[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/29\/the-sand-reckoner-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/29\/the-sand-reckoner-wikipedia\/","headline":"The Sand Reckoner – Wikipedia","name":"The Sand Reckoner – Wikipedia","description":"before-content-x4 Arbeit von Archimedes “Psammites” leitet hier weiter. 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F\u00fcr andere Verwendungen siehe Psammite.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Der Sand Reckoner  (Griechisch: \u03a8\u03b1\u03bc\u03bc\u03af\u03c4\u03b7\u03c2, Psammites) ist ein Werk von Archimedes, einem antiken griechischen Mathematiker des 3. Jahrhunderts v. Chr., in dem er eine Obergrenze f\u00fcr die Anzahl der Sandk\u00f6rner festlegte, die in das Universum passen.  Dazu musste er die Gr\u00f6\u00dfe des Universums nach dem zeitgen\u00f6ssischen Modell absch\u00e4tzen und einen Weg finden, \u00fcber extrem gro\u00dfe Zahlen zu sprechen.  Das Werk, auch in lateinischer Sprache bekannt als Archimedis Syracusani Arenarius & Dimensio CirculiDie etwa acht Seiten lange \u00dcbersetzung ist an den syrakusanischen K\u00f6nig Gelo II (Sohn von Hiero II) gerichtet und wahrscheinlich das zug\u00e4nglichste Werk von Archimedes.  In gewissem Sinne ist es das erste Research-Expository-Papier.[1]Table of ContentsGro\u00dfe Zahlen benennen[edit]Absch\u00e4tzung der Gr\u00f6\u00dfe des Universums[edit]Berechnung der Anzahl der Sandk\u00f6rner im aristarchischen Universum[edit]Zus\u00e4tzliche Berechnungen[edit]Verweise[edit]Weiterf\u00fchrende Literatur[edit]Externe Links[edit]Gro\u00dfe Zahlen benennen[edit]Perioden und Auftr\u00e4ge mit ihren Intervallen in moderner Notation[2]ZeitraumAuftragIntervallLog10 des Intervalls11(1, \u00d6], bei dem dieEinheit zweiter Ordnung,\u00d6 = 108(0, 8]2((\u00d6, \u00d62]](8, 16]\u00b7\u00b7\u00b7k((\u00d6k – 1, \u00d6k]](8k – 8, 8k]]\u00b7\u00b7\u00b7\u00d6((\u00d6\u00d6 – 1, \u01a4], bei dem dieEinheit der zweiten Periode,\u01a4 = \u00d6\u00d6  = 108\u00d7108(8\u00d7108  – 8, 8\u00d7108]]= (799.999.992, 800.000.000]21((\u01a4, \u01a4\u01a0]](8\u00d71088 \u00d7 (108 + 1)]= (800.000.000, 800.000.008]2((\u01a4\u01a0, \u01a4\u01a02]](8 \u00d7 (108 + 1), 8 \u00d7 (108 + 2)]\u00b7\u00b7\u00b7k((\u01a4\u01a0k – 1, \u01a4\u01a0k]](8 \u00d7 (108 + k – 1), 8 \u00d7 (108 + k)]\u00b7\u00b7\u00b7\u00d6((\u01a4\u01a0\u00d6 – 1, \u01a4\u01a0\u00d6]]= (\u01a42\u00d6\u22121, \u01a42]](8 \u00d7 (2\u00d7108  – 1), 8 \u00d7 (2\u00d7108)]= (1.6\u00d7109  – 8, 1.6\u00d7109]]= (1.599.999.992, 1.600.000.000]\u00b7\u00b7\u00b7\u00d61((\u01a4\u00d6 – 1, \u01a4\u00d6 – 1\u00d6]](8\u00d7108  \u00d7 (108 – 1), 8 \u00d7 (108 \u00d7 (108 – 1) + 1)]= (79.999.999.200.000.000,    79.999.999.200.000.008]2((\u01a4\u00d6 – 1\u00d6, \u01a4\u00d6 – 1\u00d62]](8 \u00d7 (108 \u00d7 (108 – 1) + 1),  8 \u00d7 (108 \u00d7 (108 – 1) + 2)]\u00b7\u00b7\u00b7k((\u01a4\u00d6 – 1\u00d6k – 1, \u01a4\u00d6 – 1\u00d6k]](8 \u00d7 (108 \u00d7 (108 – 1) + k – 1),8 \u00d7 (108 \u00d7 (108 – 1) + k)]\u00b7\u00b7\u00b7\u00d6((\u01a4\u00d6 – 1\u00d6\u00d6 – 1, \u01a4\u00d6 – 1\u00d6\u00d6]]= (\u01a4\u00d6\u00d6\u22121, \u01a4\u00d6]](8 \u00d7 (2\u00d7108  – 1), 8 \u00d7 (2\u00d7108)]= (8\u00d71016  – 8, 8\u00d71016]]= (79.999.999.999.999.992,    80.000.000.000.000.000]Zun\u00e4chst musste Archimedes ein System zur Benennung gro\u00dfer Zahlen erfinden.  