Differentialform – Wikipedia

Verallgemeinerung auf einen beliebigen Grad von f (x) dx und das Gesamtdifferential (die 1-Formen sind)

In den mathematischen Bereichen der Differentialgeometrie und der Tensorrechnung Differentialformen sind ein Ansatz zur multivariablen Berechnung, der unabhängig von Koordinaten ist. Differentialformen bieten einen einheitlichen Ansatz zum Definieren von Integranden über Kurven, Oberflächen, Volumenkörpern und höherdimensionalen Mannigfaltigkeiten. Der moderne Begriff der Differentialformen wurde von Élie Cartan entwickelt. Es hat viele Anwendungen, insbesondere in Geometrie, Topologie und Physik.

Zum Beispiel der Ausdruck f(x) dx aus der Ein-Variablen-Rechnung ist ein Beispiel für a 1-Form und kann über ein orientiertes Intervall integriert werden [a, b] in der Domäne von f::

Ebenso der Ausdruck f(x, y, z) dxdy + G(x, y, z) dzdx + h(x, y, z) dydz ist ein 2-Form, die ein Oberflächenintegral über einer orientierten Oberfläche hat S.::

Das Symbol bezeichnet das äußere Produkt, manchmal auch als bezeichnet Keilproduktvon zwei unterschiedlichen Formen. Ebenso a 3-bilden f(x, y, z) dxdydz stellt ein Volumenelement dar, das über einen orientierten Raumbereich integriert werden kann. Im Allgemeinen a k-form ist ein Objekt, das über a integriert werden kann k-dimensional orientierte Mannigfaltigkeit und ist graduell homogen k in den Koordinatendifferenzen.

Die Algebra der Differentialformen ist so organisiert, dass sie natürlich die Ausrichtung des Integrationsbereichs widerspiegelt. Es gibt eine Operation d auf Differentialformen, die als äußere Ableitung bekannt sind, die, wenn a k-Form als Eingabe, erzeugt a (k + 1)-Form als Ausgabe. Diese Operation erweitert das Differential einer Funktion und steht in direktem Zusammenhang mit der Divergenz und der Krümmung eines Vektorfeldes auf eine Weise, die den Grundsatz der Analysis, den Divergenzsatz, den Greenschen Satz und den Stokes-Satz zu Sonderfällen derselben macht allgemeines Ergebnis, in diesem Zusammenhang auch als verallgemeinerter Stokes-Satz bekannt. In einem tieferen Sinne bezieht dieser Satz die Topologie des Integrationsbereichs auf die Struktur der Differentialformen selbst; Die genaue Verbindung ist als Satz von de Rham bekannt.

Der allgemeine Rahmen für die Untersuchung von Differentialformen liegt auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Differential 1-Formen sind natürlich dual zu Vektorfeldern auf einer Mannigfaltigkeit und der Paarung zwischen Vektorfeldern und 1-Formen werden durch das Innenprodukt auf beliebige Differentialformen erweitert. Die Algebra der Differentialformen zusammen mit der darauf definierten äußeren Ableitung bleibt durch das Zurückziehen unter glatten Funktionen zwischen zwei Verteilern erhalten. Mit dieser Funktion können geometrisch invariante Informationen über den Pullback von einem Raum in einen anderen verschoben werden, sofern die Informationen in Form von Differentialformen ausgedrückt werden. Beispielsweise wird die Formel zur Änderung der Variablen für die Integration zu einer einfachen Aussage, dass ein Integral beim Zurückziehen erhalten bleibt.

Geschichte[edit]

Differentialformen sind Teil des Feldes der Differentialgeometrie, das von der linearen Algebra beeinflusst wird. Obwohl die Vorstellung eines Differentials ziemlich alt ist, wird der erste Versuch einer algebraischen Organisation von Differentialformen gewöhnlich Élie Cartan unter Bezugnahme auf seine Arbeit von 1899 zugeschrieben.[1] Einige Aspekte der äußeren Algebra von Differentialformen erscheinen in Hermann Grassmanns Werk von 1844, Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, ein neuer Zweig der Mathematik).

