[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/12\/18\/moglicher-fluss-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/12\/18\/moglicher-fluss-wikipedia\/","headline":"M\u00f6glicher Fluss – Wikipedia","name":"M\u00f6glicher Fluss – Wikipedia","description":"before-content-x4 In der Fluiddynamik potentieller Fluss beschreibt das Geschwindigkeitsfeld als den Gradienten einer Skalarfunktion: das Geschwindigkeitspotential. 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Infolgedessen ist ein Potentialfluss durch ein irrotationales Geschwindigkeitsfeld gekennzeichnet, was eine g\u00fcltige N\u00e4herung f\u00fcr mehrere Anwendungen darstellt.  Die Irrotationalit\u00e4t eines Potentialflusses beruht darauf, dass die Kr\u00fcmmung des Gradienten eines Skalars immer gleich Null ist.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Im Falle einer inkompressiblen Str\u00f6mung erf\u00fcllt das Geschwindigkeitspotential die Laplace-Gleichung, und die Potentialtheorie ist anwendbar.  Potentielle Str\u00f6mungen wurden jedoch auch verwendet, um komprimierbare Str\u00f6mungen zu beschreiben.  Der Potentialflussansatz tritt bei der Modellierung sowohl station\u00e4rer als auch instation\u00e4rer Fl\u00fcsse auf.  Anwendungen der potentiellen Str\u00f6mung sind zum Beispiel: das \u00e4u\u00dfere Str\u00f6mungsfeld f\u00fcr Tragfl\u00e4chen, Wasserwellen, elektroosmotische Str\u00f6mung und Grundwasserstr\u00f6mung.  F\u00fcr Str\u00f6mungen (oder Teile davon) mit starken Vorticity-Effekten ist die m\u00f6gliche Str\u00f6mungsn\u00e4herung nicht anwendbar.Table of ContentsEigenschaften und Anwendungen[edit]Beschreibung und Eigenschaften[edit]Inkompressibler Durchfluss[edit]Kompressibler Durchfluss[edit]Best\u00e4ndiger Flu\u00df[edit]Instation\u00e4rer Fluss[edit]Schallwellen[edit]Anwendbarkeit und Einschr\u00e4nkungen[edit]Analyse f\u00fcr zweidimensionale Str\u00f6mung[edit]Beispiele f\u00fcr zweidimensionale Str\u00f6mungen[edit]Machtgesetze[edit]Machtgesetze mit n = 1: gleichm\u00e4\u00dfiger Fluss[edit]Machtgesetze mit n = 2[edit]Machtgesetze mit n = 3[edit]Machtgesetze mit n = -1: Dublett[edit]Machtgesetze mit n = \u20132: Quadrupol[edit]Leitungsquelle und -senke[edit]Linienwirbel[edit]Analyse f\u00fcr dreidimensionale Str\u00f6mung[edit]Punktquelle und Senke[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Weiterf\u00fchrende Literatur[edit]Externe Links[edit]Eigenschaften und Anwendungen[edit]         (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Ein potentieller Fluss wird konstruiert, indem einfache Elementarfl\u00fcsse hinzugef\u00fcgt und das Ergebnis beobachtet werden.  Beschreibung und Eigenschaften[edit]In der Fluiddynamik wird ein Potentialfluss mittels eines Geschwindigkeitspotentials beschrieben \u03c6als Funktion von Raum und Zeit.  Die Str\u00f6mungsgeschwindigkeit v  ist ein Vektorfeld gleich dem Gradienten, \u2207des Geschwindigkeitspotentials \u03c6::[1]v=\u2207\u03c6.{ displaystyle  mathbf {v} =  nabla  varphi.}Manchmal auch die Definition v = \u2212\u2207\u03c6wird mit einem Minuszeichen verwendet.  Aber hier werden wir die obige Definition ohne das Minuszeichen verwenden.  Aus der Vektorrechnung ist bekannt, dass die Kr\u00fcmmung eines Gradienten gleich Null ist:[1]       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4\u2207\u00d7\u2207\u03c6=0,{ displaystyle  nabla  times  nabla  varphi =  mathbf {0}  ,,}und folglich die Vorticity, die Kr\u00e4uselung des Geschwindigkeitsfeldes vist Null:[1]\u2207\u00d7v=0.{ displaystyle  nabla  times  mathbf {v} =  mathbf {0}  ,.}Dies impliziert, dass ein potentieller Fluss ein irrotationaler Fluss ist.  Dies hat direkte Konsequenzen f\u00fcr die Anwendbarkeit des potenziellen Flusses.  In Str\u00f6mungsregionen, in denen Wirbel bekannterma\u00dfen wichtig sind, wie z. B. Nachl\u00e4ufe und Grenzschichten, kann die Potentialstr\u00f6mungstheorie keine vern\u00fcnftigen Vorhersagen \u00fcber die Str\u00f6mung liefern.[2]  Gl\u00fccklicherweise gibt es oft gro\u00dfe Bereiche eines Flusses, in denen die Annahme der Irrotationalit\u00e4t g\u00fcltig ist, weshalb der potenzielle Fluss f\u00fcr verschiedene Anwendungen verwendet wird.  Zum Beispiel in: Str\u00f6mung um Flugzeuge, Grundwasserstr\u00f6mung, Akustik, Wasserwellen und elektroosmotische Str\u00f6mung.