songtian S.; Li, Hang; Jiang, Kun; Chang, Guoqing; Zhang, Bingjing; Lian, Biao; Xiang, Cheng; Belopolski (2018). „Riesige und anisotrope Vielkörper-Spin-Orbit-Abstimmbarkeit in einem stark korrelierten Kagom-Magneten“. Natur. 562 (7725): 91–95. arXiv:1810.00218. Bibcode:2018Natur.562 … 91Y. doi:10.1038 / s41586-018-0502-7. PMID 30209398. S2CID 205570556.
  10. ^ Yin, Jia-Xin; Zhang, Songtian S.; Chang, Guoqing; Wang, Qi; Tsirkin, Stepan S.; Guguchia, Zurab; Lian, Biao; Zhou, Huibin; Jiang, Kun; Belopolski, Ilya; Shumiya, Nana (2019). „Negativer Flachbandmagnetismus in einem Spin-Orbit-gekoppelten korrelierten Kagom-Magneten“. Naturphysik. 15 (5): 443–8. arXiv:1901.04822. Bibcode:2019NatPh..15..443Y. doi:10.1038 / s41567-019-0426-7. S2CID 119363372.
  11. ^ Yazyev, Oleg V. (2019). „Ein umgedrehter Magnet“. Naturphysik. 15 (5): 424–5. Bibcode:2019NatPh..15..424Y. doi:10.1038 / s41567-019-0451-6. S2CID 128299874.
  12. ^ Steurer, Walter; Deloudi, Sofia (2009). Kristallographie von Quasikristallen: Konzepte, Methoden und Strukturen. Springer-Reihe in Materialwissenschaften. 126. Springer. p. 20. ISBN 9783642018992.
  13. ^ Critchlow, Keith (2000) [1969]. „Muster G“. Order in Space: Ein Design-Quellbuch. Themse & Hudson. S. 74–75. ISBN 9780500340332.
  14. ^ Coxeter, HSM (1973). „V. Das Kaleidoskop, §5.7 Wythoffs Konstruktion“. Regelmäßige Polytope (3. Aufl.). Dover. ISBN 0-486-61480-8.
  15. ^ Huson, Daniel H. „Zweidimensionale Symmetriemutationen“. CiteSeerX 10.1.1.30.8536.
  16. ^ Coxeter, HSM (1991). Regelmäßige komplexe Polytope (2. Aufl.). Cambridge University Press. S. 111–2, 136. ISBN 9780521394901.

Weiterführende Literatur[edit]