[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/12\/26\/elliptischer-filter-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/12\/26\/elliptischer-filter-wikipedia\/","headline":"Elliptischer Filter – Wikipedia","name":"Elliptischer Filter – Wikipedia","description":"Ein elliptischer Filter (auch bekannt als Cauer Filter, benannt nach Wilhelm Cauer oder als Zolotarev Filter, nach Jegor Zolotarev) ist","datePublished":"2020-12-26","dateModified":"2020-12-26","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d6f723b28ab7df925548d93e23da18b42af2459e","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d6f723b28ab7df925548d93e23da18b42af2459e","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/12\/26\/elliptischer-filter-wikipedia\/","wordCount":7751,"articleBody":"Ein elliptischer Filter (auch bekannt als Cauer Filter, benannt nach Wilhelm Cauer oder als Zolotarev Filter, nach Jegor Zolotarev) ist ein Signalverarbeitungsfilter mit ausgeglichenem Welligkeitsverhalten (Equiripple) sowohl im Durchlassbereich als auch im Sperrbereich.  Das Ausma\u00df der Welligkeit in jedem Band ist unabh\u00e4ngig einstellbar, und kein anderes Filter gleicher Ordnung kann f\u00fcr die gegebenen Werte der Welligkeit (unabh\u00e4ngig davon, ob die Welligkeit ausgeglichen ist oder nicht) einen schnelleren \u00dcbergang der Verst\u00e4rkung zwischen dem Durchlassband und dem Sperrband aufweisen.[citation needed]  Alternativ kann man die M\u00f6glichkeit aufgeben, die Durchlassband- und Sperrbandwelligkeit unabh\u00e4ngig voneinander einzustellen, und stattdessen einen Filter entwerfen, der gegen\u00fcber Komponentenschwankungen maximal unempfindlich ist.  Wenn sich die Welligkeit im Stoppband Null n\u00e4hert, wird der Filter zu einem Chebyshev-Filter vom Typ I.  Wenn sich die Welligkeit im Durchlassbereich Null n\u00e4hert, wird das Filter zu einem Chebyshev-Filter vom Typ II, und schlie\u00dflich wird das Filter zu einem Butterworth-Filter, wenn sich beide Welligkeitswerte Null n\u00e4hern.Die Verst\u00e4rkung eines elliptischen Tiefpassfilters als Funktion der Winkelfrequenz \u03c9 ist gegeben durch:  Gn((\u03c9)=11+\u03f52R.n2((\u03be,\u03c9\/.\u03c90){ displaystyle G_ {n} ( omega) = {1  over { sqrt {1+  epsilon ^ {2} R_ {n} ^ {2} ( xi,  omega \/  omega _ {0}) }}}}wo R.n ist der nelliptische rationale Funktion th-Ordnung (manchmal als Chebyshev-rationale Funktion bekannt) und\u03c90{ displaystyle  omega _ {0}}    ist die Grenzfrequenz\u03f5{ displaystyle  epsilon}  ist der Welligkeitsfaktor  \u03be{ displaystyle  xi}  ist der Selektivit\u00e4tsfaktorDer Wert des Welligkeitsfaktors gibt die Durchlassbandwelligkeit an, w\u00e4hrend die Kombination des Welligkeitsfaktors und des Selektivit\u00e4tsfaktors die Stoppbandwelligkeit angibt.Table of ContentsEigenschaften[edit]Pole und Nullen[edit]Elliptische Filter mit minimalem Q-Faktor[edit]Vergleich mit anderen linearen Filtern[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Eigenschaften[edit]  Der Frequenzgang eines elliptischen Tiefpassfilters vierter Ordnung mit \u03b5 = 0,5 und \u03be = 1,05.  