[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/12\/27\/projektive-geometrie-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/12\/27\/projektive-geometrie-wikipedia\/","headline":"Projektive Geometrie – Wikipedia","name":"Projektive Geometrie – Wikipedia","description":"Art der Geometrie In Mathematik, projektive Geometrie ist die Untersuchung geometrischer Eigenschaften, die in Bezug auf projektive Transformationen unver\u00e4nderlich sind.","datePublished":"2020-12-27","dateModified":"2020-12-27","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/9\/96\/Theoreme_fondamental_geometrie_projective.PNG","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/9\/96\/Theoreme_fondamental_geometrie_projective.PNG","height":"265","width":"300"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/12\/27\/projektive-geometrie-wikipedia\/","wordCount":9532,"articleBody":"Art der Geometrie  In Mathematik, projektive Geometrie ist die Untersuchung geometrischer Eigenschaften, die in Bezug auf projektive Transformationen unver\u00e4nderlich sind.  Dies bedeutet, dass die projektive Geometrie im Vergleich zur elementaren euklidischen Geometrie eine andere Einstellung, einen anderen projektiven Raum und eine selektive Menge grundlegender geometrischer Konzepte aufweist.  Die grundlegende Intuition ist, dass der projektive Raum f\u00fcr eine bestimmte Dimension mehr Punkte als der euklidische Raum hat und dass geometrische Transformationen zul\u00e4ssig sind, die die zus\u00e4tzlichen Punkte (als “Punkte im Unendlichen” bezeichnet) in euklidische Punkte umwandeln und umgekehrt.Eigenschaften, die f\u00fcr die projektive Geometrie von Bedeutung sind, werden von dieser neuen Transformationsidee respektiert, deren Auswirkungen radikaler sind, als sie durch eine Transformationsmatrix und Translationen (die affinen Transformationen) ausgedr\u00fcckt werden k\u00f6nnen.  Die erste Frage f\u00fcr Geometer ist, welche Art von Geometrie f\u00fcr eine neuartige Situation geeignet ist.  Es ist nicht m\u00f6glich, sich auf Winkel in der projektiven Geometrie zu beziehen, wie dies in der euklidischen Geometrie der Fall ist, da der Winkel ein Beispiel f\u00fcr ein Konzept ist, das in Bezug auf projektive Transformationen nicht unver\u00e4nderlich ist, wie dies beim perspektivischen Zeichnen zu sehen ist.  Eine Quelle f\u00fcr projektive Geometrie war in der Tat die Perspektiventheorie.  Ein weiterer Unterschied zur elementaren Geometrie besteht darin, wie sich parallele Linien an einem Punkt im Unendlichen treffen, sobald das Konzept in die Begriffe der projektiven Geometrie \u00fcbersetzt wurde.  Auch dieser Begriff hat eine intuitive Grundlage, wie beispielsweise Eisenbahnschienen, die sich in einer perspektivischen Zeichnung am Horizont treffen.  In der Projektionsebene finden Sie die Grundlagen der projektiven Geometrie in zwei Dimensionen.W\u00e4hrend die Ideen fr\u00fcher verf\u00fcgbar waren, war die projektive Geometrie haupts\u00e4chlich eine Entwicklung des 19. Jahrhunderts.  Dies beinhaltete die Theorie des komplexen projektiven Raums, wobei die verwendeten Koordinaten (homogene Koordinaten) komplexe Zahlen sind.  Mehrere Haupttypen der abstrakteren Mathematik (einschlie\u00dflich der Invarianten-Theorie, der italienischen Schule f\u00fcr algebraische Geometrie und des Erlangen-Programms von Felix Klein, das zur Untersuchung der klassischen Gruppen f\u00fchrte) basierten auf projektiver Geometrie.  Es war auch ein Thema mit vielen Praktizierenden um seiner selbst willen, als synthetische Geometrie.  Ein weiteres Thema, das sich aus axiomatischen Untersuchungen der projektiven Geometrie entwickelt hat, ist die endliche Geometrie.  Das Thema der projektiven Geometrie ist nun selbst in viele Forschungsunterthemen unterteilt, von denen zwei Beispiele die projektive algebraische Geometrie (das Studium projektiver Variet\u00e4ten) und die projektive Differentialgeometrie (das Studium der Differentialinvarianten der projektiven Transformationen) sind.Table of Contents\u00dcberblick[edit]Geschichte[edit]Beschreibung[edit]Dualit\u00e4t[edit]Axiome der projektiven Geometrie[edit]Whiteheads Axiome[edit]Zus\u00e4tzliche Axiome[edit]Axiome unter Verwendung einer tern\u00e4ren Beziehung[edit]Axiome f\u00fcr projektive Ebenen[edit]Perspektive und Projektivit\u00e4t[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]\u00dcberblick[edit]  Die grundlegende Theorie der projektiven GeometrieProjektive Geometrie ist eine elementare nichtmetrische Form der Geometrie, was bedeutet, dass sie nicht auf einem Konzept der Distanz basiert.  