[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/27\/mathematik-und-architektur-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/27\/mathematik-und-architektur-wikipedia\/","headline":"Mathematik und Architektur – Wikipedia","name":"Mathematik und Architektur – Wikipedia","description":"before-content-x4 Mathematik und Architektur sind verwandt, da Architekten wie bei anderen K\u00fcnsten aus mehreren Gr\u00fcnden Mathematik verwenden. 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Abgesehen von der Mathematik, die beim Bau von Geb\u00e4uden ben\u00f6tigt wird, verwenden Architekten Geometrie: um die r\u00e4umliche Form eines Geb\u00e4udes zu definieren;  ab den Pythagor\u00e4ern des 6. Jahrhunderts v. Chr. Formen zu schaffen, die als harmonisch gelten, und so Geb\u00e4ude und ihre Umgebung nach mathematischen, \u00e4sthetischen und manchmal religi\u00f6sen Prinzipien zu gestalten;  Geb\u00e4ude mit mathematischen Objekten wie Tessellationen zu dekorieren;  und um Umweltziele zu erreichen, wie zum Beispiel die Minimierung der Windgeschwindigkeiten um die Basis von hohen Geb\u00e4uden.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Im alten \u00c4gypten, im alten Griechenland, in Indien und in der islamischen Welt wurden aus religi\u00f6sen Gr\u00fcnden Geb\u00e4ude wie Pyramiden, Tempel, Moscheen, Pal\u00e4ste und Mausoleen mit bestimmten Proportionen angelegt.  In der islamischen Architektur werden geometrische Formen und geometrische Fliesenmuster verwendet, um Geb\u00e4ude sowohl innen als auch au\u00dfen zu dekorieren.  Einige hinduistische Tempel haben eine fraktale Struktur, in der Teile dem Ganzen \u00e4hneln und eine Botschaft \u00fcber das Unendliche in der hinduistischen Kosmologie vermitteln.  In der chinesischen Architektur sind die Tulou der Provinz Fujian kreisf\u00f6rmige, kommunale Verteidigungsstrukturen.  Im einundzwanzigsten Jahrhundert wird die mathematische Verzierung wieder verwendet, um \u00f6ffentliche Geb\u00e4ude abzudecken.In der Architektur der Renaissance wurden Symmetrie und Proportionen von Architekten wie Leon Battista Alberti, Sebastiano Serlio und Andrea Palladio, beeinflusst von Vitruvius, bewusst betont De Architectura aus dem alten Rom und die Arithmetik der Pythagor\u00e4er aus dem alten Griechenland.  Ende des 19. Jahrhunderts leisteten Vladimir Shukhov in Russland und Antoni Gaud\u00ed in Barcelona Pionierarbeit bei der Verwendung von hyperboloiden Strukturen.  In der Sagrada Fam\u00edlia enthielt Gaud\u00ed auch hyperbolische Paraboloide, Tessellationen, Oberleitungsb\u00f6gen, Catenoide, Helicoide und linierte Oberfl\u00e4chen.  Im 20. Jahrhundert untersuchten Stile wie moderne Architektur und Dekonstruktivismus verschiedene Geometrien, um die gew\u00fcnschten Effekte zu erzielen.  Minimale Oberfl\u00e4chen wurden in zeltartigen Dacheindeckungen wie am Denver International Airport ausgenutzt, w\u00e4hrend Richard Buckminster Fuller Pionierarbeit bei der Verwendung der starken d\u00fcnnschaligen Strukturen leistete, die als geod\u00e4tische Kuppeln bekannt sind.Table of Contents       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Verbundene Felder[edit]Weltliche \u00c4sthetik[edit]Antikes Rom[edit]Vitruvius[edit]Das Pantheon[edit]Renaissance[edit]19. Jahrhundert[edit]20. Jahrhundert[edit]Religi\u00f6se Prinzipien[edit]Antikes \u00c4gypten[edit]Altes Indien[edit]Antikes Griechenland[edit]Islamische Architektur[edit]Mogul-Architektur[edit]Christliche Architektur[edit]Mathematische Dekoration[edit]Islamische architektonische Dekoration[edit]Moderne architektonische Dekoration[edit]Verteidigung[edit]Europa[edit]China[edit]Umweltziele[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Verbundene Felder[edit]  Die Architekten Michael Ostwald und Kim Williams stellen in Anbetracht der Beziehungen zwischen Architektur und Mathematik fest, dass die allgemein verstandenen Bereiche m\u00f6glicherweise nur schwach miteinander verbunden zu sein scheinen, da Architektur ein Beruf ist, der sich mit der praktischen Frage des Bauens von Geb\u00e4uden befasst, w\u00e4hrend Mathematik die reine ist Studium der Zahl und anderer abstrakter Objekte.  Sie argumentieren jedoch, dass die beiden eng miteinander verbunden sind und dies seit der Antike sind.  Im alten Rom beschrieb Vitruv einen Architekten als einen Mann, der genug \u00fcber eine Reihe anderer Disziplinen wusste, vor allem \u00fcber Geometrie, um qualifizierte Handwerker in allen anderen notwendigen Bereichen wie Maurer und Tischler zu beaufsichtigen.  Gleiches galt im Mittelalter, als die Absolventen in eleganten S\u00e4len von Baumeistern, die viele Handwerker gef\u00fchrt hatten, neben dem Grundlehrplan f\u00fcr Grammatik, Logik und Rhetorik (das Trivium) auch Arithmetik, Geometrie und \u00c4sthetik lernten.  Ein Baumeister an der Spitze seines Berufs erhielt den Titel eines Architekten oder Ingenieurs.  In der Renaissance wurde das Quadrivium aus Arithmetik, Geometrie, Musik und Astronomie zu einem zus\u00e4tzlichen Lehrplan, der von Renaissance-M\u00e4nnern wie Leon Battista Alberti erwartet wurde.  In \u00e4hnlicher Weise war Sir Christopher Wren, der heute als Architekt bekannt ist, in England zun\u00e4chst ein bekannter Astronom.[3]Williams und Ostwald, die das Zusammenspiel von Mathematik und Architektur seit 1500 nach dem Ansatz des deutschen Soziologen Theodor Adorno weiter \u00fcberblicken, identifizieren drei Tendenzen unter Architekten, n\u00e4mlich: sein Revolution\u00e4rEinf\u00fchrung v\u00f6llig neuer Ideen; reaktion\u00e4r, keine Ver\u00e4nderung einzuf\u00fchren;  oder Wiederbelebungsk\u00fcnstlertats\u00e4chlich r\u00fcckw\u00e4rts gehen.  