[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/25\/tessellation-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/25\/tessellation-wikipedia\/","headline":"Tessellation – Wikipedia","name":"Tessellation – Wikipedia","description":"before-content-x4 Kacheln einer Ebene mit einer oder mehreren geometrischen Formen, Kacheln genannt, ohne \u00dcberlappungen und ohne L\u00fccken after-content-x4 Eine Fliese","datePublished":"2020-11-25","dateModified":"2020-11-25","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/6\/66\/Ceramic_Tile_Tessellations_in_Marrakech.jpg\/280px-Ceramic_Tile_Tessellations_in_Marrakech.jpg","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/6\/66\/Ceramic_Tile_Tessellations_in_Marrakech.jpg\/280px-Ceramic_Tile_Tessellations_in_Marrakech.jpg","height":"189","width":"280"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/25\/tessellation-wikipedia\/","wordCount":20093,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Kacheln einer Ebene mit einer oder mehreren geometrischen Formen, Kacheln genannt, ohne \u00dcberlappungen und ohne L\u00fccken           (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Eine Fliese oder Tessellation einer ebenen Fl\u00e4che ist die Abdeckung einer Ebene unter Verwendung einer oder mehrerer geometrischer Formen, die als Kacheln bezeichnet werden, ohne \u00dcberlappungen und ohne L\u00fccken.  In der Mathematik k\u00f6nnen Tessellationen auf h\u00f6here Dimensionen und eine Vielzahl von Geometrien verallgemeinert werden.Eine periodische Kachelung weist ein sich wiederholendes Muster auf.  Einige spezielle Arten umfassen regelm\u00e4\u00dfige Fliesen mit regelm\u00e4\u00dfigen polygonalen Fliesen, die alle dieselbe Form haben, und halbregul\u00e4re Fliesen mit regelm\u00e4\u00dfigen Fliesen mit mehr als einer Form und mit jeder Ecke, die identisch angeordnet ist.  Die durch periodische Kacheln gebildeten Muster k\u00f6nnen in 17 Tapetengruppen eingeteilt werden.  Eine Kachelung ohne sich wiederholendes Muster wird als “nicht periodisch” bezeichnet.  Bei einer aperiodischen Kachelung wird ein kleiner Satz von Kachelformen verwendet, die kein sich wiederholendes Muster bilden k\u00f6nnen.  In der Geometrie h\u00f6herer Dimensionen wird eine raumf\u00fcllende oder Wabe auch als a bezeichnet Tessellation des Raumes.Eine echte physikalische Tessellation ist eine Fliese aus Materialien wie zementierten Keramikquadraten oder Sechsecken.  Solche Fliesen k\u00f6nnen dekorative Muster sein oder Funktionen wie das Bereitstellen von dauerhaften und wasserfesten Pflaster-, Boden- oder Wandbel\u00e4gen haben.  Historisch gesehen wurden Tessellationen im antiken Rom und in der islamischen Kunst verwendet, beispielsweise in den dekorativen geometrischen Kacheln des Alhambra-Palastes.  Im 20. Jahrhundert verwendete die Arbeit von MC Escher h\u00e4ufig Tessellationen, sowohl in der gew\u00f6hnlichen euklidischen Geometrie als auch in der hyperbolischen Geometrie, f\u00fcr k\u00fcnstlerische Wirkung.  Tessellationen werden manchmal f\u00fcr dekorative Effekte beim Quilten verwendet.  Tessellationen bilden eine Klasse von Mustern in der Natur, beispielsweise in den Anordnungen hexagonaler Zellen, die in Waben gefunden werden.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Table of ContentsGeschichte[edit]Etymologie[edit]\u00dcberblick[edit]In Mathematik[edit]Einf\u00fchrung in Tessellationen[edit]Hintergrundgruppen[edit]Aperiodische Fliesen[edit]Tessellationen und Farbe[edit]Tessellationen mit Polygonen[edit]Voronoi Fliesen[edit]Tessellationen in h\u00f6heren Dimensionen[edit]Tessellationen in nichteuklidischen Geometrien[edit]In der Fertigung[edit]In der Natur[edit]In R\u00e4tseln und Freizeitmathematik[edit]Beispiele[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Quellen[edit]Externe Links[edit]Geschichte[edit]  Ein Tempelmosaik aus der alten sumerischen Stadt Uruk IV (3400\u20133100 v. Chr.), Das ein Tessellationsmuster in farbigen Kacheln zeigtTessellationen wurden von den Sumerern (um 4000 v. Chr.) F\u00fcr den Bau von Wanddekorationen verwendet, die aus Mustern von Tonfliesen gebildet wurden.