[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/12\/23\/split-komplexe-zahl-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/12\/23\/split-komplexe-zahl-wikipedia\/","headline":"Split-komplexe Zahl – Wikipedia","name":"Split-komplexe Zahl – Wikipedia","description":"before-content-x4 In der abstrakten Algebra a komplexe Zahl teilen (oder hyperbolische Zahl, ebenfalls ratlose Zahl, doppelte Zahl) hat zwei reelle","datePublished":"2020-12-23","dateModified":"2020-12-23","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87302196546348a03821e4a3c01ceb85a301a834","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87302196546348a03821e4a3c01ceb85a301a834","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/12\/23\/split-komplexe-zahl-wikipedia\/","wordCount":12535,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4In der abstrakten Algebra a komplexe Zahl teilen (oder hyperbolische Zahl, ebenfalls ratlose Zahl, doppelte Zahl) hat zwei reelle Zahlenkomponenten x und yund ist geschrieben z = x + y\u2009j, wo j2  = 1.  Das konjugieren von z ist z\u2217 = x – – y\u2009j.  Schon seit j2  = 1, das Produkt einer Zahl z mit seinem Konjugat ist zz\u2217 = x2  – – y2eine isotrope quadratische Form, N.((z) = x2  – – y2.  Die Sammlung D. aller geteilten komplexen Zahlen z = x + y\u2009j  zum x, y \u2208 R.  bildet eine Algebra \u00fcber dem Feld der reellen Zahlen.  Zwei Split-Complex-Zahlen w und z ein Produkt haben wz das befriedigt N.((wz) = N.((w)N.((z).  Diese Zusammensetzung von N. \u00fcber das Algebra-Produkt macht ((D., +, \u00d7, *) eine Kompositionsalgebra.Eine \u00e4hnliche Algebra basiert auf R.2 und komponentenweise Operationen der Addition und Multiplikation, ((R.2, +, \u00d7, xy), wo xy ist die quadratische Form auf R.2bildet auch einen quadratischen Raum.  Der Ringisomorphismus  D.\u2192R.2x+yj\u21a6((x+y,x– –y){ displaystyle { begin {align} D &  to  mathbb {R} ^ {2} \\ x + yj &  mapsto (x + y, xy)  end {align}}}bezieht sich auf proportionale quadratische Formen, aber die Abbildung ist nicht eine Isometrie seit der multiplikativen Identit\u00e4t (1, 1) von R.2 ist in einiger Entfernung \u221a2  von 0, was in normalisiert ist D..Split-komplexe Zahlen haben viele andere Namen;  sehen \u00a7 Synonyme unten.  Siehe den Artikel Motor variabel f\u00fcr Funktionen einer Split-Complex-Zahl.Table of ContentsDefinition[edit]Konjugat, Modul und bilineare Form[edit]Die diagonale Basis[edit]Geometrie[edit]Algebraische Eigenschaften[edit]Matrixdarstellungen[edit]Geschichte[edit]Synonyme[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Definition[edit]EIN Split-Komplex-Nummer ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen, die in der Form geschrieben sind  z=x+jy{ displaystyle z = x + jy}wo x und y sind reelle Zahlen und die Menge j befriedigtj2=+1{ displaystyle j ^ {2} = + 1}W\u00e4hlen j2=– –1{ displaystyle j ^ {2} = – 1}  ergibt die komplexen Zahlen.  Es ist dieser Vorzeichenwechsel, der die geteilten komplexen Zahlen von den gew\u00f6hnlichen komplexen unterscheidet.  Die Quantit\u00e4t j Hier ist keine reelle Zahl, sondern eine unabh\u00e4ngige Gr\u00f6\u00dfe.Die Sammlung all dieser z hei\u00dft das Split-Komplex-Ebene.  