Sie argumentieren, dass Architekten es in Zeiten der Wiederbelebung vermieden haben, sich von der Mathematik inspirieren zu lassen.  Dies w\u00fcrde erkl\u00e4ren, warum Architektur in Zeiten der Wiederbelebung, wie der Gotik im England des 19. Jahrhunderts, wenig mit Mathematik zu tun hatte.  Ebenso stellen sie fest, dass in reaktion\u00e4ren Zeiten wie dem italienischen Manierismus von etwa 1520 bis 1580 oder den barocken und palladianischen Bewegungen des 17. Jahrhunderts die Mathematik kaum konsultiert wurde.  Im Gegensatz dazu lehnten die revolution\u00e4ren Bewegungen des fr\u00fchen 20. Jahrhunderts wie Futurismus und Konstruktivismus alte Ideen aktiv ab, nahmen die Mathematik an und f\u00fchrten zur modernistischen Architektur.  Auch gegen Ende des 20. Jahrhunderts wurde die fraktale Geometrie von den Architekten schnell \u00fcbernommen, ebenso wie die aperiodischen Fliesen, um interessante und attraktive Abdeckungen f\u00fcr Geb\u00e4ude bereitzustellen.[4]Architekten verwenden Mathematik aus mehreren Gr\u00fcnden, wobei der notwendige Einsatz von Mathematik beim Bau von Geb\u00e4uden au\u00dfer Acht gelassen wird.[5]  Erstens verwenden sie Geometrie, weil sie die r\u00e4umliche Form eines Geb\u00e4udes definiert.[6]  Zweitens verwenden sie Mathematik, um Formen zu entwerfen, die als sch\u00f6n oder harmonisch gelten.[7]  Aus der Zeit der Pythagor\u00e4er mit ihrer religi\u00f6sen Zahlenphilosophie,[8]  Architekten im antiken Griechenland, im antiken Rom, in der islamischen Welt und in der italienischen Renaissance haben die Proportionen der gebauten Umgebung – Geb\u00e4ude und ihre gestaltete Umgebung – nach mathematischen sowie \u00e4sthetischen und manchmal religi\u00f6sen Prinzipien ausgew\u00e4hlt.[9][10][11][12]  Drittens k\u00f6nnen sie mathematische Objekte wie Tessellationen verwenden, um Geb\u00e4ude zu dekorieren.[13][14]  Viertens k\u00f6nnen sie Mathematik in Form von Computermodellen verwenden, um Umweltziele zu erreichen, beispielsweise um wirbelnde Luftstr\u00f6mungen an der Basis hoher Geb\u00e4ude zu minimieren.[1]Weltliche \u00c4sthetik[edit]Antikes Rom[edit]  Vitruvius[edit]  Der einflussreiche antike r\u00f6mische Architekt Vitruv argumentierte, dass die Gestaltung eines Geb\u00e4udes wie eines Tempels von zwei Eigenschaften abh\u00e4ngt: Proportionen und Symmetrie.  Das Verh\u00e4ltnis stellt sicher, dass jeder Teil eines Geb\u00e4udes harmonisch mit jedem anderen Teil zusammenh\u00e4ngt. Symmetrien In Vitruv bedeutet die Verwendung etwas, das dem englischen Begriff Modularit\u00e4t n\u00e4her kommt als die Spiegelsymmetrie, da es sich wiederum auf die Montage von (modularen) Teilen zum gesamten Geb\u00e4ude bezieht.  In seiner Basilika in Fano verwendet er Verh\u00e4ltnisse kleiner Ganzzahlen, insbesondere der Dreieckszahlen (1, 3, 6, 10, …), um die Struktur in (vitruvianische) Module zu proportionieren.[a]  Somit betr\u00e4gt die Breite der Basilika 1: 2;  der Gang um ihn herum ist so hoch wie breit, 1: 1;  Die S\u00e4ulen sind f\u00fcnf Fu\u00df dick und f\u00fcnfzig Fu\u00df hoch, 1:10.[9]       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4  Grundriss des PantheonsVitruv nannte in seiner drei Eigenschaften, die f\u00fcr die Architektur erforderlich sind De Architecturac.  15 v. Chr .: Festigkeit, N\u00fctzlichkeit (oder “Ware” in Henry Wottons Englisch des 16. Jahrhunderts) und Freude.  Diese k\u00f6nnen als Kategorien zur Klassifizierung der Art und Weise verwendet werden, wie Mathematik in der Architektur verwendet wird.  Festigkeit umfasst die Verwendung von Mathematik, um sicherzustellen, dass ein Geb\u00e4ude standh\u00e4lt, daher die mathematischen Werkzeuge, die beim Entwurf verwendet werden, und um die Konstruktion zu unterst\u00fctzen, beispielsweise um Stabilit\u00e4t zu gew\u00e4hrleisten und die Leistung zu modellieren.  Der Nutzen ergibt sich zum Teil aus der effektiven Anwendung der Mathematik, der Argumentation und Analyse der r\u00e4umlichen und anderen Beziehungen in einem Entwurf.  Freude ist ein Attribut des resultierenden Geb\u00e4udes, das sich aus der Verk\u00f6rperung mathematischer Beziehungen im Geb\u00e4ude ergibt.  es beinhaltet \u00e4sthetische, sinnliche und intellektuelle Qualit\u00e4ten.[16]Das Pantheon[edit]Das Pantheon in Rom ist intakt geblieben und zeigt die klassische r\u00f6mische Struktur, Proportionen und Dekoration.  Die Hauptstruktur ist eine Kuppel, deren Spitze als kreisf\u00f6rmiger Okulus offen gelassen wird, um Licht hereinzulassen.  Es wird von einer kurzen Kolonnade mit einem dreieckigen Giebel konfrontiert.  Die H\u00f6he zum Okulus und der Durchmesser des inneren Kreises sind mit 43,3 Metern gleich, sodass der gesamte Innenraum genau in einen W\u00fcrfel passt und im Inneren eine Kugel mit demselben Durchmesser untergebracht werden kann.[17]  Diese Dimensionen sind sinnvoller, wenn sie in antiken r\u00f6mischen Ma\u00dfeinheiten ausgedr\u00fcckt werden: Die Kuppel \u00fcberspannt 150 r\u00f6mische Fu\u00df[b]);  das Okulus hat einen Durchmesser von 30 r\u00f6mischen Fu\u00df;  Die T\u00fcr ist 40 r\u00f6mische Fu\u00df hoch.[18]  Das Pantheon bleibt die weltweit gr\u00f6\u00dfte Kuppel aus unbewehrtem Beton.