Split-komplexe Zahl – Wikipedia

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In der abstrakten Algebra a komplexe Zahl teilen (oder hyperbolische Zahl, ebenfalls ratlose Zahl, doppelte Zahl) hat zwei reelle Zahlenkomponenten x und yund ist geschrieben z = x + yj, wo j2 = 1. Das konjugieren von z ist z = x – – yj. Schon seit j2 = 1, das Produkt einer Zahl z mit seinem Konjugat ist zz = x2 – – y2eine isotrope quadratische Form, N.((z) = x2 – – y2.

Die Sammlung D. aller geteilten komplexen Zahlen z = x + yj zum x, yR. bildet eine Algebra über dem Feld der reellen Zahlen. Zwei Split-Complex-Zahlen w und z ein Produkt haben wz das befriedigt N.((wz) = N.((w)N.((z). Diese Zusammensetzung von N. über das Algebra-Produkt macht ((D., +, ×, *) eine Kompositionsalgebra.

Eine ähnliche Algebra basiert auf R.2 und komponentenweise Operationen der Addition und Multiplikation, ((R.2, +, ×, xy), wo xy ist die quadratische Form auf R.2bildet auch einen quadratischen Raum. Der Ringisomorphismus

bezieht sich auf proportionale quadratische Formen, aber die Abbildung ist nicht eine Isometrie seit der multiplikativen Identität (1, 1) von R.2 ist in einiger Entfernung 2 von 0, was in normalisiert ist D..

Split-komplexe Zahlen haben viele andere Namen; sehen § Synonyme unten. Siehe den Artikel Motor variabel für Funktionen einer Split-Complex-Zahl.

Definition[edit]

EIN Split-Komplex-Nummer ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen, die in der Form geschrieben sind

wo x und y sind reelle Zahlen und die Menge j befriedigt

Wählen

j2=– –1{ displaystyle j ^ {2} = – 1}

ergibt die komplexen Zahlen. Es ist dieser Vorzeichenwechsel, der die geteilten komplexen Zahlen von den gewöhnlichen komplexen unterscheidet. Die Quantität j Hier ist keine reelle Zahl, sondern eine unabhängige Größe.

Die Sammlung all dieser z heißt das Split-Komplex-Ebene. Addition und Multiplikation von Split-Komplex-Zahlen sind definiert durch

Diese Multiplikation ist kommutativ, assoziativ und verteilt sich über die Addition.

Konjugat, Modul und bilineare Form[edit]

Genau wie bei komplexen Zahlen kann man den Begriff a definieren Split-Komplex-Konjugat. Wenn

das Konjugat von z ist definiert als

Das Konjugat erfüllt ähnliche Eigenschaften wie das übliche komplexe Konjugat. Nämlich,

Diese drei Eigenschaften implizieren, dass das Split-Komplex-Konjugat ein Automorphismus der Ordnung 2 ist.

Das Modul einer Split-Komplex-Zahl z = x + jy ist durch die isotrope quadratische Form gegeben

Es hat die Eigenschaft der Kompositionsalgebra:

Diese quadratische Form ist jedoch nicht positiv-eindeutig, sondern hat eine Signatur (1, -1), so ist der Modul nicht eine Norm.

Die zugehörige bilineare Form ist gegeben durch

wo z = x + jy und w = u + jv. Ein anderer Ausdruck für den Modul ist dann

Da es nicht positiv-definitiv ist, ist diese bilineare Form kein inneres Produkt; dennoch wird die bilineare Form häufig als bezeichnet unbestimmtes inneres Produkt. Ein ähnlicher Sprachmissbrauch bezieht sich auf den Modul als Norm.

Eine Split-Complex-Zahl ist genau dann invertierbar, wenn ihr Modul ungleich Null ist (

z0{ displaystyle lVert z rVert neq 0}

), also x ± jx habe keine Umkehrung. Die multiplikative Inverse eines invertierbaren Elements ist gegeben durch

Split-komplexe Zahlen, die nicht invertierbar sind, werden als Nullvektoren bezeichnet. Dies sind alle die Form ((ein ± jein) für eine reelle Zahl ein.

