[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/28\/inversive-geometrie-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/28\/inversive-geometrie-wikipedia\/","headline":"Inversive Geometrie – Wikipedia","name":"Inversive Geometrie – Wikipedia","description":"before-content-x4 In der Geometrie inversive Geometrie ist die Untersuchung jener Eigenschaften von Figuren, die durch eine Verallgemeinerung einer Art von","datePublished":"2020-11-28","dateModified":"2020-11-28","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/2\/21\/Inversion_illustration1.svg\/220px-Inversion_illustration1.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/2\/21\/Inversion_illustration1.svg\/220px-Inversion_illustration1.svg.png","height":"206","width":"220"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/28\/inversive-geometrie-wikipedia\/","wordCount":14978,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4In der Geometrie inversive Geometrie ist die Untersuchung jener Eigenschaften von Figuren, die durch eine Verallgemeinerung einer Art von Transformation der euklidischen Ebene erhalten werden, genannt Inversion.  Diese Transformationen bewahren Winkel und ordnen verallgemeinerte Kreise verallgemeinerten Kreisen zu, wobei a verallgemeinerter Kreis bedeutet entweder einen Kreis oder eine Linie (lose gesagt, ein Kreis mit unendlichem Radius).  Viele schwierige Probleme in der Geometrie werden viel leichter zu l\u00f6sen, wenn eine Inversion angewendet wird.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Das Konzept der Inversion kann auf h\u00f6herdimensionale R\u00e4ume verallgemeinert werden.Table of ContentsInversion im Kreis [edit]Umkehrung eines Punktes[edit]Kompass- und Linealkonstruktion[edit]Duttas Bau[edit]Eigenschaften[edit]Beispiele in zwei Dimensionen[edit]Anwendung[edit]Pol und Polar[edit]In drei Dimensionen[edit]Beispiele in drei Dimensionen[edit]Kugel[edit]Zylinder, Kegel, Torus[edit]Sph\u00e4roid[edit]Hyperboloid eines Blattes[edit]Stereographische Projektion als Umkehrung einer Kugel[edit]6-Kugel-Koordinaten[edit]Axiomatik und Verallgemeinerung[edit]Invariant[edit]Beziehung zum Erlangen-Programm[edit]Erweiterung[edit]Gegenbewegung[edit]Kreise in Kreise verwandeln[edit]H\u00f6here Geometrie[edit]In h\u00f6heren Dimensionen[edit]Antikonformale Zuordnungseigenschaft[edit]Inversive Geometrie und hyperbolische Geometrie[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Inversion im Kreis [edit]Umkehrung eines Punktes[edit]         (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4P.‘ ist die Umkehrung von P. in Bezug auf den Kreis.Eine Zahl in der Arithmetik zu invertieren bedeutet normalerweise, ihren Kehrwert zu nehmen.  Eine eng verwandte Idee in der Geometrie ist das “Invertieren” eines Punktes.  Im Flugzeug ist die invers eines Punktes P. in Bezug auf a Referenzkreis (\u00d8) mit Mitte \u00d6 und Radius r ist ein Punkt P.‘, auf dem Strahl liegend von \u00d6 durch P. so dass\u00d6P.\u22c5\u00d6P.‘=r2.{ displaystyle OP  cdot OP ^ { prime} = r ^ {2}.}Das nennt man Kreisinversion oder Ebeneninversion.  Die Umkehrung nimmt irgendeinen Punkt P. (au\u00dfer \u00d6) zu seinem Bild P.‘ nimmt auch P.‘  zur\u00fcck zu P.Das Ergebnis der zweimaligen Anwendung derselben Inversion ist also die Identit\u00e4tstransformation auf allen Punkten der Ebene au\u00dfer \u00d6 (Selbstinversion).[1][2]    Um die Inversion zu einer Involution zu machen, ist es notwendig, einen Punkt im Unendlichen einzuf\u00fchren, einen einzelnen Punkt, der auf allen Linien platziert ist, und die Inversion per Definition zu erweitern, um das Zentrum auszutauschen \u00d6 und dieser Punkt im Unendlichen.Aus der Definition folgt, dass die Umkehrung eines Punktes innerhalb des Referenzkreises au\u00dferhalb des Kreises liegen muss und umgekehrt, wobei sich der Mittelpunkt und der Punkt an unendlich wechselnden Positionen befinden, w\u00e4hrend jeder Punkt auf dem Kreis nicht beeinflusst wird (ist) invariant unter Inversion).  