[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/27\/tensorkontraktion-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/27\/tensorkontraktion-wikipedia\/","headline":"Tensorkontraktion – Wikipedia","name":"Tensorkontraktion – Wikipedia","description":"before-content-x4 In der multilinearen Algebra a Tensorkontraktion ist eine Operation an einem Tensor, die sich aus der nat\u00fcrlichen Paarung eines","datePublished":"2020-11-27","dateModified":"2020-11-27","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/86d93529555972b20c3b27bd273304716937f7c8","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/86d93529555972b20c3b27bd273304716937f7c8","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/27\/tensorkontraktion-wikipedia\/","wordCount":6625,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4In der multilinearen Algebra a Tensorkontraktion ist eine Operation an einem Tensor, die sich aus der nat\u00fcrlichen Paarung eines endlichdimensionalen Vektorraums und seines Dualen ergibt.  In Komponenten wird es als Summe von Produkten skalarer Komponenten des Tensors ausgedr\u00fcckt, die durch Anwenden der Summationskonvention auf ein Paar von Dummy-Indizes verursacht werden, die in einem Ausdruck aneinander gebunden sind.  Die Kontraktion eines einzelnen gemischten Tensors tritt auf, wenn ein Paar von Literalindizes (einer ein Index, der andere ein hochgestellter Index) des Tensors gleich gesetzt und summiert werden.  In der Einstein-Notation ist diese Summation in die Notation eingebaut.  Das Ergebnis ist ein weiterer Tensor mit einer um 2 reduzierten Ordnung.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Die Tensorkontraktion kann als Verallgemeinerung der Spur angesehen werden.Table of ContentsAbstrakte Formulierung[edit]Kontraktion in der Indexnotation[edit]Metrische Kontraktion[edit]Anwendung auf Tensorfelder[edit]Tensordivergenz[edit]Kontraktion eines Tensorpaares[edit]Allgemeinere algebraische Kontexte[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Abstrakte Formulierung[edit]Lassen V. sei ein Vektorraum \u00fcber einem Feld k.  Der Kern der Kontraktionsoperation und der einfachste Fall ist die nat\u00fcrliche Paarung von V. mit seinem dualen Vektorraum V.\u2217.  Die Paarung ist die lineare Transformation vom Tensorprodukt dieser beiden R\u00e4ume zum Feld k::       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4C.::V.\u2217\u2297V.\u2192k{ displaystyle C: V ^ {*}  otimes V  rightarrow k}entsprechend der bilinearen Form\u27e8f,v\u27e9=f((v){ displaystyle  langle f, v  rangle = f (v)}wo f ist in V.\u2217 und v ist in V..  Die Karte C. definiert die Kontraktionsoperation an einem Tensor vom Typ (1, 1), das ist ein Element von        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4V.\u2217\u2297V.{ displaystyle V ^ {*}  otimes V}.  Beachten Sie, dass das Ergebnis ein Skalar ist (ein Element von k).  Verwendung des nat\u00fcrlichen Isomorphismus zwischen V.\u2217\u2297V.{ displaystyle V ^ {*}  otimes V}  und der Raum der linearen Transformationen aus V. zu V.,[1]  man erh\u00e4lt eine basenfreie Definition der Spur.Im Allgemeinen ein Tensor vom Typ ((m, n) (mit m \u2265 1 und n \u2265 1) ist ein Element des VektorraumsV.\u2297\u22ef\u2297V.\u2297V.\u2217\u2297\u22ef\u2297V.\u2217{ displaystyle V  otimes  cdots  otimes V  otimes V ^ {*}  otimes  cdots  otimes V ^ {*}}(wo sind sie m Faktoren V. und n Faktoren V.\u2217).