[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/28\/euklidischer-vektor-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/28\/euklidischer-vektor-wikipedia\/","headline":"Euklidischer Vektor – Wikipedia","name":"Euklidischer Vektor – Wikipedia","description":"before-content-x4 Geometrisches Objekt mit L\u00e4nge und Richtung Ein Vektor, der von zeigt EIN zu B. after-content-x4 In Mathematik, Physik und","datePublished":"2020-11-28","dateModified":"2020-11-28","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/9\/95\/Vector_from_A_to_B.svg\/220px-Vector_from_A_to_B.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/9\/95\/Vector_from_A_to_B.svg\/220px-Vector_from_A_to_B.svg.png","height":"88","width":"220"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/28\/euklidischer-vektor-wikipedia\/","wordCount":29024,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Geometrisches Objekt mit L\u00e4nge und Richtung  Ein Vektor, der von zeigt EIN zu B.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4In Mathematik, Physik und Ingenieurwesen, a Euklidischer Vektor (manchmal a genannt geometrisch[1]  oder r\u00e4umlicher Vektor,[2]  oder – wie hier – einfach a Vektor) ist ein geometrisches Objekt mit Gr\u00f6\u00dfe (oder L\u00e4nge) und Richtung.  Vektoren k\u00f6nnen gem\u00e4\u00df der Vektoralgebra zu anderen Vektoren hinzugef\u00fcgt werden.  Ein euklidischer Vektor wird h\u00e4ufig durch einen Strahl (ein Liniensegment mit einer bestimmten Richtung) oder grafisch als Pfeil dargestellt, der eine verbindet Ausgangspunkt EIN mit einer Endpunkt B.,[3]  und bezeichnet mit EINB.\u2192{ displaystyle { overrightarrow {AB}}}  .[4]       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Ein Vektor ist das, was ben\u00f6tigt wird, um den Punkt zu “tragen” EIN auf den Punkt B.;;  das lateinische Wort Vektor bedeutet “Tr\u00e4ger”.[5]  Es wurde erstmals von Astronomen des 18. Jahrhunderts verwendet, die die planetare Revolution um die Sonne untersuchten.[6]  Die Gr\u00f6\u00dfe des Vektors ist der Abstand zwischen den beiden Punkten, und die Richtung bezieht sich auf die Richtung der Verschiebung von EIN zu B..  Viele algebraische Operationen mit reellen Zahlen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Negation haben enge Analoga f\u00fcr Vektoren.[7]  Operationen, die den bekannten algebraischen Gesetzen der Kommutativit\u00e4t, Assoziativit\u00e4t und Verteilungsf\u00e4higkeit gehorchen.  Diese Operationen und zugeh\u00f6rigen Gesetze qualifizieren euklidische Vektoren als Beispiel f\u00fcr das allgemeinere Konzept von Vektoren, die einfach als Elemente eines Vektorraums definiert sind.Vektoren spielen in der Physik eine wichtige Rolle: Die Geschwindigkeit und Beschleunigung eines sich bewegenden Objekts und die darauf einwirkenden Kr\u00e4fte k\u00f6nnen alle mit Vektoren beschrieben werden.[8]  Viele andere physikalische Gr\u00f6\u00dfen k\u00f6nnen sinnvollerweise als Vektoren betrachtet werden.  Obwohl die meisten von ihnen keine Entfernungen darstellen (au\u00dfer zum Beispiel Position oder Verschiebung), k\u00f6nnen ihre Gr\u00f6\u00dfe und Richtung immer noch durch die L\u00e4nge und Richtung eines Pfeils dargestellt werden.  Die mathematische Darstellung eines physikalischen Vektors h\u00e4ngt von dem zur Beschreibung verwendeten Koordinatensystem ab.  Andere vektor\u00e4hnliche Objekte, die physikalische Gr\u00f6\u00dfen beschreiben und sich bei \u00c4nderungen des Koordinatensystems auf \u00e4hnliche Weise transformieren, umfassen Pseudovektoren und Tensoren.[9]Table of ContentsGeschichte[edit]\u00dcberblick[edit]Beispiele in einer Dimension[edit]In Physik und Technik[edit]Im kartesischen Raum[edit]Euklidische und affine Vektoren[edit]Verallgemeinerungen[edit]Darstellungen[edit]  Zersetzung oder Aufl\u00f6sung[edit]Grundeigenschaften[edit]Gleichberechtigung[edit]Gegen\u00fcberliegende, parallele und antiparallele Vektoren[edit]Addition und Subtraktion[edit]Skalarmultiplikation[edit]L\u00e4nge[edit]Skalarprodukt[edit]Kreuzprodukt[edit]Skalares Dreifachprodukt[edit]Umwandlung zwischen mehreren kartesischen Basen[edit]Andere Abmessungen[edit]Physik[edit]L\u00e4nge und Einheiten[edit]Vektorwertige Funktionen[edit]Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung[edit]Kraft, Energie, Arbeit[edit]Vektoren, Pseudovektoren und Transformationen[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Mathematische Behandlungen[edit]K\u00f6rperliche Behandlungen[edit]Externe Links[edit]Geschichte[edit]Das Konzept des Vektors, wie wir es heute kennen, entwickelte sich schrittweise \u00fcber einen Zeitraum von mehr als 200 Jahren.  Rund ein Dutzend Menschen haben ma\u00dfgeblich zur Entwicklung beigetragen.[10]       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Im Jahr 1835 abstrahierte Giusto Bellavitis die Grundidee, als er das Konzept der \u00c4quipollenz etablierte.  Er arbeitete in einer euklidischen Ebene und machte jedes Paar Liniensegmente gleicher L\u00e4nge und Ausrichtung gleich.  Im Wesentlichen realisierte er eine \u00c4quivalenzbeziehung f\u00fcr die Punktepaare (Bipunkte) in der Ebene und errichtete so den ersten Vektorraum in der Ebene.[10]::52\u20134Der Begriff Vektor wurde von William Rowan Hamilton als Teil einer Quaternion eingef\u00fchrt, die eine Summe ist q = s + v  einer reellen Zahl s  (auch genannt Skalar) und eine 3-dimensionale Vektor.  Wie Bellavitis betrachtete Hamilton Vektoren als repr\u00e4sentativ f\u00fcr Klassen \u00e4quipollent gerichteter Segmente.  Da komplexe Zahlen eine imagin\u00e4re Einheit verwenden, um die reelle Linie zu erg\u00e4nzen, betrachtete Hamilton den Vektor v  zu sein Imagin\u00e4rteil einer Quaternion:Der algebraisch imagin\u00e4re Teil, der geometrisch durch eine gerade Linie oder einen Radiusvektor konstruiert ist, der im Allgemeinen f\u00fcr jede bestimmte Quaternion eine bestimmte L\u00e4nge und eine bestimmte Richtung im Raum aufweist, kann als Vektorteil oder einfach als Vektor der bezeichnet werden Quaternion.[11]Mehrere andere Mathematiker entwickelten Mitte des 19. Jahrhunderts vektor\u00e4hnliche Systeme, darunter Augustin Cauchy, Hermann Grassmann, August M\u00f6bius, Comte de Saint-Venant und Matthew O’Brien.  Grassmanns Werk von 1840 Theorie der Ebbe und Flut (Theorie von Ebbe und Flut) war das erste System der r\u00e4umlichen Analyse, das dem heutigen System \u00e4hnlich ist und Ideen hatte, die dem Kreuzprodukt, dem Skalarprodukt und der Vektordifferenzierung entsprechen.  Grassmanns Arbeit wurde bis in die 1870er Jahre weitgehend vernachl\u00e4ssigt.[10]Peter Guthrie Tait trug den Quaternionsstandard nach Hamilton.  Sein 1867 Elementare Abhandlung \u00fcber Quaternionen umfasste eine umfassende Behandlung des Nabla- oder Del-Operators \u2207.Im Jahr 1878, Elemente der Dynamik wurde von William Kingdon Clifford ver\u00f6ffentlicht.  Clifford vereinfachte die Quaternionsstudie, indem er das Punktprodukt und das Kreuzprodukt zweier Vektoren aus dem vollst\u00e4ndigen Quaternionsprodukt isolierte.  Dieser Ansatz stellte Ingenieuren Vektorberechnungen zur Verf\u00fcgung – und anderen, die in drei Dimensionen arbeiteten und der vierten skeptisch gegen\u00fcberstanden.Josiah Willard Gibbs, der durch James Clerk Maxwell Quaternionen ausgesetzt war Abhandlung \u00fcber Elektrizit\u00e4t und Magnetismustrennten ihren Vektorteil zur unabh\u00e4ngigen Behandlung ab.  