Addition und Multiplikation von Split-Komplex-Zahlen sind definiert durch((x+jy)+((u+jv)=((x+u)+j((y+v)((x+jy)((u+jv)=((xu+yv)+j((xv+yu).{ displaystyle { begin {align} (x + jy) + (u + jv) & = (x + u) + j (y + v) \\ (x + jy) (u + jv) & = (xu + yv) + j (xv + yu).  end {align}}}Diese Multiplikation ist kommutativ, assoziativ und verteilt sich \u00fcber die Addition.Konjugat, Modul und bilineare Form[edit]Genau wie bei komplexen Zahlen kann man den Begriff a definieren Split-Komplex-Konjugat.  Wennz=x+jy{ displaystyle z = x + jy}das Konjugat von z ist definiert alsz\u2217=x– –jy.{ displaystyle z ^ {*} = x-jy.}Das Konjugat erf\u00fcllt \u00e4hnliche Eigenschaften wie das \u00fcbliche komplexe Konjugat.  N\u00e4mlich,((z+w)\u2217=z\u2217+w\u2217((zw)\u2217=z\u2217w\u2217((z\u2217)\u2217=z.{ displaystyle { begin {align} (z + w) ^ {*} & = z ^ {*} + w ^ {*} \\ (zw) ^ {*} & = z ^ {*} w ^ { *} \\ left (z ^ {*}  right) ^ {*} & = z.  end {align}}}Diese drei Eigenschaften implizieren, dass das Split-Komplex-Konjugat ein Automorphismus der Ordnung 2 ist.Das Modul einer Split-Komplex-Zahl z = x + j\u2009y  ist durch die isotrope quadratische Form gegeben\u2016z\u2016=zz\u2217=z\u2217z=x2– –y2.{ displaystyle  lVert z  rVert = zz ^ {*} = z ^ {*} z = x ^ {2} -y ^ {2}.}Es hat die Eigenschaft der Kompositionsalgebra:\u2016zw\u2016=\u2016z\u2016\u2016w\u2016.{ displaystyle  lVert zw  rVert =  lVert z  rVert  lVert w  rVert.}Diese quadratische Form ist jedoch nicht positiv-eindeutig, sondern hat eine Signatur (1, -1), so ist der Modul nicht eine Norm.Die zugeh\u00f6rige bilineare Form ist gegeben durch\u27e8z,w\u27e9=Re\u2061((zw\u2217)=Re\u2061((z\u2217w)=xu– –yv,{ displaystyle  langle z, w  rangle =  operatorname {Re}  left (zw ^ {*}  right) =  operatorname {Re}  left (z ^ {*} w  right) = xu-yv, }}wo z = x + j\u2009y  und w = u + j\u2009v.  Ein anderer Ausdruck f\u00fcr den Modul ist dann\u2016z\u2016=\u27e8z,z\u27e9.{ displaystyle  lVert z  rVert =  langle z, z  rangle.}Da es nicht positiv-definitiv ist, ist diese bilineare Form kein inneres Produkt;  dennoch wird die bilineare Form h\u00e4ufig als bezeichnet unbestimmtes inneres Produkt.  Ein \u00e4hnlicher Sprachmissbrauch bezieht sich auf den Modul als Norm.Eine Split-Complex-Zahl ist genau dann invertierbar, wenn ihr Modul ungleich Null ist (\u2016z\u2016\u22600{ displaystyle  lVert z  rVert  neq 0}), also x \u00b1 j\u2009x habe keine Umkehrung.  Die multiplikative Inverse eines invertierbaren Elements ist gegeben durchz– –1=z\u2217\u2016z\u2016.{ displaystyle z ^ {- 1} = { frac {z ^ {*}} { lVert z  rVert}}.}Split-komplexe Zahlen, die nicht invertierbar sind, werden als Nullvektoren bezeichnet.  Dies sind alle die Form ((ein \u00b1 j\u2009ein) f\u00fcr eine reelle Zahl ein.Die diagonale Basis[edit]Es gibt zwei nichttriviale idempotente Elemente, die durch gegeben sind e = (1 – j) \/ 2  und  e\u2217 = (1 + j) \/ 2.  Denken Sie daran, dass idempotent das bedeutet ee = e  und e\u2217e\u2217 = e\u2217.  Beide Elemente sind null:\u2016e\u2016=\u2016e\u2217\u2016=e\u2217e=0.{ displaystyle  lVert e  rVert =  lVert e ^ {*}  rVert = e ^ {*} e = 0.}Es ist oft bequem zu bedienen e und e\u2217 als alternative Basis f\u00fcr die Split-Complex-Ebene.  