[2][3]  Anwenden der nat\u00fcrlichen Paarung auf die kth V. Faktor und die lth V.\u2217 Faktor und die Verwendung der Identit\u00e4t f\u00fcr alle anderen Faktoren definiert den (k, l) Kontraktionsoperation, die eine lineare Abbildung ist, die einen Tensor vom Typ ergibt ((m – 1, n – 1).[2]  In Analogie zum (1, 1) In diesem Fall wird die allgemeine Kontraktionsoperation manchmal als Spur bezeichnet.Kontraktion in der Indexnotation[edit]In der Tensorindexnotation wird die Grundkontraktion eines Vektors und eines Doppelvektors mit bezeichnetf~((v\u2192)=f\u03b3v\u03b3{ displaystyle { tilde {f}} ({ vec {v}}) = f _ { gamma} v ^ { gamma}}Dies ist eine Abk\u00fcrzung f\u00fcr die explizite Koordinatensummierung[4]f\u03b3v\u03b3=f1v1+f2v2+\u22ef+fnvn{ displaystyle f _ { gamma} v ^ { gamma} = f_ {1} v ^ {1} + f_ {2} v ^ {2} +  cdots + f_ {n} v ^ {n}}(wo vich  sind die Komponenten von v  in einer bestimmten Basis und fich  sind die Komponenten von f  in der entsprechenden dualen Basis).Da ein allgemeiner gemischter dyadischer Tensor eine lineare Kombination von zersetzbaren Tensoren der Form ist f\u2297v{ displaystyle f  otimes v}folgt die explizite Formel f\u00fcr den dyadischen Fall: letT.=T.ichjeich\u2297ej{ displaystyle  mathbf {T} = T ^ {i} {} _ {j}  mathbf {e} _ {i}  otimes  mathbf {e} ^ {j}}ein gemischter dyadischer Tensor sein.  Dann ist seine KontraktionT.ichjeich\u22c5ej=T.ichj\u03b4ichj=T.jj=T.11+\u22ef+T.nn{ displaystyle T ^ {i} {} _ {j}  mathbf {e} _ {i}  cdot  mathbf {e} ^ {j} = T ^ {i} {} _ {j}  delta _ { i} {} ^ {j} = T ^ {j} {} _ {j} = T ^ {1} {} _ {1} +  cdots + T ^ {n} {} _ {n}}.Eine allgemeine Kontraktion wird bezeichnet, indem ein Kovariantenindex und ein Kontravariantenindex mit demselben Buchstaben gekennzeichnet werden, wobei die Summierung \u00fcber diesen Index durch die Summierungskonvention impliziert wird.  Der resultierende kontrahierte Tensor erbt die verbleibenden Indizes des urspr\u00fcnglichen Tensors.  Zum Beispiel einen Tensor zusammenziehen T. vom Typ (2,2) auf dem zweiten und dritten Index, um einen neuen Tensor zu erzeugen U. vom Typ (1,1) wird geschrieben alsT.einbbc=\u2211bT.einbbc=T.ein11c+T.ein22c+\u22ef+T.einnnc=U.einc.{ displaystyle T ^ {ab} {} _ {bc} =  sum _ {b} {T ^ {ab} {} _ {bc}} = T ^ {a1} {} _ {1c} + T ^ { a2} {} _ {2c} +  cdots + T ^ {an} {} _ {nc} = U ^ {a} {} _ {c}.}Im Gegensatz dazu lassenT.=eich\u2297ej{ displaystyle  mathbf {T} =  mathbf {e} ^ {i}  otimes  mathbf {e} ^ {j}}sei ein ungemischter dyadischer Tensor.  Dieser Tensor zieht sich nicht zusammen;  wenn seine Basisvektoren gepunktet sind,[clarification needed]  das Ergebnis ist der kontravariante metrische Tensor,Gichj=eich\u22c5ej{ displaystyle g ^ {ij} =  mathbf {e} ^ {i}  cdot  mathbf {e} ^ {j}},dessen Rang ist 2.Metrische Kontraktion[edit]Wie im vorherigen Beispiel ist eine Kontraktion eines Indexpaares, das entweder beide kontravariant oder beide kovariant ist, im Allgemeinen nicht m\u00f6glich.  In Gegenwart eines inneren Produkts (auch als Metrik bezeichnet) Gsind solche Kontraktionen m\u00f6glich.  Man verwendet die Metrik, um einen der Indizes nach Bedarf anzuheben oder abzusenken, und verwendet dann die \u00fcbliche Kontraktionsoperation.  Die kombinierte Operation ist bekannt als metrische Kontraktion.[5]Anwendung auf Tensorfelder[edit]Die Kontraktion wird h\u00e4ufig auf Tensorfelder \u00fcber R\u00e4umen angewendet (z. B. euklidischer Raum, Mannigfaltigkeiten oder Schemata)[citation needed]).  