In zwei Dimensionen beginnt es mit der Untersuchung von Konfigurationen von Punkten und Linien.  Dass es tats\u00e4chlich ein gewisses geometrisches Interesse an dieser sp\u00e4rlichen Umgebung gibt, wurde zuerst von Desargues und anderen bei der Erforschung der Prinzipien der perspektivischen Kunst festgestellt.[1]  In h\u00f6herdimensionalen R\u00e4umen werden Hyperebenen (die sich immer treffen) und andere lineare Teilr\u00e4ume betrachtet, die das Prinzip der Dualit\u00e4t aufweisen.  Die einfachste Darstellung der Dualit\u00e4t findet sich in der Projektionsebene, wo die Aussagen “zwei unterschiedliche Punkte bestimmen eine eindeutige Linie” (dh die Linie durch sie) und “zwei unterschiedliche Linien bestimmen einen eindeutigen Punkt” (dh ihr Schnittpunkt) dasselbe zeigen Struktur als S\u00e4tze.  Projektive Geometrie kann auch als Geometrie von Konstruktionen mit einer geraden Kante allein angesehen werden.[2]    Da die projektive Geometrie Kompasskonstruktionen ausschlie\u00dft, gibt es keine Kreise, keine Winkel, keine Messungen, keine Parallelen und kein Konzept von Vermittlung.[3]  Es wurde erkannt, dass die S\u00e4tze, die f\u00fcr die projektive Geometrie gelten, einfachere Aussagen sind.  Zum Beispiel sind die verschiedenen Kegelschnitte in (komplexer) projektiver Geometrie alle \u00e4quivalent, und einige S\u00e4tze \u00fcber Kreise k\u00f6nnen als Sonderf\u00e4lle dieser allgemeinen S\u00e4tze betrachtet werden.  W\u00e4hrend des fr\u00fchen 19. Jahrhunderts etablierten die Arbeiten von Jean-Victor Poncelet, Lazare Carnot und anderen die projektive Geometrie als eigenst\u00e4ndiges Gebiet der Mathematik.[3]    Seine strengen Grundlagen wurden von Karl von Staudt angesprochen und im sp\u00e4ten 19. Jahrhundert von den Italienern Giuseppe Peano, Mario Pieri, Alessandro Padoa und Gino Fano perfektioniert.[4]  Projektive Geometrie kann ebenso wie affine und euklidische Geometrie aus dem Erlangen-Programm von Felix Klein entwickelt werden.  Die projektive Geometrie ist durch Invarianten unter Transformationen der projektiven Gruppe gekennzeichnet.Nach viel Arbeit an der sehr gro\u00dfen Anzahl von Theoremen im Fach wurden daher die Grundlagen der projektiven Geometrie verstanden.  Die Inzidenzstruktur und das Kreuzverh\u00e4ltnis sind grundlegende Invarianten bei projektiven Transformationen.  Die projektive Geometrie kann durch die affine Ebene (oder den affinen Raum) plus eine Linie (Hyperebene) “im Unendlichen” modelliert werden und diese Linie (oder Hyperebene) dann als “gew\u00f6hnlich” behandelt werden.[5]    Ein algebraisches Modell f\u00fcr die projektive Geometrie im Stil der analytischen Geometrie wird durch homogene Koordinaten angegeben.[6][7]  Andererseits haben axiomatische Studien die Existenz nicht-desarguesianischer Ebenen gezeigt, Beispiele, die zeigen, dass die Axiome der Inzidenz (nur in zwei Dimensionen) durch Strukturen modelliert werden k\u00f6nnen, die nicht durch homogene Koordinatensysteme argumentiert werden k\u00f6nnen.  Wachstumsma\u00df und die polaren Wirbel.  Basierend auf der Arbeit von Lawrence EdwardsIm projektiven Sinne sind projektive Geometrie und geordnete Geometrie elementar, da sie ein Minimum an Axiomen beinhalten und entweder als Grundlage f\u00fcr affine und euklidische Geometrie verwendet werden k\u00f6nnen.[8][9]    Projektive Geometrie ist nicht “geordnet”[3]  und so ist es eine eindeutige Grundlage f\u00fcr die Geometrie.Geschichte[edit]Die ersten geometrischen Eigenschaften projektiver Natur wurden im 3. Jahrhundert von Pappus von Alexandria entdeckt.[3]Filippo Brunelleschi (1404\u20131472) begann 1425 mit der Untersuchung der perspektivischen Geometrie[10]  (In der Geschichte der Perspektive finden Sie eine eingehendere Diskussion der Arbeiten in der bildenden Kunst, die einen Gro\u00dfteil der Entwicklung der projektiven Geometrie motiviert haben.)  Johannes Kepler (1571\u20131630) und G\u00e9rard Desargues (1591\u20131661) entwickelten unabh\u00e4ngig voneinander das Konzept des “Punktes im Unendlichen”.[11]    Desargues entwickelte eine alternative Methode zur Erstellung perspektivischer Zeichnungen, indem er die Verwendung von Fluchtpunkten verallgemeinerte, um den Fall einzuschlie\u00dfen, in dem diese unendlich weit entfernt sind.  Er machte die euklidische Geometrie, in der parallele Linien wirklich parallel sind, zu einem Sonderfall eines allumfassenden geometrischen Systems.  