[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/29\/topologische-gruppe-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/29\/topologische-gruppe-wikipedia\/","headline":"Topologische Gruppe – Wikipedia","name":"Topologische Gruppe – Wikipedia","description":"before-content-x4 Gruppe, die ein topologischer Raum mit kontinuierlicher Gruppenaktion ist after-content-x4 In der Mathematik a topologische Gruppe ist eine Gruppe","datePublished":"2020-11-29","dateModified":"2020-11-29","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/d\/d7\/Real_number_line.svg\/350px-Real_number_line.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/d\/d7\/Real_number_line.svg\/350px-Real_number_line.svg.png","height":"114","width":"350"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/11\/29\/topologische-gruppe-wikipedia\/","wordCount":12873,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Gruppe, die ein topologischer Raum mit kontinuierlicher Gruppenaktion ist         (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4In der Mathematik a topologische Gruppe ist eine Gruppe G zusammen mit einer Topologie auf G so dass sowohl die bin\u00e4re Operation der Gruppe als auch die Funktionszuordnung von Gruppenelementen zu ihren jeweiligen Inversen kontinuierliche Funktionen in Bezug auf die Topologie sind.  Eine topologische Gruppe ist ein mathematisches Objekt mit sowohl einer algebraischen als auch einer topologischen Struktur.  Daher kann man aufgrund der Gruppenstruktur algebraische Operationen ausf\u00fchren und aufgrund der Topologie \u00fcber kontinuierliche Funktionen sprechen.Topologische Gruppen werden zusammen mit kontinuierlichen Gruppenaktionen verwendet, um kontinuierliche Symmetrien zu untersuchen, die beispielsweise in der Physik viele Anwendungen haben.  Bei der Funktionsanalyse ist jeder topologische Vektorraum eine additive topologische Gruppe mit der zus\u00e4tzlichen Eigenschaft, dass die Skalarmultiplikation kontinuierlich ist.  Folglich k\u00f6nnen viele Ergebnisse aus der Theorie der topologischen Gruppen auf die Funktionsanalyse angewendet werden.Table of Contents       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Formale Definition[edit]Homomorphismen[edit]Beispiele[edit]Eigenschaften[edit]Hilberts f\u00fcnftes Problem[edit]Darstellungen von kompakten oder lokal kompakten Gruppen[edit]Homotopietheorie topologischer Gruppen[edit]Komplette abelsche topologische Gruppen[edit]Kanonische Einheitlichkeit in einer kommutativen topologischen Gruppe[edit]Cauchy Vorfilter und Netze[edit]Komplette kommutative topologische Gruppe[edit]Verallgemeinerungen[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Literaturverzeichnis[edit]Formale Definition[edit]EIN topologische Gruppe, Gist ein topologischer Raum, der auch eine Gruppe ist, so dass die Gruppenoperation (in diesem Fall Produkt):\u22c5: G \u00d7 G \u2192 G,      ((x, y) \u21a6 xyund Inversionskarte:\u22121 :: G \u2192 G,   x \u21a6 x \u22121sind kontinuierlich[note 1] Hier G \u00d7 G  wird als topologischer Raum mit der Produkttopologie angesehen.  Eine solche Topologie soll sein kompatibel mit den Gruppenoperationen und hei\u00dft a Gruppentopologie.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Durchgang pr\u00fcfenDie Produktkarte ist genau dann fortlaufend, wenn \u00fcberhaupt x, y \u2208 G  und jede Nachbarschaft W. von xy  im GEs gibt Nachbarschaften U. von x und V. von y im G so dass U. \u22c5 V. \u2286 W., wo U. \u22c5 V. : = {u \u22c5 v :: u \u2208 U., v \u2208 V.}.  Die Inversionskarte ist genau dann kontinuierlich, wenn f\u00fcr welche x \u2208 G  und jede Nachbarschaft V. von x \u22121  im GEs gibt Nachbarschaften U. von x im G so dass U. \u22121 \u2286 V., wo U. \u22121 : = { u\u22121 :: u \u2208 U. }.Um zu zeigen, dass eine Topologie mit den Gruppenoperationen kompatibel ist, reicht es aus, die Karte zu \u00fcberpr\u00fcfenG \u00d7 G \u2192 G, ((x, y) \u21a6 xy \u22121ist kontinuierlich.  Explizit bedeutet dies, dass f\u00fcr jeden x, y \u2208 G  und jede Nachbarschaft W. im G von xy \u22121Es gibt Nachbarschaften U. von x und V. von y im G so dass U. \u22c5 (V. \u22121) \u2286 W..Additive NotationDiese Definition verwendete die Notation f\u00fcr multiplikative Gruppen;  Das \u00c4quivalent f\u00fcr additive Gruppen w\u00e4re, dass die folgenden zwei Operationen kontinuierlich sind:+: G \u00d7 G \u2192 G ,   ((x, y) \u21a6 x + y-: G \u2192 G , x \u21a6 –x.HausdorffnessObwohl nicht Teil dieser Definition, viele Autoren[1]  erfordern, dass die Topologie aktiviert ist G sei Hausdorff.  Ein Grund daf\u00fcr ist, dass jede topologische Gruppe kanonisch mit einer topologischen Hausdorff-Gruppe assoziiert werden kann, indem ein geeigneter kanonischer Quotient genommen wird;  Dies erfordert jedoch h\u00e4ufig noch die Arbeit mit der urspr\u00fcnglichen topologischen Nicht-Hausdorff-Gruppe.  