[19]Renaissance[edit]  Die erste Abhandlung der Renaissance \u00fcber Architektur war Leon Battista Albertis 1450 De re aedificatoria (\u00dcber die Kunst des Bauens);  Es wurde 1485 das erste gedruckte Buch \u00fcber Architektur. Es basierte teilweise auf Vitruvius ‘ De Architectura und \u00fcber Nicomachus die pythagoreische Arithmetik.  Alberti beginnt mit einem W\u00fcrfel und leitet daraus Verh\u00e4ltnisse ab.  Somit ergibt die Diagonale eines Gesichts das Verh\u00e4ltnis 1:\u221a2, w\u00e4hrend der Durchmesser der Kugel, die den W\u00fcrfel umschreibt, 1 ergibt:\u221a3.[20][21]  Alberti dokumentierte auch Filippo Brunelleschis Entdeckung der linearen Perspektive, die entwickelt wurde, um die Gestaltung von Geb\u00e4uden zu erm\u00f6glichen, die aus bequemer Entfernung sch\u00f6n proportioniert aussehen w\u00fcrden.[12]  Der n\u00e4chste gro\u00dfe Text war der von Sebastiano Serlio Regole generali d’architettura (Allgemeine Regeln der Architektur);  der erste Band erschien 1537 in Venedig;  der Band von 1545 (B\u00fccher 1 und 2) abgedeckte Geometrie und Perspektive.  Zwei von Serlios Methoden zur Konstruktion von Perspektiven waren falsch, aber dies hinderte seine Arbeit nicht daran, weit verbreitet zu sein.[23]  Im Jahr 1570 ver\u00f6ffentlichte Andrea Palladio den einflussreichen Ich quattro libri dell’architettura (Die vier B\u00fccher der Architektur) in Venedig.  Dieses weit gedruckte Buch war ma\u00dfgeblich f\u00fcr die Verbreitung der Ideen der italienischen Renaissance in ganz Europa verantwortlich, unterst\u00fctzt von Bef\u00fcrwortern wie dem englischen Diplomaten Henry Wotton mit seinem Jahr 1624 Die Elemente der Architektur.[24]  Die Proportionen jedes Raumes in der Villa wurden anhand einfacher mathematischer Verh\u00e4ltnisse wie 3: 4 und 4: 5 berechnet, und die verschiedenen R\u00e4ume innerhalb des Hauses wurden durch diese Verh\u00e4ltnisse miteinander in Beziehung gesetzt.  Fr\u00fchere Architekten hatten diese Formeln verwendet, um eine einzelne symmetrische Fassade auszugleichen.  Palladios Entw\u00fcrfe bezogen sich jedoch auf die gesamte, normalerweise quadratische Villa.[25]  Palladio erlaubte eine Reihe von Verh\u00e4ltnissen in der Quattro librimit folgenden Worten:[26][27]Es gibt sieben Arten von R\u00e4umen, die am sch\u00f6nsten und am besten proportioniert sind und sich als besser herausstellen: Sie k\u00f6nnen kreisf\u00f6rmig gestaltet werden, obwohl diese selten sind.  oder quadratisch;  oder ihre L\u00e4nge entspricht der Diagonale des Quadrats der Breite;  oder ein Quadrat und ein Drittel;  oder anderthalb Quadrate;  oder ein Quadrat und zwei Drittel;  oder zwei Quadrate.[c]Im Jahr 1615 ver\u00f6ffentlichte Vincenzo Scamozzi die Abhandlung der Sp\u00e4trenaissance L’idea dell’architettura universale (Die Idee einer universellen Architektur).[28]  Er versuchte, die Gestaltung von St\u00e4dten und Geb\u00e4uden mit den Ideen von Vitruv und den Pythagor\u00e4ern sowie mit den neueren Ideen von Palladio in Verbindung zu bringen.[29]19. Jahrhundert[edit]  Hyperboloide Strukturen wurden ab Ende des 19. Jahrhunderts von Vladimir Shukhov f\u00fcr Masten, Leuchtt\u00fcrme und K\u00fchlt\u00fcrme verwendet.  Ihre auff\u00e4llige Form ist sowohl \u00e4sthetisch interessant als auch stark, wobei Strukturmaterialien wirtschaftlich verwendet werden.  Shukhovs erster hyperboloidaler Turm wurde 1896 in Nischni Nowgorod ausgestellt.[30][31][32]20. Jahrhundert[edit]  Die Bewegung des fr\u00fchen 20. Jahrhunderts Moderne Architektur, Pionierarbeit[d]  vom russischen Konstruktivismus,[33]  verwendete geradlinige euklidische (auch kartesische) Geometrie.  In der De Stijl-Bewegung wurden die Horizontale und die Vertikale als das Universelle angesehen.  Die architektonische Form besteht darin, diese beiden Richtungstendenzen mithilfe von Dachebenen, Wandebenen und Balkonen zusammenzuf\u00fcgen, die entweder vorbeigleiten oder sich kreuzen, wie im Rietveld-Schr\u00f6der-Haus von Gerrit Rietveld von 1924.[34]  Modernistische Architekten konnten sowohl Kurven als auch Ebenen verwenden.  Der Arnos-Bahnhof von Charles Holden aus dem Jahr 1933 verf\u00fcgt \u00fcber eine kreisf\u00f6rmige Tickethalle aus Ziegeln mit einem flachen Betondach.[35]  1938 \u00fcbernahm der Bauhausmaler Laszlo Moholy-Nagy die sieben biotechnischen Elemente von Raoul Heinrich Franc\u00e9, n\u00e4mlich den Kristall, die Kugel, den Kegel, die Ebene, den (quaderf\u00f6rmigen) Streifen, den (zylindrischen) Stab und die Spirale Grundbausteine \u200b\u200bder von der Natur inspirierten Architektur.[36][37]Le Corbusier schlug eine anthropometrische Proportionsskala in der Architektur vor, den Modulor, der auf der vermeintlichen Gr\u00f6\u00dfe eines Mannes basiert.[38]  Le Corbusiers Chapelle Notre-Dame du Haut von 1955 verwendet Freiformkurven, die in mathematischen Formeln nicht beschrieben werden k\u00f6nnen.[e]  Die Formen sollen an nat\u00fcrliche Formen wie den Bug eines Schiffes oder betende H\u00e4nde erinnern.[41]  Das Design ist nur im gr\u00f6\u00dften Ma\u00dfstab: Es gibt keine Hierarchie von Details in kleineren Ma\u00dfst\u00e4ben und somit keine fraktale Dimension;  Gleiches gilt f\u00fcr andere ber\u00fchmte Geb\u00e4ude aus dem 20. Jahrhundert wie das Sydney Opera House, den Denver International Airport und das Guggenheim Museum in Bilbao.[39]Die zeitgen\u00f6ssische Architektur ist nach Meinung der 90 f\u00fchrenden Architekten, die auf eine Weltarchitekturumfrage 2010 geantwortet haben, \u00e4u\u00dferst vielf\u00e4ltig.  Das beste wurde als Frank Gehrys Guggenheim Museum in Bilbao beurteilt.