Die erste H\u00e4lfte von Gibbs Elemente der Vektoranalyse, ver\u00f6ffentlicht 1881, pr\u00e4sentiert das im Wesentlichen moderne System der Vektoranalyse.[10][7]  Im Jahr 1901 ver\u00f6ffentlichte Edwin Bidwell Wilson Vektoranalyse, adaptiert aus Gibbs Vorlesungen, die jegliche Erw\u00e4hnung von Quaternionen bei der Entwicklung der Vektorrechnung verbannten.\u00dcberblick[edit]In der Physik und Technik wird ein Vektor typischerweise als eine geometrische Einheit angesehen, die durch eine Gr\u00f6\u00dfe und eine Richtung gekennzeichnet ist.  Es wird formal als gerichtetes Liniensegment oder Pfeil in einem euklidischen Raum definiert.[12]  In der reinen Mathematik wird ein Vektor allgemeiner als jedes Element eines Vektorraums definiert.  In diesem Zusammenhang sind Vektoren abstrakte Entit\u00e4ten, die durch eine Gr\u00f6\u00dfe und eine Richtung charakterisiert sein k\u00f6nnen oder nicht.  Diese verallgemeinerte Definition impliziert, dass die oben erw\u00e4hnten geometrischen Einheiten eine spezielle Art von Vektoren sind, da sie Elemente einer speziellen Art von Vektorraum sind, der als euklidischer Raum bezeichnet wird.In diesem Artikel geht es um Vektoren, die im euklidischen Raum streng als Pfeile definiert sind.  Wenn es notwendig wird, diese speziellen Vektoren von Vektoren zu unterscheiden, wie sie in der reinen Mathematik definiert sind, werden sie manchmal als bezeichnet geometrisch, r\u00e4umlich, oder Euklidisch Vektoren.Als Pfeil besitzt ein euklidischer Vektor eine bestimmte Ausgangspunkt und Endpunkt.  Ein Vektor mit festem Anfangs- und Endpunkt hei\u00dft a gebundener Vektor.[13]  Wenn nur die Gr\u00f6\u00dfe und Richtung des Vektors von Bedeutung sind, spielt der jeweilige Anfangspunkt keine Rolle, und der Vektor wird als a bezeichnet freier Vektor.  Also zwei Pfeile EINB.\u2192{ displaystyle { overrightarrow {AB}}}  und EIN‘B.‘\u2192{ displaystyle { overrightarrow {A’B ‘}}}  im Raum stellen den gleichen freien Vektor dar, wenn sie die gleiche Gr\u00f6\u00dfe und Richtung haben: das hei\u00dft, sie sind \u00e4quipollent, wenn das Viereck ABB’A ‘ ist ein Parallelogramm.  Wenn der euklidische Raum mit einer Wahl des Ursprungs ausgestattet ist, entspricht ein freier Vektor dem gebundenen Vektor derselben Gr\u00f6\u00dfe und Richtung, dessen Anfangspunkt der Ursprung ist.Der Begriff Vektor hat auch Verallgemeinerungen zu h\u00f6heren Dimensionen und zu formaleren Ans\u00e4tzen mit viel breiteren Anwendungen.Beispiele in einer Dimension[edit]Da das Kraftkonzept des Physikers eine Richtung und eine Gr\u00f6\u00dfe hat, kann es als Vektor angesehen werden.  Betrachten Sie als Beispiel eine nach rechts gerichtete Kraft F. von 15 Newton.  Wenn die positive Achse auch nach rechts gerichtet ist, dann F. wird durch den Vektor 15 N dargestellt, und wenn positiv nach links zeigt, dann der Vektor f\u00fcr F. betr\u00e4gt \u201315 N. In jedem Fall betr\u00e4gt die Gr\u00f6\u00dfe des Vektors 15 N. Ebenso ist die Vektordarstellung einer Verschiebung \u0394s von 4 Metern w\u00e4re 4 m oder -4 m, abh\u00e4ngig von seiner Richtung, und seine Gr\u00f6\u00dfe w\u00e4re unabh\u00e4ngig davon 4 m.In Physik und Technik[edit]Vektoren sind in den Naturwissenschaften von grundlegender Bedeutung.  Sie k\u00f6nnen verwendet werden, um jede Gr\u00f6\u00dfe darzustellen, die eine Gr\u00f6\u00dfe hat, eine Richtung hat und die den Regeln der Vektoraddition entspricht.  Ein Beispiel ist die Geschwindigkeit, deren Gr\u00f6\u00dfe die Geschwindigkeit ist.  Zum Beispiel die Geschwindigkeit 5 Meter pro Sekunde nach oben k\u00f6nnte durch den Vektor (0, 5) dargestellt werden (in 2 Dimensionen mit dem Positiv y-Achse als ‘oben’).  Eine andere durch einen Vektor dargestellte Gr\u00f6\u00dfe ist die Kraft, da sie eine Gr\u00f6\u00dfe und Richtung hat und den Regeln der Vektoraddition folgt.[8]  Vektoren beschreiben auch viele andere physikalische Gr\u00f6\u00dfen, wie z. B. lineare Verschiebung, Verschiebung, lineare Beschleunigung, Winkelbeschleunigung, linearer Impuls und Drehimpuls.  Andere physikalische Vektoren, wie das elektrische und magnetische Feld, werden als Vektorsystem an jedem Punkt eines physikalischen Raums dargestellt;  das hei\u00dft, ein Vektorfeld.  Beispiele f\u00fcr Gr\u00f6\u00dfen, die Gr\u00f6\u00dfe und Richtung haben, aber die Regeln der Vektoraddition nicht befolgen, sind Winkelverschiebung und elektrischer Strom.  Folglich sind dies keine Vektoren.Im kartesischen Raum[edit]Im kartesischen Koordinatensystem kann ein gebundener Vektor dargestellt werden, indem die Koordinaten seines Anfangs- und Endpunkts identifiziert werden.  Zum Beispiel die Punkte EIN = (1, 0, 0) und B. = (0, 1, 0) im Raum bestimmen Sie den gebundenen Vektor EINB.\u2192{ displaystyle { overrightarrow {AB}}}  vom Punkt zeigen x = 1 auf der x-Achse auf den Punkt y = 1 auf der y-Achse.In kartesischen Koordinaten kann ein freier Vektor in diesem Sinne als entsprechender gebundener Vektor betrachtet werden, dessen Anfangspunkt die Koordinaten des Ursprungs hat \u00d6 = (0, 0, 0).  Sie wird dann durch die Koordinaten des Endpunkts dieses gebundenen Vektors bestimmt.  Somit ist der durch (1, 0, 0) dargestellte freie Vektor ein Vektor mit L\u00e4ngeneinheiten, der entlang der Richtung des Positivs zeigt x-Achse.Diese Koordinatendarstellung freier Vektoren erm\u00f6glicht es, ihre algebraischen Merkmale auf bequeme numerische Weise auszudr\u00fccken.  Beispielsweise ist die Summe der beiden (freien) Vektoren (1, 2, 3) und (\u20132, 0, 4) der (freie) Vektor(1, 2, 3) + (\u20132, 0, 4) = (1\u20132, 2 + 0, 3 + 4) = (\u20131, 2, 7).Euklidische und affine Vektoren[edit]In den geometrischen und physikalischen Umgebungen ist es manchmal m\u00f6glich, a auf nat\u00fcrliche Weise zu assoziieren L\u00e4nge oder Gr\u00f6\u00dfe und eine Richtung zu Vektoren.  Dar\u00fcber hinaus ist der Begriff der Richtung eng mit dem Begriff eines verbunden Winkel zwischen zwei Vektoren.  Wenn das Punktprodukt zweier Vektoren definiert ist – ein skalarwertiges Produkt zweier Vektoren -, kann auch eine L\u00e4nge definiert werden.  Das Punktprodukt bietet eine bequeme algebraische Charakterisierung sowohl des Winkels (eine Funktion des Punktprodukts zwischen zwei beliebigen Vektoren ungleich Null) als auch der L\u00e4nge (der Quadratwurzel des Punktprodukts eines Vektors f\u00fcr sich).  In drei Dimensionen ist es ferner m\u00f6glich, das Kreuzprodukt zu definieren, das eine algebraische Charakterisierung der Fl\u00e4che und Orientierung im Raum des Parallelogramms liefert, das durch zwei Vektoren definiert ist (die als Seiten des Parallelogramms verwendet werden).  In jeder Dimension (und insbesondere in h\u00f6heren Dimensionen) ist es m\u00f6glich, das \u00e4u\u00dfere Produkt zu definieren, das (unter anderem) eine algebraische Charakterisierung der Fl\u00e4che und Orientierung im Raum des liefert n-dimensionales Parallelotop definiert durch n Vektoren.Es ist jedoch nicht immer m\u00f6glich oder w\u00fcnschenswert, die L\u00e4nge eines Vektors auf nat\u00fcrliche Weise zu definieren.  