Andere Gr\u00fcnde und einige \u00e4quivalente Bedingungen werden unten diskutiert.In diesem Artikel wird nicht davon ausgegangen, dass topologische Gruppen notwendigerweise Hausdorff sind.KategorieIn der Sprache der Kategorietheorie k\u00f6nnen topologische Gruppen pr\u00e4zise als Gruppenobjekte in der Kategorie der topologischen R\u00e4ume definiert werden, genauso wie gew\u00f6hnliche Gruppen Gruppenobjekte in der Kategorie der Mengen sind.  Beachten Sie, dass die Axiome in Form der Karten (bin\u00e4res Produkt, un\u00e4re inverse und null\u00e4re Identit\u00e4t) angegeben werden und daher kategoriale Definitionen sind.Homomorphismen[edit]EIN Homomorphismus von topologischen Gruppen bedeutet einen kontinuierlichen Gruppenhomomorphismus G \u2192 H..  Topologische Gruppen bilden zusammen mit ihren Homomorphismen eine Kategorie.  Ein Gruppenhomomorphismus zwischen kommutativen topologischen Gruppen ist genau dann kontinuierlich, wenn er bei kontinuierlich ist etwas Punkt.Ein Isomorphismus von topologischen Gruppen ist ein Gruppenisomorphismus, der auch ein Hom\u00f6omorphismus der zugrunde liegenden topologischen R\u00e4ume ist.  Dies ist st\u00e4rker als nur das Erfordernis eines kontinuierlichen Gruppenisomorphismus – die Umkehrung muss auch kontinuierlich sein.  Es gibt Beispiele f\u00fcr topologische Gruppen, die als gew\u00f6hnliche Gruppen isomorph sind, jedoch nicht als topologische Gruppen.  In der Tat ist jede nicht diskrete topologische Gruppe auch eine topologische Gruppe, wenn sie mit der diskreten Topologie betrachtet wird.  Die zugrunde liegenden Gruppen sind dieselben, aber als topologische Gruppen gibt es keinen Isomorphismus.Beispiele[edit]Jede Gruppe kann trivial zu einer topologischen Gruppe gemacht werden, indem sie mit der diskreten Topologie betrachtet wird.  Solche Gruppen werden diskrete Gruppen genannt.  In diesem Sinne fasst die Theorie der topologischen Gruppen die der gew\u00f6hnlichen Gruppen zusammen.  Die indiskrete Topologie (dh die triviale Topologie) macht auch jede Gruppe zu einer topologischen Gruppe.Die reellen Zahlen, \u211d bilden mit der \u00fcblichen Topologie eine topologische Gruppe unter Addition.  Euklidisch n-Raum \u211dn  ist auch eine hinzugef\u00fcgte topologische Gruppe, und allgemeiner bildet jeder topologische Vektorraum eine (abelsche) topologische Gruppe.  Einige andere Beispiele f\u00fcr abelsche topologische Gruppen sind die Kreisgruppen S.1oder der Torus ((S.1)n  f\u00fcr jede nat\u00fcrliche Zahl n.Die klassischen Gruppen sind wichtige Beispiele f\u00fcr nicht-abelsche topologische Gruppen.  Zum Beispiel die allgemeine lineare Gruppe GL (n, \u211d) von allen invertierbar n-durch-n Matrizen mit realen Eintr\u00e4gen k\u00f6nnen als topologische Gruppe mit der durch Anzeigen definierten Topologie angezeigt werden GL (n, \u211d) als Unterraum des euklidischen Raumes \u211dn\u00d7n.  Eine andere klassische Gruppe ist die orthogonale Gruppe \u00d6(n), die Gruppe aller linearen Karten aus \u211dn  zu sich selbst, die die L\u00e4nge aller Vektoren bewahren.  Die orthogonale Gruppe ist als topologischer Raum kompakt.  Ein Gro\u00dfteil der euklidischen Geometrie kann als Untersuchung der Struktur der orthogonalen Gruppe oder der eng verwandten Gruppe angesehen werden \u00d6((n) \u22c9 \u211dn  von Isometrien von \u211dn.Die bisher genannten Gruppen sind alle Lie-Gruppen, was bedeutet, dass sie glatte Mannigfaltigkeiten sind, so dass die Gruppenoperationen glatt und nicht nur kontinuierlich sind.  L\u00fcgengruppen sind die am besten verstandenen topologischen Gruppen;  Viele Fragen zu Lie-Gruppen k\u00f6nnen in rein algebraische Fragen zu Lie-Algebren umgewandelt und dann gel\u00f6st werden.Ein Beispiel f\u00fcr eine topologische Gruppe, die keine Lie-Gruppe ist, ist die additive Gruppe \u211a von rationalen Zahlen, mit der Topologie von geerbt \u211d.  Dies ist ein z\u00e4hlbarer Raum, und er hat nicht die diskrete Topologie.  Ein wichtiges Beispiel f\u00fcr die Zahlentheorie ist die Gruppe \u2124p  von p-adische Ganzzahlen f\u00fcr eine Primzahl p, was die inverse Grenze der endlichen Gruppen bedeutet \u2124 \/pn  wie n geht ins Unendliche.  Die Gruppe \u2124p  ist insofern gut benommen, als es kompakt ist (tats\u00e4chlich hom\u00f6omorph zum Cantor-Set), aber es unterscheidet sich von (realen) Lie-Gruppen darin, dass es v\u00f6llig getrennt ist.  Allgemeiner gibt es eine Theorie von p-adische Lie-Gruppen, einschlie\u00dflich kompakter Gruppen wie GL (n, \u2124p) sowie lokal kompakte Gruppen wie GL (n, \u211ap), wo \u211ap  ist das lokal kompakte Feld von p-adische Zahlen.Die Gruppe \u2124p  ist eine pro-endliche Gruppe;  es ist isomorph zu einer Untergruppe des Produkts \u220fn\u22651Z.