[1]Dekorative Mosaikfliesen aus kleinen quadratischen Bl\u00f6cken, die als Tesserae bezeichnet werden, wurden in der Antike h\u00e4ufig verwendet.[2]  manchmal geometrische Muster anzeigen.[3][4]       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x41619 machte Johannes Kepler eine fr\u00fch dokumentierte Studie \u00fcber Tessellationen.  Er schrieb \u00fcber regelm\u00e4\u00dfige und semiregul\u00e4re Tessellationen in seinem Harmonices Mundi;;  Er war m\u00f6glicherweise der erste, der die sechseckigen Strukturen von Waben und Schneeflocken erforschte und erkl\u00e4rte.[5]  Etwa zweihundert Jahre sp\u00e4ter, 1891, bewies der russische Kristallograph Jewgraf Fjodorow, dass jede periodische Kachelung des Flugzeugs eine von siebzehn verschiedenen Gruppen von Isometrien aufweist.[8][9]  Fjodorows Arbeit markierte den inoffiziellen Beginn der mathematischen Untersuchung von Tessellationen.  Andere prominente Mitwirkende sind Aleksei Shubnikov und Nikolai Belov (1964),[10]  und Heinrich Heesch und Otto Kienzle (1963).[11]Etymologie[edit]In Latein, Tessella ist ein kleines kubisches St\u00fcck Ton, Stein oder Glas, aus dem Mosaike hergestellt werden.[12]  Das Wort “Tessella” bedeutet “kleines Quadrat” (von Tessera, Quadrat, das wiederum vom griechischen Wort \u03c4\u03ad\u03c3\u03c3\u03b5\u03c1\u03b1 f\u00fcr ist vier).  Es entspricht dem Alltagsbegriff Fliesen, was sich auf Anwendungen von Tessellationen bezieht, die oft aus glasiertem Ton bestehen.\u00dcberblick[edit]  Tessellation in zwei Dimensionen, auch planare Kacheln genannt, ist ein Thema in der Geometrie, das untersucht, wie Formen, bekannt als Fliesenkann so angeordnet werden, dass eine Ebene ohne L\u00fccken gem\u00e4\u00df einem vorgegebenen Regelsatz gef\u00fcllt wird.  Diese Regeln k\u00f6nnen variiert werden.  H\u00e4ufig ist, dass zwischen den Kacheln keine L\u00fccken bestehen d\u00fcrfen und dass keine Ecke einer Kachel am Rand einer anderen liegen darf.[13]  Die durch Verbundmauerwerk erzeugten Tessellationen halten sich nicht an diese Regel.  Unter denen, die dies tun, hat eine regelm\u00e4\u00dfige Tessellation beide identisch[a]regelm\u00e4\u00dfige Kacheln und identische regul\u00e4re Ecken oder Eckpunkte mit dem gleichen Winkel zwischen benachbarten Kanten f\u00fcr jede Kachel.  Es gibt nur drei Formen, die solche regelm\u00e4\u00dfigen Tessellationen bilden k\u00f6nnen: das gleichseitige Dreieck, das Quadrat und das regelm\u00e4\u00dfige Sechseck.  Jede dieser drei Formen kann unendlich dupliziert werden, um eine Ebene ohne L\u00fccken zu f\u00fcllen.Viele andere Arten der Tessellation sind unter verschiedenen Bedingungen m\u00f6glich.  Zum Beispiel gibt es acht Arten von semi-regul\u00e4ren Tessellationen, die mit mehr als einer Art von regul\u00e4ren Polygonen erstellt wurden, aber an jeder Ecke immer noch die gleiche Anordnung von Polygonen aufweisen.[15]  Unregelm\u00e4\u00dfige Tessellationen k\u00f6nnen auch aus anderen Formen wie Pentagonen, Polyominoen und in der Tat fast jeder Art von geometrischer Form hergestellt werden.  Der K\u00fcnstler MC Escher ist ber\u00fchmt daf\u00fcr, Tessellationen mit unregelm\u00e4\u00dfigen ineinandergreifenden Fliesen herzustellen, die wie Tiere und andere nat\u00fcrliche Objekte geformt sind.  Wenn f\u00fcr die Fliesen unterschiedlicher Form geeignete Kontrastfarben gew\u00e4hlt werden, entstehen auff\u00e4llige Muster, mit denen physische Oberfl\u00e4chen wie Kirchenb\u00f6den dekoriert werden k\u00f6nnen.[17]  Die kunstvollen und farbenfrohen zelligen Tessellationen glasierter Fliesen in der Alhambra in Spanien, die die Aufmerksamkeit von MC Escher auf sich zogenFormal ist eine Tessellation oder Kachelung eine Abdeckung der euklidischen Ebene durch eine z\u00e4hlbare Anzahl geschlossener Mengen, die als bezeichnet wird Fliesen, so dass sich die Kacheln nur an ihren Grenzen schneiden.  