Dieser allgemeinere Typ eines r\u00e4umlichen Vektors ist Gegenstand von Vektorr\u00e4umen (f\u00fcr freie Vektoren) und affinen R\u00e4umen (f\u00fcr gebundene Vektoren, die jeweils durch ein geordnetes Paar von “Punkten” dargestellt werden).  Ein wichtiges Beispiel ist der Minkowski-Raum (der f\u00fcr unser Verst\u00e4ndnis der speziellen Relativit\u00e4tstheorie wichtig ist), in dem es eine Verallgemeinerung der L\u00e4nge gibt, die es Vektoren ungleich Null erm\u00f6glicht, eine L\u00e4nge von Null zu haben.  Andere physikalische Beispiele stammen aus der Thermodynamik, wo viele der interessierenden Gr\u00f6\u00dfen als Vektoren in einem Raum ohne Vorstellung von L\u00e4nge oder Winkel betrachtet werden k\u00f6nnen.[14]Verallgemeinerungen[edit]Sowohl in der Physik als auch in der Mathematik wird ein Vektor h\u00e4ufig mit einem Tupel von Komponenten oder einer Liste von Zahlen identifiziert, die als Skalarkoeffizienten f\u00fcr einen Satz von Basisvektoren dienen.  Wenn die Basis transformiert wird, beispielsweise durch Drehen oder Strecken, transformieren sich auch die Komponenten eines Vektors in Bezug auf diese Basis in einem entgegengesetzten Sinne.  Der Vektor selbst hat sich nicht ge\u00e4ndert, aber die Basis hat sich ge\u00e4ndert, sodass sich die Komponenten des Vektors \u00e4ndern m\u00fcssen, um dies zu kompensieren.  Der Vektor hei\u00dft kovariant oder kontravarianteabh\u00e4ngig davon, wie die Transformation der Vektorkomponenten mit der Transformation der Basis zusammenh\u00e4ngt.  Im Allgemeinen sind kontravariante Vektoren “regul\u00e4re Vektoren” mit Entfernungseinheiten (wie einer Verschiebung) oder einer Entfernung mal einer anderen Einheit (wie Geschwindigkeit oder Beschleunigung);  Kovariante Vektoren haben andererseits Einheiten von Eins \u00fcber Distanz, wie z. B. Gradienten.  Wenn Sie Einheiten (ein Sonderfall einer Basis\u00e4nderung) von Metern auf Millimeter, einen Skalierungsfaktor von 1\/1000, \u00e4ndern, wird eine Verschiebung von 1 m zu 1000 mm – eine kontravariante \u00c4nderung des numerischen Werts.  Im Gegensatz dazu wird ein Gradient von 1 K \/ m zu 0,001 K \/ mm – eine kovariante Wert\u00e4nderung (weitere Informationen finden Sie unter Kovarianz und Kontravarianz von Vektoren).  Tensoren sind eine andere Art von Gr\u00f6\u00dfe, die sich auf diese Weise verhalten.  Ein Vektor ist eine Art von Tensor.In der reinen Mathematik ist ein Vektor ein beliebiges Element eines Vektorraums \u00fcber einem Feld und wird h\u00e4ufig als Koordinatenvektor dargestellt.  Die in diesem Artikel beschriebenen Vektoren sind ein ganz besonderer Fall dieser allgemeinen Definition, da sie in Bezug auf den Umgebungsraum kontravariant sind.  Kontravarianz erfasst die physikalische Intuition hinter der Idee, dass ein Vektor “Gr\u00f6\u00dfe und Richtung” hat.Darstellungen[edit]Vektoren werden normalerweise in Fettdruck in Kleinbuchstaben angegeben, wie in u{ displaystyle  mathbf {u}}, v{ displaystyle  mathbf {v}}  und w{ displaystyle  mathbf {w}},[4]  oder in Kleinbuchstaben kursiv fett gedruckt, wie in ein.  (Gro\u00dfbuchstaben werden normalerweise zur Darstellung von Matrizen verwendet.) Andere Konventionen umfassen ein\u2192{ displaystyle { vec {a}}}  oder einvor allem in der Handschrift.  Alternativ verwenden einige eine Tilde (~) oder eine wellenf\u00f6rmige Unterstreichung, die unter dem Symbol gezeichnet ist, z ein\u223c{ displaystyle { underset {^ { sim}} {a}}}Dies ist eine Konvention zur Angabe des Fettdrucktyps.  Wenn der Vektor eine gerichtete Entfernung oder Verschiebung von einem Punkt darstellt EIN bis zu einem Punkt B. (siehe Abbildung) kann auch als bezeichnet werden EINB.\u27f6{ displaystyle { stackrel { longrightarrow} {AB}}}  oder AB.  In der deutschen Literatur war es besonders \u00fcblich, Vektoren mit kleinen Frakturbuchstaben wie z ein{ displaystyle { mathfrak {a}}}.Vektoren werden normalerweise in Diagrammen oder anderen Diagrammen als Pfeile (gerichtete Liniensegmente) dargestellt, wie in der Abbildung dargestellt.  Hier der Punkt EIN hei\u00dft das Ursprung, Schwanz, Base, oder Ausgangspunktund der Punkt B. hei\u00dft das Kopf, Trinkgeld, Endpunkt, Endpunkt oder letzter Punkt.  Die L\u00e4nge des Pfeils ist proportional zur Gr\u00f6\u00dfe des Vektors, w\u00e4hrend die Richtung, in die der Pfeil zeigt, die Richtung des Vektors angibt.In einem zweidimensionalen Diagramm ist manchmal ein Vektor senkrecht zur Ebene des Diagramms erw\u00fcnscht.  Diese Vektoren werden \u00fcblicherweise als kleine Kreise dargestellt.  Ein Kreis mit einem Punkt in der Mitte (Unicode U + 2299 \u2299) zeigt einen Vektor an, der von der Vorderseite des Diagramms zum Betrachter zeigt.  Ein Kreis mit einem darin eingeschriebenen Kreuz (Unicode U + 2297 \u2297) zeigt einen Vektor an, der in und hinter das Diagramm zeigt.  Man kann sich vorstellen, dass man die Spitze einer Pfeilspitze betrachtet und die Fl\u00fcge eines Pfeils von hinten betrachtet.  Ein Vektor in der kartesischen Ebene, der die Position eines Punktes zeigt EIN mit Koordinaten (2, 3).Um mit Vektoren zu berechnen, kann die grafische Darstellung zu umst\u00e4ndlich sein.  Vektoren in einem n-dimensionaler euklidischer Raum kann als Koordinatenvektor in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden.  Der Endpunkt eines Vektors kann mit einer geordneten Liste von identifiziert werden n reale Nummern (n-Tupel).  Diese Zahlen sind die Koordinaten des Endpunkts des Vektors in Bezug auf ein gegebenes kartesisches Koordinatensystem und werden typischerweise als bezeichnet skalare Komponenten (oder Skalarprojektionen) des Vektors auf den Achsen des Koordinatensystems.Als Beispiel in zwei Dimensionen (siehe Abbildung) der Vektor vom Ursprung \u00d6 = (0, 0) auf den Punkt EIN = (2, 3) wird einfach geschrieben alsein=((2,3).{ displaystyle  mathbf {a} = (2,3).}Die Vorstellung, dass der Schwanz des Vektors mit dem Ursprung \u00fcbereinstimmt, ist implizit und leicht zu verstehen.  Also die explizitere Notation \u00d6EIN\u2192{ displaystyle { overrightarrow {OA}}}  wird normalerweise als nicht notwendig erachtet (und wird in der Tat selten verwendet).Im dreidimensional Euklidischer Raum (oder R.3) werden Vektoren mit Tripeln skalarer Komponenten identifiziert:ein=((ein1,ein2,ein3).{ displaystyle  mathbf {a} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}).}auch geschriebenein=((einx,einy,einz).{ displaystyle  mathbf {a} = (a_ {x}, a_ {y}, a_ {z}).}Dies kann verallgemeinert werden auf n-dimensional Euklidischer Raum (oder R.n).ein=((ein1,ein2,ein3,\u22ef,einn– –1,einn).{ displaystyle  mathbf {a} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3},  cdots, a_ {n-1}, a_ {n}).}Diese Zahlen werden h\u00e4ufig wie folgt in einem Spalten- oder Zeilenvektor angeordnet, insbesondere wenn es sich um Matrizen handelt:ein=[a1a2a3]=[a1\u00a0a2\u00a0a3]T..{ displaystyle  mathbf {a} = { begin {bmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3} \\ end {bmatrix}} =[a_{1} a_{2} a_{3}]^ { operatorname {T}}.}Eine andere M\u00f6glichkeit, einen Vektor in darzustellen n-dimensions dient zur Einf\u00fchrung der Standardbasisvektoren.  Zum Beispiel gibt es in drei Dimensionen drei davon:e1=((1,0,0), e2=((0,1,0), e3=((0,0,1).{ displaystyle { mathbf {e}} _ {1} = (1,0,0),  { mathbf {e}} _ {2} = (0,1,0),  { mathbf {e }} _ {3} = (0,0,1).