Zusammenfassend l\u00e4sst sich sagen, je n\u00e4her ein Punkt am Zentrum liegt, desto weiter entfernt ist seine Transformation und umgekehrt.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Kompass- und Linealkonstruktion[edit]Punkt au\u00dferhalb des Kreises  Umkehrung zu konstruieren P.‘  eines Punktes P. au\u00dferhalb eines Kreises \u00d6: Lassen r sei der Radius von \u00d6.  Rechtecke OPN und AUF P‘  sind \u00e4hnlich. OP ist zu r wie r ist zu OP‘.Umkehrung zu konstruieren P.‘  eines Punktes P. au\u00dferhalb eines Kreises \u00d6::Zeichnen Sie das Segment aus \u00d6 (Mittelpunkt des Kreises \u00d6) bis P..Lassen M. sei der Mittelpunkt von OP.Zeichne den Kreis c mit Mitte M. durchgehen P..Lassen N. und N.‘  seien Sie die Punkte, an denen \u00d6 und c schneiden.Segment zeichnen NN‘.P.‘  ist wo OP und NN‘  schneiden.Zeigen Sie innerhalb des KreisesUmkehrung zu konstruieren P. eines Punktes P.‘  innerhalb eines Kreises \u00d6::Strahl zeichnen r von \u00d6 (Mittelpunkt des Kreises \u00d6) durch P.‘.Linie zeichnen s durch P.‘  senkrecht zu r.Lassen N. sei einer der Punkte wo \u00d6 und s schneiden.Zeichnen Sie das Segment AUF.Linie zeichnen t durch N. senkrecht zu AUF.P. ist wo Strahl r und Linie t schneiden.Duttas Bau[edit]Es gibt eine Konstruktion des Umkehrpunktes zu EIN in Bezug auf einen Kreis P. das ist unabh\u00e4ngig von ob EIN ist drinnen oder drau\u00dfen P..[3]Betrachten Sie einen Kreis P. mit Mitte \u00d6 und ein Punkt EIN die innerhalb oder au\u00dferhalb des Kreises liegen k\u00f6nnen P..Nehmen Sie den Schnittpunkt C. des Strahls OA mit dem Kreis P..Verbinden Sie den Punkt C. mit einem beliebigen Punkt B. auf dem Kreis P. (anders als C.)Reflektiere den Strahl BA in der Schlange BC und lass h sei die Reflexion, die den Strahl schneidet OK in einem Punkt EIN‘. EIN‘ist der Umkehrpunkt von EIN in Bezug auf Kreis P..[3]::\u00a7 3.2Eigenschaften[edit]Die Umkehrung eines durchlaufenden Kreises in Bezug auf den roten Kreis \u00d6 (blau) ist eine Linie, die nicht durchgeht \u00d6 (gr\u00fcn) und umgekehrt.Die Umkehrung eines Kreises in Bezug auf den roten Kreis nicht durchgehen \u00d6 (blau) ist ein Kreis, der nicht durchgeht \u00d6 (gr\u00fcn) und umgekehrt.Durch Inversion in Bezug auf einen Kreis wird der Mittelpunkt des Kreises nicht dem Mittelpunkt seines Bildes zugeordnetDie Umkehrung einer Menge von Punkten in der Ebene in Bezug auf einen Kreis ist die Menge der Umkehrungen dieser Punkte.  Die folgenden Eigenschaften machen die Kreisinversion n\u00fctzlich.Ein Kreis, der durch die Mitte verl\u00e4uft \u00d6 des Referenzkreises invertiert sich zu einer Linie, die nicht durchgeht \u00d6, aber parallel zur Tangente an den urspr\u00fcnglichen Kreis bei \u00d6, und umgekehrt;  w\u00e4hrend eine Linie durch \u00d6 ist in sich selbst invertiert (aber nicht punktweise invariant).[4]Ein Kreis, der nicht durchgeht \u00d6 kehrt sich zu einem Kreis um, der nicht durchgeht \u00d6.  Wenn der Kreis auf den Referenzkreis trifft, befinden sich diese invarianten Schnittpunkte auch auf dem umgekehrten Kreis.  Ein Kreis (oder eine Linie) bleibt durch Inversion genau dann unver\u00e4ndert, wenn er an den Schnittpunkten orthogonal zum Referenzkreis ist.[5]Zus\u00e4tzliche Eigenschaften umfassen:Wenn ein Kreis q durchl\u00e4uft zwei verschiedene Punkte A und A ‘, die in Bezug auf einen Kreis umgekehrt sind kdann die Kreise k und q sind orthogonal.Wenn die Kreise k und q sind orthogonal, dann verl\u00e4uft eine gerade Linie durch das Zentrum O von k und sich \u00fcberschneiden qtut dies an inversen Punkten in Bezug auf k.Gegeben ist ein Dreieck OAB, in dem O der Mittelpunkt eines Kreises ist kund Punkte A ‘und B’ kehren A und B in Bezug auf um k, dann\u2220\u00d6EINB.