Diese Basis nennt man die diagonale Basis oder Nullbasis.  Die Split-Komplex-Zahl z kann in der Nullbasis als geschrieben werdenz=x+jy=((x– –y)e+((x+y)e\u2217.{ displaystyle z = x + jy = (xy) e + (x + y) e ^ {*}.}Wenn wir die Nummer bezeichnen z = ae + Sein\u2217  f\u00fcr reelle Zahlen ein und b durch ((ein, b), dann ist die Split-Komplex-Multiplikation gegeben durch((ein1,b1)((ein2,b2)=((ein1ein2,b1b2){ displaystyle  left (a_ {1}, b_ {1}  right)  left (a_ {2}, b_ {2}  right) =  left (a_ {1} a_ {2}, b_ {1} b_ {2})  right.}Auf dieser Basis wird klar, dass die Split-Komplex-Zahlen ringisomorph zur direkten Summe sind R. \u2295 R.  mit paarweise definierter Addition und Multiplikation.Das Split-Komplex-Konjugat in diagonaler Basis ist gegeben durch((ein,b)\u2217=((b,ein){ displaystyle (a, b) ^ {*} = (b, a)}und der Modul von\u2016((ein,b)\u2016=einb.{ displaystyle  lVert (a, b)  rVert = ab.}Obwohl sie in der Kategorie der Ringe in derselben Isomorphismusklasse liegen, unterscheiden sich die Split-Complex-Ebene und die direkte Summe zweier reeller Linien in ihrer Anordnung in der kartesischen Ebene.  Der Isomorphismus besteht als planare Abbildung aus einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn um 45 \u00b0 und einer Erweiterung um 45 \u00b0 \u221a2.  Insbesondere die Erweiterung hat manchmal Verwirrung in Verbindung mit Bereichen eines hyperbolischen Sektors verursacht.  In der Tat entspricht der hyperbolische Winkel der Fl\u00e4che eines Sektors in der R. \u2295 R.  Ebene mit ihrem “Einheitskreis” gegeben durch {(ein, b) \u2208 R. \u2295 R. :: ab = 1}.  Der vertraglich vereinbarte “Einheitskreis” {cosh ein + j sinh ein :: ein \u2208 R. \u2295 R.}}  der Split-Komplex-Ebene hat nur die halbe Fl\u00e4che in der Spanne eines entsprechenden hyperbolischen Sektors.  Eine solche Verwirrung kann fortbestehen, wenn die Geometrie der geteilten komplexen Ebene nicht von der von unterschieden wird R. \u2295 R..Geometrie[edit]    Einheit Hyperbel mit \u2016z\u2016 = 1,   konjugieren Hyperbel mit \u2016z\u2016 = \u22121, und   Asymptoten \u2016z\u2016 = 0.Ein zweidimensionaler realer Vektorraum mit dem inneren Produkt von Minkowski hei\u00dft (1 + 1)-dimensionaler Minkowski-Raum, oft bezeichnet R.1,1.  Genauso viel von der Geometrie der euklidischen Ebene R.2 Mit komplexen Zahlen kann die Geometrie der Minkowski-Ebene beschrieben werden R.1,1 kann mit aufgeteilten komplexen Zahlen beschrieben werden.Die Menge der Punkte{z::\u2016z\u2016=ein2}}{ displaystyle  left  {z:  lVert z  rVert = a ^ {2}  right }}ist eine Hyperbel f\u00fcr jeden Wert ungleich Null ein im R..  Die Hyperbel besteht aus einem rechten und einem linken Ast ((ein, 0) und (-ein, 0).  Der Fall ein = 1 wird die Einheit Hyperbel genannt.  Die konjugierte Hyperbel ist gegeben durch{z::\u2016z\u2016=– –ein2}}{ displaystyle  left  {z:  lVert z  rVert = -a ^ {2}  right }}mit einem oberen und unteren Ast durch (0, ein) und (0, –ein).  Die Hyperbel und die konjugierte Hyperbel sind durch zwei diagonale Asymptoten getrennt, die die Menge der Nullelemente bilden:{z::\u2016z\u2016=0}}.{ displaystyle  left  {z:  lVert z  rVert = 0  right }.