Die diagonale Basis[edit]

Es gibt zwei nichttriviale idempotente Elemente, die durch gegeben sind e = (1 – j) / 2 und e = (1 + j) / 2. Denken Sie daran, dass idempotent das bedeutet ee = e und ee = e. Beide Elemente sind null:

Es ist oft bequem zu bedienen e und e als alternative Basis für die Split-Complex-Ebene. Diese Basis nennt man die diagonale Basis oder Nullbasis. Die Split-Komplex-Zahl z kann in der Nullbasis als geschrieben werden

Wenn wir die Nummer bezeichnen z = ae + Sein für reelle Zahlen ein und b durch ((ein, b), dann ist die Split-Komplex-Multiplikation gegeben durch

Auf dieser Basis wird klar, dass die Split-Komplex-Zahlen ringisomorph zur direkten Summe sind R.R. mit paarweise definierter Addition und Multiplikation.

Das Split-Komplex-Konjugat in diagonaler Basis ist gegeben durch

und der Modul von

Obwohl sie in der Kategorie der Ringe in derselben Isomorphismusklasse liegen, unterscheiden sich die Split-Complex-Ebene und die direkte Summe zweier reeller Linien in ihrer Anordnung in der kartesischen Ebene. Der Isomorphismus besteht als planare Abbildung aus einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn um 45 ° und einer Erweiterung um 45 ° 2. Insbesondere die Erweiterung hat manchmal Verwirrung in Verbindung mit Bereichen eines hyperbolischen Sektors verursacht. In der Tat entspricht der hyperbolische Winkel der Fläche eines Sektors in der R.R. Ebene mit ihrem “Einheitskreis” gegeben durch {(ein, b) ∈ R.R. :: ab = 1}. Der vertraglich vereinbarte “Einheitskreis” {cosh ein + j sinh ein :: einR.R.}} der Split-Komplex-Ebene hat nur die halbe Fläche in der Spanne eines entsprechenden hyperbolischen Sektors. Eine solche Verwirrung kann fortbestehen, wenn die Geometrie der geteilten komplexen Ebene nicht von der von unterschieden wird R.R..

Geometrie[edit]

Einheit Hyperbel mit z‖ = 1, konjugieren Hyperbel mit z‖ = −1, und Asymptoten z‖ = 0.

Ein zweidimensionaler realer Vektorraum mit dem inneren Produkt von Minkowski heißt (1 + 1)-dimensionaler Minkowski-Raum, oft bezeichnet R.1,1. Genauso viel von der Geometrie der euklidischen Ebene R.2 Mit komplexen Zahlen kann die Geometrie der Minkowski-Ebene beschrieben werden R.1,1 kann mit aufgeteilten komplexen Zahlen beschrieben werden.

Die Menge der Punkte

ist eine Hyperbel für jeden Wert ungleich Null ein im R.. Die Hyperbel besteht aus einem rechten und einem linken Ast ((ein, 0) und (-ein, 0). Der Fall ein = 1 wird die Einheit Hyperbel genannt. Die konjugierte Hyperbel ist gegeben durch

mit einem oberen und unteren Ast durch (0, ein) und (0, –ein). Die Hyperbel und die konjugierte Hyperbel sind durch zwei diagonale Asymptoten getrennt, die die Menge der Nullelemente bilden:

Diese beiden Zeilen (manchmal auch als bezeichnet Nullkegel) sind senkrecht in R.2 und haben Steigungen ± 1.

Split-komplexe Zahlen z und w sollen hyperbolisch-orthogonal sein, wenn z, w⟩ = 0. Diese Bedingung ist zwar analog zur gewöhnlichen Orthogonalität, insbesondere wie sie bei der gewöhnlichen Arithmetik komplexer Zahlen bekannt ist, aber subtiler. Es bildet die Grundlage für das simultane Hyperebenenkonzept in der Raumzeit.

Das Analogon der Euler-Formel für die Split-Komplex-Zahlen ist

Dies kann aus einer Potenzreihenerweiterung abgeleitet werden, indem cosh nur gerade Potenzen hat, während die für sinh ungerade Potenzen hat. Für alle reellen Werte des hyperbolischen Winkels θ die Split-Komplex-Zahl λ = exp () hat Norm 1 und liegt auf dem rechten Ast der Einheitshyperbel. Zahlen wie λ wurden als hyperbolische Verse bezeichnet.

Da λ den Modul 1 hat, multipliziert man eine beliebige Split-Komplex-Zahl z durch λ bewahrt den Modul von z und repräsentiert a hyperbolische Rotation (auch als Lorentz-Boost oder Squeeze-Mapping bezeichnet). Multiplizieren mit λ Bewahrt die geometrische Struktur und nimmt Hyperbeln für sich und den Nullkegel für sich.