=\u2220\u00d6B.‘EIN‘  und  \u2220\u00d6B.EIN=\u2220\u00d6EIN‘B.‘.{ displaystyle  angle OAB =  angle OB’A ‘ { text {und}}   angle OBA =  angle OA’B’.}Die Schnittpunkte zweier Kreise p und q orthogonal zu einem Kreis ksind invers in Bezug auf k.Wenn M und M ‘inverse Punkte in Bezug auf einen Kreis sind k auf zwei Kurven m und m ‘auch umgekehrt in Bezug auf kdann sind die Tangenten an m und m ‘an den Punkten M und M’ entweder senkrecht zur Geraden MM ‘oder bilden mit dieser Linie ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis MM’.Die Inversion l\u00e4sst das Winkelma\u00df unver\u00e4ndert, kehrt jedoch die Ausrichtung der orientierten Winkel um.[6]Beispiele in zwei Dimensionen[edit]  Beispiele f\u00fcr die Inversion der Kreise A bis J in Bezug auf den roten Kreis bei O. Kreise A bis F, die durch die O-Karte zu geraden Linien verlaufen.  Kreise G bis J, die nicht anderen Kreisen zugeordnet sind.  Der Referenzkreis und die Linie L sind auf sich selbst abgebildet.  Kreise schneiden ihre Umkehrungen, falls vorhanden, auf dem Referenzkreis.  Im die SVG-Datei, Klicken oder bewegen Sie den Mauszeiger \u00fcber einen Kreis, um ihn hervorzuheben.Die Inversion einer Linie ist ein Kreis, der den Inversionsmittelpunkt enth\u00e4lt.  oder es ist die Linie selbst, wenn sie die Mitte enth\u00e4ltDie Umkehrung eines Kreises ist ein anderer Kreis;  oder es ist eine Linie, wenn der urspr\u00fcngliche Kreis den Mittelpunkt enth\u00e4ltDie Inversion einer Parabel ist eine NiereDie Inversion der Hyperbel ist eine Lemniskate von BernoulliAnwendung[edit]Bei einem Kreis, der nicht durch das Inversionszentrum verl\u00e4uft, sind der Mittelpunkt des Kreises, der invertiert wird, und der Mittelpunkt seines Bildes unter Inversion kollinear mit dem Mittelpunkt des Referenzkreises.  Diese Tatsache kann verwendet werden, um zu beweisen, dass die Euler-Linie des Intouch-Dreiecks eines Dreiecks mit seiner OI-Linie \u00fcbereinstimmt.  Der Beweis lautet ungef\u00e4hr wie folgt:Invertieren in Bezug auf den Kreis des Dreiecks ABC.  Das mediale Dreieck des Intouch-Dreiecks wird in ein Dreieck umgewandelt ABCDies bedeutet den Umfang des medialen Dreiecks, dh das Neun-Punkte-Zentrum des intouch-Dreiecks, den Mittelpunkt und den Umfang des Dreiecks ABC sind kollinear.Zwei beliebige sich nicht schneidende Kreise k\u00f6nnen in konzentrische Kreise invertiert werden.  Dann wird der inversive Abstand (\u00fcblicherweise mit \u03b4 bezeichnet) als nat\u00fcrlicher Logarithmus des Verh\u00e4ltnisses der Radien der beiden konzentrischen Kreise definiert.Zus\u00e4tzlich k\u00f6nnen zwei beliebige nicht schneidende Kreise unter Verwendung eines Inversionskreises, der an einem Punkt auf dem Kreis der Antisimilitude zentriert ist, in kongruente Kreise invertiert werden.Die Peaucellier-Lipkin-Verkn\u00fcpfung ist eine mechanische Implementierung der Inversion in einem Kreis.  Es bietet eine genaue L\u00f6sung f\u00fcr das wichtige Problem der Umwandlung zwischen linearer und kreisf\u00f6rmiger Bewegung.Pol und Polar[edit]  Die Polarlinie q bis zu einem Punkt Q. in Bezug auf einen Kreis mit Radius r zentriert auf den Punkt \u00d6.  Der Punkt P. ist der Inversionspunkt von Q.;;  Die Polarit\u00e4t ist die Linie durch P. das ist senkrecht zu der Linie, die enth\u00e4lt \u00d6, P. und Q..Wenn Punkt R. ist die Umkehrung des Punktes P. dann die Linien senkrecht zur Linie PR durch einen der Punkte ist die Polarit\u00e4t des anderen Punktes (der Pol).Pole und Polare haben mehrere n\u00fctzliche Eigenschaften:Wenn ein Punkt P. liegt auf einer Linie l, dann die Stange L. der Linie l liegt am polaren p von Punkt P..Wenn ein Punkt P. bewegt sich entlang einer Linie l, es ist polar p dreht sich um die Stange L. der Linie l.Wenn zwei Tangentenlinien von einem Pol zum Kreis gezogen werden k\u00f6nnen, verl\u00e4uft seine Polarit\u00e4t durch beide Tangentenpunkte.Wenn ein Punkt auf dem Kreis liegt, ist seine Polarit\u00e4t die Tangente durch diesen Punkt.Wenn ein Punkt P. liegt also auf seiner eigenen Polarlinie P. ist auf dem Kreis.Jede Linie hat genau einen Pol.In drei Dimensionen[edit]  Inversion einer Kugel an der roten Kugel  Inversion eines Sph\u00e4roids (an der roten Kugel)  Inversion eines Hyperboloids eines BlattesDie Kreisinversion ist auf die dreidimensionale Kugelinversion verallgemeinerbar.  