Desargues ‘Studie \u00fcber Kegelschnitte lenkte die Aufmerksamkeit des 16-j\u00e4hrigen Blaise Pascal auf sich und half ihm, Pascals Theorem zu formulieren.  Die Arbeiten von Gaspard Monge am Ende des 18. und Anfang des 19. Jahrhunderts waren wichtig f\u00fcr die sp\u00e4tere Entwicklung der projektiven Geometrie.  Die Arbeit von Desargues wurde ignoriert, bis Michel Chasles 1845 auf eine handschriftliche Kopie stie\u00df. In der Zwischenzeit hatte Jean-Victor Poncelet 1822 die grundlegende Abhandlung \u00fcber projektive Geometrie ver\u00f6ffentlicht. Poncelet untersuchte die projektiven Eigenschaften von Objekten (die unter zentraler Projektion unver\u00e4nderlich sind) und Indem er seine Theorie auf den Betonpol und die polare Beziehung in Bezug auf einen Kreis st\u00fctzte, stellte er eine Beziehung zwischen metrischen und projektiven Eigenschaften her.  Es wurde schlie\u00dflich gezeigt, dass die bald darauf entdeckten nichteuklidischen Geometrien Modelle wie das Klein-Modell des hyperbolischen Raums aufweisen, die sich auf die projektive Geometrie beziehen.1855 schrieb AF M\u00f6bius einen Artikel \u00fcber Permutationen, heute M\u00f6bius-Transformationen genannt, von verallgemeinerten Kreisen in der komplexen Ebene.  Diese Transformationen repr\u00e4sentieren Projektivit\u00e4ten der komplexen Projektionslinie.  Bei der Untersuchung von Linien im Raum verwendete Julius Pl\u00fccker in seiner Beschreibung homogene Koordinaten, und der Satz von Linien wurde auf der Klein-Quadrik betrachtet, einem der fr\u00fchen Beitr\u00e4ge der projektiven Geometrie zu einem neuen Feld namens algebraische Geometrie, einem Ableger der analytischen Geometrie mit projektiven Ideen.Die projektive Geometrie war ma\u00dfgeblich an der Validierung von Spekulationen von Lobachevski und Bolyai \u00fcber die hyperbolische Geometrie beteiligt, indem Modelle f\u00fcr die hyperbolische Ebene bereitgestellt wurden:[12]  Beispielsweise entspricht das Poincar\u00e9-Scheibenmodell, bei dem verallgemeinerte Kreise senkrecht zum Einheitskreis “hyperbolischen Linien” (Geod\u00e4ten) entsprechen, und die “\u00dcbersetzungen” dieses Modells durch M\u00f6bius-Transformationen, die die Einheitsscheibe auf sich selbst abbilden.  Der Abstand zwischen Punkten wird durch eine Cayley-Klein-Metrik angegeben, die unter den \u00dcbersetzungen als invariant bekannt ist, da sie vom Kreuzverh\u00e4ltnis abh\u00e4ngt, einer wichtigen projektiven Invariante.  Die \u00dcbersetzungen werden in der metrischen Raumtheorie unterschiedlich als Isometrien, formal als lineare fraktionelle Transformationen und als projektive lineare Transformationen der projektiven linearen Gruppe, in diesem Fall SU (1, 1), beschrieben.Die Arbeit von Poncelet, Jakob Steiner und anderen sollte die analytische Geometrie nicht erweitern.  Techniken sollten sein Synthetik: Tats\u00e4chlich sollte der jetzt verstandene projektive Raum axiomatisch eingef\u00fchrt werden.  Infolgedessen kann es etwas schwierig sein, fr\u00fche Arbeiten in der projektiven Geometrie so umzuformulieren, dass sie den aktuellen Strenge-Standards entsprechen.  Selbst im Fall der Projektionsebene allein kann der axiomatische Ansatz zu Modellen f\u00fchren, die nicht \u00fcber die lineare Algebra beschrieben werden k\u00f6nnen.Diese Periode in der Geometrie wurde durch Untersuchungen der allgemeinen algebraischen Kurve von Clebsch, Riemann, Max Noether und anderen, die bestehende Techniken dehnten, und dann durch die invariante Theorie \u00fcberholt.  Gegen Ende des Jahrhunderts brach die italienische Schule f\u00fcr algebraische Geometrie (Enriques, Segre, Severi) aus dem traditionellen Fachgebiet in ein Gebiet aus, das tiefere Techniken forderte.In der sp\u00e4teren H\u00e4lfte des 19. Jahrhunderts wurde die detaillierte Untersuchung der projektiven Geometrie weniger in Mode, obwohl die Literatur umfangreich ist.  Einige wichtige Arbeiten wurden insbesondere in der enumerativen Geometrie von Schubert durchgef\u00fchrt, die nun die Theorie der Chern-Klassen vorwegnimmt und die algebraische Topologie der Grassmannianer darstellt.Paul Dirac studierte projektive Geometrie und verwendete sie als Grundlage f\u00fcr die Entwicklung seiner Konzepte der Quantenmechanik, obwohl seine ver\u00f6ffentlichten Ergebnisse immer in algebraischer Form waren.  