}Diese haben die intuitive Interpretation als Vektoren der L\u00e4ngeneinheit, die nach oben zeigen x-, y-, und z-Achse eines kartesischen Koordinatensystems.  In Bezug auf diese, jeder Vektor ein im R.3  kann ausgedr\u00fcckt werden in der Form:ein=((ein1,ein2,ein3)=ein1((1,0,0)+ein2((0,1,0)+ein3((0,0,1), { displaystyle  mathbf {a} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}) = a_ {1} (1,0,0) + a_ {2} (0,1,0) + a_ {3} (0,0,1), }oderein=ein1+ein2+ein3=ein1e1+ein2e2+ein3e3,{ displaystyle  mathbf {a} =  mathbf {a} _ {1} +  mathbf {a} _ {2} +  mathbf {a} _ {3} = a_ {1} { mathbf {e}} _ {1} + a_ {2} { mathbf {e}} _ {2} + a_ {3} { mathbf {e}} _ {3},}wo ein1, ein2, ein3 werden die genannt Vektorkomponenten (oder Vektorprojektionen) von ein auf der Basis von Vektoren oder \u00e4quivalent auf den entsprechenden kartesischen Achsen x, y, und z (siehe Abbildung), w\u00e4hrend ein1, ein2, ein3 sind die jeweiligen Skalarkomponenten (oder Skalarprojektionen).In einf\u00fchrenden Physiklehrb\u00fcchern werden h\u00e4ufig die Standardbasisvektoren bezeichnet ich,j,k{ displaystyle  mathbf {i},  mathbf {j},  mathbf {k}}  stattdessen (oder x^,y^,z^{ displaystyle  mathbf { hat {x}},  mathbf { hat {y}},  mathbf { hat {z}}}, in dem das Hutsymbol ^ bezeichnet typischerweise Einheitsvektoren).  In diesem Fall werden die Skalar- bzw. Vektorkomponenten bezeichnet einx, einy, einz, und einx, einy, einz  (Beachten Sie den Unterschied in Fettdruck).  So,ein=einx+einy+einz=einxich+einyj+einzk.{ displaystyle  mathbf {a} =  mathbf {a} _ {x} +  mathbf {a} _ {y} +  mathbf {a} _ {z} = a_ {x} { mathbf {i}} + a_ {y} { mathbf {j}} + a_ {z} { mathbf {k}}.}Die Notation eich  ist kompatibel mit der Indexnotation und der Summationskonvention, die \u00fcblicherweise in Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften auf h\u00f6herer Ebene verwendet werden.  Zersetzung oder Aufl\u00f6sung[edit]Wie oben erl\u00e4utert, wird ein Vektor h\u00e4ufig durch einen Satz von Vektorkomponenten beschrieben, die sich zu dem gegebenen Vektor addieren.  Typischerweise sind diese Komponenten die Projektionen des Vektors auf einen Satz von senkrecht zueinander stehenden Referenzachsen (Basisvektoren).  Der Vektor soll sein zersetzt oder gel\u00f6st in Bezug auf das Set.  Darstellung von tangentialen und normalen Komponenten eines Vektors zu einer Oberfl\u00e4che.Die Zerlegung oder Aufl\u00f6sung[15]  Die Einteilung eines Vektors in Komponenten ist nicht eindeutig, da dies von der Wahl der Achsen abh\u00e4ngt, auf die der Vektor projiziert wird.Dar\u00fcber hinaus kann die Verwendung von kartesischen Einheitsvektoren wie z x^,y^,z^{ displaystyle  mathbf { hat {x}},  mathbf { hat {y}},  mathbf { hat {z}}}  als Grundlage f\u00fcr die Darstellung eines Vektors ist nicht vorgeschrieben.  Vektoren k\u00f6nnen auch auf einer beliebigen Basis ausgedr\u00fcckt werden, einschlie\u00dflich der Einheitsvektoren eines Zylinderkoordinatensystems (\u03c1^,\u03d5^,z^{ displaystyle { boldsymbol { hat { rho}}}, { boldsymbol { hat { phi}}},  mathbf { hat {z}}}) oder sph\u00e4risches Koordinatensystem (r^,\u03b8^,\u03d5^{ displaystyle  mathbf { hat {r}}, { boldsymbol { hat { theta}}}, { boldsymbol { hat { phi}}}}).  Die beiden letztgenannten Optionen eignen sich besser zum L\u00f6sen von Problemen mit zylindrischer bzw. sph\u00e4rischer Symmetrie.Die Wahl einer Basis hat keinen Einfluss auf die Eigenschaften eines Vektors oder sein Verhalten bei Transformationen.Ein Vektor kann auch in Bezug auf “nicht feste” Basisvektoren aufgeteilt werden, die ihre Ausrichtung als Funktion von Zeit oder Raum \u00e4ndern.  Beispielsweise kann ein Vektor im dreidimensionalen Raum in Bezug auf zwei Achsen zerlegt werden normal, und Tangente zu einer Oberfl\u00e4che (siehe Abbildung).  Dar\u00fcber hinaus ist die radial und tangentiale Komponenten eines Vektors beziehen sich auf die Drehradius eines Objekts.  Ersteres verl\u00e4uft parallel zum Radius und letzteres ist orthogonal dazu.[16]In diesen F\u00e4llen kann jede der Komponenten wiederum in Bezug auf ein festes Koordinatensystem oder einen festen Basissatz zerlegt werden (z. B. a global Koordinatensystem oder Tr\u00e4gheitsreferenzrahmen).Grundeigenschaften[edit]Der folgende Abschnitt verwendet das kartesische Koordinatensystem mit Basisvektorene1=((1,0,0), e2=((0,1,0), e3=((0,0,1){ displaystyle { mathbf {e}} _ {1} = (1,0,0),  { mathbf {e}} _ {2} = (0,1,0),  { mathbf {e }} _ {3} = (0,0,1)}und nimmt an, dass alle Vektoren den Ursprung als gemeinsamen Basispunkt haben.  Ein Vektor ein wird geschrieben alsein=ein1e1+ein2e2+ein3e3.{ displaystyle { mathbf {a}} = a_ {1} { mathbf {e}} _ {1} + a_ {2} { mathbf {e}} _ {2} + a_ {3} { mathbf {e}} _ {3}.}Gleichberechtigung[edit]Zwei Vektoren gelten als gleich, wenn sie die gleiche Gr\u00f6\u00dfe und Richtung haben.  Gleicherma\u00dfen sind sie gleich, wenn ihre Koordinaten gleich sind.  Also zwei Vektorenein=ein1e1+ein2e2+ein3e3{ displaystyle { mathbf {a}} = a_ {1} { mathbf {e}} _ {1} + a_ {2} { mathbf {e}} _ {2} + a_ {3} { mathbf {e}} _ {3}}undb=b1e1+b2e2+b3e3{ displaystyle { mathbf {b}} = b_ {1} { mathbf {e}} _ {1} + b_ {2} { mathbf {e}} _ {2} + b_ {3} { mathbf {e}} _ {3}}sind gleich wennein1=b1,ein2=b2,ein3=b3.{ displaystyle a_ {1} = b_ {1},  quad a_ {2} = b_ {2},  quad a_ {3} = b_ {3}. ,}Gegen\u00fcberliegende, parallele und antiparallele Vektoren[edit]Zwei Vektoren sind entgegengesetzt, wenn sie die gleiche Gr\u00f6\u00dfe, aber die entgegengesetzte Richtung haben.  Also zwei Vektorenein=ein1e1+ein2e2+ein3e3{ displaystyle { mathbf {a}} = a_ {1} { mathbf {e}} _ {1} + a_ {2} { mathbf {e}} _ {2} + a_ {3} { mathbf {e}} _ {3}}undb=b1e1+b2e2+b3e3{ displaystyle { mathbf {b}} = b_ {1} { mathbf {e}} _ {1} + b_ {2} { mathbf {e}} _ {2} + b_ {3} { mathbf {e}} _ {3}}sind gegen\u00fcber, wennein1=– –b1,ein2=– –b2,ein3=– –b3.{ displaystyle a_ {1} = – b_ {1},  quad a_ {2} = – b_ {2},  quad a_ {3} = – b_ {3}. ,}Zwei Vektoren sind parallel, wenn sie dieselbe Richtung, aber nicht unbedingt dieselbe Gr\u00f6\u00dfe haben, oder antiparallel, wenn sie eine entgegengesetzte Richtung haben, aber nicht unbedingt dieselbe Gr\u00f6\u00dfe.Addition und Subtraktion[edit]Nehmen wir jetzt das an ein und b sind nicht unbedingt gleiche Vektoren, sondern k\u00f6nnen unterschiedliche Gr\u00f6\u00dfen und Richtungen haben.  Die Summe von ein und b istein+b=((ein1+b1)e1+((ein2+b2)e2+((ein3+b3)e3.{ displaystyle  mathbf {a} +  mathbf {b} = (a_ {1} + b_ {1})  mathbf {e} _ {1} + (a_ {2} + b_ {2})  mathbf { e} _ {2} + (a_ {3} + b_ {3})  mathbf {e} _ {3}.}Die Addition kann grafisch dargestellt werden, indem das Ende des Pfeils platziert wird b an der Spitze des Pfeils einund dann einen Pfeil aus dem Schwanz von ein an den Kopf von b.  Der neu gezeichnete Pfeil repr\u00e4sentiert den Vektor ein + b, wie unten dargestellt:[8]Diese Additionsmethode wird manchmal als bezeichnet Parallelogrammregel weil ein und b bilden die Seiten eines Parallelogramms und ein + b ist eine der Diagonalen.  Wenn ein und b sind gebundene Vektoren, die den gleichen Basispunkt haben, wird dieser Punkt auch der Basispunkt von sein ein + b.  Das kann man geometrisch \u00fcberpr\u00fcfen ein + b = b + ein und (ein + b) + c = ein + ((b + c).Der Unterschied von ein und b istein– –b=((ein1– –b1)e1+((ein2– –b2)e2+((ein3– –b3)e3.