Die Umkehrung eines Punktes P. in 3D in Bezug auf eine Referenzkugel, die an einem Punkt zentriert ist \u00d6 mit Radius R. ist ein Punkt P. ‘ so dass \u00d6P.\u00d7\u00d6P.‘=R.2{ displaystyle OP  times OP ^ { prime} = R ^ {2}}  und die Punkte P. und P. ‘sind auf dem gleichen Strahl ab \u00d6.  Wie bei der 2D-Version wird eine Kugel in eine Kugel invertiert, au\u00dfer wenn eine Kugel durch das Zentrum verl\u00e4uft \u00d6 der Referenzkugel kehrt sie dann in eine Ebene um.  Jedes Flugzeug, das nicht durchfliegt \u00d6, kehrt sich zu einer Kugel um, die sich ber\u00fchrt \u00d6.  Ein Kreis, dh der Schnittpunkt einer Kugel mit einer Sekantenebene, kehrt sich in einen Kreis um, au\u00dfer wenn der Kreis durchl\u00e4uft \u00d6 es invertiert sich in eine Linie.  Dies reduziert sich auf den 2D-Fall, wenn die Sekantenebene durchl\u00e4uft \u00d6, ist aber ein echtes 3D-Ph\u00e4nomen, wenn die Sekantenebene nicht durchl\u00e4uft \u00d6.Beispiele in drei Dimensionen[edit]Kugel[edit]Die einfachste Oberfl\u00e4che (neben einer Ebene) ist die Kugel.  Das erste Bild zeigt eine nicht triviale Inversion (der Mittelpunkt der Kugel ist nicht der Mittelpunkt der Inversion) einer Kugel zusammen mit zwei orthogonal sich kreuzenden Bleistiftstiften.Zylinder, Kegel, Torus[edit]Die Inversion eines Zylinders, Kegels oder Torus f\u00fchrt zu einem Dupin-Cyclid.Sph\u00e4roid[edit]Ein Sph\u00e4roid ist eine Rotationsfl\u00e4che und enth\u00e4lt einen Kreisstift, der auf einen Kreisstift abgebildet ist (siehe Bild).  Das inverse Bild eines Sph\u00e4roids ist eine Oberfl\u00e4che vom Grad 4.Hyperboloid eines Blattes[edit]Ein Hyperboloid eines Blattes, das eine Rotationsfl\u00e4che darstellt, enth\u00e4lt einen Kreisstift, der auf einen Kreisstift abgebildet wird.  Ein Hyperboloid eines Blattes enth\u00e4lt zus\u00e4tzlich zwei Linienstifte, die auf Kreisstifte abgebildet werden.  Das Bild zeigt eine solche Linie (blau) und ihre Umkehrung.Stereographische Projektion als Umkehrung einer Kugel[edit]  Stereographische Projektion als Umkehrung einer KugelEine stereografische Projektion projiziert normalerweise eine Kugel von einem Punkt aus  N.{ displaystyle N}  (Nordpol) der Kugel auf die Tangentialebene am gegen\u00fcberliegenden Punkt S.{ displaystyle S}  (S\u00fcdpol).  Diese Abbildung kann durch Inversion der Kugel auf ihre Tangentialebene durchgef\u00fchrt werden.  Wenn die Kugel (die projiziert werden soll) die Gleichung hat x2+y2+z2=– –z{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = – z}  (abwechselnd geschrieben x2+y2+((z+12)2=14{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + (z + { tfrac {1} {2}}) ^ {2} = { tfrac {1} {4}}};;  Center ((0,0,– –0,5){ displaystyle (0,0, -0,5)}Radius 0,5{ displaystyle 0.5}, gr\u00fcn im Bild), dann wird es durch die Inversion an der Einheitskugel (rot) auf die Tangentialebene am Punkt abgebildet S.=((0,0,– –1){ displaystyle S = (0,0, -1)}.  Die Linien durch das Inversionszentrum (Punkt N.{ displaystyle N}) sind auf sich selbst abgebildet.  Sie sind die Projektionslinien der stereografischen Projektion.6-Kugel-Koordinaten[edit]Die 6-Kugel-Koordinaten sind ein Koordinatensystem f\u00fcr den dreidimensionalen Raum, das durch Invertieren der kartesischen Koordinaten erhalten wird.Axiomatik und Verallgemeinerung[edit]Eine der ersten, die sich mit Grundlagen der inversiven Geometrie befasste, war Mario Pieri in den Jahren 1911 und 1912.