Sehen ein Blog-Artikel unter Bezugnahme auf einen Artikel und ein Buch zu diesem Thema, auch auf einen Vortrag, den Dirac 1972 in Boston vor einem allgemeinen Publikum \u00fcber projektive Geometrie hielt, ohne Einzelheiten zu ihrer Anwendung in seiner Physik.Beschreibung[edit]Die projektive Geometrie ist weniger restriktiv als die euklidische Geometrie oder die affine Geometrie.  Es ist eine an sich nicht metrische Geometrie, was bedeutet, dass Fakten unabh\u00e4ngig von einer metrischen Struktur sind.  Bei den projektiven Transformationen bleiben die Inzidenzstruktur und die Beziehung der projektiven harmonischen Konjugate erhalten.  Ein projektiver Bereich ist die eindimensionale Grundlage.  Die projektive Geometrie formalisiert eines der zentralen Prinzipien der perspektivischen Kunst: Parallele Linien treffen sich im Unendlichen und werden daher so gezeichnet.  Im Wesentlichen kann eine projektive Geometrie als eine Erweiterung der euklidischen Geometrie betrachtet werden, in der die “Richtung” jeder Linie innerhalb der Linie als zus\u00e4tzlicher “Punkt” subsumiert wird und in der ein “Horizont” von Richtungen koplanaren Linien entspricht wird als “Linie” angesehen.  Somit treffen sich zwei parallele Linien auf einer Horizontlinie, weil sie dieselbe Richtung enthalten.Idealisierte Richtungen werden als Punkte im Unendlichen bezeichnet, w\u00e4hrend idealisierte Horizonte als Linien im Unendlichen bezeichnet werden.  Alle diese Linien liegen wiederum in der Ebene im Unendlichen.  Unendlichkeit ist jedoch ein metrisches Konzept, sodass eine rein projektive Geometrie diesbez\u00fcglich keine Punkte, Linien oder Ebenen herausgreift – diejenigen im Unendlichen werden wie alle anderen behandelt.Da eine euklidische Geometrie in einer projektiven Geometrie enthalten ist – wobei die projektive Geometrie eine einfachere Grundlage hat -, k\u00f6nnen allgemeine Ergebnisse in der euklidischen Geometrie transparenter abgeleitet werden, wobei separate, aber \u00e4hnliche Theoreme der euklidischen Geometrie im Rahmen der projektiven Geometrie gemeinsam behandelt werden k\u00f6nnen Geometrie.  Beispielsweise m\u00fcssen parallele und nicht parallele Linien nicht als separate F\u00e4lle behandelt werden.  Vielmehr wird eine beliebige projektive Ebene als ideale Ebene herausgegriffen und unter Verwendung homogener Koordinaten “im Unendlichen” lokalisiert.Zus\u00e4tzliche Eigenschaften von grundlegender Bedeutung sind der Satz von Desargues und der Satz von Pappus.  In projektiven R\u00e4umen der Dimension 3 oder h\u00f6her gibt es eine Konstruktion, die es erm\u00f6glicht, den Satz von Desargues zu beweisen.  F\u00fcr Dimension 2 muss dies jedoch separat postuliert werden.Unter Verwendung des Desargues-Theorems in Kombination mit den anderen Axiomen ist es m\u00f6glich, die Grundoperationen der Arithmetik geometrisch zu definieren.  Die resultierenden Operationen erf\u00fcllen die Axiome eines Feldes – au\u00dfer dass die Kommutativit\u00e4t der Multiplikation den Sechsecksatz von Pappus erfordert.  Infolgedessen stimmen die Punkte jeder Linie eins zu eins mit einem bestimmten Feld \u00fcberein. F., erg\u00e4nzt durch ein zus\u00e4tzliches Element, \u221e, so dass r \u22c5 \u221e = \u221e, \u2212\u221e = \u221e, r + \u221e = \u221e, r \/ 0 = \u221e, r \/ \u221e = 0, \u221e – r = r – \u221e = \u221e, au\u00dfer dass 0\/0, \u221e \/ \u221e, \u221e + \u221e, \u221e – \u221e, 0 \u22c5 \u22c5 und \u221e \u22c5 0 undefiniert bleiben.Die projektive Geometrie umfasst auch eine vollst\u00e4ndige Theorie der Kegelschnitte, ein Thema, das auch in der euklidischen Geometrie ausf\u00fchrlich entwickelt wurde.  Es hat Vorteile, sich eine Hyperbel und eine Ellipse vorstellen zu k\u00f6nnen, die sich nur durch die Art und Weise der Hyperbel unterscheiden liegt auf der anderen Seite der Linie im Unendlichen;;  und dass eine Parabel nur dadurch unterschieden wird, dass sie dieselbe Linie ber\u00fchrt.  Die ganze Familie der Kreise kann als betrachtet werden Kegel, die im Unendlichen durch zwei vorgegebene Punkte auf der Linie verlaufen – auf Kosten komplexer Koordinaten.  Da Koordinaten nicht “synthetisch” sind, ersetzt man sie, indem man eine Linie und zwei Punkte darauf fixiert und die ber\u00fccksichtigt lineares System aller Kegel, die diese Punkte als Grundgegenstand des Studiums durchlaufen.  Diese Methode erwies sich f\u00fcr talentierte Geometer als sehr attraktiv, und das Thema wurde gr\u00fcndlich untersucht.  