Das zu diesem Zeitpunkt verwendete Zahlensystem k\u00f6nnte Zahlen bis zu einer Vielzahl (\u03bc\u03c5\u03c1\u03b9\u03ac\u03c2 – 10.000) und unter Verwendung des Wortes ausdr\u00fccken unz\u00e4hlige selbst kann man dies sofort erweitern, um alle Zahlen bis zu unz\u00e4hligen Myriaden zu benennen (108).  Archimedes nannte die Zahlen bis zu 108 “erste Bestellung” und rief 108 selbst die “Einheit zweiter Ordnung”.  Vielfache dieser Einheit wurden dann zur zweiten Ordnung, bis zu dieser Einheit, die unz\u00e4hlige Male genommen wurde, 108\u00b7 108= 1016.  Dies wurde die “Einheit der dritten Ordnung”, deren Vielfache die dritte Ordnung waren, und so weiter.  Archimedes benannte weiterhin Zahlen auf diese Weise bis zu einer Vielzahl der Einheiten der 108-te Ordnung, dh        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4((108)((108)=108\u22c5108{ displaystyle (10 ^ {8}) ^ {(10 ^ {8})} = 10 ^ {8  cdot 10 ^ {8}}}.[2]Nachdem Archimedes dies getan hatte, nannte er die Befehle, die er als “Befehle der ersten Periode” definiert hatte, und nannte den letzten, ((108)((108){ displaystyle (10 ^ {8}) ^ {(10 ^ {8})}}, die “Einheit der zweiten Periode”.  Dann konstruierte er die Ordnungen der zweiten Periode, indem er ein Vielfaches dieser Einheit analog zu der Art und Weise nahm, wie die Ordnungen der ersten Periode konstruiert wurden.  Auf diese Weise fortzufahren, gelangte er schlie\u00dflich zu den Befehlen der unz\u00e4hligen Zeit.  Die gr\u00f6\u00dfte von Archimedes genannte Zahl war die letzte in dieser Zeit       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4((((108)((108))((108)=108\u22c51016.{ displaystyle  left ( left (10 ^ {8}  right) ^ {(10 ^ {8})}  right) ^ {(10 ^ {8})} = 10 ^ {8  cdot 10 ^ { 16}}.}Eine andere Art, diese Zahl zu beschreiben, ist eine Eins, gefolgt von (kurzer Skala) achtzig Billiarden (80 \u00b7 10)15) Nullen.Das System von Archimedes erinnert an ein Positionszahlensystem mit Basis 108Das ist bemerkenswert, weil die alten Griechen ein sehr einfaches System zum Schreiben von Zahlen verwendeten, das 27 verschiedene Buchstaben des Alphabets f\u00fcr die Einheiten 1 bis 9, die Zehner 10 bis 90 und die Hunderte 100 bis 900 verwendet.Archimedes entdeckte und bewies auch das Gesetz der Exponenten, 10ein10b=10ein+b{ displaystyle 10 ^ {a} 10 ^ {b} = 10 ^ {a + b}}, notwendig, um Potenzen von 10 zu manipulieren.Absch\u00e4tzung der Gr\u00f6\u00dfe des Universums[edit]Archimedes sch\u00e4tzte dann eine Obergrenze f\u00fcr die Anzahl der Sandk\u00f6rner, die erforderlich sind, um das Universum zu f\u00fcllen.  