[42]  Das 1995 fertiggestellte Terminalgeb\u00e4ude des Denver International Airport verf\u00fcgt \u00fcber ein Stoffdach, das von Stahlseilen als minimale Oberfl\u00e4che (dh die mittlere Kr\u00fcmmung ist Null) getragen wird.  Es erinnert an Colorados schneebedeckte Berge und die Tipi-Zelte der amerikanischen Ureinwohner.[43][44]Der Architekt Richard Buckminster Fuller ist ber\u00fchmt daf\u00fcr, starke d\u00fcnnschalige Strukturen zu entwerfen, die als geod\u00e4tische Kuppeln bekannt sind.  Die Kuppel von Montr\u00e9al Biosph\u00e8re ist 61 Meter hoch.  Sein Durchmesser betr\u00e4gt 76 Meter.[45]Das Sydney Opera House hat ein dramatisches Dach, das aus hoch aufragenden wei\u00dfen Gew\u00f6lben besteht, die an Schiffssegel erinnern.  Um die Konstruktion mit standardisierten Bauteilen zu erm\u00f6glichen, bestehen die Gew\u00f6lbe alle aus dreieckigen Abschnitten von Kugelschalen mit demselben Radius.  Diese haben die erforderliche gleichm\u00e4\u00dfige Kr\u00fcmmung in alle Richtungen.[46]Die Bewegung des sp\u00e4ten 20. Jahrhunderts Der Dekonstruktivismus f\u00fchrt zu einer absichtlichen Unordnung mit dem, was Nikos Salingaros in sich tr\u00e4gt Eine Theorie der Architektur ruft zuf\u00e4llige Formen auf[47]  von hoher Komplexit\u00e4t[48]  durch die Verwendung nicht paralleler W\u00e4nde, \u00fcberlagerter Gitter und komplexer 2D-Oberfl\u00e4chen, wie in Frank Gehrys Disney Concert Hall und im Guggenheim Museum in Bilbao.[49][50]  Bis zum 20. Jahrhundert mussten Architekturstudenten eine mathematische Grundausbildung haben.  Salingaros argumentiert, dass zuerst der “\u00fcberm\u00e4\u00dfig vereinfachte, politisch motivierte” Modernismus und dann der “anti-wissenschaftliche” Dekonstruktivismus die Architektur effektiv von der Mathematik getrennt haben.  Er glaubt, dass diese “Umkehrung mathematischer Werte” sch\u00e4dlich ist, da die “allgegenw\u00e4rtige \u00c4sthetik” der nichtmathematischen Architektur die Menschen darin schult, “mathematische Informationen in der gebauten Umgebung abzulehnen”;  er argumentiert, dass dies negative Auswirkungen auf die Gesellschaft hat.[39]Religi\u00f6se Prinzipien[edit]Antikes \u00c4gypten[edit]  Die Pyramiden des alten \u00c4gypten sind Gr\u00e4ber mit mathematischen Proportionen, aber welche diese waren und ob der Satz von Pythagoras verwendet wurde, wird diskutiert.  Das Verh\u00e4ltnis der Neigungsh\u00f6he zur halben Grundl\u00e4nge der Gro\u00dfen Pyramide von Gizeh betr\u00e4gt weniger als 1% vom Goldenen Schnitt.[51]  Wenn dies die Entwurfsmethode w\u00e4re, w\u00fcrde dies die Verwendung des Kepler-Dreiecks (Gesichtswinkel 51 \u00b0 49 ‘) implizieren.[51][52]  Nach Ansicht vieler Wissenschaftshistoriker war der Goldene Schnitt jedoch erst zur Zeit der Pythagor\u00e4er bekannt.[53]  Die Gro\u00dfe Pyramide k\u00f6nnte auch auf einem Dreieck mit einem Verh\u00e4ltnis von Basis zu Hypotenuse von 1: 4 \/ \u03c0 (Gesichtswinkel 51 \u00b0 50 ‘) basieren.[54]Die Proportionen einiger Pyramiden basieren m\u00f6glicherweise auch auf dem 3: 4: 5-Dreieck (Gesichtswinkel 53 \u00b0 8 ‘), das aus dem Rhind Mathematical Papyrus (ca. 1650\u20131550 v. Chr.) Bekannt ist.  Dies wurde erstmals 1882 vom Historiker Moritz Cantor vermutet.[55]  Es ist bekannt, dass im alten \u00c4gypten rechte Winkel mit geknoteten Schn\u00fcren zur Messung genau ausgelegt wurden.[55]  dieser Plutarch aufgenommen in Isis und Osiris (ca. 100 n. Chr.), dass die \u00c4gypter das 3: 4: 5-Dreieck bewunderten,[55]  und dass eine Schriftrolle vor 1700 v. Chr. grundlegende quadratische Formeln zeigte.[56][f]  Der Historiker Roger L. Cooke bemerkt: “Es ist schwer vorstellbar, dass sich jemand f\u00fcr solche Bedingungen interessiert, ohne den Satz von Pythagoras zu kennen.” Er stellt jedoch auch fest, dass in keinem \u00e4gyptischen Text vor 300 v. Chr. Die Verwendung des Satzes zur Ermittlung der L\u00e4nge eines Dreiecks erw\u00e4hnt wird Seiten, und dass es einfachere M\u00f6glichkeiten gibt, einen rechten Winkel zu konstruieren.  Cooke kommt zu dem Schluss, dass Cantors Vermutung ungewiss bleibt;  er vermutet, dass die alten \u00c4gypter wahrscheinlich den Satz von Pythagoras kannten, aber “es gibt keine Beweise daf\u00fcr, dass sie ihn verwendet haben, um rechte Winkel zu konstruieren.”[55]Altes Indien[edit]  Vaastu Shastra, der alte indische Kanon der Architektur und Stadtplanung, verwendet symmetrische Zeichnungen, die Mandalas genannt werden.  Mithilfe komplexer Berechnungen werden die Abmessungen eines Geb\u00e4udes und seiner Komponenten ermittelt.  Die Entw\u00fcrfe sollen Architektur mit der Natur, den relativen Funktionen verschiedener Teile der Struktur und alten \u00dcberzeugungen unter Verwendung geometrischer Muster (Yantra), Symmetrie und Richtungsausrichtungen integrieren.[57][58]  Fr\u00fche Bauherren k\u00f6nnen jedoch zuf\u00e4llig auf mathematische Proportionen gesto\u00dfen sein.  Der Mathematiker Georges Ifrah merkt an, dass einfache “Tricks” mit Schnur und Pf\u00e4hlen verwendet werden k\u00f6nnen, um geometrische Formen wie Ellipsen und rechte Winkel zu gestalten.[12][59]  Die Mathematik der Fraktale wurde verwendet, um zu zeigen, dass bestehende Geb\u00e4ude universell ansprechend und optisch zufriedenstellend sind, weil sie dem Betrachter ein Gef\u00fchl der Skalierung bei unterschiedlichen Betrachtungsabst\u00e4nden vermitteln.  