[3]Inkompressibler Durchfluss[edit]Im Falle eines inkompressiblen Flusses – zum Beispiel einer Fl\u00fcssigkeit oder eines Gases mit niedrigen Machzahlen;  aber nicht f\u00fcr Schallwellen – die Geschwindigkeit v  hat keine Divergenz:[1]\u2207\u22c5v=0,{ displaystyle  nabla  cdot  mathbf {v} = 0  ,,}wobei der Punkt das innere Produkt bezeichnet.  Als Ergebnis das Geschwindigkeitspotential \u03c6 muss die Laplace-Gleichung erf\u00fcllen[1]\u22072\u03c6=0,{ displaystyle  nabla ^ {2}  varphi = 0  ,,}wo \u22072 = \u2207 \u22c5 \u22c5 ist der Laplace-Operator (manchmal auch geschrieben \u0394).  In diesem Fall kann der Fluss vollst\u00e4ndig aus seiner Kinematik bestimmt werden: den Annahmen der Irrotationalit\u00e4t und der Divergenz des Flusses von Null.  Dynamik muss erst danach angewendet werden, wenn man an der Berechnung von Dr\u00fccken interessiert ist: zum Beispiel f\u00fcr die Str\u00f6mung um Tragfl\u00e4chen nach dem Bernoulli-Prinzip.In zwei Dimensionen reduziert sich der potenzielle Fluss auf ein sehr einfaches System, das mithilfe einer komplexen Analyse analysiert wird (siehe unten).Kompressibler Durchfluss[edit]Best\u00e4ndiger Flu\u00df[edit]Die Potentialstr\u00f6mungstheorie kann auch verwendet werden, um einen nicht rotierenden kompressiblen Fluss zu modellieren.  Das volle Potentialgleichung, beschreibt einen stetigen Fluss, ist gegeben durch:[4]((1– –M.x2)\u22022\u03a6\u2202x2+((1– –M.y2)\u22022\u03a6\u2202y2+((1– –M.z2)\u22022\u03a6\u2202z2– –2M.xM.y\u22022\u03a6\u2202x\u2202y– –2M.yM.z\u22022\u03a6\u2202y\u2202z– –2M.zM.x\u22022\u03a6\u2202z\u2202x=0,{ displaystyle  left (1-M_ {x} ^ {2}  right) { frac { partielle ^ {2}  Phi} { partielle x ^ {2}}} +  left (1-M_ { y} ^ {2}  rechts) { frac { teilweise ^ {2}  Phi} { teilweise y ^ {2}}} +  links (1-M_ {z} ^ {2}  rechts) {  frac { partiell ^ {2}  Phi} { partiell z ^ {2}}} – 2M_ {x} M_ {y} { frac { partiell ^ {2}  Phi} { partiell x ,  partielles y}} – 2M_ {y} M_ {z} { frac { partielles ^ {2}  Phi} { partielles y ,  partielles z}} – 2M_ {z} M_ {x} { frac { partiell ^ {2}  Phi} { partiell z ,  partiell x}} = 0  ,,}mit MachzahlkomponentenM.x=1ein\u2202\u03a6\u2202x,M.y=1ein\u2202\u03a6\u2202y,undM.z=1ein\u2202\u03a6\u2202z,{ displaystyle M_ {x} = { frac {1} {a}} { frac { partielle  Phi} { partielle x}}  ,,  qquad M_ {y} = { frac {1} { a}} { frac { partiell  Phi} { partiell y}}  ,,  qquad { text {und}}  qquad M_ {z} = { frac {1} {a}} { frac { partielle  Phi} { partielle z}}  ,,}wo ein ist die lokale Schallgeschwindigkeit.  Die Str\u00f6mungsgeschwindigkeit v  ist wieder gleich \u2207\u03a6mit \u03a6 das Geschwindigkeitspotential.  Die vollst\u00e4ndige Potentialgleichung gilt f\u00fcr Sub-, Trans- und \u00dcberschallstr\u00f6mung bei beliebigem Anstellwinkel, solange die Annahme der Irrotationalit\u00e4t anwendbar ist.[4]Bei Unterschall- oder \u00dcberschallstr\u00f6mung (jedoch nicht bei transsonischer oder hyperschaller Str\u00f6mung) bei kleinen Anstellwinkeln und d\u00fcnnen K\u00f6rpern kann eine zus\u00e4tzliche Annahme getroffen werden: Das Geschwindigkeitspotential wird in eine ungest\u00f6rte Str\u00f6mungsgeschwindigkeit aufgeteilt V.\u221e  in dem x-Richtung und eine kleine St\u00f6rgeschwindigkeit \u2207\u03c6  davon.  Damit:[4]\u2207\u03a6=V.\u221ex+\u2207\u03c6.{ displaystyle  nabla  Phi = V _ { infty} x +  nabla  varphi ,.}In diesem Fall ist die linearisierte Gleichung f\u00fcr ein kleines St\u00f6rpotential – eine Ann\u00e4herung an die vollst\u00e4ndige Potentialgleichung – kann verwendet werden:[4]((1– –M.\u221e2)\u22022\u03c6\u2202x2+\u22022\u03c6\u2202y2+\u22022\u03c6\u2202z2=0,{ displaystyle  left (1-M _ { infty} ^ {2}  right) { frac { partiell ^ {2}  varphi} { partiell x ^ {2}}} + { frac { partiell ^ {2}  varphi} { teilweise y ^ {2}}} + { frac { teilweise ^ {2}  varphi} { teilweise z ^ {2}}} = 0,}mit M.\u221e = V.\u221e\/.ein\u221e  die Mach-Nummer des eingehenden freien Streams.  Diese lineare Gleichung ist viel einfacher zu l\u00f6sen als die vollst\u00e4ndige Potentialgleichung: Sie kann durch einfaches Dehnen der Koordinaten in die Laplace-Gleichung umformuliert werden x-Richtung.Ableitung der vollst\u00e4ndigen PotentialgleichungF\u00fcr einen stetigen, nichtviskosen Fluss sind die Euler-Gleichungen – f\u00fcr die Masse und die Impulsdichte – in Indexnotation und in nicht konservierender Form:[5]\u2202\u2202xich((\u03c1vich)=0,\u03c1vj\u2202vich\u2202xj=– –\u2202p\u2202xich,{ displaystyle { begin {align} { frac { teilweise} { teilweise x_ {i}}}  left ( rho , v_ {i}  right) & = 0  ,, \\ rho  , v_ {j} , { frac { partielle v_ {i}} { partielle x_ {j}}} & = – { frac { partielle p} { partielle x_ {i}}}  ,,  end {align}}}unter Verwendung der Summationskonvention: seit j tritt mehr als einmal im Term auf der linken Seite der Impulsgleichung auf, j wird \u00fcber alle seine Komponenten summiert (1 bis 2 im zweidimensionalen Fluss und 1 bis 3 in drei Dimensionen).  