Ein Beispiel f\u00fcr diese Methode ist die mehrb\u00e4ndige Abhandlung von HF Baker.Es gibt viele projektive Geometrien, die in diskrete und kontinuierliche unterteilt werden k\u00f6nnen: a diskret Geometrie umfasst eine Reihe von Punkten, die sein k\u00f6nnen oder nicht endlich in der Anzahl, w\u00e4hrend a kontinuierlich Geometrie hat unendlich viele Punkte ohne L\u00fccken dazwischen.Die einzige projektive Geometrie der Dimension 0 ist ein einzelner Punkt.  Eine projektive Geometrie der Dimension 1 besteht aus einer einzelnen Linie mit mindestens 3 Punkten.  Die geometrische Konstruktion von arithmetischen Operationen kann in keinem dieser F\u00e4lle ausgef\u00fchrt werden.  F\u00fcr Dimension 2 gibt es aufgrund des Fehlens des Desargues-Theorems eine reichhaltige Struktur.  Die Fano-Ebene ist die projektive Ebene mit den wenigsten Punkten und Linien.Nach Greenberg (1999) und anderen ist die einfachste zweidimensionale projektive Geometrie die Fano-Ebene, die 3 Punkte auf jeder Linie mit 7 Punkten und insgesamt 7 Linien mit den folgenden Kollinearit\u00e4ten aufweist:[ABC][ADE][AFG][BDG][BEF][CDF][CEG]mit homogenen Koordinaten A = (0,0,1), B = (0,1,1), C = (0,1,0), D = (1,0,1), E = (1,0,0), F = (1,1,1), G = (1,1,0)oder in affinen Koordinaten, A = (0,0), B = (0,1), C = (\u221e), D = (1,0), E = (0), F = (1,1)und G = (1).  Die affinen Koordinaten in einer Desargues’schen Ebene f\u00fcr die Punkte, die als Punkte im Unendlichen bezeichnet werden (in diesem Beispiel: C, E und G), k\u00f6nnen auf verschiedene andere Arten definiert werden.In der Standardnotation wird eine endliche projektive Geometrie geschrieben PG (ein, b) wo:ein ist die projektive (oder geometrische) Dimension undb ist eins weniger als die Anzahl der Punkte auf einer Linie (genannt Auftrag der Geometrie).Somit wird das Beispiel mit nur 7 Punkten geschrieben PG (2, 2).Der Begriff “projektive Geometrie” wird manchmal verwendet, um die verallgemeinerte zugrunde liegende abstrakte Geometrie anzuzeigen, und manchmal, um eine bestimmte Geometrie von gro\u00dfem Interesse anzuzeigen, wie beispielsweise die metrische Geometrie des flachen Raums, die wir unter Verwendung homogener Koordinaten analysieren und in der euklidisch Geometrie kann eingebettet sein (daher der Name Erweiterte euklidische Ebene).Die grundlegende Eigenschaft, die alle projektiven Geometrien heraushebt, ist die elliptisch Inzidenz-Eigenschaft, dass zwei beliebige Linien L. und M. in der projektiven Ebene schneiden sich genau an einem Punkt P..  Der Sonderfall in der analytischen Geometrie von parallel Linien werden in der glatteren Form einer Linie zusammengefasst im Unendlichen auf welche P. L\u00fcgen.  Das Linie im Unendlichen ist also eine Linie wie jede andere in der Theorie: Sie ist in keiner Weise speziell oder unterschieden.  (Im sp\u00e4teren Geist des Erlangen-Programms k\u00f6nnte man darauf hinweisen, wie die Gruppe von Transformationen jede Linie zum verschieben kann Linie im Unendlichen).Die parallelen Eigenschaften elliptischer, euklidischer und hyperbolischer Geometrien sind wie folgt kontrastiert:Gegeben eine Linie l und ein Punkt P. nicht in der Leitung,ElliptischEs gibt keine Linie durch P. das trifft sich nicht lEuklidischEs gibt genau eine Zeile durch P. das trifft sich nicht lHyperbolischEs gibt mehr als eine Zeile durch P. das trifft sich nicht lDie parallele Eigenschaft der elliptischen Geometrie ist die Schl\u00fcsselidee, die zum Prinzip der projektiven Dualit\u00e4t f\u00fchrt, m\u00f6glicherweise der wichtigsten Eigenschaft, die alle projektiven Geometrien gemeinsam haben.Dualit\u00e4t[edit]Im Jahr 1825 bemerkte Joseph Gergonne das Prinzip der Dualit\u00e4t, das die Geometrie der projektiven Ebene charakterisiert: Ersetzen Sie einen Satz oder eine Definition dieser Geometrie, indem Sie ihn ersetzen Punkt zum Linie, liegen auf zum durchlaufen, kollinear zum gleichzeitig, \u00dcberschneidung zum beitretenoder umgekehrt, f\u00fchrt zu einem anderen Satz oder einer anderen g\u00fcltigen Definition, dem “Dual” des ersten.  In \u00e4hnlicher Weise gilt in drei Dimensionen die Dualit\u00e4tsbeziehung zwischen Punkten und Ebenen, sodass jeder Satz durch Vertauschen transformiert werden kann Punkt und Flugzeug, ist enthalten in und enth\u00e4lt. Allgemeiner gesagt besteht f\u00fcr projektive R\u00e4ume der Dimension N eine Dualit\u00e4t zwischen den Teilr\u00e4umen der Dimension R und der Dimension N – R – 1.  F\u00fcr N = 2 ist dies auf die bekannteste Form der Dualit\u00e4t spezialisiert – die zwischen Punkten und Linien.  