Dazu verwendete er das heliozentrische Modell des Aristarchos von Samos.  Das Originalwerk von Aristarchus ist verloren gegangen.  Diese Arbeit von Archimedes ist jedoch einer der wenigen erhaltenen Hinweise auf seine Theorie,[3]  wobei die Sonne unbewegt bleibt, w\u00e4hrend die Erde die Sonne umkreist.  In Archimedes ‘eigenen Worten:Seine [Aristarchus’] Hypothesen sind, dass die Fixsterne und die Sonne unbewegt bleiben, dass sich die Erde um die Sonne am Umfang eines Kreises dreht, die Sonne in der Mitte der Umlaufbahn liegt und dass sich die Kugel der Fixsterne ungef\u00e4hr im selben Zentrum befindet wie Die Sonne ist so gro\u00df, dass der Kreis, in dem er annimmt, dass sich die Erde dreht, einen solchen Anteil an der Entfernung der Fixsterne hat, wie der Mittelpunkt der Kugel an ihrer Oberfl\u00e4che.[4]Der Grund f\u00fcr die Gr\u00f6\u00dfe dieses Modells ist, dass die Griechen mit den verf\u00fcgbaren Techniken keine Sternparallaxe beobachten konnten, was impliziert, dass jede Parallaxe \u00e4u\u00dferst subtil ist und die Sterne daher in gro\u00dfen Entfernungen von der Erde platziert werden m\u00fcssen (vorausgesetzt, Heliozentrismus ist wahr) ).Nach Archimedes gab Aristarchus nicht an, wie weit die Sterne von der Erde entfernt waren.  Archimedes musste daher folgende Annahmen treffen:Das Universum war kugelf\u00f6rmigDas Verh\u00e4ltnis des Durchmessers des Universums zum Durchmesser der Erdumlaufbahn um die Sonne entsprach dem Verh\u00e4ltnis des Durchmessers der Erdumlaufbahn um die Sonne zum Durchmesser der Erde.Diese Annahme kann auch ausgedr\u00fcckt werden, indem gesagt wird, dass die Sternparallaxe, die durch die Bewegung der Erde um ihre Umlaufbahn verursacht wird, der Sonnenparallaxe entspricht, die durch die Bewegung um die Erde verursacht wird.  Geben Sie ein Verh\u00e4ltnis ein:Durchmesser des UniversumsDurchmesser der Erde um die Sonne=Durchmesser der Erde um die Sonne Durchmesser der Erde{ displaystyle { frac { text {Durchmesser des Universums}} { text {Durchmesser der Erde um die Sonne}}} = { frac { text {Durchmesser der Erde um die Sonne}} { text {Durchmesser von Erde}}}}Um eine Obergrenze zu erhalten, hat Archimedes die folgenden Annahmen zu ihren Dimensionen getroffen:dass der Umfang der Erde nicht gr\u00f6\u00dfer als 300 unz\u00e4hlige Stadien war (5,55 \u00b7 105 km).dass der Mond nicht gr\u00f6\u00dfer als die Erde war und dass die Sonne nicht mehr als drei\u00dfigmal gr\u00f6\u00dfer als der Mond war.dass der Winkeldurchmesser der Sonne von der Erde aus gesehen gr\u00f6\u00dfer als 1\/200 eines rechten Winkels war (\u03c0 \/ 400 Radiant = 0,45 \u00b0 Grad).Archimedes kam dann zu dem Schluss, dass der Durchmesser des Universums nicht mehr als 10 betrug14 Stadien (in modernen Einheiten, ca. 2 Lichtjahre), und dass es nicht mehr als 10 ben\u00f6tigen w\u00fcrde63 Sandk\u00f6rner, um es zu f\u00fcllen.  