Da die Kontraktion eine rein algebraische Operation ist, kann sie punktweise auf ein Tensorfeld angewendet werden, z T. ist ein (1,1) Tensorfeld im euklidischen Raum, dann in beliebigen Koordinaten seine Kontraktion (ein Skalarfeld) U. an einem Punkt x ist gegeben durchU.((x)=\u2211ichT.ichich((x){ displaystyle U (x) =  sum _ {i} T_ {i} ^ {i} (x)}Da die Rolle von x ist hier nicht kompliziert, wird oft unterdr\u00fcckt und die Notation f\u00fcr Tensorfelder wird identisch mit der f\u00fcr rein algebraische Tensoren.\u00dcber eine Riemannsche Mannigfaltigkeit steht eine Metrik (Feld innerer Produkte) zur Verf\u00fcgung, und sowohl metrische als auch nichtmetrische Kontraktionen sind f\u00fcr die Theorie von entscheidender Bedeutung.  Beispielsweise ist der Ricci-Tensor eine nichtmetrische Kontraktion des Riemann-Kr\u00fcmmungstensors, und die Skalarkr\u00fcmmung ist die eindeutige metrische Kontraktion des Ricci-Tensors.Man kann auch die Kontraktion eines Tensorfeldes im Kontext von Modulen \u00fcber einen geeigneten Funktionsring auf dem Verteiler betrachten[5]  oder der Kontext von Garben von Modulen \u00fcber der Strukturgarbe;[6]  Siehe die Diskussion am Ende dieses Artikels.Tensordivergenz[edit]Als Anwendung der Kontraktion eines Tensorfeldes sei V. sei ein Vektorfeld auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (zum Beispiel dem euklidischen Raum).  Lassen V.\u03b1\u03b2{ displaystyle V ^ { alpha} {} _ { beta}}  sei das kovariante Derivat von V. (in einer Auswahl von Koordinaten).  Bei kartesischen Koordinaten im euklidischen Raum kann man schreibenV.\u03b1\u03b2=\u2202V.\u03b1\u2202x\u03b2.{ displaystyle V ^ { alpha} {} _ { beta} = { partielles V ^ { alpha}  \u00fcber  partielles x ^ { beta}}.}Wenn dann der Index \u03b2 in \u03b1 ge\u00e4ndert wird, wird das Indexpaar aneinander gebunden, so dass sich das Derivat mit sich zusammenzieht, um die folgende Summe zu erhalten:V.\u03b1\u03b1=V.00+\u22ef+V.nn{ displaystyle V ^ { alpha} {} _ { alpha} = V ^ {0} {} _ {0} +  cdots + V ^ {n} {} _ {n}}Welches ist die Divergenz div V..  Danndiv\u2061V.=V.\u03b1\u03b1=0{ displaystyle  operatorname {div} V = V ^ { alpha} {} _ { alpha} = 0}ist eine Kontinuit\u00e4tsgleichung f\u00fcr V..Im Allgemeinen kann man verschiedene Divergenzoperationen f\u00fcr Tensorfelder mit h\u00f6herem Rang wie folgt definieren.  Wenn T. ist ein Tensorfeld mit mindestens einem Kontravariantenindex, wobei das kovariante Differential genommen und der gew\u00e4hlte Kontravariantenindex mit dem neuen Kovariantenindex, der dem Differential entspricht, kontrahiert wird, was zu einem neuen Tensor mit Rang eins f\u00fchrt, der niedriger als der von ist T..[5]Kontraktion eines Tensorpaares[edit]Man kann die Kernkontraktionsoperation (Vektor mit Doppelvektor) auf etwas andere Weise verallgemeinern, indem man ein Paar von Tensoren betrachtet T. und U..  Das Tensorprodukt T.\u2297U.{ displaystyle T  otimes U}  ist ein neuer Tensor, der, wenn er mindestens einen Kovarianten- und einen Kontravariantenindex aufweist, kontrahiert werden kann.  Der Fall wo T. ist ein Vektor und U. ist ein Doppelvektor ist genau die Kernoperation, die zuerst in diesem Artikel vorgestellt wurde.Wenn in der Tensorindexnotation zwei Tensoren miteinander kontrahiert werden, werden sie als Faktoren desselben Terms nebeneinander (nebeneinander) platziert.  