Die Menge aller Transformationen der Split-Komplex-Ebene, die den Modul (oder gleichwertig das innere Produkt) bewahren, bildet eine Gruppe, die als verallgemeinerte orthogonale Gruppe bezeichnet wird O (1, 1). Diese Gruppe besteht aus den hyperbolischen Rotationen, die eine bezeichnete Untergruppe bilden DAMIT+(1, 1), kombiniert mit vier diskreten Reflexionen von

Die Exponentialkarte

Senden θ zur Rotation durch exp () ist ein Gruppenisomorphismus, da die übliche Exponentialformel gilt:

Wenn eine Split-Komplex-Zahl z liegt also nicht auf einer der Diagonalen z hat eine polare Zersetzung.

Algebraische Eigenschaften[edit]

In abstrakten Algebra-Begriffen können die Split-Komplex-Zahlen als Quotient des Polynomrings beschrieben werden R.[x] durch das durch das Polynom erzeugte Ideal x2 – 1,

R.[x]/ ((x2 – 1).

Das Bild von x im Quotienten ist die “imaginäre” Einheit j. Mit dieser Beschreibung wird deutlich, dass die Split-Komplex-Zahlen einen kommutativen Ring mit der Charakteristik 0 bilden. Wenn wir außerdem die Skalarmultiplikation auf offensichtliche Weise definieren, bilden die Split-Komplex-Zahlen eine kommutative und assoziative Algebra der Dimension zwei über den Realzahlen . Die Algebra ist nicht eine Divisionsalgebra oder ein Teilungsfeld, da die Nullelemente nicht invertierbar sind. Alle Nullelemente ungleich Null sind Nullteiler.

Da Addition und Multiplikation kontinuierliche Operationen in Bezug auf die übliche Topologie der Ebene sind, bilden die Split-Komplex-Zahlen einen topologischen Ring.

Die Algebra von Split-Complex-Zahlen bildet seitdem eine Kompositionsalgebra

Aus der Definition ist ersichtlich, dass der Ring von Split-Komplex-Zahlen isomorph zum Gruppenring ist R.[C2] der cyclischen Gruppe C.2 über die reellen Zahlen R..

Matrixdarstellungen[edit]

Man kann Split-Complex-Zahlen leicht durch Matrizen darstellen. Die Split-Komplex-Zahl

kann durch die Matrix dargestellt werden

Die Addition und Multiplikation von Split-Komplex-Zahlen erfolgt dann durch Matrixaddition und -multiplikation. Der Modul von z ist durch die Determinante der entsprechenden Matrix gegeben. In dieser Darstellung entspricht die Split-Komplex-Konjugation der beidseitigen Multiplikation mit der Matrix

Für jede reelle Zahl eineine hyperbolische Rotation um einen hyperbolischen Winkel ein entspricht der Multiplikation mit der Matrix

Dieses kommutative Diagramm bezieht sich auf die Wirkung des hyperbolischen Versors auf D. um die auf R angewendete Abbildung σ zusammenzudrücken2

Die diagonale Basis für die Split-Complex-Zahlenebene kann unter Verwendung eines geordneten Paares aufgerufen werden ((x, y) zum

z=x+jy{ displaystyle z = x + jy}

und das Mapping machen

Nun ist die quadratische Form

uv=((x+y)((x– –y)=x2– –y2.{ displaystyle uv = (x + y) (xy) = x ^ {2} -y ^ {2}.}

Außerdem,

so werden die beiden parametrisierten Hyperbeln in Übereinstimmung gebracht mit S..

Die Wirkung des hyperbolischen Versors

ebj{ displaystyle e ^ {bj} !}

entspricht dann unter dieser linearen Transformation einem Squeeze-Mapping

Es ist zu beachten, dass es im Zusammenhang mit 2 × 2 reellen Matrizen tatsächlich eine große Anzahl unterschiedlicher Darstellungen von Zahlen mit geteiltem Komplex gibt. Die obige diagonale Darstellung repräsentiert die jordanische kanonische Form der Matrixdarstellung der Split-Komplex-Zahlen. Für eine Split-Complex-Nummer z = (x, y) gegeben durch die folgende Matrixdarstellung:

seine jordanische kanonische Form ist gegeben durch:

wo

Z.=S.J.zS.– –1 ,{ displaystyle Z = SJ_ {z} S ^ {- 1} ,}

und

Geschichte[edit]