Das Dualit\u00e4tsprinzip wurde auch unabh\u00e4ngig von Jean-Victor Poncelet entdeckt.Um die Dualit\u00e4t herzustellen, m\u00fcssen nur Theoreme aufgestellt werden, die die dualen Versionen der Axiome f\u00fcr die betreffende Dimension sind.  F\u00fcr dreidimensionale R\u00e4ume muss man also zeigen, dass (1 *) jeder Punkt in 3 verschiedenen Ebenen liegt, (2 *) alle zwei Ebenen sich in einer eindeutigen Linie schneiden und eine doppelte Version von (3 *) den Effekt hat: Wenn der Schnittpunkt der Ebenen P und Q koplanar mit dem Schnittpunkt der Ebenen R und S ist, sind dies auch die jeweiligen Schnittpunkte der Ebenen P und R, Q und S (vorausgesetzt, die Ebenen P und S unterscheiden sich von Q und R).In der Praxis erlaubt uns das Prinzip der Dualit\u00e4t, a doppelte Korrespondenz zwischen zwei geometrischen Konstruktionen.  Die bekannteste davon ist die Polarit\u00e4t oder Reziprozit\u00e4t zweier Figuren in einer konischen Kurve (in zwei Dimensionen) oder einer quadratischen Fl\u00e4che (in drei Dimensionen).  Ein allt\u00e4gliches Beispiel ist die Hin- und Herbewegung eines symmetrischen Polyeders in einer konzentrischen Kugel, um das duale Polyeder zu erhalten.Ein anderes Beispiel ist Brianchons Theorem, das Duale des bereits erw\u00e4hnten Pascalschen Theorems, und einer seiner Beweise besteht einfach darin, das Prinzip der Dualit\u00e4t auf Pascals anzuwenden.  Hier sind vergleichende Aussagen dieser beiden S\u00e4tze (in beiden F\u00e4llen im Rahmen der Projektionsebene):Pascal: Wenn alle sechs Eckpunkte eines Sechsecks auf einem Kegel liegen, dann die Schnittpunkte seiner gegen\u00fcberliegenden Seiten (als volle Linien betrachtet, da es in der Projektionsebene kein “Liniensegment” gibt) sind drei kollineare Punkte.  Die Linie, die sie verbindet, hei\u00dft dann die Pascal Linie des Sechsecks.Brianchon: Wenn alle sechs Seiten eines Sechsecks einen Kegel tangieren, sind seine Diagonalen (dh die Linien, die entgegengesetzte Eckpunkte verbinden) drei gleichzeitige Linien.  Ihr Schnittpunkt hei\u00dft dann Brianchon Punkt des Sechsecks.(Wenn der Kegel in zwei gerade Linien degeneriert, wird Pascals zum Pappus-Theorem, das kein interessantes Dual hat, da der Brianchon-Punkt trivial zum Schnittpunkt der beiden Linien wird.)Axiome der projektiven Geometrie[edit]Jede gegebene Geometrie kann aus einem geeigneten Satz von Axiomen abgeleitet werden.  Projektive Geometrien zeichnen sich durch das Axiom “elliptisch parallel” aus Zwei beliebige Flugzeuge treffen sich immer in nur einer Linieoder im Flugzeug, Zwei beliebige Linien treffen sich immer nur an einem Punkt. Mit anderen Worten, es gibt keine parallelen Linien oder Ebenen in der projektiven Geometrie.Viele alternative Axiomens\u00e4tze f\u00fcr die projektive Geometrie wurden vorgeschlagen (siehe zum Beispiel Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980).Whiteheads Axiome[edit]Diese Axiome basieren auf Whitehead, “The Axioms of Projective Geometry”.  Es gibt zwei Typen, Punkte und Linien, und eine “Inzidenz” -Relation zwischen Punkten und Linien.  Die drei Axiome sind:G1: Jede Linie enth\u00e4lt mindestens 3 PunkteG2: Alle zwei unterschiedlichen Punkte A und B liegen auf einer eindeutigen Linie AB.G3: Wenn sich die Linien AB und CD schneiden, schneiden sich auch die Linien AC und BD (wobei angenommen wird, dass A und D sich von B und C unterscheiden).Es wird angenommen, dass jede Linie mindestens 3 Punkte enth\u00e4lt, um einige entartete F\u00e4lle zu beseitigen.  Die R\u00e4ume, die diese drei Axiome erf\u00fcllen, haben entweder h\u00f6chstens eine Linie oder sind projektive R\u00e4ume mit einer gewissen Dimension \u00fcber einen Teilungsring oder nicht-desarguesianische Ebenen.Zus\u00e4tzliche Axiome[edit]Man kann weitere Axiome hinzuf\u00fcgen, die die Dimension oder den Koordinatenring einschr\u00e4nken.  Zum Beispiel Coxeters Projektive Geometrie,[13]  Referenzen Veblen[14]  in den drei obigen Axiomen zusammen mit weiteren 5 Axiomen, die die Dimension 3 und den Koordinatenring zu einem kommutativen Feld der Charakteristik machen, nicht 2.Axiome unter Verwendung einer tern\u00e4ren Beziehung[edit]Man kann die Axiomatisierung verfolgen, indem man eine tern\u00e4re Beziehung postuliert. [ABC] um anzuzeigen, wann drei Punkte (nicht alle notwendigerweise verschieden) kollinear sind.  