Zum Beispiel haben in den hohen Gopuram-Torh\u00e4usern hinduistischer Tempel wie dem Virupaksha-Tempel in Hampi, der im 7. Jahrhundert erbaut wurde, und anderen wie dem Kandariya Mahadev-Tempel in Khajuraho die Teile und das Ganze den gleichen Charakter mit fraktaler Dimension in der Bereich 1,7 bis 1,8.  Die Ansammlung kleinerer T\u00fcrme (Shikhara, z\u00fcndete.  ‘Berg’) \u00fcber dem h\u00f6chsten, zentralen Turm, der den heiligen Berg Kailash darstellt, den Wohnsitz von Lord Shiva, zeigt die endlose Wiederholung von Universen in der hinduistischen Kosmologie.[2][60]  Der Religionswissenschaftler William J. Jackson beobachtete das Muster von T\u00fcrmen, die unter kleineren T\u00fcrmen gruppiert waren, selbst unter noch kleineren T\u00fcrmen, dass:Die anmutig k\u00fcnstliche Idealform deutet auf die unendlich steigenden Ebenen der Existenz und des Bewusstseins hin, erweitert die Gr\u00f6\u00dfen, die sich in Richtung Transzendenz erheben, und beherbergt gleichzeitig das Heilige tief im Inneren.[60][61]Der Meenakshi Amman Tempel ist ein gro\u00dfer Komplex mit mehreren Schreinen, um die die Stra\u00dfen von Madurai gem\u00e4\u00df den Shastras konzentrisch angeordnet sind.  Die vier Tore sind hohe T\u00fcrme (Gopurams) mit fraktalartiger repetitiver Struktur wie in Hampi.  Die Gehege um jeden Schrein sind rechteckig und von hohen Steinmauern umgeben.[62]Antikes Griechenland[edit]  Pythagoras (ca. 569 – ca. 475 v. Chr.) Und seine Anh\u00e4nger, die Pythagor\u00e4er, vertraten die Auffassung, dass “alle Dinge Zahlen sind”.  Sie beobachteten die Harmonien, die durch Noten mit bestimmten Frequenzverh\u00e4ltnissen kleiner Ganzzahlen erzeugt wurden, und argumentierten, dass auch Geb\u00e4ude mit solchen Verh\u00e4ltnissen entworfen werden sollten.  Das griechische Wort Symmetrie bezeichnete urspr\u00fcnglich die Harmonie architektonischer Formen in pr\u00e4zisen Verh\u00e4ltnissen von den kleinsten Details eines Geb\u00e4udes bis zu seinem gesamten Design.[12]Der Parthenon ist 69,5 Meter lang, 30,9 Meter breit und 13,7 Meter hoch bis zum Gesims.  Dies ergibt ein Verh\u00e4ltnis von Breite zu L\u00e4nge von 4: 9 und dasselbe f\u00fcr H\u00f6he zu Breite.  Wenn Sie diese zusammenf\u00fcgen, erhalten Sie H\u00f6he: Breite: L\u00e4nge von 16:36:81 oder zur Freude[63]  der Pythagoreer 42: 62: 92.  Dies setzt das Modul auf 0,858 m.  Ein 4: 9-Rechteck kann als drei zusammenh\u00e4ngende Rechtecke mit Seiten im Verh\u00e4ltnis 3: 4 konstruiert werden.  Jedes halbe Rechteck ist dann ein praktisches 3: 4: 5-Dreieck, mit dem die Winkel und Seiten mit einem entsprechend geknoteten Seil \u00fcberpr\u00fcft werden k\u00f6nnen.  Der innere Bereich (naos) hat ebenfalls 4: 9-Proportionen (21,44 m (70,3 ft) breit und 48,3 m lang);  Das Verh\u00e4ltnis zwischen dem Durchmesser der \u00e4u\u00dferen S\u00e4ulen von 1,905 Metern (6,25 Fu\u00df) und dem Abstand ihrer Zentren von 4,293 Metern (14,08 Fu\u00df) betr\u00e4gt ebenfalls 4: 9.[12]  Grundriss des ParthenonDer Parthenon wird von Autoren wie John Julius Norwich als “der perfekteste dorische Tempel, der jemals gebaut wurde” angesehen.[64]  Zu seinen aufw\u00e4ndigen architektonischen Verfeinerungen geh\u00f6rt “eine subtile Entsprechung zwischen der Kr\u00fcmmung des Stylobates, der Verj\u00fcngung der Naos-W\u00e4nde und der Entasis der Spalten “.[64]Entasis bezieht sich auf die subtile Verringerung des Durchmessers der S\u00e4ulen beim Aufsteigen.  Das Stylobate ist die Plattform, auf der die S\u00e4ulen stehen.  Wie in anderen klassischen griechischen Tempeln,[65]  Die Plattform hat eine leichte parabolische Aufw\u00e4rtskr\u00fcmmung, um Regenwasser abzuleiten und das Geb\u00e4ude gegen Erdbeben zu verst\u00e4rken.  Die S\u00e4ulen sollten sich daher nach au\u00dfen neigen, aber sie neigen sich tats\u00e4chlich leicht nach innen, so dass sie sich, wenn sie weitergingen, etwa anderthalb Kilometer \u00fcber der Mitte des Geb\u00e4udes treffen w\u00fcrden;  da sie alle gleich hoch sind, wird die Kr\u00fcmmung der \u00e4u\u00dferen Stylobatkante auf den Architrav und das Dach dar\u00fcber \u00fcbertragen: “Alle folgen der Regel, in zarten Kurven gebaut zu werden”.[66]Der goldene Schnitt war 300 v. Chr. Bekannt, als Euklid die Methode der geometrischen Konstruktion beschrieb.[67]  Es wurde argumentiert, dass der goldene Schnitt bei der Gestaltung des Parthenon und anderer antiker griechischer Geb\u00e4ude sowie von Skulpturen, Gem\u00e4lden und Vasen verwendet wurde.[68]  Neuere Autoren wie Nikos Salingaros bezweifeln jedoch alle diese Behauptungen.[69]  Experimente des Informatikers George Markowsky fanden keine Pr\u00e4ferenz f\u00fcr das goldene Rechteck.[70]Islamische Architektur[edit]  Der Historiker der islamischen Kunst Antonio Fernandez-Puertas schl\u00e4gt vor, dass die Alhambra, wie die Gro\u00dfe Moschee von Cordoba,[71]  wurde mit dem hispano-muslimischen Fu\u00df oder entworfen Codo von etwa 0,62 Metern (2,0 Fu\u00df).  Im L\u00f6wenhof des Palastes folgen die Proportionen einer Reihe von Surds.  Ein Rechteck mit Seiten 1 und \u221a2  hat (nach dem Satz von Pythagoras) eine Diagonale von \u221a3, das das rechtwinklige Dreieck beschreibt, das von den Seiten des Hofes gebildet wird;  Die Serie geht weiter mit \u221a4  (ergibt ein Verh\u00e4ltnis von 1: 2), \u221a5  und so weiter.  Die dekorativen Muster sind \u00e4hnlich proportioniert, \u221a2  Quadrate innerhalb von Kreisen und achtzackigen Sternen erzeugen, \u221a3  sechszackige Sterne erzeugen.  Es gibt keine Beweise f\u00fcr fr\u00fchere Behauptungen, dass der Goldene Schnitt in der Alhambra verwendet wurde.