[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/27\/jordanischer-kurvensatz-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/27\/jordanischer-kurvensatz-wikipedia\/","headline":"Jordanischer Kurvensatz – Wikipedia","name":"Jordanischer Kurvensatz – Wikipedia","description":"before-content-x4 Eine geschlossene Kurve teilt die Ebene in zwei Bereiche Illustration des Jordan-Kurvensatzes. 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Die Jordan-Kurve (schwarz gezeichnet) unterteilt die Ebene in einen “inneren” Bereich (hellblau) und einen “\u00e4u\u00dferen” Bereich (rosa).       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4In der Topologie a Jordanienkurve, manchmal a genannt Ebene einfache geschlossene Kurveist eine sich nicht selbst schneidende Endlosschleife in der Ebene.[1]  Das Jordanischer Kurvensatz behauptet, dass jede Jordan-Kurve die Ebene in einen “inneren” Bereich, der durch die Kurve begrenzt ist, und einen “\u00e4u\u00dferen” Bereich unterteilt, der alle nahe und weit entfernten \u00e4u\u00dferen Punkte enth\u00e4lt, so dass jeder kontinuierliche Pfad einen Punkt eines Bereichs mit einem Punkt von verbindet der andere schneidet sich irgendwo mit dieser Schleife.  W\u00e4hrend die Aussage dieses Theorems intuitiv offensichtlich zu sein scheint, bedarf es einiger Einfallsreichtum, um sie mit elementaren Mitteln zu beweisen. “Obwohl das JCT eines der bekanntesten topologischen Theoreme ist, gibt es viele, selbst unter professionellen Mathematikern, die noch nie einen Beweis daf\u00fcr gelesen haben.” (Tverberg (1980, Einleitung)).  Transparentere Beweise beruhen auf der mathematischen Maschinerie der algebraischen Topologie, und diese f\u00fchren zu Verallgemeinerungen auf h\u00f6herdimensionale R\u00e4ume.Der Jordan-Kurvensatz ist nach dem Mathematiker Camille Jordan (1838\u20131922) benannt, der seinen ersten Beweis gefunden hat.  Jahrzehntelang glaubten Mathematiker im Allgemeinen, dass dieser Beweis fehlerhaft war und dass der erste strenge Beweis von Oswald Veblen durchgef\u00fchrt wurde.  Diese Vorstellung wurde jedoch von Thomas C. Hales und anderen aufgehoben.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Table of ContentsDefinitionen und die Aussage des Jordan-Theorems[edit]Proof and generalizations[edit]Geschichte und weitere Beweise[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Definitionen und die Aussage des Jordan-Theorems[edit]EIN Jordanienkurve oder ein einfache geschlossene Kurve im Flugzeug R.2 ist das Bild C. einer injektiven kontinuierlichen Karte eines Kreises in die Ebene, \u03c6:: S.1 \u2192 R.2.  EIN Jordan Bogen In der Ebene befindet sich das Bild einer injektiven kontinuierlichen Karte eines geschlossenen und begrenzten Intervalls [a, b]  ins Flugzeug.  Es ist eine ebene Kurve, die nicht unbedingt glatt oder algebraisch ist.Alternativ ist eine Jordan-Kurve das Bild einer kontinuierlichen Karte \u03c6:: [0,1] \u2192 R.2 so dass \u03c6(0) = \u03c6(1) und die Einschr\u00e4nkung von \u03c6 zu [0,1) is injective. The first two conditions say that C is a continuous loop, whereas the last condition stipulates that C has no self-intersection points.With these definitions, the Jordan curve theorem can be stated as follows:       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Let C be a Jordan curve in the plane R2. Then its complement, R2\u00a0\u00a0C, consists of exactly two connected components. One of these components is bounded (the interior) and the other is unbounded (the exterior), and the curve C is the boundary of each component.In contrast, the complement of a Jordan arc in the plane is connected.Proof and generalizations[edit]Der Jordan-Kurvensatz wurde 1911 von H. Lebesgue und LEJ Brouwer unabh\u00e4ngig auf h\u00f6here Dimensionen verallgemeinert Jordan-Brouwer-Trennungssatz.Lassen X. Bohne n-dimensional topologische Sph\u00e4re in dem (n+1) -dimensionaler euklidischer Raum R.n+1 ((n > 0), dh das Bild einer injektiven kontinuierlichen Abbildung der n-Kugel S.n  in R.n+1.  