Eine Axiomatisierung kann auch in Bezug auf diese Beziehung niedergeschrieben werden:C0: [ABA]C1: Wenn A und B zwei Punkte sind, so dass [ABC] und [ABD] dann [BDC]C2: Wenn A und B zwei Punkte sind, gibt es einen dritten Punkt C, so dass [ABC]C3: Wenn A und C zwei Punkte sind, B und D auch mit [BCE], [ADE] aber nicht [ABE] dann gibt es einen Punkt F, so dass [ACF] und [BDF].F\u00fcr zwei verschiedene Punkte, A und B, ist die Linie AB so definiert, dass sie aus allen Punkten C besteht, f\u00fcr die [ABC].  Die Axiome C0 und C1 liefern dann eine Formalisierung von G2;  C2 f\u00fcr G1 und C3 f\u00fcr G3.Das Konzept der Linie verallgemeinert sich auf Ebenen und h\u00f6herdimensionale Teilr\u00e4ume.  Ein Unterraum AB\u2026 XY kann somit rekursiv als Unterraum AB\u2026 X definiert werden, der alle Punkte aller Linien YZ enth\u00e4lt, da Z \u00fcber AB\u2026 X liegt.  Die Kollinearit\u00e4t verallgemeinert sich dann auf das Verh\u00e4ltnis der “Unabh\u00e4ngigkeit”.  Eine Menge {A, B,\u2026, Z} von Punkten ist unabh\u00e4ngig, [AB\u2026Z] wenn {A, B,\u2026, Z} eine minimale erzeugende Teilmenge f\u00fcr den Unterraum AB\u2026 Z ist.Die projektiven Axiome k\u00f6nnen durch weitere Axiome erg\u00e4nzt werden, die Grenzen f\u00fcr die Dimension des Raums postulieren.  Die Mindestabmessung wird durch das Vorhandensein eines unabh\u00e4ngigen Satzes der erforderlichen Gr\u00f6\u00dfe bestimmt.  F\u00fcr die niedrigsten Abmessungen k\u00f6nnen die relevanten Bedingungen in \u00e4quivalenter Form wie folgt angegeben werden.  Ein projektiver Raum besteht aus:(L1) mindestens Dimension 0, wenn es mindestens 1 Punkt hat,(L2) mindestens Dimension 1, wenn es mindestens 2 verschiedene Punkte (und daher eine Linie) hat,(L3) mindestens Dimension 2, wenn es mindestens 3 nicht kollineare Punkte (oder zwei Linien oder eine Linie und einen Punkt, der nicht auf der Linie liegt) hat,(L4) mindestens Dimension 3, wenn mindestens 4 nicht koplanare Punkte vorhanden sind.In \u00e4hnlicher Weise kann auch die maximale Abmessung bestimmt werden.  F\u00fcr die niedrigsten Dimensionen nehmen sie die folgenden Formen an.  Ein projektiver Raum besteht aus:(M1) h\u00f6chstens Dimension 0, wenn es nicht mehr als 1 Punkt hat,(M2) h\u00f6chstens Dimension 1, wenn es nicht mehr als 1 Linie hat,(M3) h\u00f6chstens Dimension 2, wenn es nicht mehr als 1 Ebene hat,und so weiter.  Es ist ein allgemeiner Satz (eine Konsequenz des Axioms (3)), dass sich alle koplanaren Linien schneiden – genau das Prinzip der projektiven Geometrie sollte urspr\u00fcnglich verk\u00f6rpern.  Daher kann die Eigenschaft (M3) \u00e4quivalent angegeben werden, dass sich alle Linien schneiden.Es wird allgemein angenommen, dass projektive R\u00e4ume mindestens die Dimension 2 haben. In einigen F\u00e4llen kann eine Variante von M3 postuliert werden, wenn der Fokus auf projektiven Ebenen liegt.  Die Axiome von (Eves 1997: 111) umfassen beispielsweise (1), (2), (L3) und (M3).  Axiom (3) wird unter (M3) vakuum wahr und wird daher in diesem Zusammenhang nicht ben\u00f6tigt.Axiome f\u00fcr projektive Ebenen[edit]In der Inzidenzgeometrie die meisten Autoren[15]  Geben Sie eine Behandlung, die die Fano-Ebene PG (2, 2) als kleinste endliche projektive Ebene umfasst.  Ein Axiomensystem, das dies erreicht, ist wie folgt:(P1) Zwei verschiedene Punkte liegen auf einer eindeutigen Linie.(P2) Zwei beliebige unterschiedliche Linien treffen sich an einem eindeutigen Punkt.(P3) Es gibt mindestens vier Punkte, von denen keine drei kollinear sind.Coxeters Einf\u00fchrung in die Geometrie[16]  gibt eine Liste von f\u00fcnf Axiomen f\u00fcr ein restriktiveres Konzept einer Bachmann zugeschriebenen projektiven Ebene an, f\u00fcgt Pappus ‘Theorem zur Liste der Axiome oben hinzu (wodurch nicht-desarguesianische Ebenen eliminiert werden) und schlie\u00dft projektive Ebenen \u00fcber Feldern der Eigenschaft 2 aus (solche, die nicht’ t Fano’s Axiom nicht erf\u00fcllen).  Die auf diese Weise angegebenen eingeschr\u00e4nkten Ebenen \u00e4hneln eher der realen projektiven Ebene.Perspektive und Projektivit\u00e4t[edit]Bei drei nicht kollinearen Punkten gibt es drei Linien, die sie verbinden, aber mit vier Punkten, keine drei kollinearen, gibt es sechs Verbindungslinien und drei zus\u00e4tzliche “diagonale Punkte”, die durch ihre Schnittpunkte bestimmt werden.  Die Wissenschaft der projektiven Geometrie erfasst diesen \u00dcberschuss, der durch vier Punkte durch eine quatern\u00e4re Beziehung und die Projektivit\u00e4ten bestimmt wird, die die vollst\u00e4ndige Viereckkonfiguration bewahren.Ein harmonisches Vierfach von Punkten auf einer Linie tritt auf, wenn es ein vollst\u00e4ndiges Viereck gibt, dessen zwei diagonale Punkte sich an der ersten und dritten Position des Vierfachen befinden, und die anderen zwei Positionen sind Punkte auf den Linien, die zwei Viereckspunkte durch den dritten diagonalen Punkt verbinden .