Ebenfalls gezeigt sind die minimale Verst\u00e4rkung im Durchlassbereich und die maximale Verst\u00e4rkung im Sperrbereich sowie der \u00dcbergangsbereich zwischen der normalisierten Frequenz 1 und \u03be  Eine Nahaufnahme des \u00dcbergangsbereichs des obigen Diagramms.Im Durchlassbereich variiert die elliptische rationale Funktion zwischen Null und Eins.  Die Verst\u00e4rkung des Durchlassbereichs variiert daher zwischen 1 und 1\/.1+\u03f52{ displaystyle 1 \/ { sqrt {1+  epsilon ^ {2}}}}.Im Stoppband variiert die elliptische rationale Funktion zwischen unendlich und dem Unterscheidungsfaktor L.n{ displaystyle L_ {n}}  welches definiert ist als:L.n=R.n((\u03be,\u03be){ displaystyle L_ {n} = R_ {n} ( xi,  xi) ,}Die Verst\u00e4rkung des Stoppbands variiert daher zwischen 0 und 1\/.1+\u03f52L.n2{ displaystyle 1 \/ { sqrt {1+  epsilon ^ {2} L_ {n} ^ {2}}}.G((\u03c9)=11+1\u03b12T.n2((1\/.\u03c9){ displaystyle G ( omega) = { frac {1} { sqrt {1 + { frac {1} { alpha ^ {2} T_ {n} ^ {2} (1 \/  omega)}} }}}}Pole und Nullen[edit]  Logarithmus des Absolutwerts der Verst\u00e4rkung eines elliptischen Filters 8. Ordnung im komplexen Frequenzraum {{{1}}} mit {{{1}}} {{{1}}} und {{{1}}} Die wei\u00dfen Punkte sind Pole und die schwarzen Punkte sind Nullen.  Es gibt insgesamt 16 Pole und 8 doppelte Nullen.  Was in der N\u00e4he des \u00dcbergangsbereichs als Einzelpol und Null erscheint, sind tats\u00e4chlich vier Pole und zwei Doppel-Nullen, wie in der erweiterten Ansicht unten gezeigt.  In diesem Bild entspricht Schwarz einer Verst\u00e4rkung von 0,0001 oder weniger und Wei\u00df einer Verst\u00e4rkung von 10 oder mehr.  Eine erweiterte Ansicht im \u00dcbergangsbereich des obigen Bildes, in der die vier Pole und zwei Doppel-Nullen aufgel\u00f6st werden.Die Nullen der Verst\u00e4rkung eines elliptischen Filters stimmen mit den Polen der elliptischen rationalen Funktion \u00fcberein, die im Artikel \u00fcber elliptische rationale Funktionen abgeleitet werden.Die Pole der Verst\u00e4rkung eines elliptischen Filters k\u00f6nnen auf eine Weise abgeleitet werden, die der Ableitung der Pole der Verst\u00e4rkung eines Chebyshev-Filters vom Typ I sehr \u00e4hnlich ist.  Nehmen Sie der Einfachheit halber an, dass die Grenzfrequenz gleich Eins ist.  Die Pole ((\u03c9pm){ displaystyle ( omega _ {pm})}  der Verst\u00e4rkung des elliptischen Filters sind die Nullen des Nenners der Verst\u00e4rkung.  Verwendung der komplexen Frequenz s=\u03c3+j\u03c9{ displaystyle s =  sigma + j  omega}  Dies bedeutet, dass:1+\u03f52R.n2((– –js,\u03be)=0{ displaystyle 1+  epsilon ^ {2} R_ {n} ^ {2} (- js,  xi) = 0 ,}Definieren – –js=cd((w,1\/.\u03be){ displaystyle -js =  mathrm {cd} (w, 1 \/  xi)}  Dabei ist cd () die elliptische Jacobi-Kosinusfunktion und die Verwendung der Definition der elliptischen rationalen Funktionen ergibt:1+\u03f52cd2((nwK.nK.,1L.n)=0{ displaystyle 1+  epsilon ^ {2}  mathrm {cd} ^ {2}  left ({ frac {nwK_ {n}} {K}}, { frac {1} {L_ {n}}}  right) = 0 ,}wo K.=K.((1\/.\u03be){ displaystyle K = K (1 \/  xi)}  und K.n=K.((1\/.L.n){ displaystyle K_ {n} = K (1 \/ L_ {n})}.  Aufl\u00f6sen nach ww=K.nK.ncd– –1((\u00b1j\u03f5,1L.n)+mK.n{ displaystyle w = { frac {K} {nK_ {n}}}  mathrm {cd} ^ {- 1}  left ({ frac { pm j} { epsilon}}, { frac {1 } {L_ {n}}}  right) + { frac {mK} {n}}}Dabei werden die Mehrfachwerte der inversen Funktion cd () mithilfe des Integer-Index explizit angegeben m.Die Pole der elliptischen Verst\u00e4rkungsfunktion sind dann:spm=ichcd((w,1\/.