Diese Kacheln k\u00f6nnen Polygone oder andere Formen sein.[b]  Viele Tessellationen werden aus einer endlichen Anzahl von Prototilen gebildet, bei denen alle Kacheln in der Tessellation zu den gegebenen Prototilen kongruent sind.  Wenn eine geometrische Form als Prototil verwendet werden kann, um eine Tessellation zu erzeugen, wird die Form als bezeichnet tessellieren oder zu Fliese das Flugzeug.  Das Conway-Kriterium ist ein ausreichendes, aber nicht notwendiges Regelwerk, um zu entscheiden, ob eine bestimmte Form die Ebene regelm\u00e4\u00dfig ohne Reflexionen kachelt: Einige Kacheln verfehlen das Kriterium, kacheln aber dennoch die Ebene.[19]  Es wurde keine allgemeine Regel gefunden, um zu bestimmen, ob eine bestimmte Form die Ebene kacheln kann oder nicht, was bedeutet, dass es viele ungel\u00f6ste Probleme bez\u00fcglich Tessellationen gibt.Mathematisch k\u00f6nnen Tessellationen auf andere R\u00e4ume als die euklidische Ebene ausgedehnt werden.  Das Schweizer Geometer Ludwig Schl\u00e4fli hat dies durch Definition vorangetrieben Polyschemata, die Mathematiker heutzutage Polytope nennen.  Dies sind die Analoga zu Polygonen und Polyedern in R\u00e4umen mit mehr Dimensionen.  Er definierte die Schl\u00e4fli-Symbolnotation weiter, um die Beschreibung von Polytopen zu vereinfachen.  Beispielsweise ist das Schl\u00e4fli-Symbol f\u00fcr ein gleichseitiges Dreieck {3}, w\u00e4hrend das f\u00fcr ein Quadrat {4} ist.[20]  Die Schl\u00e4fli-Notation erm\u00f6glicht eine kompakte Beschreibung von Fliesen.  Beispielsweise weist eine Kachelung regul\u00e4rer Sechsecke an jedem Scheitelpunkt drei sechsseitige Polygone auf, sodass das Schl\u00e4fli-Symbol {6,3} lautet.[21]Es gibt auch andere Methoden zur Beschreibung polygonaler Fliesen.  Wenn die Tessellation aus regul\u00e4ren Polygonen besteht, ist die h\u00e4ufigste Notation die Scheitelpunktkonfiguration, bei der es sich lediglich um eine Liste der Anzahl der Seiten der Polygone um einen Scheitelpunkt handelt.  Die quadratische Kachelung hat eine Scheitelpunktkonfiguration von 4.4.4.4 oder 44.  Das Kacheln von regul\u00e4ren Sechsecken ist in 6.6.6 oder 6 angegeben3.In Mathematik[edit]Einf\u00fchrung in Tessellationen[edit]Mathematiker verwenden einige Fachbegriffe, wenn sie Fliesen diskutieren.  Ein Kante ist der Schnittpunkt zwischen zwei angrenzenden Kacheln;  es ist oft eine gerade Linie.  EIN Scheitel ist der Schnittpunkt von drei oder mehr angrenzenden Kacheln.  Unter Verwendung dieser Begriffe kann ein isogonal oder vertextransitive Kacheln sind Kacheln, bei denen jeder Scheitelpunktpunkt identisch ist.  Das hei\u00dft, die Anordnung der Polygone um jeden Scheitelpunkt ist dieselbe.  Der Grundbereich ist eine Form wie ein Rechteck, das wiederholt wird, um die Tessellation zu bilden.[22]  Zum Beispiel hat eine regelm\u00e4\u00dfige Tessellation der Ebene mit Quadraten eine Begegnung von vier Quadraten an jedem Scheitelpunkt.Die Seiten der Polygone sind nicht unbedingt mit den Kanten der Kacheln identisch.  Ein Fliesen von Kante zu Kante ist eine polygonale Tessellation, bei der benachbarte Kacheln nur eine volle Seite teilen, dh keine Kachel teilt eine Teilseite oder mehr als eine Seite mit einer anderen Kachel.  Bei einer Kachelung von Kante zu Kante sind die Seiten der Polygone und die Kanten der Kacheln gleich.  Die bekannten “Ziegelmauer” -Kacheln sind nicht von Kante zu Kante, da die lange Seite jedes rechteckigen Ziegels mit zwei angrenzenden Ziegeln geteilt wird.EIN normale Fliesen ist eine Tessellation, bei der jede Kachel topologisch einer Scheibe entspricht, der Schnittpunkt zweier Kacheln eine einzelne verbundene Menge oder die leere Menge ist und alle Kacheln einheitlich begrenzt sind.  Dies bedeutet, dass ein einziger Umschreibungsradius und ein einziger Beschriftungsradius f\u00fcr alle Kacheln in der gesamten Kachel verwendet werden k\u00f6nnen.  