Dies implementiert das Tensorprodukt und ergibt einen zusammengesetzten Tensor.  Das Zusammenziehen von zwei Indizes in diesem zusammengesetzten Tensor implementiert die gew\u00fcnschte Kontraktion der beiden Tensoren.Beispielsweise k\u00f6nnen Matrizen als Tensoren vom Typ (1,1) dargestellt werden, wobei der erste Index kontravariant und der zweite Index kovariant ist.  Lassen \u039b\u03b1\u03b2{ displaystyle  Lambda ^ { alpha} {} _ { beta}}  seien Sie die Komponenten einer Matrix und lassen Sie M.\u03b2\u03b3{ displaystyle  mathrm {M} ^ { beta} {} _ { gamma}}  seien die Komponenten einer zweiten Matrix.  Dann ist ihre Multiplikation durch die folgende Kontraktion gegeben, ein Beispiel f\u00fcr die Kontraktion eines Tensorpaares:\u039b\u03b1\u03b2M.\u03b2\u03b3=N.\u03b1\u03b3{ displaystyle  Lambda ^ { alpha} {} _ { beta}  mathrm {M} ^ { beta} {} _ { gamma} =  mathrm {N} ^ { alpha} {} _ { gamma}}.Auch das innere Produkt eines Vektors mit einer Differentialform ist ein Sonderfall der Kontraktion zweier Tensoren miteinander.Allgemeinere algebraische Kontexte[edit]Lassen R. sei ein kommutativer Ring und lass M. sei ein endliches freies Modul vorbei R..  Dann arbeitet die Kontraktion mit der vollen (gemischten) Tensoralgebra von M. genauso wie bei Vektorr\u00e4umen \u00fcber einem Feld.  (Die entscheidende Tatsache ist, dass die nat\u00fcrliche Paarung in diesem Fall immer noch perfekt ist.)Im Allgemeinen lassen \u00d6X. sei ein B\u00fcndel kommutativer Ringe \u00fcber einem topologischen Raum X., z.B \u00d6X. k\u00f6nnte die Strukturgarbe einer komplexen Mannigfaltigkeit, eines analytischen Raums oder eines Schemas sein.  Lassen M. sei ein lokal freies B\u00fcndel von Modulen \u00fcber \u00d6X. von endlichem Rang.  Dann das Dual von M. ist immer noch brav[6]  und Kontraktionsoperationen sind in diesem Zusammenhang sinnvoll.Siehe auch[edit]^ Lassen L (V., V.) sei der Raum linearer Transformationen aus V. zu V..  Dann die nat\u00fcrliche KarteV.\u2217\u2297V.\u2192L.((V.,V.){ displaystyle V ^ {*}  otimes V  rightarrow L (V, V)}ist definiert durchf\u2297v\u21a6G,{ displaystyle f  otimes v  mapsto g,}wo G((w) = f((w)v.  Nehme an, dass V. ist endlichdimensional.  Wenn {vich} ist eine Basis von V. und {fich} ist also die entsprechende duale Basis fich\u2297vj{ displaystyle f ^ {i}  otimes v_ {j}}  wird der Transformation zugeordnet, deren Matrix auf dieser Basis nur einen Eintrag ungleich Null hat, eine 1 in der ich,j Position.  Dies zeigt, dass die Karte ein Isomorphismus ist.^ ein b Fulton, William;  Harris, Joe (1991). Darstellungstheorie: Ein erster Kurs.  GTM. 129.  New York: Springer.  S. 471\u2013476.  ISBN 0-387-97495-4.^ Warner, Frank (1993). Grundlagen differenzierbarer Mannigfaltigkeiten und L\u00fcgengruppen.  GTM. 94.  New York: Springer.  S. 54\u201356.  ISBN 0-387-90894-3.^ In der Physik (und manchmal auch in der Mathematik) beginnen Indizes oft mit Null statt mit Eins.  In der vierdimensionalen Raumzeit laufen die Indizes von 0 bis 3.^ ein b c O’Neill, Barrett (1983). Semi-Riemannsche Geometrie mit Anwendungen auf die Relativit\u00e4tstheorie.  Akademische Presse.  p.  86. ISBN 0-12-526740-1.^ ein b Hartshorne, Robin (1977). Algebraische Geometrie.  New York: Springer.  ISBN 0-387-90244-9.Verweise[edit]     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/27\/tensorkontraktion-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Tensorkontraktion – Wikipedia"}}]}]