[10][72]  Der Hof der L\u00f6wen wird von der Halle der zwei Schwestern und der Halle der Abencerrajes eingeklammert.  Aus den Zentren dieser beiden Hallen und den vier Innenecken des L\u00f6wenhofs kann ein regelm\u00e4\u00dfiges Sechseck gezogen werden.[73]Die Selimiye-Moschee in Edirne, T\u00fcrkei, wurde von Mimar Sinan erbaut, um einen Raum zu schaffen, in dem der Mihrab von \u00fcberall im Geb\u00e4ude aus gesehen werden kann.  Der sehr gro\u00dfe zentrale Raum ist dementsprechend als Achteck angeordnet, das aus acht riesigen S\u00e4ulen besteht und von einer kreisf\u00f6rmigen Kuppel mit einem Durchmesser von 31,25 Metern (102,5 Fu\u00df) und einer H\u00f6he von 43 Metern (141 Fu\u00df) bedeckt ist.  Das Achteck ist zu einem Quadrat mit vier Halbkuppeln geformt und au\u00dfen von vier au\u00dfergew\u00f6hnlich hohen Minaretten mit einer H\u00f6he von 83 Metern.  Der Geb\u00e4udeplan ist also ein Kreis innerhalb eines Achtecks, innerhalb eines Quadrats.[74]Mogul-Architektur[edit]  Das Taj Mahal Mausoleum mit einem Teil der G\u00e4rten des Komplexes in AgraDie Mughal-Architektur, wie sie in der verlassenen Kaiserstadt Fatehpur Sikri und im Taj Mahal-Komplex zu sehen ist, hat eine ausgepr\u00e4gte mathematische Ordnung und eine starke \u00c4sthetik, die auf Symmetrie und Harmonie basiert.[11][75]Das Taj Mahal ist ein Beispiel f\u00fcr die Mughal-Architektur, die beide das Paradies darstellen[76]  und zeigt die Macht des Mogulkaisers Shah Jahan durch seine Gr\u00f6\u00dfe, Symmetrie und kostspielige Dekoration.  Das Mausoleum aus wei\u00dfem Marmor, verziert mit Pietra Dura, das gro\u00dfe Tor (Darwaza-i Rauza) bilden andere Geb\u00e4ude, G\u00e4rten und Wege zusammen ein einheitliches hierarchisches Design.  Zu den Geb\u00e4uden geh\u00f6ren eine Moschee aus rotem Sandstein im Westen und ein fast identisches Geb\u00e4ude, der Jawab oder die Antwort im Osten, um die bilaterale Symmetrie des Komplexes aufrechtzuerhalten.  Der formelle Charbagh (\u201evierfacher Garten\u201c) besteht aus vier Teilen, die die vier Fl\u00fcsse des Paradieses symbolisieren und Ausblicke und Reflexionen auf das Mausoleum bieten.  Diese sind wiederum in 16 Parterres unterteilt.[77]  Lageplan des Taj Mahal Komplexes.  Das gro\u00dfe Tor befindet sich rechts, das Mausoleum in der Mitte, eingeklammert von der Moschee (unten) und dem Kiefer.  Der Plan enth\u00e4lt Quadrate und Achtecke.Der Taj Mahal-Komplex wurde in einem Raster angeordnet, das in kleinere Raster unterteilt war.  Die Architekturhistoriker Koch und Barraud stimmen mit den traditionellen Berichten \u00fcberein, die die Breite des Komplexes als 374 Mughal Yards oder Gaz angeben.[g]  Das Hauptgebiet sind drei 374-Gaz-Quadrate.  Diese wurden in Bereiche wie Basar und Karawanserei in 17-Gaz-Module unterteilt;  Der Garten und die Terrassen sind in Modulen von 23 Gaz und 368 Gaz breit (16 x 23).  Das Mausoleum, die Moschee und das G\u00e4stehaus sind in einem Raster von 7 angeordnet gaz.  Koch und Barraud stellen fest, dass ein Achteck, das im Komplex wiederholt verwendet wird, Seiten von 7 erh\u00e4lt Einheiten, dann hat es eine Breite von 17 Einheiten,[h]  Dies kann helfen, die Wahl der Verh\u00e4ltnisse im Komplex zu erkl\u00e4ren.[78]Christliche Architektur[edit]Die christliche patriarchalische Basilika der Haghia Sophia in Byzanz (heute Istanbul), die 537 erbaut (und zweimal wieder aufgebaut) wurde, war tausend Jahre lang[i]  die gr\u00f6\u00dfte Kathedrale, die jemals gebaut wurde.  Es inspirierte viele sp\u00e4tere Geb\u00e4ude, darunter Sultan Ahmed und andere Moscheen in der Stadt.  Die byzantinische Architektur umfasst ein Kirchenschiff, das von einer kreisf\u00f6rmigen Kuppel gekr\u00f6nt ist, und zwei Halbkuppeln mit demselben Durchmesser (31 Meter). Weitere f\u00fcnf kleinere Halbkuppeln bilden eine Apsis und vier abgerundete Ecken eines riesigen Rechtecks Innere.[79]  Dies wurde von mittelalterlichen Architekten so interpretiert, dass es das Weltliche unten (die quadratische Basis) und den g\u00f6ttlichen Himmel oben (die hoch aufragende kugelf\u00f6rmige Kuppel) darstellt.[80]  Der Kaiser Justinian verwendete zwei Geometer, Isidor von Milet und Anthemius von Tralles, als Architekten;  Isidor stellte die Arbeiten von Archimedes zur festen Geometrie zusammen und wurde von ihm beeinflusst.[12][81]  Hagia Sophia, Istanbula) Plan der Galerie (obere H\u00e4lfte)b) Grundriss des Erdgeschosses (untere H\u00e4lfte)Die Bedeutung der Wassertaufe im Christentum spiegelte sich in der Skala der Taufarchitektur wider.  Das \u00e4lteste, das Lateran-Baptisterium in Rom, erbaut 440,[82]  einen Trend f\u00fcr achteckige Taufen setzen;  Das Taufbecken in diesen Geb\u00e4uden war oft achteckig, obwohl Italiens gr\u00f6\u00dfte Taufkapelle in Pisa, die zwischen 1152 und 1363 erbaut wurde, kreisf\u00f6rmig und achteckig ist.  Es ist 54,86 Meter hoch und hat einen Durchmesser von 34,13 Metern (ein Verh\u00e4ltnis von 8: 5).[83]Der heilige Ambrosius schrieb, dass Schriften und Taufen achteckig seien, “weil am achten Tag[j]  Durch das Aufstehen l\u00f6st Christus die Knechtschaft des Todes und empf\u00e4ngt die Toten aus ihren Gr\u00e4bern. “[84][85]Der heilige Augustinus beschrieb den achten Tag in \u00e4hnlicher Weise als “ewig … geheiligt durch die Auferstehung Christi”.[85][86]  Das achteckige Baptisterium des Heiligen Johannes in Florenz, das zwischen 1059 und 1128 erbaut wurde, ist eines der \u00e4ltesten Geb\u00e4ude dieser Stadt und eines der letzten in der direkten Tradition der klassischen Antike.  