Die Verwendung von Split-Complex-Zahlen geht auf das Jahr 1848 zurück, als James Cockle seine Tessarinen enthüllte.[1]William Kingdon Clifford verwendete Split-Complex-Zahlen, um die Summe der Spins darzustellen. Clifford führte die Verwendung von Split-Komplex-Zahlen als Koeffizienten in einer Quaternionsalgebra ein, die jetzt Split-Biquaternionen genannt wird. Er nannte seine Elemente “Motoren”, ein Begriff parallel zur “Rotor” -Aktion einer gewöhnlichen komplexen Zahl aus der Kreisgruppe. In Erweiterung der Analogie stehen Funktionen einer Motorvariablen im Gegensatz zu Funktionen einer gewöhnlichen komplexen Variablen.

Seit dem späten 20. Jahrhundert wird die Split-Komplex-Multiplikation allgemein als Lorentz-Boost einer Raumzeitebene angesehen.[2][3][4][5][6][7] In diesem Modell die Nummer z = x + yj stellt ein Ereignis in einer räumlich-zeitlichen Ebene dar, wobei x wird in Nanosekunden und gemessen y in Minins Füßen. Die Zukunft entspricht dem Quadranten der Ereignisse {z : |y| x}, welches die gespaltene komplexe polare Zersetzung hat

z=ρeeinj{ displaystyle z = rho e ^ {aj} !}

. Das Modell sagt das z kann vom Ursprung aus durch Eingabe eines Referenzrahmens der Schnelligkeit erreicht werden ein und warten ρ Nanosekunden. Die Split-Komplex-Gleichung

Das Ausdrücken von Produkten auf der Einheitshyperbola veranschaulicht die Additivität von Geschwindigkeiten für kollineare Geschwindigkeiten. Die Gleichzeitigkeit von Ereignissen hängt von der Schnelligkeit ab ein;;

ist die Linie von Ereignissen, die gleichzeitig mit dem Ursprung im Referenzrahmen schnell sind ein.

Zwei Ereignisse z und w sind hyperbolisch-orthogonal, wenn zw + zw = 0. Kanonische Ereignisse exp (aj) und j exp (aj) sind hyperbolisch orthogonal und liegen auf den Achsen eines Referenzrahmens, in dem die Ereignisse gleichzeitig mit dem Ursprung proportional zu sind j exp (aj).

1933 verwendete Max Zorn die Split-Oktonionen und bemerkte die Eigenschaft der Kompositionsalgebra. Er erkannte, dass die Cayley-Dickson-Konstruktion, die zur Erzeugung von Teilungsalgebren verwendet wurde, modifiziert werden konnte (mit einem Faktor Gamma (γ)), ​​um andere Zusammensetzungsalgebren einschließlich der Split-Oktonionen zu konstruieren. Seine Innovation wurde von Adrian Albert, Richard D. Schafer und anderen verewigt.[8] Der Gammafaktor mit ℝ als Basisfeld bildet Split-Komplex-Zahlen als Kompositionsalgebra. NH McCoy rezensierte Albert für mathematische Rezensionen und schrieb, dass es eine “Einführung einiger neuer Algebren der Ordnung 2” gabe Über F. Verallgemeinerung der Cayley-Dickson-Algebren. “[9] Nehmen F. = ℝ und e = 1 entspricht der Algebra dieses Artikels.

1935 entwickelten JC Vignaux und A. Durañona y Vedia in vier Artikeln die geometrische Algebra und Funktionstheorie mit geteiltem Komplex Beitrag a las Ciencias Físicas y Matemáticas, Nationale Universität von La Plata, República Argentina (auf Spanisch). Diese expositorischen und pädagogischen Aufsätze präsentierten das Thema für eine breite Anerkennung.[10]

1941 verwendete EF Allen die geteilte komplexe geometrische Arithmetik, um die Neun-Punkte-Hyperbel eines eingeschriebenen Dreiecks zu bestimmen zz = 1.[11]

1956 veröffentlichte Mieczyslaw Warmus “Calculus of Approximations” in Bulletin de l’Académie Polonaise des Sciences (siehe Link in Referenzen). Er entwickelte zwei algebraische Systeme, von denen jedes “ungefähre Zahlen” nannte, von denen das zweite eine echte Algebra bildet.[12]DH Lehmer überprüfte den Artikel in Mathematical Reviews und stellte fest, dass dieses zweite System isomorph zu den Zahlen des “hyperbolischen Komplexes” war, die Gegenstand dieses Artikels sind.