{ displaystyle  mathbf {a} –  mathbf {b} = (a_ {1} -b_ {1})  mathbf {e} _ {1} + (a_ {2} -b_ {2})  mathbf { e} _ {2} + (a_ {3} -b_ {3})  mathbf {e} _ {3}.}Die Subtraktion von zwei Vektoren kann wie folgt geometrisch dargestellt werden: Subtrahieren b von ein, platzieren Sie die Schw\u00e4nze von ein und b an der gleichen Stelle, und ziehen Sie dann einen Pfeil von der Spitze von b an den Kopf von ein.  Dieser neue Pfeil repr\u00e4sentiert den Vektor (-b) + einmit (-b) das Gegenteil von sein  b, Zeichnung sehen.  Und (-b) + ein = ein – – b.Skalarmultiplikation[edit]  Die skalare Multiplikation eines Vektors mit dem Faktor 3 streckt den Vektor aus.Ein Vektor kann auch multipliziert oder erneut verwendet werdenskaliertdurch eine reelle Zahl r.  Im Kontext der konventionellen Vektoralgebra werden diese reellen Zahlen h\u00e4ufig genannt Skalare (von Rahmen), um sie von Vektoren zu unterscheiden.  Die Operation des Multiplizierens eines Vektors mit einem Skalar wird aufgerufen Skalarmultiplikation.  Der resultierende Vektor istrein=((rein1)e1+((rein2)e2+((rein3)e3.{ displaystyle r  mathbf {a} = (ra_ {1})  mathbf {e} _ {1} + (ra_ {2})  mathbf {e} _ {2} + (ra_ {3})  mathbf {e} _ {3}.}Intuitiv mit einem Skalar multiplizieren r streckt einen Vektor um einen Faktor von aus r.  Geometrisch kann dies visualisiert werden (zumindest in dem Fall, wenn r ist eine ganze Zahl) als Platzierung r Kopien des Vektors in einer Linie, in der der Endpunkt eines Vektors der Anfangspunkt des n\u00e4chsten Vektors ist.Wenn r negativ ist, \u00e4ndert der Vektor die Richtung: Er dreht sich um einen Winkel von 180 \u00b0.  Zwei Beispiele (r = \u22121 und r = 2) sind unten angegeben:  Die skalaren Multiplikationen –ein und 2ein eines Vektors einDie Skalarmultiplikation verteilt sich \u00fcber die Vektoraddition im folgenden Sinne: r((ein + b) = rein + rb f\u00fcr alle Vektoren ein und b und alle Skalare r.  Das kann man auch zeigen ein – – b = ein + (\u22121)b.L\u00e4nge[edit]Das L\u00e4nge oder Gr\u00f6\u00dfe oder Norm des Vektors ein wird mit \u2016 bezeichnetein\u2016 Oder seltener |ein|, was nicht mit dem Absolutwert (einer skalaren “Norm”) zu verwechseln ist.Die L\u00e4nge des Vektors ein kann mit der euklidischen Norm berechnet werden\u2016ein\u2016=ein12+ein22+ein32{ displaystyle  left  |  mathbf {a}  right  | = { sqrt {a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2}}}Dies ist eine Folge des Satzes von Pythagoras seit den Basisvektoren e1, e2, e3 sind orthogonale Einheitsvektoren.Dies ist zuf\u00e4llig gleich der Quadratwurzel des unten diskutierten Punktprodukts des Vektors mit sich selbst:\u2016ein\u2016=ein\u22c5ein.{ displaystyle  left  |  mathbf {a}  right  | = { sqrt { mathbf {a}  cdot  mathbf {a}}}.}Einheitsvektor  Die Normalisierung eines Vektors ein in einen Einheitsvektor einEIN Einheitsvektor ist ein beliebiger Vektor mit einer L\u00e4nge von eins;  Normalerweise werden Einheitsvektoren einfach verwendet, um die Richtung anzuzeigen.  Ein Vektor beliebiger L\u00e4nge kann durch seine L\u00e4nge geteilt werden, um einen Einheitsvektor zu erzeugen.[17]  Dies ist bekannt als normalisieren ein Vektor.  Ein Einheitsvektor wird oft mit einem Hut wie in angezeigt ein.Einen Vektor normalisieren ein = (ein1, ein2, ein3)skalieren Sie den Vektor um den Kehrwert seiner L\u00e4nge \u2016ein\u2016.  Das ist:ein^=ein\u2016ein\u2016=ein1\u2016ein\u2016e1+ein2\u2016ein\u2016e2+ein3\u2016ein\u2016e3{ displaystyle  mathbf { hat {a}} = { frac { mathbf {a}} { left  |  mathbf {a}  right  |}} = { frac {a_ {1}} {  left  |  mathbf {a}  right  |}}  mathbf {e} _ {1} + { frac {a_ {2}} { left  |  mathbf {a}  right  |}}  mathbf {e} _ {2} + { frac {a_ {3}} { left  |  mathbf {a}  right  |}}  mathbf {e} _ {3}}NullvektorDas Nullvektor ist der Vektor mit der L\u00e4nge Null.  In Koordinaten geschrieben ist der Vektor (0, 0, 0)und es wird allgemein bezeichnet 0\u2192{ displaystyle { vec {0}}}, 0oder einfach 0.[4]  Im Gegensatz zu jedem anderen Vektor hat er eine beliebige oder unbestimmte Richtung und kann nicht normalisiert werden (dh es gibt keinen Einheitsvektor, der ein Vielfaches des Nullvektors ist).  Die Summe des Nullvektors mit einem beliebigen Vektor ein ist ein (das ist, 0 + ein = ein).Skalarprodukt[edit]Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ein und b (manchmal auch als bezeichnet Innenprodukt, oder, da sein Ergebnis ein Skalar ist, die Skalarprodukt) wird mit bezeichnet ein \u2219 b,[4]  und ist definiert als:ein\u22c5b=\u2016ein\u2016\u2016b\u2016cos\u2061\u03b8{ displaystyle  mathbf {a}  cdot  mathbf {b} =  left  |  mathbf {a}  right  |  left  |  mathbf {b}  right  |  cos  theta}wo \u03b8 ist das Ma\u00df f\u00fcr den Winkel zwischen ein und b (Eine Erkl\u00e4rung des Kosinus finden Sie in der trigonometrischen Funktion.)  Geometrisch bedeutet dies, dass ein und b werden mit einem gemeinsamen Startpunkt gezeichnet, und dann die L\u00e4nge von ein wird mit der L\u00e4nge der Komponente von multipliziert b das zeigt in die gleiche Richtung wie ein.Das Punktprodukt kann auch als die Summe der Produkte der Komponenten jedes Vektors als definiert werdenein\u22c5b=ein1b1+ein2b2+ein3b3.{ displaystyle  mathbf {a}  cdot  mathbf {b} = a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} + a_ {3} b_ {3}.}Kreuzprodukt[edit]Das Kreuzprodukt (auch die genannt Vektorprodukt oder Au\u00dfenprodukt) ist nur in drei oder sieben Dimensionen sinnvoll.  Das Kreuzprodukt unterscheidet sich vom Punktprodukt haupts\u00e4chlich dadurch, dass das Ergebnis des Kreuzprodukts zweier Vektoren ein Vektor ist.  Das bezeichnete Kreuzprodukt ein \u00d7 bist ein Vektor senkrecht zu beiden ein und b und ist definiert alsein\u00d7b=\u2016ein\u2016\u2016b\u2016S\u00fcnde\u2061((\u03b8)n{ displaystyle  mathbf {a}  times  mathbf {b} =  left  |  mathbf {a}  right  |  left  |  mathbf {b}  right  |  sin ( theta) ,  mathbf {n}}wo \u03b8 ist das Ma\u00df f\u00fcr den Winkel zwischen ein und b, und n ist ein Einheitsvektor senkrecht zu beiden ein und b das vervollst\u00e4ndigt ein rechtsh\u00e4ndiges System.  Die Einschr\u00e4nkung der Rechtsh\u00e4ndigkeit ist erforderlich, da sie vorhanden ist zwei Einheitsvektoren, die senkrecht zu beiden sind ein und bn\u00e4mlich. n und (-n).  Eine Illustration des KreuzproduktsDas Kreuzprodukt ein \u00d7 b ist so definiert, dass ein, b, und ein \u00d7 b wird auch ein rechtsh\u00e4ndiges System (obwohl ein und b sind nicht unbedingt orthogonal).  Dies ist die rechte Regel.Die L\u00e4nge von ein \u00d7 b kann als die Fl\u00e4che des Parallelogramms mit interpretiert werden ein und b als Seiten.Das Kreuzprodukt kann geschrieben werden alsein\u00d7b=((ein2b3– –ein3b2)e1+((ein3b1– –ein1b3)e2+((ein1b2– –ein2b1)e3.{ displaystyle { mathbf {a}}  times { mathbf {b}} = (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) { mathbf {e}} _ {1} + (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}) { mathbf {e}} _ {2} + (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1} ) { mathbf {e}} _ {3}.