\u03be){ displaystyle s_ {pm} = i ,  mathrm {cd} (w, 1 \/  xi) ,}Wie bei den Chebyshev-Polynomen kann dies in explizit komplexer Form ausgedr\u00fcckt werden (Lutovac & et al. 2001, \u00a7 12.8). Harv-Fehler: kein Ziel: CITEREFLutovacet_al.2001 (Hilfe)spm=ein+jbc{ displaystyle s_ {pm} = { frac {a + jb} {c}}}ein=– –\u03b6n1– –\u03b6n21– –xm21– –xm2\/.\u03be2{ displaystyle a = –  zeta _ {n} { sqrt {1-  zeta _ {n} ^ {2}}} { sqrt {1-x_ {m} ^ {2}}} { sqrt { 1-x_ {m} ^ {2} \/  xi ^ {2}}}b=xm1– –\u03b6n2((1– –1\/.\u03be2){ displaystyle b = x_ {m} { sqrt {1-  zeta _ {n} ^ {2} (1-1 \/  xi ^ {2})}}}c=1– –\u03b6n2+xich2\u03b6n2\/.\u03be2{ displaystyle c = 1-  zeta _ {n} ^ {2} + x_ {i} ^ {2}  zeta _ {n} ^ {2} \/  xi ^ {2}}wo \u03b6n{ displaystyle  zeta _ {n}}  ist eine Funktion von n,\u03f5{ displaystyle n, ,  epsilon}  und \u03be{ displaystyle  xi}  und xm{ displaystyle x_ {m}}  sind die Nullen der elliptischen rationalen Funktion. \u03b6n{ displaystyle  zeta _ {n}}  ist f\u00fcr alle ausdr\u00fcckbar n in Bezug auf elliptische Jacobi-Funktionen oder algebraisch f\u00fcr einige Ordnungen, insbesondere die Ordnungen 1, 2 und 3. F\u00fcr die Ordnungen 1 und 2 haben wir\u03b61=11+\u03f52{ displaystyle  zeta _ {1} = { frac {1} { sqrt {1+  epsilon ^ {2}}}}\u03b62=2((1+t)1+\u03f52+((1– –t)2+\u03f52((1+t)2{ displaystyle  zeta _ {2} = { frac {2} {(1 + t) { sqrt {1+  epsilon ^ {2}}} + { sqrt {(1-t) ^ {2} +  epsilon ^ {2} (1 + t) ^ {2}}}}}wot=1– –1\/.\u03be2{ displaystyle t = { sqrt {1-1 \/  xi ^ {2}}}}Der algebraische Ausdruck f\u00fcr \u03b63{ displaystyle  zeta _ {3}}  ist eher beteiligt (siehe Lutovac & et al. (2001, \u00a7 12.8.1) Harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFLutovacet_al.2001 (Hilfe)).Die Verschachtelungseigenschaft der elliptischen rationalen Funktionen kann verwendet werden, um Ausdr\u00fccke h\u00f6herer Ordnung f\u00fcr aufzubauen \u03b6n{ displaystyle  zeta _ {n}}::\u03b6m\u22c5n((\u03be,\u03f5)=\u03b6m((\u03be,1\u03b6n2((L.m,\u03f5)– –1){ displaystyle  zeta _ {m  cdot n} ( xi,  epsilon) =  zeta _ {m}  left ( xi, { sqrt {{ frac {1} { zeta _ {n} ^ {2} (L_ {m},  epsilon)}} – 1}}  right)}wo L.m=R.m((\u03be,\u03be){ displaystyle L_ {m} = R_ {m} ( xi,  xi)}.Elliptische Filter mit minimalem Q-Faktor[edit]  Die normalisierten Q-Faktoren der Pole eines elliptischen Filters 8. Ordnung mit \u03be = 1,1 als Funktion des Welligkeitsfaktors \u03b5.  Jede Kurve repr\u00e4sentiert vier Pole, da komplexe konjugierte Polpaare und positiv-negative Polpaare den gleichen Q-Faktor haben.  (Die blauen und cyanfarbenen Kurven stimmen fast \u00fcberein).  Der Q-Faktor aller Pole wird gleichzeitig bei minimiert \u03b5Qmin = 1 \/ \u221aL.n = 0,02323 …Siehe Lutovac & et al.  (2001, \u00a7 12.11, 13.14) Harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFLutovacet_al.2001 (Hilfe).Elliptische Filter werden im Allgemeinen spezifiziert, indem ein bestimmter Wert f\u00fcr die Durchlassbandwelligkeit, die Stoppbandwelligkeit und die Sch\u00e4rfe des Grenzwerts erforderlich ist.  