Mit diesen Messungen h\u00e4tte jedes Sandkorn in Archimedes ‘Gedankenexperiment einen Durchmesser von ungef\u00e4hr 19 \u03bcm (0,019 mm) gehabt.Berechnung der Anzahl der Sandk\u00f6rner im aristarchischen Universum[edit]Archimedes behauptet, dass vierzig nebeneinander gelegte Mohnsamen einer griechischen Dactylle (Fingerbreite) entsprechen w\u00fcrden, die ungef\u00e4hr 19 mm lang war.  Da das Volumen als W\u00fcrfel einer linearen Dimension fortschreitet (“Es wurde nachgewiesen, dass Kugeln das dreifache Verh\u00e4ltnis ihrer Durchmesser zueinander haben”), w\u00fcrde eine Kugel mit einem Daktylendurchmesser (unter Verwendung unseres aktuellen Zahlensystems) 40 enthalten3oder 64.000 Mohn.Dann behauptete er (ohne Beweise), dass jeder Mohn unz\u00e4hlige (10.000) Sandk\u00f6rner enthalten k\u00f6nne.  Durch Multiplikation der beiden Zahlen schlug er 640.000.000 als Anzahl der hypothetischen Sandk\u00f6rner in einer Kugel mit einem Dactyl-Durchmesser vor.Um weitere Berechnungen zu vereinfachen, rundete er 640 Millionen auf eine Milliarde auf und stellte lediglich fest, dass die erste Zahl kleiner als die zweite ist und daher die Anzahl der anschlie\u00dfend berechneten Sandk\u00f6rner die tats\u00e4chliche Anzahl der K\u00f6rner \u00fcbersteigt.  Erinnern Sie sich daran, dass Archimedes ‘Meta-Ziel mit diesem Aufsatz darin bestand, zu zeigen, wie man mit zuvor als unglaublich gro\u00df geltenden Zahlen berechnet und nicht nur die Anzahl der Sandk\u00f6rner im Universum genau berechnet.Ein griechisches Stadion hatte eine L\u00e4nge von 600 griechischen Fu\u00df, und jeder Fu\u00df war 16 Dactyls lang, also gab es 9.600 Dactyls in einem Stadion.  Archimedes rundete diese Zahl auf 10.000 (eine Vielzahl), um die Berechnungen zu vereinfachen, und stellte erneut fest, dass die resultierende Zahl die tats\u00e4chliche Anzahl der Sandk\u00f6rner \u00fcberschreitet.Der W\u00fcrfel von 10.000 ist eine Billion (1012);  und Multiplizieren einer Milliarde (Anzahl der Sandk\u00f6rner in einer Dactylkugel) mit einer Billion (Anzahl der Dactylkugeln in einer Stadionkugel) ergibt 1021, die Anzahl der Sandk\u00f6rner in einer Stadionkugel.Archimedes hatte gesch\u00e4tzt, dass das aristarchische Universum 10 war14 Stadien im Durchmesser, so w\u00fcrde es dementsprechend sein (1014)3 Stadionkugeln im Universum oder 1042.  Multiplizieren 1021 um 1042 ergibt 1063, die Anzahl der Sandk\u00f6rner im aristarchischen Universum.[5]Nach Archimedes ‘Sch\u00e4tzung von unz\u00e4hligen (10.000) Sandk\u00f6rnern in einem Mohn;  64.000 Mohn in einer Dactylkugel;  die L\u00e4nge eines Stadions als 10.000 Dactyls;  Unter der Annahme von 19 mm als Breite eines Dactyls w\u00fcrde der Durchmesser von Archimedes ‘typischem Sandkorn 18,3 \u03bcm betragen, was wir heute als Schlickkorn bezeichnen w\u00fcrden.  Derzeit w\u00fcrde das kleinste Sandkorn einen Durchmesser von 50 \u03bcm haben.Zus\u00e4tzliche Berechnungen[edit]Archimedes machte einige interessante Experimente und Berechnungen auf dem Weg.  Ein Experiment bestand darin, die Winkelgr\u00f6\u00dfe der Sonne von der Erde aus gesehen abzusch\u00e4tzen.  