Es war \u00e4u\u00dferst einflussreich in der nachfolgenden Florentiner Renaissance, da gro\u00dfe Architekten wie Francesco Talenti, Alberti und Brunelleschi es als Vorbild f\u00fcr die klassische Architektur verwendeten.[87]Die Nummer f\u00fcnf wird “\u00fcberschw\u00e4nglich” verwendet[88]  in der Pilgerkirche St. Johannes von Nepomuk von 1721 in Zelen\u00e1 hora bei \u017d\u010f\u00e1r nad S\u00e1zavou in der Tschechischen Republik, entworfen von Jan Bla\u017eej Santini Aichel.  Das Kirchenschiff ist kreisf\u00f6rmig und von f\u00fcnf S\u00e4ulenpaaren und f\u00fcnf ovalen Kuppeln umgeben, die sich mit ogivalen Apsiden abwechseln.  Die Kirche hat au\u00dferdem f\u00fcnf Tore, f\u00fcnf Kapellen, f\u00fcnf Alt\u00e4re und f\u00fcnf Sterne;  Eine Legende besagt, dass als der Heilige Johannes von Nepomuk den M\u00e4rtyrertod erlitt, f\u00fcnf Sterne \u00fcber seinem Kopf erschienen.[88][89]  Die f\u00fcnffache Architektur kann auch die f\u00fcnf Wunden Christi und die f\u00fcnf Buchstaben von “Tacui” symbolisieren (lateinisch: “Ich habe geschwiegen”). [about secrets of the confessional]).[90]Antoni Gaud\u00ed verwendete in der Sagrada Fam\u00edlia, Barcelona, \u200b\u200bdie 1882 begann (und seit 2015 nicht fertiggestellt wurde), eine Vielzahl von geometrischen Strukturen, von denen einige minimale Oberfl\u00e4chen waren.  Dazu geh\u00f6ren hyperbolische Paraboloide und Hyperboloide der Revolution,[91]  Tessellationen, Oberleitungsb\u00f6gen, Catenoide, Helicoide und linierte Oberfl\u00e4chen.  Diese abwechslungsreiche Mischung von Geometrien wird in der Kirche auf unterschiedliche Weise kreativ kombiniert.  Zum Beispiel hat Gaud\u00ed in der Passionsfassade der Sagrada Fam\u00edlia steinerne “Zweige” in Form von hyperbolischen Paraboloiden zusammengesetzt, die sich an ihren Spitzen \u00fcberlappen (Direktlinien), ohne sich daher an einem Punkt zu treffen.  Im Gegensatz dazu gibt es in der Kolonnade hyperbolische paraboloidale Oberfl\u00e4chen, die sich reibungslos mit anderen Strukturen verbinden, um unbegrenzte Oberfl\u00e4chen zu bilden.  Dar\u00fcber hinaus nutzt Gaud\u00ed nat\u00fcrliche Muster, die selbst mathematisch sind, mit S\u00e4ulen, die von den Formen der B\u00e4ume abgeleitet sind, und St\u00fcrzen aus unmodifiziertem Basalt, die auf nat\u00fcrliche Weise (durch Abk\u00fchlen aus geschmolzenem Gestein) in sechseckige S\u00e4ulen gerissen wurden.[92][93][94]Die Kathedrale Mari\u00e4 Himmelfahrt von 1971 in San Francisco hat ein Satteldach, das aus acht Segmenten hyperbolischer Paraboloide besteht und so angeordnet ist, dass der untere horizontale Querschnitt des Daches ein Quadrat und der obere Querschnitt ein christliches Kreuz ist.  Das Geb\u00e4ude ist ein Quadrat mit einer Seitenl\u00e4nge von 77,7 Metern und einer H\u00f6he von 57,9 Metern.[95]  Die Kathedrale von Bras\u00edlia von 1970 von Oscar Niemeyer verwendet eine hyperboloide Struktur anders.  Es besteht aus 16 identischen Betonbalken mit einem Gewicht von jeweils 90 Tonnen.[k]  In einem Kreis angeordnet, um ein Hyperboloid der Revolution zu bilden, bilden die wei\u00dfen Strahlen eine Form wie H\u00e4nde, die zum Himmel beten.  Von au\u00dfen ist nur die Kuppel sichtbar: Der gr\u00f6\u00dfte Teil des Geb\u00e4udes befindet sich unter der Erde.[96][97][98][99]Mehrere mittelalterliche Kirchen in Skandinavien sind kreisf\u00f6rmig, darunter vier auf der d\u00e4nischen Insel Bornholm.  Eine der \u00e4ltesten davon, die \u00d8sterlars-Kirche aus dem Jahr c.  1160, hat ein kreisf\u00f6rmiges Kirchenschiff um eine massive kreisf\u00f6rmige Steins\u00e4ule, die mit B\u00f6gen durchbohrt und mit einem Fresko verziert ist.  Die kreisf\u00f6rmige Struktur hat drei Stockwerke und war anscheinend befestigt, wobei das oberste Stockwerk zur Verteidigung gedient hat.[100][101]Mathematische Dekoration[edit]Islamische architektonische Dekoration[edit]Islamische Geb\u00e4ude sind oft mit geometrischen Mustern verziert, die typischerweise mehrere mathematische Tessellationen verwenden, die aus Keramikfliesen (girih, zellige) bestehen, die selbst schlicht oder mit Streifen verziert sein k\u00f6nnen.[12]  Symmetrien wie Sterne mit sechs, acht oder Vielfachen von acht Punkten werden in islamischen Mustern verwendet.  Einige davon basieren auf dem Siegelmotiv ‘Khatem Sulemani’ oder Solomon, einem achtzackigen Stern aus zwei Quadraten, die in derselben Mitte um 45 Grad gegeneinander gedreht sind.[102]  Islamische Muster nutzen viele der 17 m\u00f6glichen Tapetengruppen aus;  Bereits 1944 zeigte Edith M\u00fcller, dass die Alhambra 11 Tapetengruppen in ihren Dekorationen verwendete, w\u00e4hrend Branko Gr\u00fcnbaum 1986 behauptete, 13 Tapetengruppen in der Alhambra gefunden zu haben, und behauptete kontrovers, dass die verbleibenden vier Gruppen nirgendwo im Islam zu finden seien Ornament.[102]Moderne architektonische Dekoration[edit]Gegen Ende des 20. Jahrhunderts wurden neuartige mathematische Konstrukte wie fraktale Geometrie und aperiodische Kacheln von Architekten aufgegriffen, um interessante und attraktive Abdeckungen f\u00fcr Geb\u00e4ude bereitzustellen.[4]  1913 hatte der modernistische Architekt Adolf Loos erkl\u00e4rt, dass “Ornament ein Verbrechen ist”,[103]  Einfluss auf das architektonische Denken f\u00fcr den Rest des 20. Jahrhunderts.  Im 21. Jahrhundert beginnen Architekten wieder, die Verwendung von Ornamenten zu erforschen.  Die Verzierung des 21. Jahrhunderts ist \u00e4u\u00dferst vielf\u00e4ltig.  