}F\u00fcr willk\u00fcrliche Entscheidungen der r\u00e4umlichen Ausrichtung (dh f\u00fcr linksh\u00e4ndige und rechtsh\u00e4ndige Koordinatensysteme) ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren ein Pseudovektor anstelle eines Vektors (siehe unten).Skalares Dreifachprodukt[edit]Das skalares dreifaches Produkt (auch die genannt Box Produkt oder gemischtes dreifaches Produkt) ist nicht wirklich ein neuer Operator, sondern eine M\u00f6glichkeit, die beiden anderen Multiplikationsoperatoren auf drei Vektoren anzuwenden.  Das skalare Dreifachprodukt wird manchmal mit (ein b c) und definiert als:((ein b c)=ein\u22c5((b\u00d7c).{ displaystyle ( mathbf {a}   mathbf {b}   mathbf {c}) =  mathbf {a}  cdot ( mathbf {b}  times  mathbf {c}).}Es hat drei Hauptverwendungen.  Erstens ist der absolute Wert des Boxprodukts das Volumen des Parallelepipeds, dessen Kanten durch die drei Vektoren definiert sind.  Zweitens ist das skalare Tripelprodukt genau dann Null, wenn die drei Vektoren linear abh\u00e4ngig sind, was leicht bewiesen werden kann, wenn man bedenkt, dass die drei Vektoren, damit sie kein Volumen bilden, alle in derselben Ebene liegen m\u00fcssen.  Drittens ist das Boxprodukt genau dann positiv, wenn die drei Vektoren ein, b und c sind Rechtsh\u00e4nder.In Komponenten (in Bezug auf eine rechtsh\u00e4ndige orthonormale Basis) Wenn die drei Vektoren als Zeilen (oder Spalten, aber in derselben Reihenfolge) betrachtet werden, ist das skalare Tripelprodukt einfach die Determinante der 3-mal-3-Matrix mit den drei Vektoren als Zeilen((ein b c)=|((ein1ein2ein3b1b2b3c1c2c3)|{ displaystyle ( mathbf {a}   mathbf {b}   mathbf {c}) =  left | { begin {pmatrix} a_ {1} & a_ {2} & a_ {3} \\ b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} \\ c_ {1} & c_ {2} & c_ {3} \\ end {pmatrix}}  right |}Das skalare Dreifachprodukt ist in allen drei Eintr\u00e4gen linear und im folgenden Sinne antisymmetrisch:((ein b c)=((c ein b)=((b c ein)=– –((ein c b)=– –((b ein c)=– –((c b ein).{ displaystyle ( mathbf {a}   mathbf {b}   mathbf {c}) = ( mathbf {c}   mathbf {a}   mathbf {b}) = ( mathbf {b}   mathbf {c}   mathbf {a}) = – ( mathbf {a}   mathbf {c}   mathbf {b}) = – ( mathbf {b}   mathbf {a}   mathbf {c}) = – ( mathbf {c}   mathbf {b}   mathbf {a}).}Umwandlung zwischen mehreren kartesischen Basen[edit]Alle bisherigen Beispiele haben sich mit Vektoren befasst, die auf derselben Basis ausgedr\u00fcckt wurden, n\u00e4mlich der e Basis {e1, e2, e3}.  Ein Vektor kann jedoch in Form einer beliebigen Anzahl verschiedener Basen ausgedr\u00fcckt werden, die nicht unbedingt miteinander ausgerichtet sind und dennoch der gleiche Vektor bleiben.  In dem e Basis ein Vektor ein wird per Definition ausgedr\u00fcckt alsein=pe1+qe2+re3{ displaystyle  mathbf {a} = p  mathbf {e} _ {1} + q  mathbf {e} _ {2} + r  mathbf {e} _ {3}}.Die Skalarkomponenten in der e Basis sind per Definition,p=ein\u22c5e1{ displaystyle p =  mathbf {a}  cdot  mathbf {e} _ {1}},q=ein\u22c5e2{ displaystyle q =  mathbf {a}  cdot  mathbf {e} _ {2}},r=ein\u22c5e3{ displaystyle r =  mathbf {a}  cdot  mathbf {e} _ {3}}.Auf einer anderen orthonormalen Basis n = {n1, n2, n3} das ist nicht unbedingt ausgerichtet mit e, der Vektor ein wird ausgedr\u00fcckt alsein=un1+vn2+wn3{ displaystyle  mathbf {a} = u  mathbf {n} _ {1} + v  mathbf {n} _ {2} + w  mathbf {n} _ {3}}und die skalaren Komponenten in der n Basis sind per Definition,u=ein\u22c5n1{ displaystyle u =  mathbf {a}  cdot  mathbf {n} _ {1}},v=ein\u22c5n2{ displaystyle v =  mathbf {a}  cdot  mathbf {n} _ {2}},w=ein\u22c5n3{ displaystyle w =  mathbf {a}  cdot  mathbf {n} _ {3}}.Die Werte von p, q, r, und u, v, w beziehen sich auf die Einheitsvektoren so, dass die resultierende Vektorsumme genau der gleiche physikalische Vektor ist ein in beiden F\u00e4llen.  Es ist \u00fcblich, Vektoren zu treffen, die in Bezug auf verschiedene Basen bekannt sind (zum Beispiel eine Basis, die an der Erde befestigt ist, und eine zweite Basis, die an einem sich bewegenden Fahrzeug befestigt ist).  In einem solchen Fall ist es notwendig, ein Verfahren zum Konvertieren zwischen Basen zu entwickeln, damit die grundlegenden Vektoroperationen wie Addition und Subtraktion ausgef\u00fchrt werden k\u00f6nnen.  Ein Weg, um auszudr\u00fccken u, v, w bez\u00fcglich p, q, r besteht darin, Spaltenmatrizen zusammen mit einer Richtungskosinusmatrix zu verwenden, die die Informationen enth\u00e4lt, die die beiden Basen in Beziehung setzen.  Ein solcher Ausdruck kann durch Ersetzen der obigen Gleichungen gebildet werden, um sich zu bildenu=((pe1+qe2+re3)\u22c5n1{ displaystyle u = (p  mathbf {e} _ {1} + q  mathbf {e} _ {2} + r  mathbf {e} _ {3})  cdot  mathbf {n} _ {1} }},v=((pe1+qe2+re3)\u22c5n2{ displaystyle v = (p  mathbf {e} _ {1} + q  mathbf {e} _ {2} + r  mathbf {e} _ {3})  cdot  mathbf {n} _ {2} }},w=((pe1+qe2+re3)\u22c5n3{ displaystyle w = (p  mathbf {e} _ {1} + q  mathbf {e} _ {2} + r  mathbf {e} _ {3})  cdot  mathbf {n} _ {3} }}.Das Verteilen der Punktmultiplikation ergibtu=pe1\u22c5n1+qe2\u22c5n1+re3\u22c5n1{ displaystyle u = p  mathbf {e} _ {1}  cdot  mathbf {n} _ {1} + q  mathbf {e} _ {2}  cdot  mathbf {n} _ {1} + r  mathbf {e} _ {3}  cdot  mathbf {n} _ {1}},v=pe1\u22c5n2+qe2\u22c5n2+re3\u22c5n2{ displaystyle v = p  mathbf {e} _ {1}  cdot  mathbf {n} _ {2} + q  mathbf {e} _ {2}  cdot  mathbf {n} _ {2} + r  mathbf {e} _ {3}  cdot  mathbf {n} _ {2}},w=pe1\u22c5n3+qe2\u22c5n3+re3\u22c5n3{ displaystyle w = p  mathbf {e} _ {1}  cdot  mathbf {n} _ {3} + q  mathbf {e} _ {2}  cdot  mathbf {n} _ {3} + r  mathbf {e} _ {3}  cdot  mathbf {n} _ {3}}.Das Ersetzen jedes Punktprodukts durch einen eindeutigen Skalar ergibtu=c11p+c12q+c13r{ displaystyle u = c_ {11} p + c_ {12} q + c_ {13} r},v=c21p+c22q+c23r{ displaystyle v = c_ {21} p + c_ {22} q + c_ {23} r},w=c31p+c32q+c33r{ displaystyle w = c_ {31} p + c_ {32} q + c_ {33} r},und diese Gleichungen k\u00f6nnen als Einzelmatrixgleichung ausgedr\u00fcckt werden[uvw]=[c11c12c13c21c22c23c31c32c33][pqr]{ displaystyle { begin {bmatrix} u \\ v \\ w \\ end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} c_ {11} & c_ {12} & c_ {13} \\ c_ {21} & c_ {22} & c_ {23} \\ c_ {31} & c_ {32} & c_ {33}  end {bmatrix}} { begin {bmatrix} p \\ q \\ r  end {bmatrix}}}.Diese Matrixgleichung bezieht sich auf die Skalarkomponenten von ein in dem n Basis (u,v, und w) mit denen in der e Basis (p, q, und r).  Jedes Matrixelement cjk  ist die Richtung Cosinus in Bezug nj  zu ek.[18]  Der Begriff Richtung Kosinus bezieht sich auf den Kosinus des Winkels zwischen zwei Einheitsvektoren, der auch gleich ihrem Punktprodukt ist.[18]  Deshalb,c11=n1\u22c5e1{ displaystyle c_ {11} =  mathbf {n} _ {1}  cdot  mathbf {e} _ {1}}c12=n1\u22c5e2{ displaystyle c_ {12} =  mathbf {n} _ {1}  cdot  mathbf {e} _ {2}}c13=n1\u22c5e3{ displaystyle c_ {13} =  mathbf {n} _ {1}  cdot  mathbf {e} _ {3}}c21=n2\u22c5e1{ displaystyle c_ {21} =  mathbf {n} _ {2}  cdot  mathbf {e} _ {1}}c22=n2\u22c5e2{ displaystyle c_ {22} =  mathbf {n} _ {2}  cdot  mathbf {e} _ {2}}c23=n2\u22c5e3{ displaystyle c_ {23} =  mathbf {n} _ {2}  cdot  mathbf {e} _ {3}}c31=n3\u22c5e1{ displaystyle c_ {31} =  mathbf {n} _ {3}  cdot  mathbf {e} _ {1}}c32=n3\u22c5e2{ displaystyle c_ {32} =  mathbf {n} _ {3}  cdot  mathbf {e} _ {2}}c33=n3\u22c5e3{ displaystyle c_ {33} =  mathbf {n} _ {3}  cdot  mathbf {e} _ {3}}Indem wir uns gemeinsam auf beziehen e1, e2, e3 als die e Basis und zu n1, n2, n3 als die n Basis enth\u00e4lt die Matrix alle cjk  ist bekannt als “Transformationsmatrix von e zu n“, oder der “Rotationsmatrix von e zu n“(weil es sich als” Rotation “eines Vektors von einer Basis zur anderen vorstellen l\u00e4sst) oder”Richtungskosinusmatrix von e zu n“”[18]  (weil es Richtungskosinus enth\u00e4lt).  