}Diese beiden Zeilen (manchmal auch als bezeichnet Nullkegel) sind senkrecht in R.2 und haben Steigungen \u00b1 1.Split-komplexe Zahlen z und w sollen hyperbolisch-orthogonal sein, wenn \u27e8z, w\u27e9 = 0.  Diese Bedingung ist zwar analog zur gew\u00f6hnlichen Orthogonalit\u00e4t, insbesondere wie sie bei der gew\u00f6hnlichen Arithmetik komplexer Zahlen bekannt ist, aber subtiler.  Es bildet die Grundlage f\u00fcr das simultane Hyperebenenkonzept in der Raumzeit.Das Analogon der Euler-Formel f\u00fcr die Split-Komplex-Zahlen istexp\u2061((j\u03b8)=cosh\u2061((\u03b8)+jsinh\u2061((\u03b8).{ displaystyle  exp (j  theta) =  cosh ( theta) + j  sinh ( theta). ,}Dies kann aus einer Potenzreihenerweiterung abgeleitet werden, indem cosh nur gerade Potenzen hat, w\u00e4hrend die f\u00fcr sinh ungerade Potenzen hat.  F\u00fcr alle reellen Werte des hyperbolischen Winkels \u03b8 die Split-Komplex-Zahl \u03bb = exp (j\u03b8) hat Norm 1 und liegt auf dem rechten Ast der Einheitshyperbel.  Zahlen wie \u03bb wurden als hyperbolische Verse bezeichnet.Da \u03bb den Modul 1 hat, multipliziert man eine beliebige Split-Komplex-Zahl z durch \u03bb bewahrt den Modul von z und repr\u00e4sentiert a hyperbolische Rotation (auch als Lorentz-Boost oder Squeeze-Mapping bezeichnet).  Multiplizieren mit \u03bb Bewahrt die geometrische Struktur und nimmt Hyperbeln f\u00fcr sich und den Nullkegel f\u00fcr sich.Die Menge aller Transformationen der Split-Komplex-Ebene, die den Modul (oder gleichwertig das innere Produkt) bewahren, bildet eine Gruppe, die als verallgemeinerte orthogonale Gruppe bezeichnet wird O (1, 1).  Diese Gruppe besteht aus den hyperbolischen Rotationen, die eine bezeichnete Untergruppe bilden DAMIT+(1, 1), kombiniert mit vier diskreten Reflexionen vonz\u21a6\u00b1z{ displaystyle z  mapsto  pm z}  und z\u21a6\u00b1z\u2217.{ displaystyle z  mapsto  pm z ^ {*}.}Die Exponentialkarteexp::((R.,+)\u2192S.\u00d6+((1,1){ displaystyle  exp  Doppelpunkt ( mathbb {R}, +)  to  mathrm {SO} ^ {+} (1,1)}Senden \u03b8 zur Rotation durch exp (j\u03b8) ist ein Gruppenisomorphismus, da die \u00fcbliche Exponentialformel gilt:ej((\u03b8+\u03d5)=ej\u03b8ej\u03d5.{ displaystyle e ^ {j ( theta +  phi)} = e ^ {j  theta} e ^ {j  phi}. ,}Wenn eine Split-Komplex-Zahl z liegt also nicht auf einer der Diagonalen z hat eine polare Zersetzung.Algebraische Eigenschaften[edit]In abstrakten Algebra-Begriffen k\u00f6nnen die Split-Komplex-Zahlen als Quotient des Polynomrings beschrieben werden R.[x]  durch das durch das Polynom erzeugte Ideal x2 – 1,R.[x]\/ ((x2 – 1).Das Bild von x im Quotienten ist die “imagin\u00e4re” Einheit j.  Mit dieser Beschreibung wird deutlich, dass die Split-Komplex-Zahlen einen kommutativen Ring mit der Charakteristik 0 bilden. Wenn wir au\u00dferdem die Skalarmultiplikation auf offensichtliche Weise definieren, bilden die Split-Komplex-Zahlen eine kommutative und assoziative Algebra der Dimension zwei \u00fcber den Realzahlen .  Die Algebra ist nicht eine Divisionsalgebra oder ein Teilungsfeld, da die Nullelemente nicht invertierbar sind.  