Des Weiteren:\u03c1 ist die Fl\u00fcssigkeitsdichte,p ist der Druck,((x1, x2, x3) = (x, y, z) sind die Koordinaten und((v1, v2, v3) sind die entsprechenden Komponenten des Geschwindigkeitsvektors v.Die Schallgeschwindigkeit ist quadratisch ein2  ist gleich der Ableitung des Drucks p in Bezug auf die Dichte \u03c1bei konstanter Entropie S.::[6]ein2=[\u2202p\u2202\u03c1]S..{ displaystyle a ^ {2} =  left[{frac {partial p}{partial rho }}right]_ {S}.}Infolgedessen k\u00f6nnen die Flussgleichungen wie folgt geschrieben werden:vich\u2202\u03c1\u2202xich+\u03c1\u2202vich\u2202xich=0und\u03c1vj\u2202vich\u2202xj=– –ein2\u2202\u03c1\u2202xich.{ displaystyle v_ {i} , { frac { partiell  rho} { partiell x_ {i}}} +  rho , { frac { partiell v_ {i}} { partiell x_ {i} }} = 0  qquad { text {und}}  qquad  rho , v_ {j} , { frac { partielle v_ {i}} { partielle x_ {j}}} = – a ^ { 2} , { frac { teilweise  rho} { teilweise x_ {i}}}  ,.}Multiplizieren (und Summieren) der Impulsgleichung mit vichund Verwenden der Massengleichung zum Eliminieren des Dichtegradienten ergibt:\u03c1vichvj\u2202vich\u2202xj=\u03c1ein2\u2202vich\u2202xich.{ displaystyle  rho , v_ {i} , v_ {j} , { frac { partielle v_ {i}} { partielle x_ {j}}} =  rho , a ^ {2}  , { frac { teilweise v_ {i}} { teilweise x_ {i}}}  ,.}Wenn geteilt durch \u03c1und mit allen Begriffen auf einer Seite der Gleichung lautet die kompressible Str\u00f6mungsgleichung:\u2202vich\u2202xich– –vichvjein2\u2202vich\u2202xj=0.{ displaystyle { frac { partielle v_ {i}} { partielle x_ {i}}} – { frac {v_ {i} , v_ {j}} {a ^ {2}}} { frac { partielle v_ {i}} { partielle x_ {j}}} = 0 ,.}Beachten Sie, dass bis zu diesem Zeitpunkt keine Annahmen bez\u00fcglich des Durchflusses getroffen wurden (abgesehen davon, dass es sich um einen stetigen Durchfluss handelt).Nun zum irrotationalen Fluss die Geschwindigkeit v  ist der Gradient des Geschwindigkeitspotentials \u03a6und die lokalen Machzahlkomponenten M.ich  sind definiert als:vich=\u2202\u03a6\u2202xichundM.ich=vichein=1ein\u2202\u03a6\u2202xich.{ displaystyle v_ {i} = { frac { partielle  Phi} { partielle x_ {i}}}  qquad { text {und}}  qquad M_ {i} = { frac {v_ {i} } {a}} = { frac {1} {a}} { frac { partielle  Phi} { partielle x_ {i}}}  ,.}Bei Verwendung in der Flussgleichung ergibt sich die vollst\u00e4ndige Potentialgleichung:\u22022\u03a6\u2202xich\u2202xich– –M.ichM.j\u22022\u03a6\u2202xich\u2202xj=0.{ displaystyle { frac { partiell ^ {2}  Phi} { partiell x_ {i} ,  partiell x_ {i}}} – M_ {i} , M_ {j} , { frac {  partiell ^ {2}  Phi} { partiell x_ {i} ,  partiell x_ {j}}} = 0  ,.}In Komponenten geschrieben, erhalten Sie das am Anfang dieses Abschnitts angegebene Formular.  Wenn eine bestimmte Zustandsgleichung bereitgestellt wird, die den Druck betrifft p und Dichte \u03c1kann die Schallgeschwindigkeit bestimmt werden.  Anschlie\u00dfend kann zusammen mit angemessenen Randbedingungen die vollst\u00e4ndige Potentialgleichung gel\u00f6st werden (meistens unter Verwendung eines rechnergest\u00fctzten Fluiddynamikcodes).Instation\u00e4rer Fluss[edit]Die Potentialstr\u00f6mungstheorie kann auch verwendet werden, um einen nicht rotierenden kompressiblen Fluss zu modellieren.  Das volle Potentialgleichung, beschreibt einen instation\u00e4ren Fluss, ist gegeben durch:[4]– –1ein2[\u2202\u2202t(\u2207\u03a6\u22c5\u2207\u03a6)+\u22022\u03a6\u2202t2]+((1– –M.x2)\u22022\u03a6\u2202x2+((1– –M.y2)\u22022\u03a6\u2202y2+((1– –M.z2)\u22022\u03a6\u2202z2– –2M.xM.y\u22022\u03a6\u2202x\u2202y– –2M.yM.z\u22022\u03a6\u2202y\u2202z– –2M.zM.x\u22022\u03a6\u2202z\u2202x=0{ displaystyle { begin {align} – & { frac {1} {a ^ {2}}}  left[{frac {partial }{partial t}}(nabla Phi cdot nabla Phi )+{frac {partial ^{2}Phi }{partial t^{2}}}right]\\ + &  left (1-M_ {x} ^ {2}  right) { frac { partiell ^ {2}  Phi} { partiell x ^ {2}}} +  left (1-M_ {y} ^ {2}  rechts) { frac { partiell ^ {2}  Phi} { partiell y ^ {2}}} +  links (1-M_ {z} ^ {2}  rechts) { frac { partiell ^ {2}  