1961 setzte Warmus seine Darstellung fort und bezog sich auf die Komponenten einer ungefähren Zahl als Mittelpunkt und Radius des angegebenen Intervalls.

Synonyme[edit]

Verschiedene Autoren haben eine Vielzahl von Namen für die Split-Complex-Zahlen verwendet. Einige davon sind:

  • ((echt) TessarinenJames Cockle (1848)
  • ((algebraisch) Motoren, WK Clifford (1882)
  • hyperbolische komplexe ZahlenJC Vignaux (1935)
  • bireal ZahlenU. Bencivenga (1946)
  • ungefähre ZahlenWarmus (1956) zur Verwendung in der Intervallanalyse
  • Gegenkomplex oder hyperbolisch Zahlen aus museanischen Hypernummern
  • doppelte ZahlenIM Yaglom (1968), Kantor und Solodovnikov (1989), Hazewinkel (1990), Rooney (2014)
  • anormal-komplexe ZahlenW. Benz (1973)
  • ratlose Zahlen, P. Fjelstad (1986) und Poodiack & LeClair (2009)
  • Lorentz-ZahlenFR Harvey (1990)
  • hyperbolische ZahlenG. Sobczyk (1995)
  • parakomplexe Zahlen, Cruceanu, Fortuny & Gadea (1996)
  • halbkomplexe ZahlenF. Antonuccio (1994)
  • geteilte binarionsK. McCrimmon (2004)
  • Split-komplexe ZahlenB. Rosenfeld (1997)[13]
  • RaumzeitzahlenN. Borota (2000)
  • StudiennummernP. Lounesto (2001)
  • zwei komplexe ZahlenS. Olariu (2002)

Split-komplexe Zahlen und ihre höherdimensionalen Verwandten (Split-Quaternionen / Coquaternionen und Split-Oktonionen) wurden zeitweise als “Musean-Zahlen” bezeichnet, da sie eine Teilmenge des von Charles Musès entwickelten Hypernumber-Programms sind.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