Alle Nullelemente ungleich Null sind Nullteiler.Da Addition und Multiplikation kontinuierliche Operationen in Bezug auf die \u00fcbliche Topologie der Ebene sind, bilden die Split-Komplex-Zahlen einen topologischen Ring.Die Algebra von Split-Complex-Zahlen bildet seitdem eine Kompositionsalgebra\u2016zw\u2016=\u2016z\u2016\u2016w\u2016{ displaystyle  lVert zw  rVert =  lVert z  rVert  lVert w  rVert}   f\u00fcr beliebige Zahlen z und w.Aus der Definition ist ersichtlich, dass der Ring von Split-Komplex-Zahlen isomorph zum Gruppenring ist R.[C2]  der cyclischen Gruppe C.2 \u00fcber die reellen Zahlen R..Matrixdarstellungen[edit]Man kann Split-Complex-Zahlen leicht durch Matrizen darstellen.  Die Split-Komplex-Zahlz=x+jy{ displaystyle z = x + jy}kann durch die Matrix dargestellt werdenz\u21a6((xyyx).{ displaystyle z  mapsto { begin {pmatrix} x & y \\ y & x  end {pmatrix}}.}Die Addition und Multiplikation von Split-Komplex-Zahlen erfolgt dann durch Matrixaddition und -multiplikation.  Der Modul von z ist durch die Determinante der entsprechenden Matrix gegeben.  In dieser Darstellung entspricht die Split-Komplex-Konjugation der beidseitigen Multiplikation mit der MatrixC.=((100– –1).{ displaystyle C = { begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1  end {pmatrix}}.}F\u00fcr jede reelle Zahl eineine hyperbolische Rotation um einen hyperbolischen Winkel ein entspricht der Multiplikation mit der Matrix((cosh\u2061einsinh\u2061einsinh\u2061eincosh\u2061ein).{ displaystyle { begin {pmatrix}  cosh a &  sinh a \\ sinh a &  cosh a  end {pmatrix}}.}  Dieses kommutative Diagramm bezieht sich auf die Wirkung des hyperbolischen Versors auf D. um die auf R angewendete Abbildung \u03c3 zusammenzudr\u00fccken2Die diagonale Basis f\u00fcr die Split-Complex-Zahlenebene kann unter Verwendung eines geordneten Paares aufgerufen werden ((x, y) zum z=x+jy{ displaystyle z = x + jy}  und das Mapping machen((u,v)=((x,y)((111– –1)=((x,y)S..{ displaystyle (u, v) = (x, y) { begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1  end {pmatrix}} = (x, y) S.}Nun ist die quadratische Form uv=((x+y)((x– –y)=x2– –y2.{ displaystyle uv = (x + y) (xy) = x ^ {2} -y ^ {2}.}  Au\u00dferdem,((cosh\u2061ein,sinh\u2061ein)((111– –1)=((eein,e– –ein){ displaystyle ( cosh a,  sinh a) { begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1  end {pmatrix}} =  left (e ^ {a}, e ^ {- a}  right)}so werden die beiden parametrisierten Hyperbeln in \u00dcbereinstimmung gebracht mit S..Die Wirkung des hyperbolischen Versors ebj{ displaystyle e ^ {bj} !}  entspricht dann unter dieser linearen Transformation einem Squeeze-Mapping\u03c3::((u,v)\u21a6((ru,vr),r=eb.{ displaystyle  sigma: (u, v)  mapsto  left (ru, { frac {v} {r}}  right),  quad r = e ^ {b}.}Es ist zu beachten, dass es im Zusammenhang mit 2 \u00d7 2 reellen Matrizen tats\u00e4chlich eine gro\u00dfe Anzahl unterschiedlicher Darstellungen von Zahlen mit geteiltem Komplex gibt.  Die obige diagonale Darstellung repr\u00e4sentiert die jordanische kanonische Form der Matrixdarstellung der Split-Komplex-Zahlen.  F\u00fcr eine Split-Complex-Nummer z = (x, y) gegeben durch die folgende Matrixdarstellung:Z.=((xyyx){ displaystyle Z = { begin {pmatrix} x & y \\ y & x  end {pmatrix}}}seine jordanische kanonische Form ist gegeben durch:J.z=((x+y00x– –y),{ displaystyle J_ {z} = { begin {pmatrix} x + y & 0 \\ 0 & x-y  end {pmatrix}},}wo Z.