[7]Edward Kasner schrieb seine Dissertation \u00fcber “Invariante Theorie der Inversionsgruppe”.[8]In j\u00fcngerer Zeit wurde die mathematische Struktur der inversiven Geometrie als Inzidenzstruktur interpretiert, bei der die verallgemeinerten Kreise als “Bl\u00f6cke” bezeichnet werden: In der Inzidenzgeometrie bildet jede affine Ebene zusammen mit einem einzelnen Punkt im Unendlichen eine M\u00f6bius-Ebene, auch bekannt als inversive Ebene.  Der Punkt im Unendlichen wird allen Linien hinzugef\u00fcgt.  Diese M\u00f6bius-Ebenen k\u00f6nnen axiomatisch beschrieben werden und existieren sowohl in endlichen als auch in unendlichen Versionen.Ein Modell f\u00fcr die M\u00f6bius-Ebene, die aus der euklidischen Ebene stammt, ist die Riemann-Kugel.Invariant[edit]Das Kreuzverh\u00e4ltnis zwischen 4 Punkten x,y,z,w{ displaystyle x, y, z, w}  ist unter einer Inversion invariant.  Insbesondere wenn O das Zentrum der Inversion ist und r1{ displaystyle r_ {1}}  und r2{ displaystyle r_ {2}}  sind Abst\u00e4nde zu den Enden einer Linie L, dann L\u00e4nge der Linie d{ displaystyle d}  wird werden d\/.((r1r2){ displaystyle d \/ (r_ {1} r_ {2})}  unter einer Inversion mit Zentrum O. Die Invariante ist:ich=|x– –y||w– –z||x– –w||y– –z|{ displaystyle I = { frac {| xy || wz |} {| xw || yz |}}}Beziehung zum Erlangen-Programm[edit]Laut Coxeter[9]  Die Transformation durch Inversion im Kreis wurde 1831 von LI Magnus erfunden. Seitdem ist diese Abbildung ein Weg zur h\u00f6heren Mathematik.  Durch einige Schritte der Anwendung der Kreisinversionskarte erkennt ein Student der Transformationsgeometrie bald die Bedeutung von Felix Kleins Erlangen-Programm, einem Ergebnis bestimmter Modelle der hyperbolischen GeometrieErweiterung[edit]Die Kombination von zwei Inversionen in konzentrischen Kreisen f\u00fchrt zu einer \u00c4hnlichkeit, homothetischen Transformation oder Dilatation, die durch das Verh\u00e4ltnis der Kreisradien gekennzeichnet ist.x\u21a6R.2x|x|2=y\u21a6T.2y|y|2=((T.R.)2x.{ displaystyle x  mapsto R ^ {2} { frac {x} {| x | ^ {2}}} = y  mapsto T ^ {2} { frac {y} {| y | ^ {2} }} =  left ({ frac {T} {R}}  right) ^ {2} x.}Gegenbewegung[edit]Wenn ein Punkt in der Ebene als komplexe Zahl interpretiert wird z=x+ichy,{ displaystyle z = x + iy,}  mit komplexem Konjugat z\u00af=x– –ichy,{ displaystyle { bar {z}} = x-iy,}  dann das Gegenteil von z ist1z=z\u00af|z|2.{ displaystyle { frac {1} {z}} = { frac { bar {z}} {| z | ^ {2}}}.}Folglich ist die algebraische Form der Inversion in einem Einheitskreis gegeben durch z\u21a6w{ displaystyle z  mapsto w}  wo:w=1z\u00af=((1z)\u00af{ displaystyle w = { frac {1} { bar {z}}} = { overline { left ({ frac {1} {z}}  right)}}}.Die Hin- und Herbewegung ist der Schl\u00fcssel in der Transformationstheorie als Generator der M\u00f6bius-Gruppe.  Die anderen Generatoren sind Translation und Rotation, die beide durch physikalische Manipulationen im umgebenden 3-Raum bekannt sind.  Die Einf\u00fchrung der Hin- und Herbewegung (abh\u00e4ngig von der Kreisinversion) erzeugt die Besonderheit der M\u00f6bius-Geometrie, die manchmal mit der inversiven Geometrie (der euklidischen Ebene) identifiziert wird.  Inversive Geometrie ist jedoch die gr\u00f6\u00dfere Studie, da sie die rohe Inversion in einem Kreis enth\u00e4lt (noch nicht konjugiert in Hin- und Herbewegung).  Inversive Geometrie umfasst auch die Konjugationsabbildung.  Weder Konjugation noch Inversion im Kreis geh\u00f6ren zur M\u00f6bius-Gruppe, da sie nicht konform sind (siehe unten).  