Konzept[edit]

Differentialformen bieten einen Ansatz für multivariable Berechnungen, der unabhängig von Koordinaten ist.

Integration und Orientierung[edit]

Ein Differential k-Form kann über eine orientierte Mannigfaltigkeit von Dimensionen integriert werden k. Ein Differential 1-form kann als Messung einer infinitesimal orientierten Länge oder einer eindimensional orientierten Dichte angesehen werden. Ein Differential 2-form kann als Messung eines infinitesimal orientierten Bereichs oder einer zweidimensional orientierten Dichte angesehen werden. Und so weiter.

Die Integration von Differentialformen ist nur bei orientierten Mannigfaltigkeiten gut definiert. Ein Beispiel für eine eindimensionale Mannigfaltigkeit ist ein Intervall [a, b]und Intervalle können orientiert werden: Sie sind positiv orientiert, wenn ein < bund sonst negativ orientiert. Wenn ein < b dann das Integral der Differential-1-Form f(x) dx über das Intervall [a, b] (mit seiner natürlichen positiven Ausrichtung) ist

Dies ist das Negativ des Integrals derselben Differentialform über dasselbe Intervall, wenn es mit der entgegengesetzten Ausrichtung ausgestattet ist. Das ist:

Dies gibt den Konventionen für eindimensionale Integrale einen geometrischen Kontext, bei dem sich das Vorzeichen ändert, wenn die Ausrichtung des Intervalls umgekehrt wird. Eine Standarderklärung dafür in der Ein-Variablen-Integrationstheorie ist, dass, wenn die Integrationsgrenzen in der entgegengesetzten Reihenfolge liegen (b < ein), das Inkrement dx ist negativ in Richtung Integration.

Ganz allgemein ein m-Form ist eine orientierte Dichte, die über eine integriert werden kann m-dimensional orientierte Mannigfaltigkeit. (Zum Beispiel a 1-Form kann über eine orientierte Kurve integriert werden, a 2-Form kann über eine orientierte Fläche usw. integriert werden.) Wenn M. ist eine orientierte m-dimensionale Mannigfaltigkeit und M. ist der gleiche Verteiler mit entgegengesetzter Ausrichtung und ω ist ein m-Form, dann hat man:

Diese Konventionen entsprechen der Interpretation des Integranden als Differentialform, die über eine Kette integriert ist. In der Maßtheorie hingegen interpretiert man den Integranden als Funktion f in Bezug auf eine Maßnahme μ und integriert über eine Teilmenge EINohne Orientierungsbegriff; man schreibt

EINfdμ=[a,b]fdμ{ displaystyle textstyle { int _ {A} f , d mu = int _ {[a,b]} f , d mu}}

um die Integration über eine Teilmenge anzuzeigen EIN. Dies ist eine geringfügige Unterscheidung in einer Dimension, wird jedoch bei höherdimensionalen Mannigfaltigkeiten subtiler. siehe unten für Details.

Um die Vorstellung einer orientierten Dichte und damit einer Differentialform präzise zu machen, muss die äußere Algebra verwendet werden. Die Differentiale eines Satzes von Koordinaten, dx1, …, dxn kann als Basis für alle verwendet werden 1-Formen. Jedes davon repräsentiert einen Covektor an jedem Punkt des Verteilers, der als Messung einer kleinen Verschiebung in der entsprechenden Koordinatenrichtung angesehen werden kann. Ein General 1-form ist eine lineare Kombination dieser Differentiale an jedem Punkt des Verteilers:

bei dem die fk = fk(x1, …, xn) sind Funktionen aller Koordinaten. Ein Differential 1-form wird entlang einer orientierten Kurve als Linienintegral integriert.