Dann die Erg\u00e4nzung Y. von X. im R.n+1 besteht aus genau zwei verbundenen Komponenten.  Eine dieser Komponenten ist begrenzt (das Innere) und die andere ist unbegrenzt (das \u00c4u\u00dfere).  Der Satz X. ist ihre gemeinsame Grenze.Der Beweis verwendet die Homologietheorie.  Es wird zun\u00e4chst festgestellt, dass im Allgemeinen, wenn X. ist hom\u00f6omorph zum k-Kugel, dann die reduzierten integralen Homologiegruppen von Y. = R.n+1 . X. sind wie folgt:H.~q((Y.)={Z.,q=n– –k oder q=n,{0}},Andernfalls.{ displaystyle { tilde {H}} _ {q} (Y) = { begin {case}  mathbb {Z}, & q = nk { text {oder}} q = n, \\ {0  }, & { text {else}}.  end {case}}}Dies wird durch Induktion in bewiesen k unter Verwendung der Mayer-Vietoris-Sequenz.  Wann n = k, die nullte reduzierte Homologie von Y. hat Rang 1, was bedeutet, dass Y. hat 2 verbundene Komponenten (die au\u00dferdem pfadverbunden sind), und mit ein wenig zus\u00e4tzlicher Arbeit zeigt man, dass ihre gemeinsame Grenze ist X..  Eine weitere Verallgemeinerung fand JW Alexander, der die Alexander-Dualit\u00e4t zwischen der reduzierten Homologie einer kompakten Teilmenge feststellte X. von R.n+1 und die reduzierte Kohomologie seines Komplements.  Wenn X. ist ein n-dimensionale kompakte verbundene Untervielfalt von R.n+1 (oder S.n+1) ohne Grenze hat sein Komplement 2 verbundene Komponenten.Es gibt eine Verst\u00e4rkung des Jordan-Kurvensatzes, genannt Jordan-Sch\u00f6nflies-Theorem, der besagt, dass die inneren und \u00e4u\u00dferen planaren Regionen durch eine Jordan-Kurve in bestimmt werden R.2 sind hom\u00f6omorph zum Inneren und \u00c4u\u00dferen der Einheitsscheibe.  Insbesondere f\u00fcr jeden Punkt P. im inneren Bereich und einem Punkt EIN Auf der Jordan-Kurve existiert ein Jordan-Bogen, der verbindet P. mit EIN und mit Ausnahme des Endpunkts EINvollst\u00e4ndig im Innenbereich liegend.  Eine alternative und \u00e4quivalente Formulierung des Jordan-Sch\u00f6nflies-Theorems besagt, dass jede Jordan-Kurve \u03c6:: S.1 \u2192 R.2, wo S.1 wird als Einheitskreis in der Ebene angesehen, kann zu einem Hom\u00f6omorphismus erweitert werden \u03c8:: R.2 \u2192 R.2 des Flugzeugs.  Im Gegensatz zu Lebesgues und Brouwers Verallgemeinerung des Jordan-Kurvensatzes wird diese Aussage falsch in h\u00f6heren Dimensionen: w\u00e4hrend das \u00c4u\u00dfere der Einheit Kugel in R.3 ist einfach verbunden, weil es sich auf die Einheitskugel zur\u00fcckzieht, ist die Alexander-Hornkugel eine Teilmenge von R.3 hom\u00f6omorph zu einer Kugel, aber im Raum so verdreht, dass die unbegrenzte Komponente ihres Komplements in R.3 ist nicht einfach verbunden und daher nicht hom\u00f6omorph zum \u00c4u\u00dferen der Einheitskugel.Geschichte und weitere Beweise[edit]Die Aussage des Jordan-Kurvensatzes mag zun\u00e4chst offensichtlich erscheinen, aber es ist ziemlich schwierig, sie zu beweisen.Bernard Bozen formulierte als erster eine genaue Vermutung und stellte fest, dass es sich nicht um eine selbstverst\u00e4ndliche Aussage handelte, sondern dass ein Beweis erforderlich war.[citation needed]Es ist leicht, dieses Ergebnis f\u00fcr Polygone zu ermitteln, aber das Problem bestand darin, es auf alle Arten von schlecht benommenen Kurven zu verallgemeinern, zu denen nirgends differenzierbare Kurven wie die Koch-Schneeflocke und andere fraktale Kurven oder sogar eine Jordan-Kurve mit positiver Fl\u00e4che geh\u00f6ren von Osgood (1903).Der erste Beweis f\u00fcr diesen Satz wurde von Camille Jordan in seinen Vorlesungen \u00fcber reale Analysen gegeben und in seinem Buch ver\u00f6ffentlicht Cours d’analyse de l’\u00c9cole Polytechnique.