Phi} { partiell z ^ {2}}} – 2M_ {x} M_ {y} { frac { partiell ^ {2}  Phi} { partiell x  ,  partielles y}} – 2M_ {y} M_ {z} { frac { partielles ^ {2}  Phi} { partielles y ,  partielles z}} – 2M_ {z} M_ {x} { frac { partiell ^ {2}  Phi} { partiell z ,  partiell x}} = 0  end {align}}}mit MachzahlkomponentenM.x=1ein\u2202\u03a6\u2202x,M.y=1ein\u2202\u03a6\u2202y,undM.z=1ein\u2202\u03a6\u2202z,{ displaystyle M_ {x} = { frac {1} {a}} { frac { partielle  Phi} { partielle x}}  ,,  qquad M_ {y} = { frac {1} { a}} { frac { partiell  Phi} { partiell y}}  ,,  qquad { text {und}}  qquad M_ {z} = { frac {1} {a}} { frac { partielle  Phi} { partielle z}}  ,,}wo ein ist die lokale Schallgeschwindigkeit.  Die Str\u00f6mungsgeschwindigkeit v  ist wieder gleich \u2207\u03a6mit \u03a6 das Geschwindigkeitspotential.  Die vollst\u00e4ndige Potentialgleichung gilt f\u00fcr Sub-, Trans- und \u00dcberschallstr\u00f6mung bei beliebigem Anstellwinkel, solange die Annahme der Irrotationalit\u00e4t anwendbar ist.[4]Bei Unterschall- oder \u00dcberschallstr\u00f6mung (jedoch nicht bei transsonischer oder hyperschaller Str\u00f6mung) bei kleinen Anstellwinkeln und d\u00fcnnen K\u00f6rpern kann eine zus\u00e4tzliche Annahme getroffen werden: Das Geschwindigkeitspotential wird in eine ungest\u00f6rte Str\u00f6mungsgeschwindigkeit aufgeteilt V.\u221e  in dem x-Richtung und eine kleine St\u00f6rgeschwindigkeit \u2207\u03c6  davon.  Damit:[4]\u2207\u03a6=V.\u221ex+\u2207\u03c6.{ displaystyle  nabla  Phi = V _ { infty} x +  nabla  varphi ,.}In diesem Fall ist die linearisierte Gleichung f\u00fcr ein kleines St\u00f6rpotential – eine Ann\u00e4herung an die vollst\u00e4ndige Potentialgleichung – kann verwendet werden:[4]– –1ein2[2V\u221e\u22022\u03c6\u2202x\u2202t+\u22022\u03c6\u2202t2]+((1– –M.\u221e2)\u22022\u03c6\u2202x2+\u22022\u03c6\u2202y2+\u22022\u03c6\u2202z2=0,{ displaystyle – { frac {1} {a ^ {2}}}  left[2V_{infty }{frac {partial ^{2}varphi }{partial xpartial t}}+{frac {partial ^{2}varphi }{partial t^{2}}}right]+  left (1-M _ { infty} ^ {2}  right) { frac { partiell ^ {2}  varphi} { partiell x ^ {2}}} + { frac { partiell ^ { 2}  varphi} { partiell y ^ {2}}} + { frac { partiell ^ {2}  varphi} { partiell z ^ {2}}} = 0,}mit M.\u221e = V.\u221e\/.ein\u221e  die Mach-Nummer des eingehenden freien Streams.Ableitung der vollst\u00e4ndigen PotentialgleichungWir werden mit der Massenerhaltungsgleichung beginnen1\u03c1\u2202\u03c1\u2202t+v\u2192\u22c5\u2207\u03c1\u03c1+\u2207\u22c5v\u2192=0{ displaystyle { frac {1} { rho}} { frac { partielle  rho} { partielle t}} + { frac {{ vec {v}}  cdot  nabla  rho} { rho}} +  nabla  cdot { vec {v}} = 0}Betrachten Sie den ersten Begriff.  Nach dem Bernoulli-Prinzip schreiben wir1\u03c1\u2202\u03c1\u2202t=1ein2\u03c1\u2202p\u2202t=1ein2\u2202\u2202t\u222bp1pdp~d\u03c1((p~)=– –1ein2\u2202\u2202t[\u2202\u03a6\u2202t+\u2207\u03a6\u22c5\u2207\u03a62]{ displaystyle { frac {1} { rho}} { frac { partielle  rho} { partielle t}} = { frac {1} {a ^ {2}  rho}} { frac {  partielles p} { partielles t}} = { frac {1} {a ^ {2}}} { frac { partielles} { partielles t}}  int _ {p_ {1}} ^ {p } { frac {d { tilde {p}}} {d  rho ({ tilde {p}})}} = – { frac {1} {a ^ {2}}} { frac { teilweise} { partielle t}}  links[{frac {partial Phi }{partial t}}+{frac {nabla Phi cdot nabla Phi }{2}}right]}}In \u00e4hnlicher Weise kann der zweite Term geschrieben werdenv\u2192\u22c5\u2207\u03c1\u03c1=v\u2192\u22c5\u2207pein2\u03c1=– –1ein2v\u2192\u22c5\u2207[\u2202\u03a6\u2202t+\u2207\u03a6\u22c5\u2207\u03a62]=– –1ein2\u2207\u03a6\u22c5\u2207[\u2202\u03a6\u2202t+\u2207\u03a6\u22c5\u2207\u03a62]{ displaystyle { frac {{ vec {v}}  cdot  nabla  rho} { rho}} = { frac {{ vec {v}}  cdot  nabla p} {a ^ {2}  rho}} = – { frac {1} {a ^ {2}}} { vec {v}}  cdot  nabla  left[{frac {partial Phi }{partial t}}+{frac {nabla Phi cdot nabla Phi }{2}}right]= – { frac {1} {a ^ {2}}}  nabla  Phi  cdot  nabla  left[{frac {partial Phi }{partial t}}+{frac {nabla Phi cdot nabla Phi }{2}}right]}}Durch das Sammeln von Begriffen und das Neuanordnen wird die Massenerhaltungsgleichung\u22072\u03a6– –1ein2\u2202\u2202t[\u2202\u03a6\u2202t+\u2207\u03a6\u22c5\u2207\u03a62]– –1ein2\u2207\u03a6\u22c5\u2207[\u2202\u03a6\u2202t+\u2207\u03a6\u22c5\u2207\u03a62]=0{ displaystyle  nabla ^ {2}  Phi – { frac {1} {a ^ {2}}} { frac { teilweise} { teilweise t}}  left[{frac {partial Phi }{partial t}}+{frac {nabla Phi cdot nabla