\/.pn{ displaystyle  prod _ {n  geq 1}  mathbb {Z} \/ p ^ {n}}  so, dass seine Topologie durch die Produkttopologie induziert wird, wo die endlichen Gruppen Z.\/.pn{ displaystyle  mathbb {Z} \/ p ^ {n}}  erhalten die diskrete Topologie.  Eine weitere gro\u00dfe Klasse von pro-endlichen Gruppen, die in der Zahlentheorie wichtig sind, sind absolute Galois-Gruppen.Einige topologische Gruppen k\u00f6nnen als unendlich dimensionale Lie-Gruppen angesehen werden.  Dieser Satz wird am besten informell verstanden, um mehrere verschiedene Familien von Beispielen einzuschlie\u00dfen.  Beispielsweise ist ein topologischer Vektorraum, wie ein Banachraum oder ein Hilbertraum, eine abelsche topologische Gruppe, die hinzugef\u00fcgt wird.  Einige andere unendlich dimensionale Gruppen, die mit unterschiedlichem Erfolg untersucht wurden, sind Schleifengruppen, Kac-Moody-Gruppen, Diffeomorphismusgruppen, Hom\u00f6omorphismusgruppen und Eichgruppen.In jeder Banach-Algebra mit multiplikativer Identit\u00e4t bildet die Menge der invertierbaren Elemente eine topologische Gruppe unter Multiplikation.  Auf diese Weise entsteht beispielsweise die Gruppe invertierbar begrenzter Operatoren in einem Hilbert-Raum.Eigenschaften[edit]\u00dcbersetzungsinvarianzDie Inversionsoperation an einer topologischen Gruppe G ist ein Hom\u00f6omorphismus aus G zu sich selbst.  Ebenso wenn ein ist ein beliebiges Element von G, dann linke oder rechte Multiplikation mit ein ergibt einen Hom\u00f6omorphismus G \u2192 G.  Folglich, wenn ? ist eine Nachbarschaftsbasis des Identit\u00e4tselements in einer kommutativen topologischen Gruppe G dann f\u00fcr alle x \u2208 X.,x?: = { xN :: N. \u2208 \u2208 }}ist eine Nachbarschaftsbasis von x im G, wo xN : = { xn :: n \u2208 N. }.  Insbesondere wird jede Gruppentopologie in einer kommutativen topologischen Gruppe vollst\u00e4ndig durch jede Nachbarschaftsbasis am Identit\u00e4tselement bestimmt.  Wenn S. ist eine beliebige Teilmenge von G und U. ist eine offene Teilmenge von G, dann SU : = { su :: s \u2208 S., u \u2208 U. } ist eine offene Teilmenge von G.Symmetrische NachbarschaftenEine Teilmenge S. von G soll symmetrisch sein, wenn S. \u22121 = S..  Der Abschluss jeder symmetrischen Menge in einer kommutativen topologischen Gruppe ist symmetrisch.  Wenn S. ist eine beliebige Teilmenge einer kommutativen topologischen Gruppe G, dann sind auch die folgenden S\u00e4tze symmetrisch: S. \u22121 \u2229 S., S. \u22121 \u222a S., und S. \u22121S..F\u00fcr jede Nachbarschaft N. in einer kommutativen topologischen Gruppe G des Identit\u00e4tselements existiert eine symmetrische Nachbarschaft M. des Identit\u00e4tselements so, dass M. \u22121M. \u2286 N., wo beachte das M. \u22121M.  ist notwendigerweise eine symmetrische Nachbarschaft des Identit\u00e4tselements.  Somit hat jede topologische Gruppe eine Nachbarschaftsbasis am Identit\u00e4tselement, das aus symmetrischen Mengen besteht.Wenn G ist eine lokal kompakte kommutative Gruppe, also f\u00fcr jede Nachbarschaft N. im G des Identit\u00e4tselements existiert eine symmetrische relativ kompakte Nachbarschaft M. des Identit\u00e4tselements so, dass cl M. \u2286 N.  (wo cl M.  ist auch symmetrisch).Einheitlicher RaumJede topologische Gruppe kann auf zwei Arten als einheitlicher Raum betrachtet werden.  das Linke Einheitlichkeit wandelt alle linken Multiplikationen in gleichm\u00e4\u00dfig kontinuierliche Karten um, w\u00e4hrend die richtige Einheitlichkeit verwandelt alle richtigen Multiplikationen in gleichm\u00e4\u00dfig kontinuierliche Karten.  Wenn G ist nicht abelisch, dann m\u00fcssen diese beiden nicht zusammenfallen.  Die einheitlichen Strukturen erm\u00f6glichen es, \u00fcber Begriffe wie Vollst\u00e4ndigkeit, einheitliche Kontinuit\u00e4t und einheitliche Konvergenz in topologischen Gruppen zu sprechen.TrenneigenschaftenWenn U. ist eine offene Teilmenge einer kommutativen topologischen Gruppe G und U. enth\u00e4lt ein kompaktes Set K.Dann gibt es eine Nachbarschaft N. des Identit\u00e4tselements so, dass KN \u2286 U..Als einheitlicher Raum ist jede kommutative topologische Gruppe v\u00f6llig regelm\u00e4\u00dfig.  Folglich f\u00fcr eine multiplikative topologische Gruppe G Mit Identit\u00e4tselement 1 sind folgende \u00e4quivalent:G ist ein T.0-Raum (Kolmogorov);G ist ein T.2-raum (Hausdorff);G ist ein T.3\u00bd (Tychonoff);{1 } ist geschlossen in G;;{1}: = \u2229N \u2208 \u2208 N., wo ? ist eine Nachbarschaftsbasis des Identit\u00e4tselements in G;;f\u00fcr jeden x \u2208 G  so dass x \u2260 1Es gibt eine Nachbarschaft U. im G des Identit\u00e4tselements so, dass x \u2209 U..Eine Untergruppe einer kommutativen topologischen Gruppe ist genau dann diskret, wenn sie einen isolierten Punkt hat.Wenn G ist nicht Hausdorff, dann kann man eine Hausdorff-Gruppe erhalten, indem man zur Quotientengruppe \u00fcbergeht G\/.K., wo K. ist die Schlie\u00dfung der Identit\u00e4t.  