Reykjavik, das Harpa-Konzert- und Konferenzzentrum 2011 von Henning Larsen, hat eine Kristallwand aus gro\u00dfen Glasbl\u00f6cken.[103]  Das Ravensbourne College 2010 des Foreign Office Architects in London ist dekorativ mit 28.000 eloxierten Aluminiumfliesen in Rot, Wei\u00df und Braun verziert, die kreisf\u00f6rmige Fenster unterschiedlicher Gr\u00f6\u00dfe miteinander verbinden.  Die Tessellation verwendet drei Arten von Kacheln, ein gleichseitiges Dreieck und zwei unregelm\u00e4\u00dfige Pentagone.[104][105][l]  Die Kanazawa Umimirai-Bibliothek von Kazumi Kudo erstellt ein dekoratives Gitter aus kleinen kreisf\u00f6rmigen Glasbl\u00f6cken, die in einfache Betonw\u00e4nde eingelassen sind.[103]Verteidigung[edit]Europa[edit]Die Architektur der Befestigungen entwickelte sich von mittelalterlichen Festungen mit hohen Mauerwerksw\u00e4nden zu niedrigen, symmetrischen Sternenfestungen, die zwischen Mitte des 15. und 19. Jahrhunderts Artilleriebeschuss standhalten konnten.  Die Geometrie der Sternformen wurde durch die Notwendigkeit bestimmt, tote Zonen zu vermeiden, in denen angreifende Infanterie Schutz vor Verteidigungsfeuer bieten k\u00f6nnte.  Die Seiten der Projektionspunkte waren abgewinkelt, damit ein solches Feuer den Boden fegen und \u00fcber jeden Projektionspunkt hinaus ein Kreuzfeuer (von beiden Seiten) erzeugen konnte.  Bekannte Architekten, die solche Verteidigungsanlagen entworfen haben, sind Michelangelo, Baldassare Peruzzi, Vincenzo Scamozzi und S\u00e9bastien Le Prestre de Vauban.[106][107]Der Architekturhistoriker Siegfried Giedion argumentierte, dass die sternf\u00f6rmige Festung einen pr\u00e4genden Einfluss auf die Strukturierung der idealen Stadt der Renaissance hatte: “Die Renaissance wurde von einem Stadttyp hypnotisiert, der anderthalb Jahrhunderte lang – von Filarete bis Scamozzi – beeindruckt war alle utopischen Pl\u00e4ne: Dies ist die sternf\u00f6rmige Stadt. “[108]China[edit]  In der chinesischen Architektur sind die Tulou der Provinz Fujian kreisf\u00f6rmige kommunale Verteidigungsstrukturen mit haupts\u00e4chlich leeren W\u00e4nden und einer einzigen eisernen Holzt\u00fcr, von denen einige aus dem 16. Jahrhundert stammen.  Die W\u00e4nde sind mit D\u00e4chern bedeckt, die sich leicht nach au\u00dfen und innen neigen und einen Ring bilden.  Das Zentrum des Kreises ist ein offener gepflasterter Innenhof, oft mit einem Brunnen, umgeben von bis zu f\u00fcnf Stockwerken hohen Fachwerkgalerien.[109]Umweltziele[edit]  Architekten k\u00f6nnen auch die Form eines Geb\u00e4udes ausw\u00e4hlen, um die Umweltziele zu erreichen.[88]  Zum Beispiel ist Foster and Partners ’30 St. Mary Axe, London, bekannt als “The Gherkin” f\u00fcr seine gurkenartige Form, ein Festk\u00f6rper der Revolution, der mithilfe parametrischer Modellierung entworfen wurde.  Seine Geometrie wurde nicht nur aus \u00e4sthetischen Gr\u00fcnden gew\u00e4hlt, sondern um wirbelnde Luftstr\u00f6me an seiner Basis zu minimieren.  Trotz der scheinbar gekr\u00fcmmten Oberfl\u00e4che des Geb\u00e4udes sind alle Glasscheiben, die die Haut bilden, flach, mit Ausnahme der Linse oben.  Die meisten Paneele sind Vierecke, da sie mit weniger Abfall aus rechteckigem Glas geschnitten werden k\u00f6nnen als dreieckige Paneele.[1]Das traditionelle Yakhchal (Eisgrube) Persiens fungierte als Verdunstungsk\u00fchler.  Oberirdisch hatte die Struktur eine gew\u00f6lbte Form, aber einen unterirdischen Stauraum f\u00fcr Eis und manchmal auch f\u00fcr Lebensmittel.  Der unterirdische Raum und die dicke hitzebest\u00e4ndige Konstruktion isolierten den Lagerraum das ganze Jahr \u00fcber.  Der Innenraum wurde oft mit Windf\u00e4ngern weiter gek\u00fchlt.  Das Eis war im Sommer verf\u00fcgbar, um das gefrorene Dessert Faloodeh zu machen.[110]Siehe auch[edit]^ In Buch 4, Kapitel 3 von De Architecturadiskutiert er Module direkt.[15]^ Ein r\u00f6mischer Fu\u00df war ungef\u00e4hr 0,296 Meter (0,97 Fu\u00df).^ In der modernen algebraischen Notation betragen diese Verh\u00e4ltnisse jeweils 1: 1, \u221a2: 1, 4: 3, 3: 2, 5: 3, 2: 1.^ Der Konstruktivismus beeinflusste zum Beispiel das Bauhaus und Le Corbusier.[33]^ Tempo Nikos Salingaros, der das Gegenteil vorschl\u00e4gt,[39]  Es ist jedoch nicht klar, welche Mathematik in den Kurven der Le Corbusier-Kapelle enthalten sein kann.[40]^ Der Berliner Papyrus 6619 aus dem Reich der Mitte erkl\u00e4rte: “Die Fl\u00e4che eines Quadrats von 100 entspricht der von zwei kleineren Quadraten. Die Seite des einen ist \u00bd + \u00bc der Seite des anderen.”^ 1 Gaz ist ungef\u00e4hr 0,86 Meter (2,8 Fu\u00df).^ Ein Quadrat, das durch Verl\u00e4ngerung der abwechselnden Seiten um das Achteck gezogen wird, f\u00fcgt vier rechtwinklige Dreiecke mit einer Hypotenuse von 7 hinzu und die anderen beiden Seiten von \u221a49\/2  oder 4.9497 …, fast 5. Die Seite des Quadrats ist also 5 + 7 + 5, was 17 ist.^ Bis zur Fertigstellung der Kathedrale von Sevilla im Jahr 1520.^ Der sechste Tag der Karwoche war Karfreitag;  Der folgende Sonntag (der Auferstehung) war somit der achte Tag.[84]^ Dies sind 90 Tonnen (89 lange Tonnen; 99 kurze Tonnen).^ Eine aperiodische Kachelung wurde in Betracht gezogen, um den Rhythmus eines strukturellen Gitters zu vermeiden. In der Praxis war eine Penrose-Kachelung jedoch zu komplex, sodass ein Gitter von 2,625 m horizontal und 4,55 m vertikal gew\u00e4hlt wurde.[105]Verweise[edit]^ ein b c Freiberger, Marianne (1. 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