Phi }{2}}right]- { frac {1} {a ^ {2}}}  nabla  Phi  cdot  nabla  left[{frac {partial Phi }{partial t}}+{frac {nabla Phi cdot nabla Phi }{2}}right]= 0}\u22072\u03a6– –1ein2[\u22022\u03a6\u2202t2+\u2202\u2202t(\u2207\u03a6\u22c5\u2207\u03a6)+\u2207\u03a6\u22c5\u2207(\u2207\u03a6\u22c5\u2207\u03a62)]=0{ displaystyle  nabla ^ {2}  Phi – { frac {1} {a ^ {2}}}  left[{frac {partial ^{2}Phi }{partial t^{2}}}+{frac {partial }{partial t}}(nabla Phi cdot nabla Phi )+nabla Phi cdot nabla left({frac {nabla Phi cdot nabla Phi }{2}}right)right]= 0}Schallwellen[edit]Schallwellen mit kleiner Amplitude k\u00f6nnen mit dem folgenden Potentialflussmodell angen\u00e4hert werden:[7]\u22022\u03c6\u2202t2=ein\u00af2\u0394\u03c6,{ displaystyle { frac { partiell ^ {2}  varphi} { partiell t ^ {2}}} = { overline {a}} ^ {2}  Delta  varphi,}Dies ist eine lineare Wellengleichung f\u00fcr das Geschwindigkeitspotential \u03c6.  Wieder der oszillierende Teil des Geschwindigkeitsvektors v  h\u00e4ngt mit dem Geschwindigkeitspotential von zusammen v = \u2207\u03c6, w\u00e4hrend wie zuvor \u0394 ist der Laplace-Operator und ein ist die durchschnittliche Schallgeschwindigkeit im homogenen Medium.  Beachten Sie, dass auch die oszillierenden Teile des Drucks p und Dichte \u03c1 jeder erf\u00fcllt in dieser N\u00e4herung einzeln die Wellengleichung.Anwendbarkeit und Einschr\u00e4nkungen[edit]Der potenzielle Fluss umfasst nicht alle Eigenschaften von Fl\u00fcssen, die in der realen Welt auftreten.  Die Potentialstr\u00f6mungstheorie kann nicht f\u00fcr viskose interne Str\u00f6mungen angewendet werden [2]mit Ausnahme von Str\u00f6mungen zwischen eng beieinander liegenden Platten.  Richard Feynman hielt den potenziellen Fluss f\u00fcr so unphysisch, dass die einzige Fl\u00fcssigkeit, die den Annahmen entsprach, war “trockenes Wasser” (zitiert John von Neumann).[8]  Der inkompressible Potentialfluss macht auch eine Reihe ung\u00fcltiger Vorhersagen, wie zum Beispiel das Paradoxon von d’Alembert, das besagt, dass der Widerstand an jedem Objekt, das sich durch eine unendliche Fl\u00fcssigkeit bewegt, ansonsten in Ruhe Null ist.[9]  Genauer gesagt kann der potenzielle Fluss das Verhalten von Fl\u00fcssen, die eine Grenzschicht enthalten, nicht ber\u00fccksichtigen.[2]  Dennoch ist es in vielen Bereichen der Str\u00f6mungsmechanik wichtig, den potenziellen Fluss zu verstehen.  Insbesondere einfache Potentialfl\u00fcsse (sogenannte Elementarfl\u00fcsse) wie der freie Wirbel und der Punktquelle \u00fcber fertige analytische L\u00f6sungen verf\u00fcgen.  Diese L\u00f6sungen k\u00f6nnen \u00fcberlagert werden, um komplexere Str\u00f6mungen zu erzeugen, die eine Vielzahl von Randbedingungen erf\u00fcllen.  Diese Str\u00f6mungen entsprechen eng den realen Str\u00f6mungen \u00fcber die gesamte Str\u00f6mungsmechanik;  Dar\u00fcber hinaus ergeben sich viele wertvolle Erkenntnisse, wenn die (oft geringf\u00fcgige) Abweichung zwischen einem beobachteten Fluss und dem entsprechenden potenziellen Fluss ber\u00fccksichtigt wird.  Der potenzielle Fluss findet viele Anwendungen in Bereichen wie dem Flugzeugdesign.  Beispielsweise besteht in der rechnergest\u00fctzten Fluiddynamik eine Technik darin, eine potentielle Str\u00f6mungsl\u00f6sung au\u00dferhalb der Grenzschicht mit einer L\u00f6sung der Grenzschichtgleichungen innerhalb der Grenzschicht zu koppeln.  Das Fehlen von Grenzschichteffekten bedeutet, dass jede Stromlinie durch eine feste Grenze ohne \u00c4nderung des Str\u00f6mungsfelds ersetzt werden kann, eine Technik, die in vielen aerodynamischen Entwurfsans\u00e4tzen verwendet wird.  Eine andere Technik w\u00e4re die Verwendung von Riabouchinsky-Feststoffen.[dubious  \u2013 discuss]Analyse f\u00fcr zweidimensionale Str\u00f6mung[edit]Potentialfluss in zwei Dimensionen ist einfach zu analysieren unter Verwendung einer konformen Abbildung unter Verwendung von Transformationen der komplexen Ebene.  Die Verwendung komplexer Zahlen ist jedoch nicht erforderlich, wie beispielsweise bei der klassischen Analyse des Fl\u00fcssigkeitsflusses an einem Zylinder vorbei.  Es ist nicht m\u00f6glich, einen potenziellen Fluss mit komplexen Zahlen in drei Dimensionen zu l\u00f6sen.[10]Die Grundidee besteht darin, eine holomorphe (auch analytische) oder meromorphe Funktion zu verwenden f, die die physische Dom\u00e4ne abbildet ((x, y) zur transformierten Dom\u00e4ne ((\u03c6, \u03c8).  