=S.J.zS.– –1 ,{ displaystyle Z = SJ_ {z} S ^ {- 1} ,}  undS.=((1– –111).{ displaystyle S = { begin {pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1  end {pmatrix}}.}Geschichte[edit]Die Verwendung von Split-Complex-Zahlen geht auf das Jahr 1848 zur\u00fcck, als James Cockle seine Tessarinen enth\u00fcllte.[1]William Kingdon Clifford verwendete Split-Complex-Zahlen, um die Summe der Spins darzustellen.  Clifford f\u00fchrte die Verwendung von Split-Komplex-Zahlen als Koeffizienten in einer Quaternionsalgebra ein, die jetzt Split-Biquaternionen genannt wird.  Er nannte seine Elemente “Motoren”, ein Begriff parallel zur “Rotor” -Aktion einer gew\u00f6hnlichen komplexen Zahl aus der Kreisgruppe.  In Erweiterung der Analogie stehen Funktionen einer Motorvariablen im Gegensatz zu Funktionen einer gew\u00f6hnlichen komplexen Variablen.Seit dem sp\u00e4ten 20. Jahrhundert wird die Split-Komplex-Multiplikation allgemein als Lorentz-Boost einer Raumzeitebene angesehen.[2][3][4][5][6][7]  In diesem Modell die Nummer z = x + y\u2009j  stellt ein Ereignis in einer r\u00e4umlich-zeitlichen Ebene dar, wobei x wird in Nanosekunden und gemessen y in Minins F\u00fc\u00dfen.  Die Zukunft entspricht dem Quadranten der Ereignisse {z : |y| x}, welches die gespaltene komplexe polare Zersetzung hat z=\u03c1eeinj{ displaystyle z =  rho e ^ {aj} !}.  Das Modell sagt das z kann vom Ursprung aus durch Eingabe eines Referenzrahmens der Schnelligkeit erreicht werden ein und warten \u03c1 Nanosekunden.  Die Split-Komplex-Gleichungeeinj ebj=e((ein+b)j{ displaystyle e ^ {aj}  e ^ {bj} = e ^ {(a + b) j}}Das Ausdr\u00fccken von Produkten auf der Einheitshyperbola veranschaulicht die Additivit\u00e4t von Geschwindigkeiten f\u00fcr kollineare Geschwindigkeiten.  Die Gleichzeitigkeit von Ereignissen h\u00e4ngt von der Schnelligkeit ab ein;;{z=\u03c3jeeinj::\u03c3\u2208R.}}{ displaystyle  lbrace z =  sigma je ^ {aj}:  sigma  in  mathbb {R}  rbrace}ist die Linie von Ereignissen, die gleichzeitig mit dem Ursprung im Referenzrahmen schnell sind ein.Zwei Ereignisse z und w sind hyperbolisch-orthogonal, wenn z\u2217w + zw\u2217 = 0.  Kanonische Ereignisse exp (aj) und j exp (aj) sind hyperbolisch orthogonal und liegen auf den Achsen eines Referenzrahmens, in dem die Ereignisse gleichzeitig mit dem Ursprung proportional zu sind j exp (aj).1933 verwendete Max Zorn die Split-Oktonionen und bemerkte die Eigenschaft der Kompositionsalgebra.  Er erkannte, dass die Cayley-Dickson-Konstruktion, die zur Erzeugung von Teilungsalgebren verwendet wurde, modifiziert werden konnte (mit einem Faktor Gamma (\u03b3)), \u200b\u200bum andere Zusammensetzungsalgebren einschlie\u00dflich der Split-Oktonionen zu konstruieren.  Seine Innovation wurde von Adrian Albert, Richard D. Schafer und anderen verewigt.[8]  Der Gammafaktor mit \u211d als Basisfeld bildet Split-Komplex-Zahlen als Kompositionsalgebra.  NH McCoy rezensierte Albert f\u00fcr mathematische Rezensionen und schrieb, dass es eine “Einf\u00fchrung einiger neuer Algebren der Ordnung 2” gabe \u00dcber F. Verallgemeinerung der Cayley-Dickson-Algebren. “[9]  Nehmen F. = \u211d und e = 1 entspricht der Algebra dieses Artikels.1935 entwickelten JC Vignaux und A. Dura\u00f1ona y Vedia in vier Artikeln die geometrische Algebra und Funktionstheorie mit geteiltem Komplex Beitrag a las Ciencias F\u00edsicas y Matem\u00e1ticas, Nationale Universit\u00e4t von La Plata, Rep\u00fablica Argentina (auf Spanisch).  