Der Zustand verbietet Fliesen, die pathologisch lang oder d\u00fcnn sind.[23]  EIN monoedrische Fliesen ist eine Tessellation, in der alle Kacheln kongruent sind;  es hat nur ein Prototil.  Eine besonders interessante Art der monoedrischen Tessellation ist die spiralf\u00f6rmige monohedrale Kachelung.  Die erste monohedrale Spiralfliese wurde 1936 von Heinz Voderberg entdeckt;  Die Voderberg-Kachel hat eine Einheitskachel, die ein nicht konvexes Enneagon ist.[1]  Das Hirschhorn Fliesen, ver\u00f6ffentlicht von Michael D. Hirschhorn und DC Hunt im Jahr 1985, ist eine F\u00fcnfeckkachelung mit unregelm\u00e4\u00dfigen F\u00fcnfecken: Normale F\u00fcnfecke k\u00f6nnen die euklidische Ebene nicht als Innenwinkel eines regul\u00e4ren F\u00fcnfecks kacheln. 3\u03c0\/.5ist kein Teiler von 2\u03c0.[24][25][26]Eine isoedrische Kachelung ist eine spezielle Variante einer monoedrischen Kachelung, bei der alle Kacheln derselben Transitivit\u00e4tsklasse angeh\u00f6ren, dh alle Kacheln sind Transformationen desselben Prototils unter der Symmetriegruppe der Kachelung.[23]  Wenn ein Prototil eine Kachelung zul\u00e4sst, aber keine solche Kachelung isohedrisch ist, wird das Prototil als anisoedrisch bezeichnet und bildet anisohedrische Kacheln.Eine regelm\u00e4\u00dfige Tessellation ist eine hochsymmetrische Kachel von Kante zu Kante, die aus regul\u00e4ren Polygonen besteht, die alle dieselbe Form haben.  Es gibt nur drei regul\u00e4re Tessellationen: solche, die aus gleichseitigen Dreiecken, Quadraten oder regul\u00e4ren Sechsecken bestehen.  Alle drei Fliesen sind isogonal und monohedrisch.[27]  Eine semi-regul\u00e4re (oder archimedische) Tessellation verwendet mehr als einen Typ eines regul\u00e4ren Polygons in einer isogonalen Anordnung.  Es gibt acht halbregelm\u00e4\u00dfige Kacheln (oder neun, wenn das spiegelbildliche Kachelpaar zwei z\u00e4hlt).  Diese k\u00f6nnen durch ihre Scheitelpunktkonfiguration beschrieben werden;  Beispielsweise hat eine halbregelm\u00e4\u00dfige Kachelung mit Quadraten und regelm\u00e4\u00dfigen Achtecken die Scheitelpunktkonfiguration 4.82 (Jeder Scheitelpunkt hat ein Quadrat und zwei Achtecke).[29]  Viele nicht kantenf\u00f6rmige Kacheln der euklidischen Ebene sind m\u00f6glich, einschlie\u00dflich der Familie der pythagoreischen Kacheln, Tessellationen, die zwei (parametrisierte) Quadratgr\u00f6\u00dfen verwenden, wobei jedes Quadrat vier Quadrate der anderen Gr\u00f6\u00dfe ber\u00fchrt.[30]  Eine Kanten-Tessellation ist eine, bei der jede Kachel \u00fcber eine Kante reflektiert werden kann, um die Position einer benachbarten Kachel einzunehmen, beispielsweise in einer Anordnung von gleichseitigen oder gleichschenkligen Dreiecken.[31]Hintergrundgruppen[edit]  Dieser tessellierte, monohedrale Stra\u00dfenbelag verwendet geschwungene Formen anstelle von Polygonen.  Es geh\u00f6rt zur Tapetengruppe p3.Tilings mit Translationssymmetrie in zwei unabh\u00e4ngigen Richtungen k\u00f6nnen nach Tapetengruppen kategorisiert werden, von denen 17 existieren.[32]  Es wurde behauptet, dass alle siebzehn dieser Gruppen im Alhambra-Palast in Granada, Spanien, vertreten sind.  Obwohl dies umstritten ist,[33]  Die Vielfalt und Raffinesse der Alhambra-Fliesen hat moderne Forscher \u00fcberrascht.[34]  Von den drei regul\u00e4ren Fliesen befinden sich zwei in der p6m Tapetengruppe und einer ist in p4m.  Tilings in 2D mit Translationssymmetrie in nur einer Richtung k\u00f6nnen durch die sieben Friesgruppen kategorisiert werden, die die m\u00f6glichen Friesmuster beschreiben.[35]Die Orbifold-Notation kann verwendet werden, um Tapetengruppen der euklidischen Ebene zu beschreiben.[36]Aperiodische Fliesen[edit]  Penrose-Fliesen, bei denen zwei verschiedene viereckige Prototile verwendet werden, sind das bekannteste Beispiel f\u00fcr Fliesen, die zwangsweise nichtperiodische Muster erzeugen.  