Die Eigenschaften einer Rotationsmatrix sind so, dass ihre Inverse gleich ihrer Transponierten ist.  Dies bedeutet, dass die “Rotationsmatrix aus e zu n“ist die Transponierte von” Rotationsmatrix aus n zu e“.Die Eigenschaften einer Richtungskosinusmatrix C sind:[19]die Determinante ist die Einheit | C |  = 1die Umkehrung ist gleich der Transponierten,Die Zeilen und Spalten sind orthogonale Einheitsvektoren, daher sind ihre Punktprodukte Null.Der Vorteil dieses Verfahrens besteht darin, dass eine Richtungskosinusmatrix normalerweise unabh\u00e4ngig erhalten werden kann, indem Eulerwinkel oder eine Quaternion verwendet werden, um die beiden Vektorbasen in Beziehung zu setzen, so dass die Basiskonvertierungen direkt durchgef\u00fchrt werden k\u00f6nnen, ohne dass alle oben beschriebenen Punktprodukte berechnet werden m\u00fcssen .Durch aufeinanderfolgendes Anwenden mehrerer Matrixmultiplikationen kann jeder Vektor auf jeder Basis ausgedr\u00fcckt werden, solange der Satz von Richtungskosinussen bekannt ist, die die aufeinanderfolgenden Basen betreffen.[18]Andere Abmessungen[edit]Mit Ausnahme der Kreuz- und Dreifachprodukte verallgemeinern sich die obigen Formeln auf zwei Dimensionen und h\u00f6here Dimensionen.  Zum Beispiel verallgemeinert die Addition auf zwei Dimensionen als((ein1e1+ein2e2)+((b1e1+b2e2)=((ein1+b1)e1+((ein2+b2)e2{ displaystyle (a_ {1} { mathbf {e}} _ {1} + a_ {2} { mathbf {e}} _ {2}) + (b_ {1} { mathbf {e}} _ {1} + b_ {2} { mathbf {e}} _ {2}) = (a_ {1} + b_ {1}) { mathbf {e}} _ {1} + (a_ {2} + b_ {2}) { mathbf {e}} _ {2}}und in vier Dimensionen als((ein1e1+ein2e2+ein3e3+ein4e4)+((b1e1+b2e2+b3e3+b4e4)=((ein1+b1)e1+((ein2+b2)e2+((ein3+b3)e3+((ein4+b4)e4.{ displaystyle { begin {align} (a_ {1} { mathbf {e}} _ {1} + a_ {2} { mathbf {e}} _ {2} + a_ {3} { mathbf { e}} _ {3} + a_ {4} { mathbf {e}} _ {4}) & + (b_ {1} { mathbf {e}} _ {1} + b_ {2} { mathbf {e}} _ {2} + b_ {3} { mathbf {e}} _ {3} + b_ {4} { mathbf {e}} _ {4}) = \\ (a_ {1} + b_ {1}) { mathbf {e}} _ {1} + (a_ {2} + b_ {2}) { mathbf {e}} _ {2} & + (a_ {3} + b_ {3 }) { mathbf {e}} _ {3} + (a_ {4} + b_ {4}) { mathbf {e}} _ {4}.  end {align}}}Das Kreuzprodukt l\u00e4sst sich nicht ohne weiteres auf andere Dimensionen verallgemeinern, obwohl dies das eng verwandte Au\u00dfenprodukt tut, dessen Ergebnis ein Bivektor ist.  In zwei Dimensionen ist dies einfach ein Pseudoskalar((ein1e1+ein2e2)\u2227((b1e1+b2e2)=((ein1b2– –ein2b1)e1e2.{ displaystyle (a_ {1} { mathbf {e}} _ {1} + a_ {2} { mathbf {e}} _ {2})  wedge (b_ {1} { mathbf {e}} _ {1} + b_ {2} { mathbf {e}} _ {2}) = (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1})  mathbf {e} _ {1}  mathbf {e} _ {2}.}Ein siebendimensionales Kreuzprodukt \u00e4hnelt dem Kreuzprodukt darin, dass sein Ergebnis ein Vektor ist, der orthogonal zu den beiden Argumenten ist.  Es gibt jedoch keine nat\u00fcrliche M\u00f6glichkeit, eines der m\u00f6glichen derartigen Produkte auszuw\u00e4hlen.Physik[edit]Vektoren haben viele Anwendungen in der Physik und anderen Wissenschaften.L\u00e4nge und Einheiten[edit]In abstrakten Vektorr\u00e4umen h\u00e4ngt die L\u00e4nge des Pfeils von einer dimensionslosen Skala ab.  Wenn es zum Beispiel eine Kraft darstellt, hat die “Skala” die physikalische Dimension L\u00e4nge \/ Kraft.  Somit besteht typischerweise eine Konsistenz in der Skalierung zwischen Mengen derselben Dimension, andernfalls k\u00f6nnen die Skalierungsverh\u00e4ltnisse variieren;  Wenn beispielsweise “1 Newton” und “5 m” beide mit einem Pfeil von 2 cm dargestellt werden, betragen die Ma\u00dfst\u00e4be 1 m: 50 N bzw. 1: 250.  Die gleiche L\u00e4nge von Vektoren unterschiedlicher Dimension hat keine besondere Bedeutung, es sei denn, dem System, das das Diagramm darstellt, ist eine Proportionalit\u00e4tskonstante inh\u00e4rent.  Auch die L\u00e4nge eines Einheitsvektors (der Dimensionsl\u00e4nge, nicht der L\u00e4nge \/ Kraft usw.) hat keine koordinatensysteminvariante Bedeutung.Vektorwertige Funktionen[edit]In Bereichen der Physik und Mathematik entwickelt sich ein Vektor h\u00e4ufig mit der Zeit, was bedeutet, dass er von einem Zeitparameter abh\u00e4ngt t.  Zum Beispiel, wenn r repr\u00e4sentiert dann den Positionsvektor eines Teilchens r((t) gibt eine parametrische Darstellung der Flugbahn des Partikels.  Vektorwertige Funktionen k\u00f6nnen durch Differenzieren oder Integrieren der Komponenten des Vektors differenziert und integriert werden, und viele der bekannten Regeln aus dem Kalk\u00fcl gelten weiterhin f\u00fcr die Ableitung und das Integral von vektorwertigen Funktionen.Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung[edit]Die Position eines Punktes x = (x1, x2, x3) im dreidimensionalen Raum kann als Positionsvektor dargestellt werden, dessen Basispunkt der Ursprung istx=x1e1+x2e2+x3e3.{ displaystyle { mathbf {x}} = x_ {1} { mathbf {e}} _ {1} + x_ {2} { mathbf {e}} _ {2} + x_ {3} { mathbf {e}} _ {3}.}Der Positionsvektor hat L\u00e4ngenma\u00dfe.Gegeben zwei Punkte x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ihre Verschiebung ist ein Vektory– –x=((y1– –x1)e1+((y2– –x2)e2+((y3– –x3)e3.{ displaystyle { mathbf {y}} – { mathbf {x}} = (y_ {1} -x_ {1}) { mathbf {e}} _ {1} + (y_ {2} -x_ { 2}) { mathbf {e}} _ {2} + (y_ {3} -x_ {3}) { mathbf {e}} _ {3}.}welches die Position von angibt y relativ zu x.  Die L\u00e4nge dieses Vektors gibt den geradlinigen Abstand von an x zu y.  Die Verschiebung hat die Abmessungen der L\u00e4nge.Die Geschwindigkeit v eines Punktes oder Teilchens ist ein Vektor, dessen L\u00e4nge die Geschwindigkeit angibt.  Bei konstanter Geschwindigkeit die Position zum Zeitpunkt t wird seinxt=tv+x0,{ displaystyle { mathbf {x}} _ {t} = t { mathbf {v}} + { mathbf {x}} _ {0},}wo x0 ist die Position zum Zeitpunkt t = 0. Geschwindigkeit ist die zeitliche Ableitung der Position.  Seine Abmessungen sind L\u00e4nge \/ Zeit.Beschleunigung ein eines Punktes ist ein Vektor, der die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit ist.  Seine Abmessungen sind L\u00e4nge \/ Zeit2.Kraft, Energie, Arbeit[edit]Kraft ist ein Vektor mit Dimensionen von Masse \u00d7 L\u00e4nge \/ Zeit2 und Newtons zweites Gesetz ist die SkalarmultiplikationF.=mein{ displaystyle { mathbf {F}} = m { mathbf {a}}}Arbeit ist das Punktprodukt von Kraft und VerschiebungE.=F.\u22c5((x2– –x1).{ displaystyle E = { mathbf {F}}  cdot ({ mathbf {x}} _ {2} – { mathbf {x}} _ {1}).}Vektoren, Pseudovektoren und Transformationen[edit]Eine alternative Charakterisierung euklidischer Vektoren, insbesondere in der Physik, beschreibt sie als Listen von Gr\u00f6\u00dfen, die sich unter einer Koordinatentransformation auf bestimmte Weise verhalten.  EIN kontravarianter Vektor ist erforderlich, um Komponenten zu haben, die sich bei Basis\u00e4nderungen “entgegengesetzt zur Basis transformieren”.  Der Vektor selbst \u00e4ndert sich nicht, wenn die Basis transformiert wird.  Stattdessen nehmen die Komponenten des Vektors eine \u00c4nderung vor, die die \u00c4nderung in der Basis aufhebt.  