W\u00e4hrend x, y, \u03c6 und \u03c8 Sind alle real bewertet, ist es zweckm\u00e4\u00dfig, die komplexen Mengen zu definierenz=x+ichyundw=\u03c6+ich\u03c8.{ displaystyle z = x + iy  qquad { text {und}}  qquad w =  varphi + i  psi ,.}Nun, wenn wir das Mapping schreiben f wie[10]f((x+ichy)=\u03c6+ich\u03c8oderf((z)=w.{ displaystyle f (x + iy) =  varphi + i  psi  qquad { text {oder}}  qquad f (z) = w  ,.}Dann weil f ist eine holomorphe oder meromorphe Funktion, die die Cauchy-Riemann-Gleichungen erf\u00fcllen muss[10]\u2202\u03c6\u2202x=\u2202\u03c8\u2202y,\u2202\u03c6\u2202y=– –\u2202\u03c8\u2202x.{ displaystyle { frac { partiell  varphi} { partiell x}} = { frac { partiell  psi} { partiell y}}  ,,  qquad { frac { partiell  varphi} { partiell y}} = – { frac { partiell  psi} { partiell x}}  ,.}Die Geschwindigkeitskomponenten ((u, v), in dem ((x, y) Richtungen k\u00f6nnen jeweils direkt von erhalten werden f durch Differenzierung in Bezug auf z.  Das ist[10]dfdz=u– –ichv{ displaystyle { frac {df} {dz}} = u-iv}Also das Geschwindigkeitsfeld v = (u, v) wird angegeben durch[10]u=\u2202\u03c6\u2202x=\u2202\u03c8\u2202y,v=\u2202\u03c6\u2202y=– –\u2202\u03c8\u2202x.{ displaystyle u = { frac { partielle  varphi} { partielle x}} = { frac { partielle  psi} { partielle y}},  qquad v = { frac { partielle  varphi} { partielles y}} = – { frac { partielles  psi} { partielles x}}  ,.}Beide \u03c6 und \u03c8 dann erf\u00fclle die Laplace-Gleichung:[10]\u0394\u03c6=\u22022\u03c6\u2202x2+\u22022\u03c6\u2202y2=0und\u0394\u03c8=\u22022\u03c8\u2202x2+\u22022\u03c8\u2202y2=0.{ displaystyle  Delta  varphi = { frac { partiell ^ {2}  varphi} { partiell x ^ {2}}} + { frac { partiell ^ {2}  varphi} { partiell y ^ {2}}} = 0  qquad { text {und}}  qquad  Delta  psi = { frac { partiell ^ {2}  psi} { partiell x ^ {2}}} + { frac { partiell ^ {2}  psi} { partiell y ^ {2}}} = 0 ,.}Damit \u03c6 kann als das Geschwindigkeitspotential und identifiziert werden \u03c8 wird die Stream-Funktion genannt.[10]  Linien der Konstanten \u03c8 sind als Stromlinien und Konstantenlinien bekannt \u03c6 sind als \u00c4quipotentiallinien bekannt (siehe \u00c4quipotentialfl\u00e4che).Stromlinien und \u00c4quipotentiallinien sind seitdem orthogonal zueinander[10]\u2207\u03c6\u22c5\u2207\u03c8=\u2202\u03c6\u2202x\u2202\u03c8\u2202x+\u2202\u03c6\u2202y\u2202\u03c8\u2202y=\u2202\u03c8\u2202y\u2202\u03c8\u2202x– –\u2202\u03c8\u2202x\u2202\u03c8\u2202y=0.{ displaystyle  nabla  varphi  cdot  nabla  psi = { frac { partielle  varphi} { partielle x}} { frac { partielle  psi} { partielle x}} + { frac { partiell  varphi} { partiell y}} { frac { partiell  psi} { partiell y}} = { frac { partiell  psi} { partiell y}} { frac { partiell  psi} { partielle x}} – { frac { partielle  psi} { partielle x}} { frac { partielle  psi} { partielle y}} = 0 ,.}Somit erfolgt die Str\u00f6mung entlang der Konstantenlinien \u03c8 und im rechten Winkel zu den Linien der Konstanten \u03c6.[10]\u0394\u03c8 = 0 ist auch zufrieden, diese Beziehung ist \u00e4quivalent zu \u2207 \u00d7 v = 0.  Der Fluss ist also irrotational.  Der automatische Zustand \u22022\u03a8\/.\u2202x \u2202y  = \u22022\u03a8\/.\u2202y \u2202x  gibt dann die Inkompressibilit\u00e4tsbeschr\u00e4nkung an \u2207 \u00b7 v = 0.Beispiele f\u00fcr zweidimensionale Str\u00f6mungen[edit]Jede differenzierbare Funktion kann f\u00fcr verwendet werden f.  Die folgenden Beispiele verwenden eine Vielzahl elementarer Funktionen.  Sonderfunktionen k\u00f6nnen ebenfalls verwendet werden.  Beachten Sie, dass mehrwertige Funktionen wie der nat\u00fcrliche Logarithmus verwendet werden k\u00f6nnen, die Aufmerksamkeit jedoch auf eine einzelne Riemann-Oberfl\u00e4che beschr\u00e4nkt werden muss.Machtgesetze[edit]Falls die folgende Potenzgesetz-konforme Karte angewendet wird, von z = x + iy  zu w = \u03c6 + i\u03c8::[11]w=EINzn,{ displaystyle w = Az ^ \u200b\u200b{n}  ,,}dann schreiben z in Polarkoordinaten als z = x + iy = Rei\u03b8, wir haben[11]\u03c6=EINrncos\u2061n\u03b8und\u03c8=EINrnS\u00fcnde\u2061n\u03b8.{ displaystyle  varphi = Ar ^ {n}  cos n  theta  qquad { text {und}}  qquad  psi = Ar ^ {n}  sin n  theta  ,.}In den Abbildungen rechts sind Beispiele f\u00fcr mehrere Werte von angegeben n.  Die schwarze Linie ist die Grenze des Flusses, w\u00e4hrend die dunkelblauen Linien Stromlinien und die hellblauen Linien \u00c4quipotentiallinien sind.  