[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/12\/24\/lanczos-annaherung-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/12\/24\/lanczos-annaherung-wikipedia\/","headline":"Lanczos Ann\u00e4herung – Wikipedia","name":"Lanczos Ann\u00e4herung – Wikipedia","description":"In der Mathematik ist die Lanczos-Ann\u00e4herung ist eine Methode zur numerischen Berechnung der Gammafunktion, die 1964 von Cornelius Lanczos ver\u00f6ffentlicht","datePublished":"2020-12-24","dateModified":"2020-12-24","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/ee221d7e20cd50ccd551c47c6ca2a9a3a0d861fb","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/ee221d7e20cd50ccd551c47c6ca2a9a3a0d861fb","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/12\/24\/lanczos-annaherung-wikipedia\/","wordCount":5185,"articleBody":"In der Mathematik ist die Lanczos-Ann\u00e4herung ist eine Methode zur numerischen Berechnung der Gammafunktion, die 1964 von Cornelius Lanczos ver\u00f6ffentlicht wurde. Sie ist eine praktische Alternative zur popul\u00e4reren Stirlingschen N\u00e4herung zur Berechnung der Gammafunktion mit fester Genauigkeit.  Table of ContentsEinf\u00fchrung[edit]Koeffizienten[edit]Ableitung[edit]Einfache Implementierung[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Einf\u00fchrung[edit]Die Lanczos-N\u00e4herung besteht aus der Formel  \u0393((z+1)=2\u03c0((z+G+12)z+1\/.2e– –((z+G+1\/.2)EING((z){ displaystyle  Gamma (z + 1) = { sqrt {2  pi}} { left (z + g + { tfrac {1} {2}}  right)} ^ {z + 1\/2} e ^ {- (z + g + 1\/2)} A_ {g} (z)}f\u00fcr die Gammafunktion mitEING((z)=12p0((G)+p1((G)zz+1+p2((G)z((z– –1)((z+1)((z+2)+\u22ef.{ displaystyle A_ {g} (z) = { frac {1} {2}} p_ {0} (g) + p_ {1} (g) { frac {z} {z + 1}} + p_ {2} (g) { frac {z (z-1)} {(z + 1) (z + 2)}} +  cdots.}Hier G ist eine Konstante, die willk\u00fcrlich gew\u00e4hlt werden kann, vorbehaltlich der Einschr\u00e4nkung, dass Re (z)> 1\/.2.[1]  Die Koeffizienten p, die davon abh\u00e4ngen Gsind etwas schwieriger zu berechnen (siehe unten).  Obwohl die hier angegebene Formel nur f\u00fcr Argumente in der rechten komplexen Halbebene gilt, kann sie durch die Reflexionsformel auf die gesamte komplexe Ebene erweitert werden.  \u0393((1– –z)\u0393((z)=\u03c0S\u00fcnde\u2061\u03c0z.{ displaystyle  Gamma (1-z) ;  Gamma (z) = { pi  over  sin  pi z}.}Die Serie EIN ist konvergent und kann abgeschnitten werden, um eine Ann\u00e4herung mit der gew\u00fcnschten Genauigkeit zu erhalten.  Durch Auswahl eines geeigneten G (normalerweise eine kleine Ganzzahl), es werden nur etwa 5 bis 10 Terme der Reihe ben\u00f6tigt, um die Gammafunktion mit typischer Einzel- oder Doppel-Gleitkomma-Genauigkeit zu berechnen.  Wenn ein fester G gew\u00e4hlt wird, k\u00f6nnen die Koeffizienten im Voraus berechnet werden und die Summe wird in die folgende Form umformuliert:EING((z)=c0+\u2211k=1N.ckz+k{ displaystyle A_ {g} (z) = c_ {0} +  sum _ {k = 1} ^ {N} { frac {c_ {k}} {z + k}}}Die Berechnung der Gammafunktion wird somit zu einer Frage der Auswertung nur einer kleinen Anzahl von Elementarfunktionen und der Multiplikation mit gespeicherten Konstanten.  Die Lanczos-N\u00e4herung wurde von popul\u00e4r gemacht Numerische Rezepte, nach welcher Berechnung die Gammafunktion wird “nicht viel schwieriger als andere eingebaute Funktionen, die wir f\u00fcr selbstverst\u00e4ndlich halten, wie zum Beispiel S\u00fcnde x oder ex“.  Die Methode ist auch in der GNU Scientific Library implementiert.Koeffizienten[edit]Die Koeffizienten sind gegeben durchpk((G)=2\u03c0\u2211\u2113=0kC.2k+1,2\u2113+1((\u2113– –12)!((\u2113+G+12)– –((\u2113+1\/.2)e\u2113+G+1\/.2{ displaystyle p_ {k} (g) = { frac { sqrt {2 ,}} { pi}}  sum _ { ell = 0} ^ {k} C_ {2k + 1, , 2  ell +1}  left ( ell – { tfrac {1} {2}}  right)! { left ( ell + g + { tfrac {1} {2}}  right)} ^ {- ( ell +1\/2)} e ^ { ell + g + 1\/2}}wo C.n,m{ displaystyle C_ {n, m}}  repr\u00e4sentiert die (n, m) Das Element der Koeffizientenmatrix f\u00fcr die Chebyshev-Polynome, das rekursiv aus diesen Identit\u00e4ten berechnet werden kann:"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/12\/24\/lanczos-annaherung-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Lanczos Ann\u00e4herung – Wikipedia"}}]}]