Dies entspricht der Annahme des Kolmogorov-Quotienten von G.MessbarkeitDas Satz von Birkhoff-Kakutani (benannt nach den Mathematikern Garrett Birkhoff und Shizuo Kakutani) gibt an, dass die folgenden drei Bedingungen f\u00fcr eine topologische Gruppe gelten G sind gleichwertig:Das Identit\u00e4tselement 1 ist geschlossen Gund es gibt eine z\u00e4hlbare Basis von Nachbarschaften f\u00fcr 1 in G.G ist messbar (als topologischer Raum).Es gibt eine linksinvariante Metrik G das induziert die gegebene Topologie auf G.(Eine Metrik auf G wird f\u00fcr jeden Punkt als linksinvariant bezeichnet ein \u2208 G, die Karte x \u21a6 Axt  ist eine Isometrie von G zu sich selbst.)UntergruppenJede Untergruppe einer topologischen Gruppe ist selbst eine topologische Gruppe, wenn die Subraumtopologie angegeben wird.  Jede offene Untergruppe H. ist auch geschlossen in G, da die Erg\u00e4nzung von H. ist die offene Menge, die durch die Vereinigung offener Mengen gegeben ist gH  zum G \u2208 G . H..  Wenn H. ist eine Untergruppe von G dann die Schlie\u00dfung von H. ist auch eine Untergruppe.  Ebenso wenn H. ist eine normale Untergruppe von G, die Schlie\u00dfung von H. ist normal in G.Quotienten und normale UntergruppenWenn H. ist eine Untergruppe von G, die Menge der linken Nebenmengen G\/.H.  mit der Quotiententopologie wird ein homogener Raum f\u00fcr genannt G.  Die Quotientenkarte q :: G \u2192 G\/.H.  ist immer offen.  Zum Beispiel f\u00fcr eine positive ganze Zahl n, Die Sph\u00e4re S.n  ist ein homogener Raum f\u00fcr die Rotationsgruppe DAMIT(n+1) im \u211dn+1mit S.n  = SO (n+1) \/ SO (n).  Ein homogener Raum G\/.H.  ist Hausdorff genau dann, wenn H. ist geschlossen in G.  Teilweise aus diesem Grund ist es nat\u00fcrlich, sich bei der Untersuchung topologischer Gruppen auf geschlossene Untergruppen zu konzentrieren.Wenn H. ist eine normale Untergruppe von G, dann die Quotientengruppe G\/.H.  wird zu einer topologischen Gruppe, wenn die Quotiententopologie angegeben wird.  Es ist Hausdorff genau dann, wenn H. ist geschlossen in G.  Zum Beispiel die Quotientengruppe \u211d \/ \u2124 ist isomorph zur Kreisgruppe S.1.In jeder topologischen Gruppe ist die Identit\u00e4tskomponente (dh die verbundene Komponente, die das Identit\u00e4tselement enth\u00e4lt) eine geschlossene normale Untergruppe.  Wenn C. ist die Identit\u00e4tskomponente und ein ist irgendein Punkt von G, dann der linke Coset aC  ist die Komponente von G enth\u00e4lt ein.  Also die Sammlung aller linken Cosets (oder rechten Cosets) von C. im G ist gleich der Sammlung aller Komponenten von G.  Daraus folgt die Quotientengruppe G\/.C.  ist v\u00f6llig getrennt.Verschluss und KompaktheitIn jeder kommutativen topologischen Gruppe ist das Produkt (vorausgesetzt, die Gruppe ist multiplikativ) KC  eines kompakten Satzes K. und ein geschlossener Satz C. ist ein geschlossener Satz.  Dar\u00fcber hinaus f\u00fcr alle Teilmengen R. und S. von G, (cl R.) (cl S.) \u2286 cl (RS).Wenn H. ist eine Untergruppe einer kommutativen topologischen Gruppe G und wenn N. ist eine Nachbarschaft in G des Identit\u00e4tselements so, dass H. \u2229 cl N.  ist dann geschlossen H. ist geschlossen.  Jede einzelne Untergruppe einer kommutativen topologischen Gruppe nach Hausdorff ist geschlossen.Isomorphismus-TheoremeDie Isomorphismuss\u00e4tze aus der gew\u00f6hnlichen Gruppentheorie sind in der topologischen Umgebung nicht immer wahr.  Dies liegt daran, dass ein bijektiver Homomorphismus kein Isomorphismus topologischer Gruppen sein muss.  Die S\u00e4tze sind g\u00fcltig, wenn man den beteiligten Karten bestimmte Einschr\u00e4nkungen auferlegt.  Zum Beispiel besagt der erste Isomorphismus-Satz, dass wenn f :: G \u2192 H.  ist ein Homomorphismus, dann der Homomorphismus aus G\/ ker (f) zu Ich bin(f) ist ein Isomorphismus genau dann, wenn die Karte f ist offen f\u00fcr sein Bild.Hilberts f\u00fcnftes Problem[edit]Es gibt mehrere starke Ergebnisse bez\u00fcglich der Beziehung zwischen topologischen Gruppen und Lie-Gruppen.  Erstens jeder kontinuierliche Homomorphismus von Lie-Gruppen G\u2192H.{ displaystyle G  to H}  ist glatt.  Daraus folgt, dass eine topologische Gruppe eine eindeutige Struktur einer Lie-Gruppe hat, falls eine existiert.  Der Satz von Cartan besagt auch, dass jede geschlossene Untergruppe einer Lie-Gruppe eine Lie-Untergruppe ist, insbesondere eine glatte Untergruppe.Hilberts f\u00fcnftes Problem fragte, ob eine topologische Gruppe G das ist eine topologische Mannigfaltigkeit muss eine Lie-Gruppe sein.  Mit anderen Worten G Haben Sie die Struktur eines reibungslosen Verteilers, der die Gruppenoperationen reibungslos macht?  