Die Methode von Archimedes ist besonders interessant, da sie die endliche Gr\u00f6\u00dfe der Pupille des Auges ber\u00fccksichtigt.[6]  und ist daher m\u00f6glicherweise das erste bekannte Beispiel f\u00fcr Experimente in der Psychophysik, dem Zweig der Psychologie, der sich mit der Mechanik der menschlichen Wahrnehmung befasst und dessen Entwicklung im Allgemeinen Hermann von Helmholtz zugeschrieben wird.  Eine weitere interessante Berechnung ber\u00fccksichtigt die Sonnenparallaxe und die unterschiedlichen Abst\u00e4nde zwischen dem Betrachter und der Sonne, unabh\u00e4ngig davon, ob sie vom Erdmittelpunkt oder von der Erdoberfl\u00e4che bei Sonnenaufgang aus betrachtet werden.  Dies ist m\u00f6glicherweise die erste bekannte Berechnung, die sich mit Sonnenparallaxe befasst.[1]Es gibt einige, K\u00f6nig Gelon, die denken, dass die Anzahl des Sandes in einer Vielzahl unendlich ist;  und ich meine mit dem Sand nicht nur das, was \u00fcber Syrakus und den Rest Siziliens existiert, sondern auch das, was in jeder Region zu finden ist, ob bewohnt oder unbewohnt.  Wieder gibt es einige, die, ohne es als unendlich zu betrachten, dennoch der Meinung sind, dass keine Zahl benannt wurde, die gro\u00df genug ist, um ihre Gr\u00f6\u00dfe zu \u00fcberschreiten.  Und es ist klar, dass diejenigen, die diese Ansicht vertreten, sich eine Masse aus Sand vorstellen, die in anderer Hinsicht so gro\u00df ist wie die Masse der Erde, einschlie\u00dflich aller Meere und H\u00f6hlen der Erde, die bis zu einer H\u00f6he gef\u00fcllt sind zu dem des h\u00f6chsten der Berge w\u00e4re noch ein Vielfaches weiter von der Erkenntnis entfernt, dass jede Zahl ausgedr\u00fcckt werden k\u00f6nnte, die die Menge des so entnommenen Sandes \u00fcbersteigt.Aber ich werde versuchen, Ihnen anhand geometrischer Beweise zu zeigen, denen Sie folgen k\u00f6nnen, dass von den von mir genannten und in dem Werk, das ich an Zeuxippus sandte, angegebenen Zahlen nicht nur die Zahl der Masse von \u00fcberschreiten Sand, dessen Gr\u00f6\u00dfe der Erde entspricht, f\u00fcllte sich auf die beschriebene Weise, aber auch der Masse, deren Gr\u00f6\u00dfe dem Universum entspricht.[7]– –Archimedis Syracusani Arenarius & Dimensio CirculiVerweise[edit]^ ein b Archimedes, The Sand Reckoner 511 RU, von Ilan Vardi, abgerufen am 28-II-2007.^ ein b Alan Hirshfeld. “Eureka Man: Das Leben und Verm\u00e4chtnis von Archimedes”.  Abgerufen 17. Februar 2016.^ Aristarchus-Biografie bei MacTutor, abgerufen am 26-II-2007.^ Arenarius, I., 4\u20137^   Kommentierte \u00dcbersetzung von The Sand Reckoner [1]  Cal State University, Los Angeles ^ Smith, William – Ein W\u00f6rterbuch der griechischen und r\u00f6mischen Biographie und Mythologie (1880), p.  272^ Newman, James R. – Die Welt der Mathematik (2000), p.  420Weiterf\u00fchrende Literatur[edit]Externe Links[edit]     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/29\/the-sand-reckoner-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"The Sand Reckoner – Wikipedia"}}]}]