[2]  Es gibt einige Kontroversen dar\u00fcber, ob Jordans Beweis vollst\u00e4ndig war: Die Mehrheit der Kommentatoren hat behauptet, dass der erste vollst\u00e4ndige Beweis sp\u00e4ter von Oswald Veblen gegeben wurde, der Folgendes \u00fcber Jordans Beweis sagte:Sein Beweis ist jedoch f\u00fcr viele Mathematiker unbefriedigend.  Es wird der Satz ohne Beweis im wichtigen Sonderfall eines einfachen Polygons angenommen, und von dem Argument von diesem Punkt an muss man zumindest zugeben, dass nicht alle Details angegeben sind.[3]Thomas C. Hales schrieb jedoch:Fast jedes moderne Zitat, das ich gefunden habe, stimmt zu, dass der erste richtige Beweis Veblen zu verdanken ist … Angesichts der heftigen Kritik an Jordans Beweis war ich \u00fcberrascht, als ich mich hinsetzte, um seinen Beweis zu lesen und nichts Unangenehmes daran zu finden.  Seitdem habe ich eine Reihe von Autoren kontaktiert, die Jordanien kritisiert haben, und in jedem Fall hat der Autor zugegeben, keine direkte Kenntnis von einem Fehler in Jordans Beweis zu haben.[4]Hales wies auch darauf hin, dass der Sonderfall einfacher Polygone nicht nur eine einfache \u00dcbung ist, sondern von Jordan ohnehin nicht wirklich verwendet wurde, und zitierte Michael Reeken mit den Worten:Jordans Beweis ist im Wesentlichen richtig … Jordans Beweis pr\u00e4sentiert die Details nicht zufriedenstellend.  Aber die Idee ist richtig, und mit etwas Polieren w\u00e4re der Beweis einwandfrei.[5]Jordaniens Beweis und ein weiterer fr\u00fcher Beweis von Charles Jean de la Vall\u00e9e Poussin waren bereits zuvor von Sch\u00f6nflies (1924) kritisch analysiert und vervollst\u00e4ndigt worden.[6]Aufgrund der Bedeutung des Jordan-Kurvensatzes f\u00fcr die niedrigdimensionale Topologie und die komplexe Analyse wurde er von prominenten Mathematikern der ersten H\u00e4lfte des 20. Jahrhunderts viel beachtet.  Verschiedene Beweise des Satzes und seiner Verallgemeinerungen wurden von Zeugen Alexander, Louis Antoine, Ludwig Bieberbach, Luitzen Brouwer, Arnaud Denjoy, Friedrich Hartogs, B\u00e9la Ker\u00e9kj\u00e1rt\u00f3, Alfred Pringsheim und Arthur Moritz Sch\u00f6nflies konstruiert.Neue elementare Beweise des Jordan-Kurvensatzes sowie Vereinfachungen der fr\u00fcheren Beweise werden weiterhin durchgef\u00fchrt.Die Wurzel der Schwierigkeit wird in Tverberg (1980) wie folgt erkl\u00e4rt.  Es ist relativ einfach zu beweisen, dass der Jordan-Kurvensatz f\u00fcr jedes Jordan-Polygon (Lemma 1) gilt und jede Jordan-Kurve durch ein Jordan-Polygon (Lemma 2) beliebig gut approximiert werden kann.  Ein Jordan-Polygon ist eine polygonale Kette, die Grenze einer begrenzten verbundenen offenen Menge, die als offenes Polygon bezeichnet wird, und deren Schlie\u00dfung das geschlossene Polygon.  Betrachten Sie den Durchmesser \u03b4{ displaystyle  delta}  der gr\u00f6\u00dften im geschlossenen Polygon enthaltenen Scheibe.  Offensichtlich, \u03b4{ displaystyle  delta}  ist positiv.  Unter Verwendung einer Folge von Jordan-Polygonen (die zur gegebenen Jordan-Kurve konvergieren) haben wir eine Folge \u03b41,\u03b42,\u2026{ displaystyle  delta _ {1},  delta _ {2},  dots} vermutlich konvergiert zu einer positiven Zahl, dem Durchmesser \u03b4{ displaystyle  delta}  der gr\u00f6\u00dften Scheibe in der geschlossenen Region, die von der Jordan-Kurve begrenzt wird.  Wir m\u00fcssen jedoch beweisen dass die Reihenfolge \u03b41,\u03b42,\u2026{ displaystyle  delta _ {1},  delta _ {2},  dots}  konvergiert nicht gegen Null und verwendet nur die angegebene Jordan-Kurve, nicht die Region vermutlich durch die Kurve begrenzt.  