Wie Andrew Gleason, Deane Montgomery und Leo Zippin gezeigt haben, lautet die Antwort auf dieses Problem Ja.  Eigentlich, G hat eine echte analytische Struktur.  Mit der glatten Struktur kann man die Lie-Algebra von definieren G, ein Objekt der linearen Algebra, das eine verbundene Gruppe bestimmt G bis zur Abdeckung von R\u00e4umen.  Infolgedessen reduziert die L\u00f6sung von Hilberts f\u00fcnftem Problem die Klassifizierung topologischer Gruppen, die topologische Mannigfaltigkeiten sind, auf ein algebraisches Problem, wenn auch ein kompliziertes Problem im Allgemeinen.Der Satz hat auch Konsequenzen f\u00fcr breitere Klassen topologischer Gruppen.  Erstens ist jede kompakte Gruppe (verstanden als Hausdorff) eine inverse Grenze kompakter Lie-Gruppen.  (Ein wichtiger Fall ist eine inverse Grenze endlicher Gruppen, die als profinite Gruppe bezeichnet wird. Zum Beispiel die Gruppe \u2124p  von p-adische ganze Zahlen und die absolute Galois-Gruppe eines Feldes sind profinite Gruppen.) Dar\u00fcber hinaus ist jede verbundene lokal kompakte Gruppe eine inverse Grenze verbundener Lie-Gruppen.  Im anderen Extremfall enth\u00e4lt eine vollst\u00e4ndig getrennte lokal kompakte Gruppe immer eine kompakte offene Untergruppe, die notwendigerweise eine profinite Gruppe ist.  (Zum Beispiel die lokal kompakte Gruppe GL (n, \u211ap) enth\u00e4lt die kompakte offene Untergruppe GL (n, \u2124p)Dies ist die inverse Grenze der endlichen Gruppen GL (n, \u2124 \/pr) wie rgeht ins Unendliche.)Darstellungen von kompakten oder lokal kompakten Gruppen[edit]Ein Aktion einer topologischen Gruppe G auf einem topologischen Raum X. ist eine Gruppenaktion von G auf X. so dass die entsprechende Funktion G \u00d7 X. \u2192 X.  ist kontinuierlich.  Ebenso a Darstellung einer topologischen Gruppe G auf einem realen oder komplexen topologischen Vektorraum V. ist eine kontinuierliche Aktion von G auf V. so dass f\u00fcr jeden G \u2208 G, die Karte v \u21a6 gv  von V. zu sich selbst ist linear.Gruppenaktionen und Repr\u00e4sentationstheorie sind f\u00fcr kompakte Gruppen besonders gut bekannt und verallgemeinern, was f\u00fcr endliche Gruppen geschieht.  Beispielsweise ist jede endlich dimensionale (reale oder komplexe) Darstellung einer kompakten Gruppe eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen.  Eine unendlich dimensionale einheitliche Darstellung einer kompakten Gruppe kann als direkte Hilbert-Raum-Summe irreduzibler Darstellungen zerlegt werden, die alle endlichdimensional sind;  Dies ist Teil des Peter-Weyl-Theorems.  Beispielsweise beschreibt die Theorie der Fourierreihen die Zerlegung der einheitlichen Darstellung der Kreisgruppe S.1  auf dem komplexen Hilbert-Raum L.2((S.1).  Die irreduziblen Darstellungen von S.1  sind alle eindimensional, von der Form z \u21a6 zn  f\u00fcr ganze Zahlen n (wo S.1  wird als Untergruppe der multiplikativen Gruppe angesehen \u2102*).  Jede dieser Darstellungen tritt mit einer Multiplizit\u00e4t von 1 Zoll auf L.2((S.1).Die irreduziblen Darstellungen aller kompakten verbundenen Lie-Gruppen wurden klassifiziert.  Insbesondere wird der Charakter jeder irreduziblen Darstellung durch die Weyl-Zeichenformel angegeben.Im Allgemeinen haben lokal kompakte Gruppen eine reichhaltige Theorie der harmonischen Analyse, da sie einen nat\u00fcrlichen Begriff von Ma\u00df und Integral zulassen, der durch das Haar-Ma\u00df gegeben ist.  Jede einheitliche Darstellung einer lokal kompakten Gruppe kann als direktes Integral irreduzibler einheitlicher Darstellungen beschrieben werden.  (Die Zerlegung ist im Wesentlichen eindeutig, wenn G ist vom Typ I, der die wichtigsten Beispiele wie abelsche Gruppen und halb-einfache Lie-Gruppen enth\u00e4lt.) Ein grundlegendes Beispiel ist die Fourier-Transformation, die die Wirkung der additiven Gruppe zerlegt \u211d auf dem Hilbert-Raum L.2(\u211d) als direktes Integral der irreduziblen einheitlichen Darstellungen von \u211d.  Die irreduziblen einheitlichen Darstellungen von \u211d sind alle eindimensional, von der Form x \u21a6 e2\u03c0iax  zum ein \u2208 \u2208.Die irreduziblen einheitlichen Darstellungen einer lokal kompakten Gruppe k\u00f6nnen unendlich dimensional sein.  Ein Hauptziel der Darstellungstheorie im Zusammenhang mit der Langlands-Klassifikation zul\u00e4ssiger Darstellungen besteht darin, das einheitliche Dual (den Raum aller irreduziblen einheitlichen Darstellungen) f\u00fcr die halb-einfachen Lie-Gruppen zu finden.  Das einheitliche Dual ist in vielen F\u00e4llen bekannt, wie z SL (2, \u211d), aber nicht alles.F\u00fcr eine lokal kompakte abelsche Gruppe Ghat jede irreduzible einheitliche Darstellung die Dimension 1. In diesem Fall ist das einheitliche Dual G^{ displaystyle { hat {G}}}  ist eine Gruppe, in der Tat eine andere lokal kompakte abelsche Gruppe.  