M\u00f6bius-Gruppenelemente sind analytische Funktionen der gesamten Ebene und daher notwendigerweise konform.Kreise in Kreise verwandeln[edit]Betrachten Sie in der komplexen Ebene den Radiuskreis r{ displaystyle r}  um den Punkt ein{ displaystyle a}((z– –ein)((z– –ein)\u2217=r2{ displaystyle (za) (za) ^ {*} = r ^ {2}}wo ohne Verlust der Allgemeinheit, ein\u2208R..{ displaystyle a  in  mathbb {R}.}  Verwendung der Definition der Inversionw=1z\u2217{ displaystyle w = { frac {1} {z ^ {*}}}es ist einfach, das zu zeigen w{ displaystyle w}  gehorcht der Gleichungww\u2217– –ein((ein2– –r2)((w+w\u2217)+ein2((ein2– –r2)2=r2((ein2– –r2)2{ displaystyle ww ^ {*} – { frac {a} {(a ^ {2} -r ^ {2})}} (w + w ^ {*}) + { frac {a ^ {2} } {(a ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2}} = { frac {r ^ {2}} {(a ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} }}}und daher das w{ displaystyle w}  beschreibt den Mittelpunktskreis einein2– –r2{ textstyle { frac {a} {a ^ {2} -r ^ {2}}}}  und Radius r|ein2– –r2|.{ textstyle { frac {r} {| a ^ {2} -r ^ {2} |}}.}Wann ein\u2192r,{ displaystyle a  to r,}  Der Kreis verwandelt sich in eine Linie parallel zur imagin\u00e4ren Achse w+w\u2217=1ein.{ displaystyle w + w ^ {*} = { tfrac {1} {a}}.}Zum ein\u2209R.{ displaystyle a  not  in  mathbb {R}}  und einein\u2217\u2260r2{ displaystyle aa ^ {*}  neq r ^ {2}}  das Ergebnis f\u00fcr w{ displaystyle w}  istww\u2217– –einw+ein\u2217w\u2217((ein\u2217ein– –r2)+einein\u2217((einein\u2217– –r2)2=r2((einein\u2217– –r2)2\u27fa((w– –ein\u2217einein\u2217– –r2)((w\u2217– –einein\u2217ein– –r2)=((r|einein\u2217– –r2|)2{ displaystyle { begin {align} & ww ^ {*} – { frac {aw + a ^ {*} w ^ {*}} {(a ^ {*} ar ^ {2})}} + { frac {aa ^ {*}} {(aa ^ {*} – r ^ {2}) ^ {2}}} = { frac {r ^ {2}} {(aa ^ {*} – r ^ { 2}) ^ {2}}} \\[4pt] Longleftrightarrow {} &  left (w – { frac {a ^ {*}} {aa ^ {*} – r ^ {2}}}  right)  left (w ^ {*} – { frac { a} {a ^ {*} ar ^ {2}}}  right) =  left ({ frac {r} { left | aa ^ {*} – r ^ {2}  right |}}  right ) ^ {2}  end {align}}}zeigt, dass die w{ displaystyle w}  beschreibt den Mittelpunktskreis ein\u2217((einein\u2217– –r2){ textstyle { frac {a ^ {*}} {(aa ^ {*} – r ^ {2})}}}  und Radius r|ein\u2217ein– –r2|{ textstyle { frac {r} { left | a ^ {*} ar ^ {2}  right |}}}.Wann ein\u2217ein\u2192r2,{ displaystyle a ^ {*} a  to r ^ {2},}  die Gleichung f\u00fcr w{ displaystyle w}  wirdeinw+ein\u2217w\u2217=1\u27fa2Re\u2061{einw}}=1\u27faRe\u2061{ein}}Re\u2061{w}}– –Ich bin\u2061{ein}}Ich bin\u2061{w}}=12\u27faIch bin\u2061{w}}=Re\u2061{ein}}Ich bin\u2061{ein}}\u22c5Re\u2061{w}}– –12\u22c5Ich bin\u2061{ein}}.{ displaystyle { begin {align} & aw + a ^ {*} w ^ {*} = 1  Longleftrightarrow 2  operatorname {Re}  {aw } = 1  Longleftrightarrow  operatorname {Re}  {a }  operatorname {Re}  {w } –  operatorname {Im}  {a }  operatorname {Im}  {w } = { frac {1} {2}} \\[4pt] Longleftrightarrow {} &  operatorname {Im}  {w } = { frac { operatorname {Re}  {a }} { operatorname {Im}  {a }}  cdot  operatorname {Re }  {w } – { frac {1} {2  cdot  operatorname {Im}  {a }}}.  end {align}}}H\u00f6here Geometrie[edit]Wie oben erw\u00e4hnt, erfordert Null, der Ursprung, eine besondere Ber\u00fccksichtigung bei der Kreisinversionsabbildung.  Der Ansatz besteht darin, an einen Punkt im Unendlichen zu grenzen, der mit \u221e oder 1\/0 bezeichnet ist.  Bei dem Ansatz mit komplexen Zahlen, bei dem die Hin- und Herbewegung die scheinbare Operation ist, f\u00fchrt dieses Verfahren zu der komplexen Projektionslinie, die h\u00e4ufig als Riemann-Kugel bezeichnet wird.  Es waren Unterr\u00e4ume und Untergruppen dieses Raums und eine Gruppe von Abbildungen, die angewendet wurden, um fr\u00fche Modelle der hyperbolischen Geometrie von Beltrami, Cayley und Klein zu erstellen.  Inversive Geometrie schlie\u00dft also die Ideen von Lobachevsky und Bolyai in ihre Ebenengeometrie ein.  