Mit anderen Worten, wenn die Referenzachsen (und die daraus abgeleitete Basis) in eine Richtung gedreht w\u00fcrden, w\u00fcrde sich die Komponentendarstellung des Vektors in die entgegengesetzte Weise drehen, um denselben Endvektor zu erzeugen.  In \u00e4hnlicher Weise w\u00fcrden sich die Komponenten des Vektors auf genau kompensierende Weise verringern, wenn die Referenzachsen in eine Richtung gestreckt w\u00fcrden.  Mathematisch, wenn die Basis eine Transformation durchl\u00e4uft, die durch eine invertierbare Matrix beschrieben wird M., so dass ein Koordinatenvektor x verwandelt sich in x‘= M.xdann ein kontravarianter Vektor v muss in \u00e4hnlicher Weise \u00fcber transformiert werden v‘= M.– –1{ displaystyle ^ {- 1}}v.  Diese wichtige Anforderung unterscheidet einen kontravarianten Vektor von jedem anderen Dreifach physikalisch bedeutsamer Gr\u00f6\u00dfen.  Zum Beispiel wenn v besteht aus dem x, y, und z-Komponenten der Geschwindigkeit also v ist ein kontravarianter Vektor: Wenn die Koordinaten des Raums gedehnt, gedreht oder verdreht werden, transformieren sich die Komponenten der Geschwindigkeit auf dieselbe Weise.  Andererseits k\u00f6nnte beispielsweise ein Tripel, das aus der L\u00e4nge, Breite und H\u00f6he eines rechteckigen Kastens besteht, die drei Komponenten eines abstrakten Vektors bilden, aber dieser Vektor w\u00e4re nicht kontravariant, da das Drehen des Kastens das nicht \u00e4ndert L\u00e4nge, Breite und H\u00f6he der Box.  Beispiele f\u00fcr kontravariante Vektoren umfassen Verschiebung, Geschwindigkeit, elektrisches Feld, Impuls, Kraft und Beschleunigung.In der Sprache der Differentialgeometrie entspricht die Anforderung, dass sich die Komponenten eines Vektors gem\u00e4\u00df derselben Matrix des Koordinaten\u00fcbergangs transformieren, der Definition von a kontravarianter Vektor ein Tensor von kontravarianten Rang eins zu sein.  Alternativ wird ein Kontravariantenvektor als Tangentenvektor definiert, und die Regeln zum Transformieren eines Kontravariantenvektors folgen aus der Kettenregel.Einige Vektoren transformieren sich wie kontravariante Vektoren, au\u00dfer dass sie sich drehen, wenn sie durch einen Spiegel reflektiert werden und ein Minuszeichen erhalten.  Eine Transformation, die Rechtsh\u00e4ndigkeit auf Linksh\u00e4ndigkeit umschaltet und umgekehrt, wie es ein Spiegel tut, soll das \u00e4ndern Orientierung Raum.  Ein Vektor, der ein Minuszeichen erh\u00e4lt, wenn sich die Ausrichtung des Raums \u00e4ndert, wird als a bezeichnet Pseudovektor oder ein axialer Vektor.  Gew\u00f6hnliche Vektoren werden manchmal genannt wahre Vektoren oder polare Vektoren um sie von Pseudovektoren zu unterscheiden.  Pseudovektoren treten am h\u00e4ufigsten als Kreuzprodukt zweier gew\u00f6hnlicher Vektoren auf.Ein Beispiel f\u00fcr einen Pseudovektor ist die Winkelgeschwindigkeit.  Wenn Sie in einem Auto fahren und nach vorne schauen, hat jedes der R\u00e4der einen Winkelgeschwindigkeitsvektor, der nach links zeigt.  Wenn sich die Welt in einem Spiegel spiegelt, der die linke und rechte Seite des Autos wechselt, wird die Betrachtung dieses Winkelgeschwindigkeitsvektors zeigt nach rechts, aber der tats\u00e4chlich Der Winkelgeschwindigkeitsvektor des Rades zeigt immer noch nach links, entsprechend dem Minuszeichen.  Andere Beispiele f\u00fcr Pseudovektoren umfassen Magnetfeld, Drehmoment oder allgemeiner jedes Kreuzprodukt zweier (wahrer) Vektoren.Diese Unterscheidung zwischen Vektoren und Pseudovektoren wird oft ignoriert, wird jedoch bei der Untersuchung der Symmetrieeigenschaften wichtig.  Siehe Parit\u00e4t (Physik).Siehe auch[edit]^ Ivanov 2001 Harvnb-Fehler: kein Ziel: CITEREFIvanov2001 (Hilfe)^ Heinbockel 2001^ It\u00f4 1993, p.  1678;  Pedoe 1988^ ein b c d “Kompendium der mathematischen Symbole”. Math Vault.  2020-03-01.  Abgerufen 2020-08-19.^ Lateinisch: vectus, perfektes Partizip von vehere, “tragen” \/ veho = “Ich trage”.  Zur historischen Entwicklung des Wortes Vektor, sehen “Vektor n.“”. Oxford Englisch W\u00f6rterbuch (Online-Ausgabe).  Oxford University Press. (Abonnement oder teilnehmende Institution Mitgliedschaft erforderlich.) und Jeff Miller. “Fr\u00fcheste bekannte Verwendung einiger der W\u00f6rter der Mathematik”.  Abgerufen 2007-05-25.^ Das Oxford Englisch W\u00f6rterbuch (2. Aufl.).  London: Claredon Press.  2001. ISBN 9780195219425.^ ein b “Vektor | Definition & Fakten”. Enzyklop\u00e4die Britannica.  Abgerufen 2020-08-19.^ ein b c “Vektoren”. www.mathsisfun.com.  Abgerufen 2020-08-19.^ Weisstein, Eric W. “Vektor”. mathworld.wolfram.com.  Abgerufen 2020-08-19.^ ein b c d Michael J. Crowe, Eine Geschichte der Vektoranalyse;  siehe auch seine “Vorlesungsnotizen” (PDF).  Archiviert von das Original (PDF) am 26. Januar 2004.  Abgerufen 04.09.2010.  zum Thema.^ WR Hamilton (1846) London, Edinburgh & Dublin Philosophical Magazine 3. Serie 29 27^ It\u00f4 1993, p.  1678^ Fr\u00fcher bekannt als lokalisierter Vektor.  Siehe Lang 1986, p.  9.^ Thermodynamik und Differentialformen^ Gibbs, JW (1901). Vektoranalyse: Ein Lehrbuch f\u00fcr Studenten der Mathematik und Physik, das auf den Vorlesungen von J. Willard Gibbs basiert, von EB Wilson, Chares Scribner’s Sons, New York, p.  15: “Beliebiger Vektor r  koplanar mit zwei nicht kollinearen Vektoren ein  und b  kann in zwei Komponenten parallel zu aufgel\u00f6st werden ein  und b  beziehungsweise.  Diese Aufl\u00f6sung kann durch Erstellen des Parallelogramms erreicht werden … “^ U. Guelph Physics Dept., “Drehmoment- und Winkelbeschleunigung”^ 1.1: Vektoren. Mathematik LibreTexts.  2013-11-07.  Abgerufen 2020-08-19.^ ein b c d Kane & Levinson 1996, S. 20\u201322^ M., Rogers, Robert (2007). Angewandte Mathematik in integrierten Navigationssystemen (3. Aufl.).  Reston, Va.: Amerikanisches Institut f\u00fcr Luft- und Raumfahrt.  ISBN 9781563479274.  OCLC 652389481.Verweise[edit]Mathematische Behandlungen[edit]Apostol, Tom (1967). Infinitesimalrechnung.  Vol.  1: Einvariablenrechnung mit Einf\u00fchrung in die lineare Algebra.  Wiley.  ISBN 978-0-471-00005-1.CS1-Wartung: ref = harv (Link)Apostol, Tom (1969). Infinitesimalrechnung.  Vol.  2: Multi-Variablen-Kalk\u00fcl und lineare Algebra mit Anwendungen.  Wiley.  ISBN 978-0-471-00007-5.CS1-Wartung: ref = harv (Link)Heinbockel, JH (2001), Einf\u00fchrung in die Tensorrechnung und die Kontinuumsmechanik, Trafford Publishing, ISBN 1-55369-133-4.It\u00f4, Kiyosi (1993), Enzyklop\u00e4disches W\u00f6rterbuch der Mathematik (2. Aufl.), MIT Press, ISBN 978-0-262-59020-4.Ivanov, AB (2001) [1994], “Vektor”, Enzyklop\u00e4die der Mathematik, EMS Press.Kane, Thomas R.;  Levinson, David A. (1996), Dynamik online, Sunnyvale, Kalifornien: OnLine Dynamics.Lang, Serge (1986). Einf\u00fchrung in die lineare Algebra (2. Aufl.).  Springer.  ISBN 0-387-96205-0.CS1-Wartung: ref = harv (Link)Pedoe, Daniel (1988). Geometrie: Ein umfassender Kurs.  Dover.  ISBN 0-486-65812-0.CS1-Wartung: ref = harv (Link)K\u00f6rperliche Behandlungen[edit]Externe Links[edit]Wikimedia Commons hat Medien im Zusammenhang mit Vektoren.     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/28\/euklidischer-vektor-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Euklidischer Vektor – Wikipedia"}}]}]