Die Pontryagin-Dualit\u00e4t besagt, dass f\u00fcr eine lokal kompakte abelsche Gruppe G, das Dual von G^{ displaystyle { hat {G}}}  ist die urspr\u00fcngliche Gruppe G.  Zum Beispiel die doppelte Gruppe der ganzen Zahlen \u2124 ist die Kreisgruppe S.1, w\u00e4hrend die Gruppe \u211d von reellen Zahlen ist isomorph zu seinem eigenen Dual.Jede lokal kompakte Gruppe G hat ein gutes Angebot an irreduziblen einheitlichen Darstellungen;  Zum Beispiel genug Darstellungen, um die Punkte von zu unterscheiden G (das Gelfand-Raikov-Theorem).  Im Gegensatz dazu wurde die Darstellungstheorie f\u00fcr topologische Gruppen, die nicht lokal kompakt sind, bisher nur in speziellen Situationen entwickelt, und es ist m\u00f6glicherweise nicht sinnvoll, eine allgemeine Theorie zu erwarten.  Zum Beispiel gibt es viele abelsche Banach-Lie-Gruppen, f\u00fcr die jede Darstellung im Hilbert-Raum trivial ist.Homotopietheorie topologischer Gruppen[edit]Topologische Gruppen sind unter allen topologischen R\u00e4umen besonders in Bezug auf ihren Homotopietyp besonders.  Ein grundlegender Punkt ist, dass eine topologische Gruppe G bestimmt einen pfadverbundenen topologischen Raum, den Klassifizierungsraum BG  (das Prinzipal klassifiziert G-B\u00fcndel \u00fcber topologischen R\u00e4umen, unter milden Hypothesen).  Die Gruppe G ist in der Kategorie Homotopie isomorph zum Schleifenraum von BG;;  das impliziert verschiedene Einschr\u00e4nkungen f\u00fcr den Homotopietyp von G.  Einige dieser Einschr\u00e4nkungen gelten im breiteren Kontext von H-R\u00e4umen.Zum Beispiel die Grundgruppe einer topologischen Gruppe G ist abelisch.  (Allgemeiner das Whitehead-Produkt auf den Homotopiegruppen von G ist Null.) Auch f\u00fcr jedes Feld k, der Kohomologiering H.* (G,k) hat die Struktur einer Hopf-Algebra.  In Anbetracht der Strukturs\u00e4tze zu Hopf-Algebren von Heinz Hopf und Armand Borel werden die m\u00f6glichen Kohomologieringe topologischer Gruppen stark eingeschr\u00e4nkt.  Insbesondere wenn G ist eine pfadgebundene topologische Gruppe, deren rationale Kohomologie klingelt H.* (G, \u211a) ist in jedem Grad endlichdimensional, dann muss dieser Ring eine frei abgestufte kommutative Algebra sein \u211adas hei\u00dft, das Tensorprodukt eines Polynomrings bei Generatoren geraden Grades mit einer \u00e4u\u00dferen Algebra bei Generatoren ungeraden Grades.Insbesondere f\u00fcr eine verbundene Lie-Gruppe G, der Ring der rationalen Kohomologie von G ist eine \u00e4u\u00dfere Algebra f\u00fcr Generatoren ungeraden Grades.  Dar\u00fcber hinaus eine verbundene Lie-Gruppe G hat eine maximal kompakte Untergruppe K., was bis zur Konjugation und der Einbeziehung von einzigartig ist K. in G ist eine Homotopie\u00e4quivalenz.  Die Beschreibung der Homotopietypen von Lie-Gruppen reduziert sich also auf den Fall kompakter Lie-Gruppen.  Zum Beispiel die maximal kompakte Untergruppe von SL (2, \u211d) ist die Kreisgruppe SO (2)und der homogene Raum SL (2, \u211d) \/ SO (2) kann mit der hyperbolischen Ebene identifiziert werden.  Da die hyperbolische Ebene kontrahierbar ist, erfolgt die Einbeziehung der Kreisgruppe in SL (2, \u211d) ist eine Homotopie\u00e4quivalenz.Schlie\u00dflich wurden kompakte verbundene Lie-Gruppen von Wilhelm Killing, \u00c9lie Cartan und Hermann Weyl klassifiziert.  Infolgedessen gibt es eine im Wesentlichen vollst\u00e4ndige Beschreibung der m\u00f6glichen Homotopietypen von Lie-Gruppen.  Zum Beispiel ist eine kompakt verbundene Lie-Gruppe mit h\u00f6chstens 3 entweder ein Torus, die Gruppe SU (2) (diffeomorph zur 3-Kugel) S.3) oder seine Quotientengruppe SU (2) \/ {\u00b1 1} \u2245 SO (3) (diffeomorph zu RP3).Komplette abelsche topologische Gruppen[edit]Informationen zur Konvergenz von Netzen und Filtern, wie Definitionen und Eigenschaften, finden Sie im Artikel \u00fcber Filter in der Topologie.Kanonische Einheitlichkeit in einer kommutativen topologischen Gruppe[edit]Wir werden fortan annehmen, dass jede topologische Gruppe, die wir betrachten, eine additive kommutative topologische Gruppe mit Identit\u00e4tselement ist 0.Definition ((Kanonisches Gefolge und Diagonale): Das Diagonale von X. ist das Set\u0394X.  : = {(x, x): x \u2208 X. \u2009}}und f\u00fcr jeden N. \u2286 X.  enth\u00e4lt 0, das kanonisches Gefolge oder kanonische Umgebung N.  ist das Set\u0394X.((N.): = {(x, y) \u2208 X. \u00d7 X. :: x – – y \u2208 N. } =   \u222ay \u2208 X. [(y + N) \u00d7 { y }]   = \u0394X.  + ((N.\u00d7 {0})Definition ((Kanonische Einheitlichkeit): F\u00fcr eine topologische Gruppe ((X., \u03c4), das kanonische Einheitlichkeit auf X. ist die einheitliche Struktur, die durch die Menge aller kanonischen Gefolgsleute induziert wird \u0394 (N. ) wie N. erstreckt sich \u00fcber alle Stadtteile von 0 im X..Das hei\u00dft, es ist das Schlie\u00dfen des folgenden Vorfilters nach oben X.