[17]Eine r\u00e4umliche Perspektive einer projektiven Konfiguration in einer Ebene ergibt eine solche Konfiguration in einer anderen, und dies gilt f\u00fcr die Konfiguration des gesamten Vierecks.  Somit bleiben harmonische Vierfache durch Perspektive erhalten.  Wenn eine Perspektive einer anderen folgt, folgen die Konfigurationen.  Die Zusammensetzung zweier Perspektiven ist keine Perspektive mehr, sondern a Projektivit\u00e4t.W\u00e4hrend entsprechende Punkte einer Perspektive alle an einem Punkt konvergieren, ist diese Konvergenz nicht wahr f\u00fcr eine Projektivit\u00e4t, die ist nicht eine Perspektive.  In der projektiven Geometrie ist der Schnittpunkt von Linien von besonderem Interesse, die durch entsprechende Punkte einer Projektivit\u00e4t in einer Ebene gebildet werden.  Die Menge solcher Schnittpunkte hei\u00dft a projektiver Kegelund in Anerkennung der Arbeit von Jakob Steiner wird es als Steiner-Kegel bezeichnet.Angenommen, eine Projektivit\u00e4t besteht aus zwei auf Punkten zentrierten Perspektiven EIN und B., bez\u00fcglich x zu X. von einem Vermittler p::x \u2a5eEIN p \u2a5eB. X..{ displaystyle x  { overset {A} { doublebarwedge}}  p  { overset {B} { doublebarwedge}}  X.}Die Projektivit\u00e4t ist dann x \u22bc X..{ displaystyle x   barwedge  X.}  Dann gegeben die Projektivit\u00e4t \u22bc{ displaystyle  barwedge}  der induzierte Kegel istC.((\u22bc) = \u22c3{xX.\u22c5yY.::x\u22bcX.  \u2227  y\u22bcY.}}.{ displaystyle C ( barwedge)  =   bigcup  {xX  cdot yY: x  barwedge X    land   y  barwedge Y }.}Gegeben einen Kegel C. und ein Punkt P. nicht drauf, zwei verschiedene Sekantenlinien durch P. sich schneiden C. in vier Punkten.  Diese vier Punkte bestimmen ein Viereck davon P. ist ein diagonaler Punkt.  Die Linie durch die beiden anderen diagonalen Punkte wird als Polar von bezeichnet P. und P. ist der Pole dieser Linie.[18]  Alternativ kann die Polarlinie von P. ist die Menge der projektiven harmonischen Konjugate von P. auf einer variablen Sekantenlinie durch P. und C..Siehe auch[edit]^ Ramanan 1997, p.  88^ Coxeter 2003, p.  v^ ein b c d Coxeter 1969, p.  229^ Coxeter 2003, p.  14^ Coxeter 1969, S. 93, 261^ Coxeter 1969, S. 234\u2013238^ Coxeter 2003, S. 111\u2013132^ Coxeter 1969, S. 175\u2013262^ Coxeter 2003, S. 102\u2013110^ Coxeter 2003, p.  2^ Coxeter 2003, p.  3^ John Milnor (1982) Hyperbolische Geometrie: Die ersten 150 Jahre, Bulletin der American Mathematical Society \u00fcber Project Euclid^ Coxeter 2003, S. 14\u201315^ Veblen 1966, S. 16, 18, 24, 45^ Bennett 1995, pg.  4, Beutelspacher & Rosenberg 1998, pg.  8 Harvnb-Fehler: kein Ziel: CITEREFBeutelspacherRosenberg1998 (Hilfe), Casse 2006, pg.  29, Cederberg 2001, pg.  9 Harvnb-Fehler: kein Ziel: CITEREFCederberg2001 (Hilfe)Garner 1981, pg.  7, Hughes & Piper 1973, pg.  77, Mihalek 1972, pg.  29, Polster 1998, pg.  5 Harvnb-Fehler: kein Ziel: CITEREFPolster1998 (Hilfe) und Samuel 1988, pg.  21 unter den angegebenen Referenzen.^ Coxeter 1969, S. 229\u2013234^ Halsted, S. 15, 16^ Halsted, p.  25Verweise[edit]Bachmann, F. (2013) [1959]. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff  (2. Aufl.).  Springer-Verlag.  ISBN 978-3-642-65537-1.Baer, \u200b\u200bReinhold (2005). Lineare Algebra und projektive Geometrie.  Mineola NY: Dover.  ISBN 0-486-44565-8.Bennett, MK (1995). Affine und projektive Geometrie.  New York: Wiley.  ISBN 0-471-11315-8.Beutelspacher, Albrecht;  Rosenbaum, Ute (1998). Projektive Geometrie: Von der Grundlage zur Anwendung.  Cambridge: Cambridge University Press.  ISBN 0-521-48277-1.Casse, Rey (2006). Projektive Geometrie: Eine Einf\u00fchrung.  Oxford University Press.  ISBN 0-19-929886-6.Cederberg, Judith N. (2001). Ein Kurs in modernen Geometrien.  Springer-Verlag.  ISBN 0-387-98972-2.Coxeter, HSM (2013) [1993]. Die reale projektive Ebene  (3. Aufl.).  Springer Verlag.  ISBN 9781461227342.Coxeter, HSM (2003). Projektive Geometrie (2. Aufl.).  Springer Verlag.  ISBN 978-0-387-40623-7.Coxeter, HSM (1969). Einf\u00fchrung in die Geometrie.  Wiley.  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ISBN 978-1-4181-8285-4.Externe Links[edit]"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki15\/2020\/12\/27\/projektive-geometrie-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Projektive Geometrie – Wikipedia"}}]}]