Die Ausdrücke dxichdxj, wo ich < j kann an jedem Punkt des Verteilers als Grundlage für alle zwei Formen verwendet werden. Dies kann als ein infinitesimal ausgerichtetes Quadrat parallel zum betrachtet werden xich– –xj-Flugzeug. Eine allgemeine Zwei-Form ist eine lineare Kombination dieser an jedem Punkt des Verteilers:

1ich<jnfich,jdxichdxj{ displaystyle sum _ {1 leq i

und es ist genau wie ein Oberflächenintegral integriert.

Eine grundlegende Operation, die für Differentialformen definiert ist, ist das äußere Produkt (das Symbol ist der Keil ). Dies ist dem Kreuzprodukt aus der Vektorrechnung insofern ähnlich, als es ein alternierendes Produkt ist. Zum Beispiel,

weil das Quadrat, dessen erste Seite ist dx1 und die zweite Seite ist dx2 ist so zu betrachten, dass es die entgegengesetzte Ausrichtung hat wie das Quadrat, dessen erste Seite ist dx2 und wessen zweite Seite ist dx1. Deshalb müssen wir nur über Ausdrücke summieren dxichdxjmit ich < j;; zum Beispiel: ein(dxichdxj) + b(dxjdxich) = (ein – – b) dxichdxj. Das äußere Produkt ermöglicht es, Differentialformen mit höherem Grad aus Formen mit niedrigerem Grad zu bilden, ähnlich wie das Kreuzprodukt in der Vektorrechnung es ermöglicht, den Flächenvektor eines Parallelogramms aus Vektoren zu berechnen, die auf die beiden Seiten zeigen. Alternieren impliziert auch das dxichdxich = 0auf die gleiche Weise, dass das Kreuzprodukt paralleler Vektoren, deren Größe die Fläche des von diesen Vektoren aufgespannten Parallelogramms ist, Null ist. In höheren Dimensionen dxich1 ∧ ⋅⋅⋅ ∧ dxichm = 0 wenn zwei der Indizes ich1, …, ichm sind gleich, genauso wie das von einem Parallelotop eingeschlossene “Volumen”, dessen Kantenvektoren linear abhängig sind, Null ist.

Multi-Index-Notation[edit]

Eine gebräuchliche Notation für das Keilprodukt von elementar m-forms ist die sogenannte Multi-Index-Notation: in einem n-dimensionaler Kontext, z

ich=(ich1,ich2,,ichm),1ich1<ich2<<ichmn{ displaystyle I = (i_ {1}, i_ {2}, ldots, i_ {m}), 1 leq i_ {1}

, wir definieren

dxich: =dxich1dxichm=ichichdxich{ textstyle dx ^ {I}: = dx ^ {i_ {1}} wedge cdots wedge dx ^ {i_ {m}} = bigwedge _ {i in I} dx ^ {i}}

.[2] Eine weitere nützliche Notation wird erhalten, indem die Menge aller streng ansteigenden Mehrfachindizes der Länge definiert wird kin einem Raum der Dimension nbezeichnet

J.k,n: ={ich=(ich1,,ichk)::1ich1<ich2<<ichkn}}{ displaystyle { mathcal {J}} _ {k, n}: = {I = (i_ {1}, ldots, i_ {k}): 1 leq i_ {1}

. Dann lokal (wo immer die Koordinaten gelten),

{dxich}}ichJ.k,n{ displaystyle {dx ^ {I} } _ {I in { mathcal {J}} _ {k, n}}}

überspannt den Raum des Differentials k-Formen in einem Verteiler M. der Dimension n, wenn als Modul über dem Ring betrachtet C.(M.) von glatten Funktionen auf M.. Durch Berechnung der Größe von

J.k,n{ displaystyle { mathcal {J}} _ {k, n}}

kombinatorisch ist das Modul von k-Formen auf a n-dimensionale Mannigfaltigkeit und im allgemeinen Raum von k-covectors auf einem n-dimensionaler Vektorraum ist n wählen k::

|J.k,n|=(nk){ displaystyle textstyle | { mathcal {J}} _ {k, n} | = { binom {n} {k}}}

. Dies zeigt auch, dass es keine Gradformen ungleich Null gibt, die größer sind als die Dimension des zugrunde liegenden Verteilers.