Sie geh\u00f6ren zu einer allgemeinen Klasse von aperiodischen Fliesen, bei denen Fliesen verwendet werden, die nicht regelm\u00e4\u00dfig tessellieren k\u00f6nnen.  Der rekursive Prozess der Substitutionskachelung ist eine Methode zur Erzeugung aperiodischer Kacheln.  Eine Klasse, die auf diese Weise generiert werden kann, sind die Wiederholungskacheln.  Diese Fliesen haben \u00fcberraschende selbstreplizierende Eigenschaften. Die Radradfliesen sind nicht periodisch und verwenden eine Rep-Fliesen-Konstruktion.  Die Kacheln erscheinen in unendlich vielen Ausrichtungen.[38]  Es k\u00f6nnte angenommen werden, dass ein nichtperiodisches Muster v\u00f6llig ohne Symmetrie w\u00e4re, aber dies ist nicht so.  Aperiodische Kacheln weisen zwar keine Translationssymmetrie auf, weisen jedoch Symmetrien anderer Typen auf, indem sich ein begrenzter Fleck der Kachelung und bestimmte endliche Gruppen von Rotationen oder Reflexionen dieser Flecken unendlich wiederholen.[39]  Eine Substitutionsregel, wie sie verwendet werden kann, um einige Penrose-Muster unter Verwendung von Kacheln zu erzeugen, die als Rauten bezeichnet werden, veranschaulicht die Skalierungssymmetrie.[40]  Ein Fibonacci-Wort kann verwendet werden, um eine aperiodische Kachelung zu erstellen und Quasikristalle zu untersuchen, bei denen es sich um Strukturen mit aperiodischer Ordnung handelt.[41]  Wang-Kacheln sind Quadrate, die an jeder Kante gef\u00e4rbt und so platziert sind, dass die angrenzenden Kanten benachbarter Kacheln dieselbe Farbe haben.  Daher werden sie manchmal Wang-Dominosteine \u200b\u200bgenannt.  Ein geeigneter Satz von Wang-Dominosteinen kann das Flugzeug kacheln, jedoch nur aperiodisch.  Dies ist bekannt, weil jede Turing-Maschine als eine Reihe von Wang-Dominosteinen dargestellt werden kann, die das Flugzeug genau dann kacheln, wenn die Turing-Maschine nicht anh\u00e4lt.  Da das Problem des Anhaltens unentscheidbar ist, ist auch das Problem der Entscheidung, ob ein Wang-Domino-Set das Flugzeug kacheln kann, unentscheidbar.[42][43][44][45][46]  Truchet-Fliesen sind quadratische Fliesen, die mit Mustern verziert sind, sodass sie keine Rotationssymmetrie aufweisen.  1704 verwendete S\u00e9bastien Truchet eine quadratische Fliese, die in zwei Dreiecke mit kontrastierenden Farben aufgeteilt war.  Diese k\u00f6nnen die Ebene entweder periodisch oder zuf\u00e4llig kacheln.[47][48]Tessellationen und Farbe[edit]  Wenn die Farben dieser Kacheln ein Muster bilden sollen, indem dieses Rechteck als Grunddom\u00e4ne wiederholt wird, sind mindestens sieben Farben erforderlich.  Im Allgemeinen werden mindestens vier Farben ben\u00f6tigt.Manchmal wird die Farbe einer Fliese als Teil der Fliese verstanden;  zu anderen Zeiten k\u00f6nnen sp\u00e4ter beliebige Farben angewendet werden.  Wenn Sie eine Kachel diskutieren, die in Farben angezeigt wird, m\u00fcssen Sie zur Vermeidung von Mehrdeutigkeiten angeben, ob die Farben Teil der Kachel oder nur Teil der Abbildung sind.  Dies wirkt sich darauf aus, ob Fliesen mit derselben Form, aber unterschiedlichen Farben als identisch angesehen werden, was sich wiederum auf Symmetriefragen auswirkt.  Der Vierfarbensatz besagt, dass f\u00fcr jede Tessellation einer normalen euklidischen Ebene mit einem Satz von vier verf\u00fcgbaren Farben jede Kachel in einer Farbe gef\u00e4rbt werden kann, so dass sich keine Kacheln gleicher Farbe bei einer Kurve positiver L\u00e4nge treffen.  Die durch den Vierfarbensatz garantierte F\u00e4rbung ber\u00fccksichtigt im Allgemeinen nicht die Symmetrien der Tessellation.  Um eine F\u00e4rbung zu erzeugen, die dies tut, m\u00fcssen die Farben als Teil der Tessellation behandelt werden.  Hier werden m\u00f6glicherweise bis zu sieben Farben ben\u00f6tigt, wie auf dem Bild rechts.[49]Tessellationen mit Polygonen[edit]  Neben den verschiedenen Fliesen durch regul\u00e4re Polygone wurden auch Fliesen durch andere Polygone untersucht.Jedes Dreieck oder Viereck (auch nicht konvex) kann als Prototil verwendet werden, um eine monoedrische Tessellation zu bilden, oft auf mehr als eine Weise.  