  1. ^ James Cockle (1849) Auf einem neuen Imaginär in der Algebra 34: 37–47, Philosophisches Magazin London-Edinburgh-Dublin (3) 33: 435–9, Link von der Biodiversity Heritage Library.
  2. ^ Francesco Antonuccio (1994) Halbkomplexe Analyse und mathematische Physik
  3. ^ F. Catoni, D. Boccaletti, R. Cannata, V. Catoni, E. Nichelatti, P. Zampetti. (2008) Die Mathematik der Minkowski-Raumzeit, Birkhäuser Verlag, Basel. Kapitel 4: Trigonometrie in der Minkowski-Ebene. ISBN 978-3-7643-8613-9.
  4. ^ Francesco Catoni; Dino Boccaletti; Roberto Cannata; Vincenzo Catoni; Paolo Zampetti (2011). “Kapitel 2: Hyperbolische Zahlen”. Geometrie der Minkowski-Raumzeit. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-17977-8.
  5. ^ Fjelstadt, P. (1986)Erweitern der speziellen Relativitätstheorie mit Perplex-Zahlen“, American Journal of Physics 54: 416.
  6. ^ Louis Kauffman (1985) “Transformationen in spezieller Relativitätstheorie”, International Journal of Theoretical Physics 24: 223–36.
  7. ^ Sobczyk, G. (1995) Hyperbolische Zahlenebene, auch veröffentlicht in College Mathematics Journal 26: 268–80.
  8. ^ Robert B. Brown (1967)Auf verallgemeinerten Cayley-Dickson-Algebren, Pacific Journal of Mathematics 20 (3): 415–22, Link aus Project Euclid.
  9. ^ NH McCoy (1942) Rezension von “Quadratische Formen, die Komposition erlauben” von AA Albert, Mathematical Reviews # 0006140
  10. ^ Vignaux, J. (1935) “Sobre el numero complejo hiperbolico y su relacion con la geometria de Borel”, Beitrag von Estudio de las Ciencias Fisicas y Matematicas, Universidad Nacional de la Plata, Republik Argentinien
  11. ^ Allen, EF (1941) “Auf einem Dreieck, das in eine rechteckige Hyperbel eingeschrieben ist”, American Mathematical Monthly 48 (10): 675–681
  12. ^ M. Warmus (1956) “Näherungsrechnung”, Bulletin de l’Académie Polonaise des SciencesVol. 5, S. 253–257, MR0081372
  13. ^ Rosenfeld, B. (1997) Geometrie von Lügengruppen, Seite 30, Kluwer Academic Publishers ISBN 0-7923-4390-5
  • Bencivenga, Uldrico (1946) “Sulla rappresentazione geometrica delle algebre doppie dotate di modulo”, Atti della Reale Accademia delle Scienze und Belle-Lettere di Napoli, Ser (3) v.2 No7. HERR0021123.
  • Walter Benz (1973) Vorlesungen uber Geometrie der AlgebrenSpringer
  • NA Borota, E. Flores und TJ Osler (2000) “Raumzeitzahlen auf einfache Weise”, Mathematics and Computer Education 34: 159–168.
  • NA Borota und TJ Osler (2002) “Funktionen einer Raumzeitvariablen”, Mathematik und Computererziehung 36: 231–239.
  • K. Carmody, (1988) “Circular and hyperbolic quaternions, octonions and sedenions”, Appl. Mathematik. Comput. 28: 47–72.
  • K. Carmody, (1997) “Zirkuläre und hyperbolische Quaternionen, Oktonionen und Sedenionen – weitere Ergebnisse”, Appl. Mathematik. Comput. 84: 27–48.
  • William Kingdon Clifford (1882) Mathematische Werke, AW Tucker Editor, Seite 392, “Weitere Hinweise zu Biquaternionen”
  • V. Cruceanu, P. Fortuny & amp; PM Gadea (1996) Eine Umfrage zur parakomplexen Geometrie, Rocky Mountain Journal of Mathematics 26 (1): 83–115, Link aus Project Euclid.
  • De Boer, R. (1987) “Eine auch als Liste für ratlose Zahlen bekannte”, American Journal of Physics 55 (4): 296.
  • Anthony A. Harkin und Joseph B. Harkin (2004) Geometrie verallgemeinerter komplexer Zahlen, Mathematics Magazine 77 (2): 118–29.
  • F. Reese Harvey. Spinoren und Kalibrierungen. Akademische Presse, San Diego. 1990. ISBN 0-12-329650-1. Enthält eine Beschreibung der normierten Algebren in unbestimmter Signatur, einschließlich der Lorentz-Zahlen.
  • Hazewinkle, M. (1994) “Doppelte und doppelte Zahlen”, Encyclopaedia of Mathematics, Sowjet / AMS / Kluwer, Dordrect.
  • Kevin McCrimmon (2004) Ein Vorgeschmack auf Jordanische AlgebrenS. 66, 157, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR2014924
  • C. Musès, “Angewandte Hypernummern: Computerkonzepte”, Appl. Mathematik. Comput. 3 (1977) 211–226.
  • C. Musès, “Hypernummern II – Weitere Konzepte und Computeranwendungen”, Appl. Mathematik. Comput. 4 (1978) 45–66.
  • Olariu, Silviu (2002) Komplexe Zahlen in N Dimensionen, Kapitel 1: Hyperbolische komplexe Zahlen in zwei Dimensionen, Seiten 1–16, North-Holland Mathematics Studies # 190, Elsevier ISBN 0-444-51123-7.
  • Poodiack, Robert D. und Kevin J. LeClair (2009) “Fundamentalsätze der Algebra für die Perplexe”, The College Mathematics Journal 40 (5): 322–35.
  • Isaak Yaglom (1968) Komplexe Zahlen in der Geometrie, übersetzt von E. Primrose aus dem russischen Original von 1963, Academic Press, S. 18–20.
  • J. Rooney (2014). “Verallgemeinerte komplexe Zahlen in der Mechanik”. In Marco Ceccarelli und Victor A. Glazunov (Hrsg.). Fortschritte in Theorie und Praxis von Robotern und Manipulatoren: Proceedings of Romansy 2014 XX CISM-IFToMM-Symposium zu Theorie und Praxis von Robotern und Manipulatoren. Mechanismen und Maschinenwissenschaften. 22. Springer. S. 55–62. doi:10.1007 / 978-3-319-07058-2_7. ISBN 978-3-319-07058-2.


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