Das äußere Derivat[edit]

Neben dem Außenprodukt gibt es auch den Außenableitungsoperator d. Die äußere Ableitung einer Differentialform ist eine Verallgemeinerung des Differentials einer Funktion in dem Sinne, dass die äußere Ableitung von fC.(M.) = Ω0(M.) ist genau das Differential von f. Wenn auf höhere Formen verallgemeinert, wenn ω = f dxich ist eine einfache k-Form, dann seine äußere Ableitung ist ein (k + 1)-Form definiert durch Differenzial der Koeffizientenfunktionen:

mit Erweiterung auf allgemein k-Formen durch Linearität: wenn

τ=ichJ.k,neinichdxichΩk(M.){ displaystyle tau = sum _ {I in { mathcal {J}} _ {k, n}} a_ {I} , dx ^ {I} in Omega ^ {k} (M)}

, dann ist seine äußere Ableitung

Im R.3Beim Hodge-Sternoperator entspricht die äußere Ableitung Gradient, Kräuselung und Divergenz, obwohl diese Entsprechung wie das Kreuzprodukt nicht auf höhere Dimensionen verallgemeinert wird und mit einiger Vorsicht behandelt werden sollte.

Die äußere Ableitung selbst gilt für eine beliebige endliche Anzahl von Dimensionen und ist ein flexibles und leistungsfähiges Werkzeug mit breiter Anwendung in der Differentialgeometrie, der Differentialtopologie und vielen Bereichen der Physik. Obwohl die obige Definition der äußeren Ableitung in Bezug auf lokale Koordinaten definiert wurde, kann sie auf völlig koordinatenfreie Weise als Antiderivierung von Grad 1 in der äußeren Algebra von Differentialformen definiert werden. Der Vorteil dieses allgemeineren Ansatzes besteht darin, dass er einen natürlichen koordinatenfreien Ansatz für die Integration in Mannigfaltigkeiten ermöglicht. Es ermöglicht auch eine natürliche Verallgemeinerung des Grundsatzes der Analysis, der als (verallgemeinerter) Satz von Stokes bezeichnet wird und ein zentrales Ergebnis der Theorie der Integration auf Mannigfaltigkeiten darstellt.

Differentialrechnung[edit]

Lassen U. ein offener Satz sein R.n. Ein Differential 0-form (“Nullform”) wird als glatte Funktion definiert f auf U. – deren Menge bezeichnet wird C.(U.). Wenn v ist ein beliebiger Vektor in R.n, dann f hat eine Richtungsableitung vf, das ist eine andere Funktion auf U. dessen Wert an einem Punkt pU. ist die Änderungsrate (at p) von f in dem v Richtung:

(Dieser Begriff kann punktuell auf den Fall erweitert werden, dass v ist ein Vektorfeld auf U. durch Auswertung v am Punkt p in der Definition.)

Insbesondere wenn v = ej ist der jdann Koordinatenvektor vf ist die partielle Ableitung von f in Bezug auf die jth Koordinatenfunktion, dh f / ∂xj, wo x1, x2, …, xn sind die Koordinatenfunktionen an U.. Partielle Ableitungen hängen nach ihrer Definition von der Wahl der Koordinaten ab: wenn neue Koordinaten y1, y2, …, yn werden dann eingeführt

Die erste Idee, die zu unterschiedlichen Formen führt, ist die Beobachtung, dass vf (p) ist eine lineare Funktion von v::

für beliebige Vektoren v, w und jede reelle Zahl c. An jedem Punkt p, diese lineare Karte aus R.n zu R. wird bezeichnet dfp und die Ableitung oder das Differential von genannt f beim p. So dfp(v) = ∂vf (p). Das Objekt erstreckt sich über die gesamte Menge df kann als eine Funktion angesehen werden, die ein Vektorfeld annimmt U.und gibt eine reelle Funktion zurück, deren Wert an jedem Punkt die Ableitung entlang des Vektorfeldes der Funktion ist f. Beachten Sie, dass bei jedem pdas Differential dfp ist keine reelle Zahl, sondern eine lineare Funktion für Tangentenvektoren und ein prototypisches Beispiel für ein Differential 1-bilden.