Kopien eines beliebigen Vierecks k\u00f6nnen eine Tessellation mit Translationssymmetrie und zweifacher Rotationssymmetrie mit Zentren an den Mittelpunkten aller Seiten bilden.  F\u00fcr ein asymmetrisches Viereck geh\u00f6rt diese Kachelung zur Tapetengruppe p2.  Als fundamentale Dom\u00e4ne haben wir das Viereck.  Entsprechend k\u00f6nnen wir ein Parallelogramm erstellen, das von einem minimalen Satz von Translationsvektoren ausgehend von einem Rotationszentrum begrenzt wird.  Wir k\u00f6nnen dies durch eine Diagonale teilen und eine H\u00e4lfte (ein Dreieck) als fundamentale Dom\u00e4ne nehmen.  Ein solches Dreieck hat die gleiche Fl\u00e4che wie das Viereck und kann durch Ausschneiden und Einf\u00fcgen daraus konstruiert werden.[50]Wenn nur eine Fliesenform zul\u00e4ssig ist, sind die Fliesen konvex N.-gons f\u00fcr N. gleich 3, 4, 5 und 6. F\u00fcr N. = 5siehe f\u00fcnfeckige Kacheln, z N. = 6, siehe Sechseckige Kacheln, z N. = 7, siehe Siebeneckige Fliesen und f\u00fcr N. = 8siehe achteckige Kacheln.Ergebnisse zum Kacheln der Ebene mit Polyominoes finden Sie unter Polyomino \u00a7 Verwendung von Polyominoes.Voronoi Fliesen[edit]Voronoi oder Dirichlet-Kacheln sind Tessellationen, bei denen jede Kachel als die Menge von Punkten definiert ist, die einem der Punkte in einer diskreten Menge von Definitionspunkten am n\u00e4chsten liegt.  (Stellen Sie sich geografische Regionen vor, in denen jede Region als alle Punkte definiert ist, die einer bestimmten Stadt oder einem Postamt am n\u00e4chsten liegen.)[51][52]  Das Voronoi-Zelle F\u00fcr jeden Definitionspunkt gibt es ein konvexes Polygon.  Die Delaunay-Triangulation ist eine Tessellation, die der doppelte Graph einer Voronoi-Tessellation ist.  Delaunay-Triangulationen sind in der numerischen Simulation n\u00fctzlich, teilweise weil Delaunay-Triangulationen unter allen m\u00f6glichen Triangulationen der definierenden Punkte das Minimum der von den Kanten gebildeten Winkel maximieren.[53]  Voronoi-Kacheln mit zuf\u00e4llig platzierten Punkten k\u00f6nnen verwendet werden, um zuf\u00e4llige Kacheln der Ebene zu konstruieren.[54]Tessellationen in h\u00f6heren Dimensionen[edit]  Die Tessellation kann auf drei Dimensionen erweitert werden.  Bestimmte Polyeder k\u00f6nnen in einem regelm\u00e4\u00dfigen Kristallmuster gestapelt werden, um den dreidimensionalen Raum zu f\u00fcllen (oder zu kacheln), einschlie\u00dflich des W\u00fcrfels (das einzige platonische Polyeder, das dies tut), des rhombischen Dodekaeders, des abgeschnittenen Oktaeders sowie dreieckiger, viereckiger und hexagonaler Prismen , unter anderen.[55]  Jedes Polyeder, das diesem Kriterium entspricht, wird als Plesioeder bezeichnet und kann zwischen 4 und 38 Fl\u00e4chen besitzen.[56]  Nat\u00fcrlich vorkommende rhombische Dodekaeder werden als Kristalle von Andradit (eine Art Granat) und Fluorit gefunden.[57][58]  Abbildung eines Schmitt-Conway-Biprismas, auch Schmitt-Conway-Danzer-Kachel genanntTessellationen in drei oder mehr Dimensionen werden Waben genannt.  In drei Dimensionen gibt es nur eine regul\u00e4re Wabe mit acht W\u00fcrfeln an jedem Polyederscheitelpunkt.  Ebenso gibt es in drei Dimensionen nur ein Quasiregular[c]  Wabe mit acht Tetraedern und sechs Oktaedern an jedem Polyederscheitelpunkt.  Es gibt jedoch viele m\u00f6gliche semiregul\u00e4re Waben in drei Dimensionen.[59]  Mit der Wythoff-Konstruktion k\u00f6nnen einheitliche Polyeder konstruiert werden.[60]Das Schmitt-Conway-Biprisma ist ein konvexes Polyeder mit der Eigenschaft, den Raum nur aperiodisch zu kacheln.[61]Ein Schwarz-Dreieck ist ein sph\u00e4risches Dreieck, mit dem eine Kugel gekachelt werden kann.[62]Tessellationen in nichteuklidischen Geometrien[edit]    Es ist m\u00f6glich, in nichteuklidischen Geometrien wie der hyperbolischen Geometrie zu tessellieren.  