Einige interessante Kr\u00e4fte n sind:[11]n = 1\/.2: dies entspricht einer Str\u00f6mung um eine semi-infinite Platte,n = 2\/.3: um eine rechte Ecke flie\u00dfen,n = 1: ein trivialer Fall eines gleichm\u00e4\u00dfigen Flusses,n = 2: durch eine Ecke oder in der N\u00e4he eines Stagnationspunktes flie\u00dfen undn = -1: Fluss aufgrund eines QuelldublettsDie Konstante EIN ist ein Skalierungsparameter: sein absoluter Wert |EIN| bestimmt die Skala, w\u00e4hrend sein Argument arg (EIN) f\u00fchrt eine Drehung ein (wenn nicht Null).Machtgesetze mit n = 1: gleichm\u00e4\u00dfiger Fluss[edit]Wenn w = Az1das hei\u00dft, ein Machtgesetz mit n = 1die Stromlinien (dh Linien der Konstanten \u03c8) sind ein System von geraden Linien parallel zum x-Achse.  Dies l\u00e4sst sich am einfachsten anhand realer und imagin\u00e4rer Komponenten erkennen:f((x+ichy)=EIN((x+ichy)=EINx+ichEINy{ displaystyle f (x + iy) = A , (x + iy) = Ax + iAy}also geben \u03c6 = Axt  und \u03c8 = Ja.  Dieser Fluss kann interpretiert werden als gleichm\u00e4\u00dfiger Fluss parallel zum x-Achse.Machtgesetze mit n = 2[edit]Wenn n = 2, dann w = Az2  und die Stromlinie, die einem bestimmten Wert von entspricht \u03c8 Sind diese Punkte zufriedenstellend?\u03c8=EINr2S\u00fcnde\u20612\u03b8,{ displaystyle  psi = Ar ^ {2}  sin 2  theta  ,,}Das ist ein System von rechteckigen Hyperbeln.  Dies kann durch erneutes Umschreiben in Bezug auf reale und imagin\u00e4re Komponenten gesehen werden.  Bemerken, dass S\u00fcnde 2\u03b8 = 2 S\u00fcnde \u03b8 cos \u03b8  und umschreiben S\u00fcnde \u03b8 = y\/.r  und cos \u03b8 = x\/.r  Es ist (bei Vereinfachung) zu sehen, dass die Stromlinien durch gegeben sind\u03c8=2EINxy.{ displaystyle  psi = 2Axy ,.}Das Geschwindigkeitsfeld ist gegeben durch \u2207\u03c6, oder((uv)=((\u2202\u03c6\u2202x\u2202\u03c6\u2202y)=((+\u2202\u03c8\u2202y– –\u2202\u03c8\u2202x)=((+2EINx– –2EINy).{ displaystyle { begin {pmatrix} u \\ v  end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} { frac { partielle  varphi} { partielle x}} \\[2px]{ frac { partielle  varphi} { partielle y}}  end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} + { partielle  psi  \u00fcber  partielle y} \\[2px]- { partielle  psi  \u00fcber  partielle x}  end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} + 2Ax \\[2px]-2Ay  end {pmatrix}} ,.}In der Fluiddynamik entspricht das Str\u00f6mungsfeld in der N\u00e4he des Ursprungs einem Stagnationspunkt.  Beachten Sie, dass die Fl\u00fcssigkeit am Ursprung in Ruhe ist (dies folgt bei Differenzierung von f(z) = z2  beim z = 0).  Das \u03c8 = 0 Die Stromlinie ist besonders interessant: Sie hat zwei (oder vier) Zweige, die den Koordinatenachsen folgen, d. h x = 0 und y = 0.  Da flie\u00dft keine Fl\u00fcssigkeit \u00fcber die x-Achse, es (die x-Achse) kann als feste Grenze behandelt werden.  Es ist somit m\u00f6glich, die Str\u00f6mung in der unteren Halbebene zu ignorieren, wo y EINrS\u00fcnde\u2061\u03b8.{ displaystyle  psi = – { frac {A} {r}}  sin  theta.}Dies l\u00e4sst sich leichter anhand realer und imagin\u00e4rer Komponenten interpretieren:\u03c8=– –EINyr2=– –EINyx2+y2,{ displaystyle  psi = { frac {-Ay} {r ^ {2}}} = { frac {-Ay} {x ^ {2} + y ^ {2}}}  ,,}x2+y2+EINy\u03c8=0,{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + { frac {Ay} { psi}} = 0  ,,}x2+((y+EIN2\u03c8)2=((EIN2\u03c8)2.{ displaystyle x ^ {2} +  left (y + { frac {A} {2  psi}}  right) ^ {2} =  left ({ frac {A} {2  psi}}  right ) ^ {2} ,.}Somit sind die Stromlinien Kreise, die die x-Achse am Ursprung tangieren.  Die Kreise in der oberen Halbebene flie\u00dfen also im Uhrzeigersinn, die in der unteren Halbebene gegen den Uhrzeigersinn.  Beachten Sie, dass die Geschwindigkeitskomponenten proportional zu sind r\u22122;;  und ihre Werte am Ursprung sind unendlich.  Dieses Str\u00f6mungsmuster wird \u00fcblicherweise als a bezeichnet Dublett, oder Dipolund kann als die Kombination eines Source-Sink-Paares unendlicher St\u00e4rke interpretiert werden, das einen unendlich kleinen Abstand voneinander h\u00e4lt.  Das Geschwindigkeitsfeld ist gegeben durch((u,v)=((\u2202\u03c8\u2202y,– –\u2202\u03c8\u2202x)=((EINy2– –x2((x2+y2)2,– –EIN2xy((x2+y2)2).{ displaystyle (u, v) =  left ({ frac { partiell  psi} { partiell y}}, – { frac { partiell  psi} { partiell x}}  rechts) =  links (A { frac {y ^ {2} -x ^ {2}} { left (x ^ {2} + y ^ {2}  right) ^ {2}}}, – A { frac {2xy } { left (x ^ {2} + y ^ {2}  right) ^ {2}}}  right)  ,.