Dar\u00fcber hinaus war Felix Klein von dieser M\u00f6glichkeit der Abbildung, geometrische Ph\u00e4nomene zu identifizieren, so \u00fcberw\u00e4ltigt, dass er 1872 ein Manifest, das Erlangen-Programm, lieferte. Seitdem behalten sich viele Mathematiker den Begriff vor Geometrie f\u00fcr einen Raum zusammen mit einer Gruppe von Abbildungen dieses Raumes.  Die signifikanten Eigenschaften von Figuren in der Geometrie sind diejenigen, die unter dieser Gruppe unver\u00e4nderlich sind.Zum Beispiel Smogorzhevsky[10]  entwickelt mehrere Theoreme der inversiven Geometrie, bevor mit der Lobachevskschen Geometrie begonnen wird.In h\u00f6heren Dimensionen[edit]Im n-dimensionaler Raum, in dem sich eine Kugel mit Radius befindet r, Inversion in der Kugel ist gegeben durchxich\u21a6r2xich\u2211jxj2{ displaystyle x_ {i}  mapsto { frac {r ^ {2} x_ {i}} { sum _ {j} x_ {j} ^ {2}}}Die Transformation durch Inversion in Hyperebenen oder Hypersph\u00e4ren in E.n  kann verwendet werden, um Dilatationen, Translationen oder Rotationen zu erzeugen.  In der Tat f\u00fchren zwei konzentrische Hypersph\u00e4ren, die zur Erzeugung aufeinanderfolgender Inversionen verwendet werden, zu einer Erweiterung oder Kontraktion des Hypersph\u00e4renzentrums.  Eine solche Abbildung wird als \u00c4hnlichkeit bezeichnet.Wenn zwei parallele Hyperebenen verwendet werden, um aufeinanderfolgende Reflexionen zu erzeugen, ist das Ergebnis eine \u00dcbersetzung.  Wenn sich zwei Hyperebenen in einem (n\u20132) -flache, aufeinanderfolgende Reflexionen erzeugen eine Rotation, bei der jeder Punkt der (n\u20132) -flach ist ein fester Punkt jeder Reflexion und damit der Zusammensetzung.All dies sind konforme Karten. Wenn der Raum drei oder mehr Dimensionen hat, sind die durch Inversion erzeugten Zuordnungen die einzigen konformen Zuordnungen.  Der Satz von Liouville ist ein klassischer Satz der konformen Geometrie.Das Hinzuf\u00fcgen eines Punktes im Unendlichen zum Raum vermeidet die Unterscheidung zwischen Hyperebene und Hypersph\u00e4re;  Eine h\u00f6herdimensionale inversive Geometrie wird dann h\u00e4ufig im vermuteten Kontext eines untersucht n-Kugel als Basisraum.  Die Transformationen der inversiven Geometrie werden oft als M\u00f6bius-Transformationen bezeichnet.  Inversive Geometrie wurde angewendet, um F\u00e4rbungen oder Trennw\u00e4nde eines zu untersuchen n-Kugel.[11]Antikonformale Zuordnungseigenschaft[edit]Die Kreisinversionskarte ist antikonform, was bedeutet, dass an jedem Punkt Winkel beibehalten und die Ausrichtung umgekehrt werden (eine Karte wird als konform bezeichnet, wenn sie erhalten bleibt orientiert Winkel).  Algebraisch gesehen ist eine Karte antikonform, wenn an jedem Punkt der Jacobi ein Skalar mal eine orthogonale Matrix mit negativer Determinante ist: In zwei Dimensionen muss der Jacobian ein Skalar mal eine Reflexion an jedem Punkt sein.  Dies bedeutet, dass wenn J. ist also der Jakobianer J.\u22c5J.T.=kich{ displaystyle J  cdot J ^ {T} = kI}  und det((J.)=– –k.{ displaystyle  det (J) = – { sqrt {k}}.}  Berechnung des Jacobian in dem Fall zich  = xich\/ ||x||2, wo ||x||2 = x12 + … + xn2  gibt JJT. = kImit k = 1 \/ ||x||4und zus\u00e4tzlich det (J.) ist negativ;  daher ist die inversive Karte antikonformal.In der komplexen Ebene ist die offensichtlichste Kreisinversionskarte (dh unter Verwendung des am Ursprung zentrierten Einheitskreises) das komplexe Konjugat der komplexen inversen Kartenaufnahme z bis 1\/z.  Die komplexe analytische inverse Karte ist konform und ihre konjugierte Kreisinversion ist antikonform.  In diesem Fall ist eine Homographie konform, w\u00e4hrend eine Antihomographie antikonform ist.Inversive Geometrie und hyperbolische Geometrie[edit]Das (n – 1) -Kugel mit Gleichungx12+\u22ef+xn2+2ein1x1+\u22ef+2einnxn+c=0{ displaystyle x_ {1} ^ {2} +  cdots + x_ {n} ^ {2} + 2a_ {1} x_ {1} +  cdots + 2a_ {n} x_ {n} + c = 0}wird einen positiven Radius haben, wenn ein12 + … + einn2 ist gr\u00f6\u00dfer als cund bei Inversion gibt die Kugelx12+\u22ef+xn2+2ein1cx1+\u22ef+2einncxn+1c=0.