Eine gleichm\u00e4\u00dfige Kachelung in der hyperbolischen Ebene (die regelm\u00e4\u00dfig, quasiregul\u00e4r oder semiregular sein kann) ist eine Rand-zu-Rand-F\u00fcllung der hyperbolischen Ebene mit regelm\u00e4\u00dfigen Polygonen als Fl\u00e4chen.  Diese sind scheitelpunkttransitiv (transitiv auf ihren Scheitelpunkten) und isogonal (es gibt eine Isometrie, die jeden Scheitelpunkt auf einen anderen abbildet).[63][64]Eine einheitliche Wabe im hyperbolischen Raum ist eine einheitliche Tessellation einheitlicher polyedrischer Zellen.  Im dreidimensionalen hyperbolischen Raum gibt es neun Coxeter-Gruppenfamilien kompakter konvexer einheitlicher Waben, die als Wythoff-Konstruktionen erzeugt und durch Permutationen von Ringen der Coxeter-Diagramme f\u00fcr jede Familie dargestellt werden.[65]  R\u00f6mische Mosaikbodenplatte aus Stein, Fliesen und Glas aus einer Villa in der N\u00e4he von Antiochia im r\u00f6mischen Syrien.  2. Jahrhundert n. ChrIn der Architektur werden seit der Antike Tessellationen verwendet, um dekorative Motive zu schaffen.  Mosaikfliesen hatten oft geometrische Muster.[4]  Sp\u00e4tere Zivilisationen verwendeten auch gr\u00f6\u00dfere Fliesen, entweder schlicht oder individuell dekoriert.  Zu den dekorativsten geh\u00f6rten die maurischen Wandfliesen der islamischen Architektur, bei denen Girih- und Zellige-Fliesen in Geb\u00e4uden wie der Alhambra verwendet wurden[66]  und La Mezquita.[67]Tessellationen tauchten h\u00e4ufig in der Grafik von MC Escher auf;  Er war inspiriert von der maurischen Verwendung von Symmetrie an Orten wie der Alhambra, als er 1936 Spanien besuchte. Escher fertigte vier “Circle Limit” -Zeichnungen von Fliesen an, die hyperbolische Geometrie verwenden.[69][70]  F\u00fcr seinen Holzschnitt “Circle Limit IV” (1960) erstellte Escher eine Bleistift- und Tintenstudie mit der erforderlichen Geometrie.  Escher erkl\u00e4rte: “Keine einzelne Komponente aller Serien, die sich aus unendlich gro\u00dfer Entfernung wie Raketen senkrecht von der Grenze erheben und schlie\u00dflich darin verloren gehen, erreicht jemals die Grenzlinie.”  Ein Quilt mit einem regelm\u00e4\u00dfigen TessellationsmusterTessellierte Designs erscheinen h\u00e4ufig auf Textilien, egal ob gewebt, eingen\u00e4ht oder bedruckt.  Tessellationsmuster wurden verwendet, um ineinandergreifende Motive von Patchformen in Quilts zu entwerfen.[73][74]Tessellationen sind auch ein Hauptgenre im Origami (Papierfalten), bei dem Falten verwendet werden, um Molek\u00fcle wie Drehfalten wiederholt miteinander zu verbinden.[75]In der Fertigung[edit]Tessellation wird in der Fertigungsindustrie verwendet, um die Verschwendung von Material (Ertragsverluste) wie Blech beim Ausschneiden von Formen f\u00fcr Objekte wie Autot\u00fcren oder Getr\u00e4nkedosen zu reduzieren.[76]Eine Tessellation zeigt sich im schlammrissartigen Rei\u00dfen d\u00fcnner Filme[77][78]  – wobei ein gewisses Ma\u00df an Selbstorganisation mithilfe von Mikro- und Nanotechnologien beobachtet wird.[79]In der Natur[edit]  Eine Wabe ist eine nat\u00fcrliche tessellierte Struktur.Die Wabe ist mit ihren sechseckigen Zellen ein bekanntes Beispiel f\u00fcr Tessellation in der Natur.[80]  In der Botanik beschreibt der Begriff “Tessellat” ein Schachbrettmuster, beispielsweise auf einem Bl\u00fctenblatt, einer Baumrinde oder einer Frucht.  Bl\u00fcten einschlie\u00dflich der Perlmutterfalter[81]  und einige Arten von Colchicum sind charakteristisch tesselliert.[82]Viele Muster in der Natur werden durch Risse in Materialbahnen gebildet.  Diese Muster k\u00f6nnen durch Gilbert-Tessellationen beschrieben werden.[83]  auch als zuf\u00e4llige Crack-Netzwerke bekannt.[84]  Die Gilbert-Tessellation ist ein mathematisches Modell f\u00fcr die Bildung von Schlammrissen, nadelartigen Kristallen und \u00e4hnlichen Strukturen.  Das nach Edgar Gilbert benannte Modell erm\u00f6glicht die Bildung von Rissen, die zuf\u00e4llig \u00fcber das Flugzeug verteilt sind.  