Diese expositorischen und p\u00e4dagogischen Aufs\u00e4tze pr\u00e4sentierten das Thema f\u00fcr eine breite Anerkennung.[10]1941 verwendete EF Allen die geteilte komplexe geometrische Arithmetik, um die Neun-Punkte-Hyperbel eines eingeschriebenen Dreiecks zu bestimmen zz\u2217 = 1.[11]1956 ver\u00f6ffentlichte Mieczyslaw Warmus “Calculus of Approximations” in Bulletin de l’Acad\u00e9mie Polonaise des Sciences (siehe Link in Referenzen).  Er entwickelte zwei algebraische Systeme, von denen jedes “ungef\u00e4hre Zahlen” nannte, von denen das zweite eine echte Algebra bildet.[12]DH Lehmer \u00fcberpr\u00fcfte den Artikel in Mathematical Reviews und stellte fest, dass dieses zweite System isomorph zu den Zahlen des “hyperbolischen Komplexes” war, die Gegenstand dieses Artikels sind.1961 setzte Warmus seine Darstellung fort und bezog sich auf die Komponenten einer ungef\u00e4hren Zahl als Mittelpunkt und Radius des angegebenen Intervalls.Synonyme[edit]Verschiedene Autoren haben eine Vielzahl von Namen f\u00fcr die Split-Complex-Zahlen verwendet.  Einige davon sind:((echt) TessarinenJames Cockle (1848)((algebraisch) Motoren, WK Clifford (1882)hyperbolische komplexe ZahlenJC Vignaux (1935)bireal ZahlenU. Bencivenga (1946)ungef\u00e4hre ZahlenWarmus (1956) zur Verwendung in der IntervallanalyseGegenkomplex oder hyperbolisch Zahlen aus museanischen Hypernummerndoppelte ZahlenIM Yaglom (1968), Kantor und Solodovnikov (1989), Hazewinkel (1990), Rooney (2014)anormal-komplexe ZahlenW. Benz (1973)ratlose Zahlen, P. Fjelstad (1986) und Poodiack & LeClair (2009)Lorentz-ZahlenFR Harvey (1990)hyperbolische ZahlenG. Sobczyk (1995)parakomplexe Zahlen, Cruceanu, Fortuny & Gadea (1996)halbkomplexe ZahlenF. Antonuccio (1994)geteilte binarionsK. McCrimmon (2004)Split-komplexe ZahlenB. Rosenfeld (1997)[13]RaumzeitzahlenN. Borota (2000)StudiennummernP. Lounesto (2001)zwei komplexe ZahlenS. Olariu (2002)Split-komplexe Zahlen und ihre h\u00f6herdimensionalen Verwandten (Split-Quaternionen \/ Coquaternionen und Split-Oktonionen) wurden zeitweise als “Musean-Zahlen” bezeichnet, da sie eine Teilmenge des von Charles Mus\u00e8s entwickelten Hypernumber-Programms sind.Siehe auch[edit]Verweise[edit]^ James Cockle (1849) Auf einem neuen Imagin\u00e4r in der Algebra 34: 37\u201347, Philosophisches Magazin London-Edinburgh-Dublin (3) 33: 435\u20139, Link von der Biodiversity Heritage Library.^ Francesco Antonuccio (1994) Halbkomplexe Analyse und mathematische Physik^ F. Catoni, D. Boccaletti, R. Cannata, V. Catoni, E. Nichelatti, P. Zampetti.  (2008) Die Mathematik der Minkowski-Raumzeit, Birkh\u00e4user Verlag, Basel.  Kapitel 4: Trigonometrie in der Minkowski-Ebene.  ISBN 978-3-7643-8613-9.^ Francesco Catoni;  Dino Boccaletti;  Roberto Cannata;  Vincenzo Catoni;  Paolo Zampetti (2011).  “Kapitel 2: Hyperbolische Zahlen”. Geometrie der Minkowski-Raumzeit.  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