Gesetz der totalen Varianz – Wikipedia

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In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Gesetz der Gesamtvarianz[1] oder Varianzzerlegungsformel oder bedingte Varianzformeln oder Gesetz der iterierten Varianzen auch bekannt als Evas Gesetz[2]gibt an, dass wenn X. und Y. sind Zufallsvariablen im gleichen Wahrscheinlichkeitsraum und die Varianz von Y. ist also endlich

In einer Sprache, die Statistikern vielleicht besser bekannt ist als Wahrscheinlichkeitstheoretikern, sind die beiden Begriffe die “ungeklärten” und die “erklärten” Komponenten der Varianz (vgl. Bruchteil der unerklärlichen Varianz, erklärte Variation). In der versicherungsmathematischen Wissenschaft, insbesondere der Glaubwürdigkeitstheorie, wird die erste Komponente als Erwartungswert der Prozessvarianz bezeichnet (EVPV) und die zweite heißt die Varianz der hypothetischen Mittel (VHM).[3] Diese beiden Komponenten sind auch die Quelle des Begriffs “Evas Gesetz” aus den Initialen EV VE für “Erwartung der Varianz” und “Varianz der Erwartung”.

Es gibt eine allgemeine Varianzzerlegungsformel für c ≥ 2 Komponenten (siehe unten).[4] Zum Beispiel mit zwei konditionierenden Zufallsvariablen:

was sich aus dem Gesetz der totalen bedingten Varianz ergibt:[4]

Beachten Sie, dass der bedingte Erwartungswert E ( Y. | X. ) ist eine eigenständige Zufallsvariable, deren Wert vom Wert von abhängt X.. Beachten Sie, dass der bedingte Erwartungswert von Y. Angenommen Veranstaltung X. = x ist eine Funktion von x (Hier wird die Einhaltung der konventionellen und streng fallabhängigen Notation der Wahrscheinlichkeitstheorie wichtig!). Wenn wir E schreiben ( Y. | X. = x ) = G((x) dann die Zufallsvariable E ( Y. | X. ) ist nur G((X.). Ähnliche Kommentare gelten für die bedingte Varianz.

Ein Sonderfall (ähnlich dem Gesetz der totalen Erwartung) besagt, dass wenn

EIN1,,EINn{ displaystyle A_ {1}, ldots, A_ {n}}

ist eine Aufteilung des gesamten Ergebnisraums, dh diese Ereignisse schließen sich gegenseitig aus und sind dann erschöpfend

In dieser Formel ist die erste Komponente die Erwartung der bedingten Varianz; Die anderen beiden Zeilen sind die Varianz der bedingten Erwartung.

Das Gesetz der totalen Varianz kann unter Verwendung des Gesetzes der totalen Erwartung bewiesen werden.[5] Zuerst,

aus der Definition der Varianz. Wiederum haben wir aus der Definition der Varianz

Nun schreiben wir den bedingten zweiten Moment von Y in Bezug auf seine Varianz und den ersten Moment neu:

Da die Erwartung einer Summe die Summe der Erwartungen ist, können die Begriffe jetzt neu gruppiert werden:

Schließlich erkennen wir die Begriffe in Klammern als die Varianz der bedingten Erwartung E.[Y | X]::

Allgemeine Varianzzerlegung für dynamische Systeme[edit]

Die folgende Formel zeigt, wie die allgemeine Formel zur Messung der theoretischen Varianzzerlegung angewendet wird [4] zu stochastischen dynamischen Systemen. Lassen Y.((t) ist der Wert einer Systemvariablen zum Zeitpunkt t. Angenommen, wir haben die internen Geschichten (natürliche Filtrationen)

H.1t,H.2t,,H.c– –1,t{ displaystyle H_ {1t}, H_ {2t}, ldots, H_ {c-1, t}}

, wobei jede der Historie (Trajektorie) einer anderen Sammlung von Systemvariablen entspricht. Die Sammlungen müssen nicht disjunkt sein. Die Varianz von Y.((t) kann für alle Zeiten zerlegt werden tin c ≥ 2 Komponenten wie folgt:

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