}oder in Polarkoordinaten:((ur,u\u03b8)=((1r\u2202\u03c8\u2202\u03b8,– –\u2202\u03c8\u2202r)=((– –EINr2cos\u2061\u03b8,– –EINr2S\u00fcnde\u2061\u03b8).{ displaystyle (u_ {r}, u _ { theta}) =  left ({ frac {1} {r}} { frac { partielle  psi} { partielle  theta}}, – { frac { partielle  psi} { partielle r}}  rechts) =  links (- { frac {A} {r ^ {2}}}  cos  theta, – { frac {A} {r ^ { 2}}}  sin  theta  right)  ,.}Machtgesetze mit n = \u20132: Quadrupol[edit]Wenn n = \u20132sind die Stromlinien gegeben durch\u03c8=– –EINr2S\u00fcnde\u20612\u03b8.{ displaystyle  psi = – { frac {A} {r ^ {2}}}  sin 2  theta  ,.}Dies ist das einem Quadrupol zugeordnete Str\u00f6mungsfeld.[12]Leitungsquelle und -senke[edit]Eine Linienquelle oder -senke der St\u00e4rke Q.{ displaystyle Q}  (( 0″\/>  f\u00fcr Quelle und Q.z{ displaystyle w = { frac {Q} {2  pi}}  ln z}wo Q.{ displaystyle Q}  Tats\u00e4chlich ist der Volumenstrom pro L\u00e4ngeneinheit \u00fcber eine Oberfl\u00e4che, die die Quelle oder Senke umschlie\u00dft.  Das Geschwindigkeitsfeld in Polarkoordinaten istur=Q.2\u03c0r,u\u03b8=0{ displaystyle u_ {r} = { frac {Q} {2  pi r}},  quad u _ { theta} = 0}dh eine rein radiale Str\u00f6mung.Linienwirbel[edit]Ein Linienwirbel der St\u00e4rke \u0393{ displaystyle  Gamma}  ist gegeben durchw=\u03932\u03c0ichln\u2061z{ displaystyle w = { frac { Gamma} {2  pi i}}  ln z}wo \u0393{ displaystyle  Gamma}  ist die Zirkulation um jede einfache geschlossene Kontur, die den Wirbel umschlie\u00dft.  Das Geschwindigkeitsfeld in Polarkoordinaten istur=0,u\u03b8=\u03932\u03c0r{ displaystyle u_ {r} = 0,  quad u _ { theta} = { frac { Gamma} {2  pi r}}}dh eine rein azimutale Str\u00f6mung.Analyse f\u00fcr dreidimensionale Str\u00f6mung[edit]F\u00fcr dreidimensionale Str\u00f6mungen kann kein komplexes Potential erhalten werden.Punktquelle und Senke[edit]Das Geschwindigkeitspotential einer Punktquelle oder -senke Q.{ displaystyle Q}  (( 0″\/>  f\u00fcr Quelle und Q.Q.4\u03c0r{ displaystyle  phi = – { frac {Q} {4  pi r}}}wo Q.{ displaystyle Q}  Tats\u00e4chlich ist der Volumenstrom \u00fcber eine geschlossene Oberfl\u00e4che, die die Quelle oder Senke umschlie\u00dft.Siehe auch[edit]^ ein b c d e Batchelor (1973), S. 99\u2013101.^ ein b c Batchelor (1973), S. 378\u2013380.^ Kirby, BJ (2010), Mikro- und nanoskalige Str\u00f6mungsmechanik: Transport in mikrofluidischen Ger\u00e4ten., Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11903-0^ ein b c d e f G h Anderson, JD (2002). Moderner kompressibler Durchfluss.  McGraw-Hill.  p.  358\u2013359.  ISBN 0-07-242443-5.^ Lamb (1994) \u00a76 – \u00a77, S. 3\u20136.^ Batchelor (1973) p.  161.^ Lamb (1994) \u00a7 287, S. 492\u2013495.^ Feynman, RP;  Leighton, RB;  Sands, M. (1964), Die Feynman-Vorlesungen \u00fcber Physik, 2, Addison-Wesley, p.  40-3.  Kapitel 40 hat den Titel: Der Fluss von trockenem Wasser.^ Batchelor (1973), S. 404\u2013405.^ ein b c d e f G h ich Batchelor (1973), S. 106\u2013108.^ ein b c Batchelor (1973), S. 409\u2013413.^ Kyrala, A. (1972). Angewandte Funktionen einer komplexen Variablen.  Wiley-Interscience.  S. 116\u2013117.  ISBN 9780471511298.Verweise[edit]Batchelor, GK (1973), Eine Einf\u00fchrung in die Fluiddynamik, Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3Chanson, H. (2009), Angewandte Hydrodynamik: Eine Einf\u00fchrung in ideale und reale Fl\u00fcssigkeitsstr\u00f6me, CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Niederlande, 478 Seiten, ISBN 978-0-415-49271-3Lamb, H. (1994) [1932], Hydrodynamik (6. Aufl.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9Milne-Thomson, LM (1996) [1968], Theoretische Hydrodynamik (5. Aufl.), Dover, ISBN 0-486-68970-0Weiterf\u00fchrende Literatur[edit]Chanson, H. (2007), “Das Potenzial der Fluid-R\u00e9els: Der Beitrag von Joseph-Louis Lagrange [Velocity potential in real fluid flows: Joseph-Louis Lagrange’s contribution]”, La Houille Blanche (auf Franz\u00f6sisch) (5): 127\u2013131, doi:10.1051 \/ lhb: 2007072Wehausen, JV;  Laitone, EV (1960), “Oberfl\u00e4chenwellen”in Fl\u00fcgge, S.;  Truesdell, C. (Hrsg.), Enzyklop\u00e4die der Physik, IX, Springer Verlag, S. 446\u2013778, archiviert von das Original am 05.01.2009abgerufen 2009-03-29Externe Links[edit]     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/12\/18\/moglicher-fluss-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"M\u00f6glicher Fluss – Wikipedia"}}]}]