Dies ist der Punkt von Tverbergs Lemma 3. Grob gesagt sollten die geschlossenen Polygone nicht \u00fcberall auf Null d\u00fcnner werden.  Au\u00dferdem sollten sie nicht irgendwo auf Null abnehmen, was der Punkt von Tverbergs Lemma 4 ist.Der erste formale Beweis des Jordan-Kurvensatzes wurde von Hales (2007a) im Januar 2005 im HOL-Lichtsystem erstellt und enthielt etwa 60.000 Linien.  Ein weiterer strenger formaler Beweis mit 6.500 Zeilen wurde 2005 von einem internationalen Team von Mathematikern unter Verwendung des Mizar-Systems erstellt.  Sowohl der Mizar als auch der HOL Light Proof basieren auf Bibliotheken zuvor bew\u00e4hrter Theoreme, sodass diese beiden Gr\u00f6\u00dfen nicht vergleichbar sind.  Nobuyuki Sakamoto und Keita Yokoyama (2007) zeigten, dass in der umgekehrten Mathematik der Jordan-Kurvensatz dem schwachen K\u00f6nigschen Lemma \u00fcber dem System entspricht  R.C.EIN0{ displaystyle { mathsf {RCA}} _ {0}}.Siehe auch[edit]Verweise[edit]Berg, Gordon O.;  Julian, W.;  Mines, R.;  Richman, Fred (1975), “Der konstruktive Jordan-Kurvensatz”, Rocky Mountain Journal of Mathematics, 5 (2): 225\u2013236, doi:10.1216 \/ RMJ-1975-5-2-225, ISSN 0035-7596, HERR 0410701Filippov, AF (1950), “Ein elementarer Beweis des jordanischen Theorems” (PDF), Uspekhi Mat.  Nauk (auf Russisch), 5 (5): 173\u2013176Hales, Thomas C. (2007a), “Der Jordan-Kurvensatz, formal und informell”, The American Mathematical Monthly, 114 (10): 882\u2013894, ISSN 0002-9890, HERR 2363054Hales, Thomas (2007b), “Jordans Beweis des Jordan-Kurven-Theorems” (PDF), Studium der Logik, Grammatik und Rhetorik, 10 (23)Jordan, Camille (1887), Cours d’analyse (PDF)S. 587\u2013594Maehara, Ryuji (1984), “Der Jordan-Kurvensatz \u00fcber den Brouwer-Fixpunktsatz”, The American Mathematical Monthly, 91 (10): 641\u2013643, doi:10.2307 \/ 2323369, ISSN 0002-9890, JSTOR 2323369, HERR 0769530Narens, Louis (1971), “Ein nicht standardm\u00e4\u00dfiger Beweis des Jordan-Kurvensatzes”, Pacific Journal of Mathematics, 36: 219\u2013229, doi:10.2140 \/ pjm.1971.36.219, ISSN 0030-8730, HERR 0276940Osgood, William F. (1903), “Eine Jordan-Kurve der positiven Fl\u00e4che”, Transaktionen der American Mathematical Society, 4 (1): 107\u2013112, doi:10.2307 \/ 1986455, ISSN 0002-9947, JFM 34.0533.02, JSTOR 1986455Ross, Fiona;  Ross, William T. (2011), “Der Jordan-Kurvensatz ist nicht trivial”, Zeitschrift f\u00fcr Mathematik und Kunst, 5 (4): 213\u2013219, doi:10.1080 \/ 17513472.2011.634320. Website des AutorsSakamoto, Nobuyuki;  Yokoyama, Keita (2007), “Der Jordan-Kurvensatz und der Sch\u00f6nflies-Satz in schwacher Arithmetik zweiter Ordnung”, Archiv f\u00fcr mathematische Logik, 46 (5): 465\u2013480, doi:10.1007 \/ s00153-007-0050-6, ISSN 0933-5846, HERR 2321588Thomassen, Carsten (1992), “Der Jordan-Sch\u00f6nflies-Satz und die Klassifikation von Oberfl\u00e4chen”, American Mathematical Monthly, 99 (2): 116\u2013130, doi:10.2307 \/ 2324180, JSTOR 2324180Tverberg, Helge (1980), “Ein Beweis des Jordan-Kurvensatzes” (PDF), Bulletin der London Mathematical Society, 12 (1): 34\u201338, CiteSeerX 10.1.1.374.2903, doi:10.1112 \/ blms \/ 12.1.34Veblen, Oswald (1905), “Theorie \u00fcber ebene Kurven in der nichtmetrischen Analyse Situs”, Transaktionen der American Mathematical Society, 6 (1): 83\u201398, doi:10.2307 \/ 1986378, JSTOR 1986378, HERR 1500697Externe Links[edit]doi:10.1007 \/ 15.40062-014-0089-0     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/27\/jordanischer-kurvensatz-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Jordanischer Kurvensatz – Wikipedia"}}]}]