Dies gibt im Allgemeinen einen Mindestwert der Filterreihenfolge an, der verwendet werden muss.  Eine weitere konstruktive \u00dcberlegung ist die Empfindlichkeit der Verst\u00e4rkungsfunktion gegen\u00fcber den Werten der elektronischen Komponenten, die zum Aufbau des Filters verwendet werden.  Diese Empfindlichkeit ist umgekehrt proportional zum Qualit\u00e4tsfaktor (Q-Faktor) der Pole der \u00dcbertragungsfunktion des Filters.  Der Q-Faktor eines Pols ist definiert als:Q.=– –|spm|2R.e((spm)=– –12cos\u2061((arg\u2061((spm)){ displaystyle Q = – { frac {| s_ {pm} |} {2  mathrm {Re} (s_ {pm})}} = – { frac {1} {2  cos ( arg (s_ { pm}))}}}und ist ein Ma\u00df f\u00fcr den Einfluss des Pols auf die Verst\u00e4rkungsfunktion.  Bei einem elliptischen Filter besteht f\u00fcr eine bestimmte Reihenfolge eine Beziehung zwischen dem Welligkeitsfaktor und dem Selektivit\u00e4tsfaktor, die gleichzeitig den Q-Faktor aller Pole in der \u00dcbertragungsfunktion minimiert:\u03f5Q.michn=1L.n((\u03be){ displaystyle  epsilon _ {Qmin} = { frac {1} { sqrt {L_ {n} ( xi)}}}Dies f\u00fchrt zu einem Filter, der maximal unempfindlich gegen\u00fcber Komponentenschwankungen ist, aber die F\u00e4higkeit, das Durchlassband und die Stoppbandwelligkeiten unabh\u00e4ngig voneinander anzugeben, geht verloren.  Bei solchen Filtern nimmt mit zunehmender Reihenfolge die Welligkeit in beiden B\u00e4ndern ab und die Abschaltrate nimmt zu.  Wenn man sich entscheidet, ein elliptisches Filter mit minimalem Q zu verwenden, um eine bestimmte minimale Welligkeit in den Filterb\u00e4ndern zusammen mit einer bestimmten Grenzrate zu erreichen, ist die erforderliche Reihenfolge im Allgemeinen gr\u00f6\u00dfer als die Reihenfolge, die man sonst ohne das minimale Q ben\u00f6tigen w\u00fcrde Beschr\u00e4nkung.  Ein Bild mit dem absoluten Wert der Verst\u00e4rkung sieht dem Bild im vorherigen Abschnitt sehr \u00e4hnlich, au\u00dfer dass die Pole eher in einem Kreis als in einer Ellipse angeordnet sind.  Sie sind nicht gleichm\u00e4\u00dfig verteilt und es gibt Nullen auf der \u03c9-Achse, im Gegensatz zum Butterworth-Filter, dessen Pole in einem gleichm\u00e4\u00dfig verteilten Kreis ohne Nullen angeordnet sind.Vergleich mit anderen linearen Filtern[edit]Hier ist ein Bild, das den elliptischen Filter neben anderen g\u00e4ngigen Filtertypen zeigt, die mit der gleichen Anzahl von Koeffizienten erhalten wurden:Wie aus dem Bild hervorgeht, sind elliptische Filter sch\u00e4rfer als alle anderen, zeigen jedoch Wellen auf der gesamten Bandbreite.Siehe auch[edit]“EllipticFilterModel”. Wolfram Sprach- und Dokumentationszentrum.  Wolfram, Inc..  Abgerufen 2016-11-05.  Berechnung elliptischer Filterparameter mit Mathematica.Verweise[edit]Daniels, Richard W. (1974). Approximationsmethoden f\u00fcr das elektronische Filterdesign.  New York: McGraw-Hill.  ISBN 0-07-015308-6.Lutovac, Miroslav D.;  Tosic, Dejan V.;  Evans, Brian L. (2001). Filterdesign f\u00fcr die Signalverarbeitung mit MATLAB und Mathematica.  New Jersey, USA: Prentice Hall.  ISBN 0-201-36130-2."},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/12\/26\/elliptischer-filter-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Elliptischer Filter – Wikipedia"}}]}]