\u00d7 X.,{\u0394 (N. ): N. ist eine Nachbarschaft von 0 in X.\u2009}}wo dieser Vorfilter eine sogenannte Basis von Entouragen der kanonischen Einheitlichkeit bildet.Definition ((\u00dcbersetzungsinvariante Einheitlichkeit): F\u00fcr eine kommutative additive Gruppe X., ein grundlegendes System von Gefolgsleuten \u212c wird genannt \u00fcbersetzungsinvariant wenn f\u00fcr jeden B.\u2208 \u2208, ((x, y ) \u2208 B.  dann und nur dann, wenn ((x+ z , y+ z) \u2208 B.  f\u00fcr alle x, y , z\u2208 X..  Eine Einheitlichkeit \u212c wird genannt \u00fcbersetzungsinvariant wenn es eine Basis von Gefolgsleuten hat, die \u00fcbersetzungsinvariant ist.Bemerkungen::Die kanonische Einheitlichkeit f\u00fcr jede kommutative topologische Gruppe ist \u00fcbersetzungsinvariant.Die gleiche kanonische Einheitlichkeit w\u00fcrde sich ergeben, wenn eine Nachbarschaftsbasis des Ursprungs verwendet w\u00fcrde, anstatt den Filter aller Nachbarschaften des Ursprungs.Jedes Gefolge \u0394X.((N.) enth\u00e4lt die Diagonale \u0394X. : = \u0394X.({0}) = {(x, x ): x \u2208 X. \u2009} da 0 \u2208 N..Wenn N. ist symmetrisch (dh – – N.= N.) dann \u0394X.((N.) ist symmetrisch (dh (\u0394X.((N.))op= \u0394X.((N.)) und\u0394X.((N.) \u2218 \u0394X.((N.) = {(x, z ): \u2203 y\u2208 X. so dass x , z \u2208 y + N. } =  \u222ay\u2208X. [(y + N) \u00d7 (y + N)]   = \u0394X.  + (( N. \u00d7N. ).Die Topologie induziert am X. durch die kanonische Einheitlichkeit ist die gleiche wie die Topologie, die X. begann mit (dh es ist \u03c4).Cauchy Vorfilter und Netze[edit]Die allgemeine Theorie der einheitlichen R\u00e4ume hat ihre eigene Definition eines “Cauchy-Vorfilters” und eines “Cauchy-Netzes”.  F\u00fcr die kanonische Einheitlichkeit weiter X.Diese reduzieren sich auf die unten beschriebene Definition.Definition ((Summe und Produkt der Netze): Annehmen x\u2022 \u2022 = ( xich)ich \u2208ich  ist ein Netz in X. und y\u2022 \u2022 = ( yich)j\u2208 J.  ist ein Netz in Y..  Machen ich\u00d7J.  in eine gerichtete Menge durch Deklaration (( ich ,j ) \u2264 ( ich2, j2) dann und nur dann, wenn ich\u2264 ich2  und j\u2264 j2.  Dann x\u2022 \u2022 \u00d7y\u2022 \u2022   : = ( xich,yj)(( ich, j ) \u2208ich \u00d7 J.   bezeichnet die Produktnetz.  Wenn X. = Y.  dann das Bild dieses Netzes unter der Zusatzkarte X.\u00d7 X.\u2192 X.  bezeichnet die Summe dieser beiden Netze: x\u2022 \u2022 + y\u2022 \u2022   : = (xich  + yj)(( ich,j) \u2208 ich\u00d7 J.und \u00e4hnlich ihre Unterschied ist definiert als das Bild des Produktnetzes unter der Subtraktionskarte:x\u2022 \u2022 – –y\u2022 \u2022   : = ( xich  – – yj)((ich,j ) \u2208 ich\u00d7 J..Definition ((Cauchy Netz): Ein Netz x\u2022 \u2022 = (xich)ich\u2208 ich  in einer additiven topologischen Gruppe X. hei\u00dft a Cauchy Netz wenn (( xich  – –xj)(( ich, j) \u2208 ich \u00d7 ich   \u2192 0  im X.oder gleichwertig, wenn f\u00fcr jede Nachbarschaft N. von 0 im X.gibt es einige ich0 \u2208 ich  so dass xich  – – xj  \u2208 N.  f\u00fcr alle ich, j \u2265 ich0  mit ich , j \u2208 ich.EIN Cauchy-Sequenz ist ein Cauchy-Netz, das eine Sequenz ist.Definition ((N.-kleines Set): Wenn B. ist eine Teilmenge einer additiven Gruppe X. und N. ist ein Set mit 0, dann sagen wir das B. ist N.-klein oder klein von Ordnung N.  wenn B.– – B. \u2286 N.. Definition ((Cauchy Vorfilter): Ein Vorfilter \u212c auf einer additiven topologischen Gruppe X. genannt Cauchy Vorfilter wenn es eine der folgenden \u00e4quivalenten Bedingungen erf\u00fcllt:\u212c – \u212c \u2192 0  im X., wo  \u212c – \u212c: = { B. – – C. :: B. , C. \u2208 \u2208} ist ein Vorfilter.{ B. – – B. :: B. \u2208 \u212c} \u2192 0  im X., wo  { B. – –B. ::B. \u2208 \u2208}  ist ein Vorfilter \u00e4quivalent zu \u212c – \u212c.F\u00fcr jede Nachbarschaft N. von 0 im X., \u212c enth\u00e4lt einige N.-kleine Menge (dh es gibt einige B. \u2208 \u2208 so dass B. – –B.\u2286 N.).und wenn X. ist dann auch kommutativ:F\u00fcr jede Nachbarschaft N. von 0 im X.gibt es einige B.\u2208 \u2208 und einige x\u2208 X.  so dass B. \u2286 x + N..Es reicht aus, eine der oben genannten Bedingungen f\u00fcr eine bestimmte Nachbarschaftsbasis von zu \u00fcberpr\u00fcfen 0 im X..Anmerkung:Annehmen \u212c ist ein Vorfilter f\u00fcr eine kommutative topologische Gruppe X. und x \u2208 X..  Dann \u212c \u2192 x  im X. dann und nur dann, wenn x \u2208 cl \u212c und \u212c ist Cauchy.Komplette kommutative topologische Gruppe[edit]Anmerkung: Erinnern Sie sich daran f\u00fcr jeden S. \u2286 X., ein Vorfilter ? auf S.  ist notwendigerweise eine Teilmenge von \u2118 ( S. );;  das ist, ? \u2286 \u2118 ( S. ).Definition ((Komplette Teilmenge): Eine Teilmenge S. einer topologischen Gruppe X. wird genannt Komplett wenn es eine der folgenden \u00e4quivalenten Bedingungen erf\u00fcllt: Jeder Cauchy-Vorfilter ? \u2286 \u2118 ( S. ) auf S. konvergiert zu mindestens einem Punkt von S..Wenn X. ist Hausdorff dann jeder Vorfilter an S. wird zu h\u00f6chstens einem Punkt von konvergieren X..  