Jeder Riss breitet sich in zwei entgegengesetzten Richtungen entlang einer Linie durch den Startpunkt aus, wobei seine Steigung zuf\u00e4llig gew\u00e4hlt wird, wodurch eine Tessellation unregelm\u00e4\u00dfiger konvexer Polygone erzeugt wird.[85]Basaltische Lavastr\u00f6me weisen aufgrund von Kontraktionskr\u00e4ften, die beim Abk\u00fchlen der Lava Risse verursachen, h\u00e4ufig eine s\u00e4ulenf\u00f6rmige Verbindung auf.  Die ausgedehnten Rissnetzwerke, die sich entwickeln, produzieren oft sechseckige Lavas\u00e4ulen.  Ein Beispiel f\u00fcr eine solche Anordnung von S\u00e4ulen ist der Giant’s Causeway in Nordirland.[86]Tessellated Pflaster, ein charakteristisches Beispiel daf\u00fcr befindet sich am Eaglehawk Neck auf der Tasmanischen Halbinsel von Tasmanien, ist eine seltene Sedimentgesteinsformation, bei der das Gestein in rechteckige Bl\u00f6cke gebrochen ist.[87]Andere nat\u00fcrliche Muster treten in Sch\u00e4umen auf;  Diese werden gem\u00e4\u00df den Plateau-Gesetzen verpackt, die nur minimale Oberfl\u00e4chen erfordern.  Solche Sch\u00e4ume stellen ein Problem dar, wenn es darum geht, Zellen so dicht wie m\u00f6glich zu verpacken: 1887 schlug Lord Kelvin eine Packung mit nur einem Feststoff vor, der bitrunkierten kubischen Wabe mit sehr leicht gekr\u00fcmmten Fl\u00e4chen.  1993 schlugen Denis Weaire und Robert Phelan die Weaire-Phelan-Struktur vor, die weniger Oberfl\u00e4che ben\u00f6tigt, um Zellen mit gleichem Volumen als Kelvins Schaum zu trennen.[88]In R\u00e4tseln und Freizeitmathematik[edit]  Tessellationen haben zu vielen Arten von Kachelpuzzles gef\u00fchrt, von traditionellen Puzzles (mit unregelm\u00e4\u00dfigen Holz- oder Pappst\u00fccken).[89]  und das Tangram[90]  zu moderneren R\u00e4tseln, die oft eine mathematische Grundlage haben.  Zum Beispiel sind Polyiamanten und Polyominoes Figuren aus regelm\u00e4\u00dfigen Dreiecken und Quadraten, die h\u00e4ufig zum Kacheln von R\u00e4tseln verwendet werden.[91][92]  Autoren wie Henry Dudeney und Martin Gardner haben die Tessellation in der Freizeitmathematik vielfach genutzt.  Zum Beispiel erfand Dudeney die klappbare Dissektion.[93]  w\u00e4hrend Gardner \u00fcber die Rep-Kachel schrieb, eine Form, die in kleinere Kopien derselben Form zerlegt werden kann.[94][95]  Inspiriert von Gardners Artikeln in Scientific American fand die Amateur-Mathematikerin Marjorie Rice vier neue Tessellationen mit Pentagonen.[96][97]Das Quadrieren des Quadrats ist das Problem des Kachelns eines integralen Quadrats (eines, dessen Seiten eine ganzzahlige L\u00e4nge haben) unter Verwendung nur anderer integraler Quadrate.[98][99]  Eine Erweiterung quadriert die Ebene und kachelt sie durch Quadrate, deren Gr\u00f6\u00dfe alle nat\u00fcrliche Zahlen ohne Wiederholungen sind.  James und Frederick Henle haben bewiesen, dass dies m\u00f6glich ist.[100]Beispiele[edit]Siehe auch[edit]^ Der mathematische Begriff f\u00fcr identische Formen ist “kongruent” – in der Mathematik bedeutet “identisch”, dass sie dieselbe Kachel sind.^ Die Kacheln m\u00fcssen normalerweise hom\u00f6omorph (topologisch \u00e4quivalent) zu einer geschlossenen Scheibe sein, was bedeutet, dass bizarre Formen mit L\u00f6chern, baumelnden Liniensegmenten oder unendlichen Bereichen ausgeschlossen sind.^ Quasiregul\u00e4r bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Zellen regelm\u00e4\u00dfig sind (Festk\u00f6rper) und die Scheitelpunktzahlen semiregul\u00e4r sind.Verweise[edit]^ ein b Pickover, Clifford A. (2009). Das Mathematikbuch: Von Pythagoras bis zur 57. Dimension, 250 Meilensteine \u200b\u200bin der Geschichte der Mathematik.  Sterling.  p.  372. ISBN 9781402757969.^ Dunbabin, Katherine MD (2006). Mosaike der griechischen und r\u00f6mischen Welt.  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(Liste der Webressourcen einschlie\u00dflich Artikel und Galerien)     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/25\/tessellation-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Tessellation – Wikipedia"}}]}]