{ displaystyle x_ {1} ^ {2} +  cdots + x_ {n} ^ {2} +2 { frac {a_ {1}} {c}} x_ {1} +  cdots +2 { frac {a_ {n}} {c}} x_ {n} + { frac {1} {c}} = 0.}Daher ist es unter Inversion genau dann unver\u00e4nderlich, wenn c = 1. Dies ist jedoch die Bedingung, orthogonal zur Einheitskugel zu sein.  Daher werden wir veranlasst, die (n – 1) -Kugeln mit Gleichungx12+\u22ef+xn2+2ein1x1+\u22ef+2einnxn+1=0,{ displaystyle x_ {1} ^ {2} +  cdots + x_ {n} ^ {2} + 2a_ {1} x_ {1} +  cdots + 2a_ {n} x_ {n} + 1 = 0}die unter Inversion invariant sind, orthogonal zur Einheitskugel sind und Zentren au\u00dferhalb der Kugel haben.  Diese bilden zusammen mit den Subraum-Hyperebenen, die die Hemisph\u00e4ren trennen, die Hyperfl\u00e4chen des Poincar\u00e9-Scheibenmodells der hyperbolischen Geometrie.Da die Inversion in der Einheitskugel die zu ihr orthogonalen Kugeln unver\u00e4nderlich l\u00e4sst, ordnet die Inversion die Punkte innerhalb der Einheitskugel nach au\u00dfen und umgekehrt zu.  Dies gilt daher im Allgemeinen f\u00fcr orthogonale Kugeln, und insbesondere f\u00fcr die Inversion in einer der zur Einheitskugel orthogonalen Kugeln wird die Einheitskugel auf sich selbst abgebildet.  Es bildet auch das Innere der Einheitskugel auf sich selbst ab, wobei Punkte au\u00dferhalb der orthogonalen Kugel innerhalb und umgekehrt abgebildet werden.  Dies definiert die Reflexionen des Poincar\u00e9-Scheibenmodells, wenn wir auch die Reflexionen durch die Durchmesser einbeziehen, die die Halbkugeln der Einheitskugel trennen.  Diese Reflexionen erzeugen die Gruppe von Isometrien des Modells, die uns sagt, dass die Isometrien konform sind.  Daher ist der Winkel zwischen zwei Kurven im Modell der gleiche wie der Winkel zwischen zwei Kurven im hyperbolischen Raum.Siehe auch[edit]^ Altshiller-Court (1952, S. 230)^ Kay (1969, S. 264)^ ein b Dutta, Surajit (2014) Eine einfache Eigenschaft von gleichschenkligen Dreiecken mit Anwendungen, Forum Geometricorum 14: 237\u2013240^ Kay (1969, S. 265)^ Kay (1969, S. 265)^ Kay (1969, S. 269)^ M. Pieri (1911, 12) “Nuovi principia di geometria della inversion”, Giornal di Matematiche di Battaglini 49: 49\u201396 & 50: 106\u2013140^ Kasner, E. (1900).  “Die invariante Theorie der Inversionsgruppe: Geometrie auf einer quadratischen Oberfl\u00e4che”. Transaktionen der American Mathematical Society. 1 (4): 430\u2013498.  doi:10.1090 \/ S0002-9947-1900-1500550-1.  hdl:2027 \/ miun.abv0510.0001.001.  JSTOR 1986367.^ Coxeter 1969, S. 77\u201395^ AS Smogorzhevsky (1982) Lobatschewskische Geometrie, Mir Publishers, Moskau^ Joel C. Gibbons und Yushen Luo (2013) F\u00e4rbungen der n-Kugel und inversive GeometrieVerweise[edit]Altshiller-Court, Nathan (1952), College-Geometrie: Eine Einf\u00fchrung in die moderne Geometrie des Dreiecks und des Kreises (2. Aufl.), New York: Barnes & Noble, LCCN 52-13504Blair, David E. (2000), Inversionstheorie und konformes Mapping, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2636-0Brannan, David A.;  Esplen, Matthew F.;  Gray, Jeremy J. (1998), “Kapitel 5: Inversive Geometrie”, Geometrie, Cambridge: Cambridge University Press, S. 199\u2013260, ISBN 0-521-59787-0Coxeter, HSM (1969) [1961], Einf\u00fchrung in die Geometrie  (2. Aufl.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4Hartshorne, Robin (2000), “Kapitel 7: Nichteuklidische Geometrie, Abschnitt 37: Zirkul\u00e4re Inversion”, Geometrie: Euklid und dar\u00fcber hinaus, Springer, ISBN 0-387-98650-2Kay, David C. (1969), Hochschulgeometrie, New York: Holt, Rinehart und Winston, LCCN 69-12075Externe Links[edit]     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/28\/inversive-geometrie-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Inversive Geometrie – Wikipedia"}}]}]