Aber wenn X. Ist nicht Hausdorff, dann kann ein Vorfilter zu mehreren Punkten in konvergieren X..  Gleiches gilt f\u00fcr Netze.Jedes Cauchy-Netz in S. konvergiert zu mindestens einem Punkt von S.;;Jeder Cauchy-Filter ? auf S. konvergiert zu mindestens einem Punkt von S..S. ist ein vollst\u00e4ndiger einheitlicher Raum (unter der Punktesatztopologiedefinition von “vollst\u00e4ndiger einheitlicher Raum”), wenn S. ist mit der Gleichf\u00f6rmigkeit ausgestattet, die durch die kanonische Gleichf\u00f6rmigkeit von X.;;Definition Die Teilmenge S. wird genannt nacheinander abgeschlossen wenn jede Cauchy-Sequenz in S. (oder gleichwertig jeder elementare Cauchy-Filter \/ Vorfilter an S.) konvergiert zu mindestens einem Punkt von S..Anmerkung ((Konvergenz au\u00dferhalb von S. ist erlaubt): Wenn X. ist nicht Hausdorff und wenn jeder Cauchy vorfiltert S. konvergiert zu einem gewissen Punkt von S., dann S. wird auch dann vollst\u00e4ndig sein, wenn einige oder alle Cauchy-Vorfilter aktiviert sind S. ebenfalls konvergieren zu Punkten in X. \u2216 S..  Kurz gesagt, es ist nicht erforderlich, dass diese Cauchy-Vorfilter aktiviert sind S. konvergieren nur zu Punkten in S..  Gleiches gilt f\u00fcr die Konvergenz der Cauchy-Netze in S..Infolgedessen, wenn eine kommutative topologische Gruppe X. ist nicht Hausdorff, dann jede Teilmenge der Schlie\u00dfung von {0 }, sagen S. \u2286 Cl {0 }, ist vollst\u00e4ndig (da es eindeutig kompakt ist und jeder kompakte Satz notwendigerweise vollst\u00e4ndig ist).  Also insbesondere wenn S. \u2260 \u2260 (zB wenn S. a ist eine Singleton-Menge wie S. = {0}) dann S.w\u00e4re aber komplett jeder Cauchy net in S. (und jeder Cauchy-Vorfilter auf S. ), konvergiert zu jeder hinweisen Cl {0 } (F\u00fcgen Sie diese Punkte in ein Cl {0 } die nicht in sind S.).Dieses Beispiel zeigt auch, dass vollst\u00e4ndige Teilmengen (in der Tat sogar kompakte Teilmengen) eines Nicht-Hausdorff-Raums m\u00f6glicherweise nicht geschlossen werden k\u00f6nnen.  (zB wenn \u2205 \u2260 S. \u2286 Cl {0 } dann S. ist genau dann geschlossen, wenn S.= Cl {0}).Definition ((Komplette Gruppe): Eine kommutative topologische Gruppe X. wird genannt Komplett wenn eine der folgenden \u00e4quivalenten Bedingungen zutrifft:X. ist als Teilmenge von sich selbst vollst\u00e4ndig.Jedes Cauchy-Netz in X. konvergiert zu mindestens einem Punkt von X. .Es gibt eine Nachbarschaft von 0 im X.das ist auch eine vollst\u00e4ndige Teilmenge von X..Dies impliziert, dass jede lokal kompakte kommutative topologische Gruppe vollst\u00e4ndig ist.Wenn mit seiner kanonischen Einheitlichkeit ausgestattet, X. wird ist ein v\u00f6llig einheitlicher Raum.Definition ((Nacheinander vollst\u00e4ndige Gruppe): Es wird genannt nacheinander abgeschlossen wenn X. ist eine sequentiell vollst\u00e4ndige Teilmenge von sich.Anmerkung:Nachbarschaftsbasis: Annehmen C. ist eine Vervollst\u00e4ndigung einer kommutativen topologischen Gruppe X.mit X. \u2286C.  und das ? ist eine Nachbarschaftsbasis des Ursprungs in X. .  Dann das Set{ClC.N. :: N. \u2208 \u2208 }}ist eine Nachbarschaftsbasis am Ursprung in C. .Einheitliche Kontinuit\u00e4tDefinition ((Einheitliche Kontinuit\u00e4t): Lassen X.und Y.topologische Gruppen sein, D. \u2286X., und f:: D. \u2192 Y.  sei eine Karte.  Dann f:: D. \u2192 Y.  ist gleichm\u00e4\u00dfig durchgehend wenn f\u00fcr jede Nachbarschaft U.des Ursprungs in X.Es gibt eine Nachbarschaft V.des Ursprungs in Y.so dass f\u00fcr allex , y \u2208 D.,  wenny – –x \u2208 U.dannf (( y ) – f(( x) \u2208 V..Verallgemeinerungen[edit]Verschiedene Verallgemeinerungen topologischer Gruppen k\u00f6nnen erhalten werden, indem die Kontinuit\u00e4tsbedingungen geschw\u00e4cht werden:Eine semitopologische Gruppe ist eine Gruppe Gmit einer Topologie so, dass f\u00fcr jeden c \u2208 G  die beiden Funktionen G\u2192 G  definiert von x\u21a6 xc  und x\u21a6 cx  sind kontinuierlich.Eine quasitopologische Gruppe ist eine semitopologische Gruppe, in der die Funktionszuordnung von Elementen zu ihren Inversen ebenfalls kontinuierlich ist.Eine paratopologische Gruppe ist eine Gruppe mit einer solchen Topologie, dass die Gruppenoperation kontinuierlich ist.Siehe auch[edit]^ dhKontinuierlich bedeutet, dass f\u00fcr jeden offenen Satz U.\u2286 G, f\u22121(( U.)ist in der Domain ge\u00f6ffnet dom f  vonf.Verweise[edit]Literaturverzeichnis[edit]Arhangel’skii, Alexander;  Tkachenko, Mikhail (2008). 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