Da jeder Vektor v ist eine lineare Kombination vjej seiner Komponenten, df wird eindeutig bestimmt durch dfp(ej) für jeden j und jede pU., die nur die partiellen Ableitungen von sind f auf U.. So df bietet eine Möglichkeit zum Codieren der partiellen Ableitungen von f. Es kann dekodiert werden, indem die Koordinaten beachtet werden x1, x2, …, xn sind selbst Funktionen auf U., und definieren Sie so Differential 1-Formen dx1, dx2, …, dxn. Lassen f = xich. Schon seit xich / ∂xj = δij, der Kronecker-Delta-Funktion, folgt daraus

(* *)

Die Bedeutung dieses Ausdrucks ergibt sich aus der Bewertung beider Seiten an einem beliebigen Punkt p: auf der rechten Seite ist die Summe “punktweise” definiert, so dass

Beide Seiten auf anwenden ejDas Ergebnis auf jeder Seite ist das jth partielle Ableitung von f beim p. Schon seit p und j waren willkürlich, dies beweist die Formel

.

Allgemeiner für alle reibungslosen FunktionenG ich undh ich aufU. definieren wir das Differential1 -bilden α= ∑ichGichdh ich

{ displaystyle alpha _ {p} = sum _ {i} g_ {i} (p) (dh_ {i}) _ {p}}

für jeden p U. . Jedes Differential1 -Form entsteht auf diese Weise und durch Verwendung Daraus folgt jedes Differential 1-bilden αauf

{ displaystyle alpha = sum _ {i = 1} ^ {n} f_ {i} , dx ^ {i}}

alpha = sum _ {i = 1} ^ {n} f_ {i} , dx ^ {i} für einige reibungslose Funktionenf ichauf

U.

. Die zweite Idee, die zu Differentialformen führt, ergibt sich aus der folgenden Frage: gegebenes Differential 1-bilden αauf U., wann gibt es eine Funktion? fauf U.so dass α= df? Die obige Erweiterung reduziert diese Frage auf die Suche nach einer Funktion fderen partielle Ableitungenf/ ∂x ichsind gleich ngegebene Funktionenf ich. Zum n > 1Eine solche Funktion gibt es nicht immer: eine glatte Funktion

{ displaystyle { frac { partiell ^ {2} f} { partiell x ^ {i} , partiell x ^ {j}}} = { frac { partiell ^ {2} f} { partiell x ^ {j} , teilweise x ^ {i}}},}

{ frac { partiell ^ {2} f} { partiell x ^ {i} , partiell x ^ {j}}} = { frac { partiell ^ {2} f} { partiell x ^ { j} , teilweise x ^ {i}}}, so wird es unmöglich sein, eine solche zu finden

{ displaystyle { frac { partielle f_ {j}} { partielle x ^ {i}}} – { frac { partielle f_ {i}} { partielle x ^ {j}}} = 0}

{ displaystyle { frac { partielle f_ {j}} { partielle x ^ {i}}} – { frac { partielle f_ {i}} { partielle x ^ {j}}} = 0} für alle ichund

j

. Die Schrägsymmetrie der linken Seite in ichund j schlägt vor, ein antisymmetrisches Produkt einzuführen auf Differential

{ displaystyle sum _ {i, j = 1} ^ {n} { frac { partielle f_ {j}} { partielle x ^ {i}}} , dx ^ {i} Keil dx ^ { j} = 0,}

{ displaystyle sum _ {i, j = 1} ^ {n} { frac { partielle f_ {j}} { partielle x ^ {i}}} , dx ^ {i} Keil dx ^ { j} = 0,} wo

{ displaystyle dx ^ {i} wedge dx ^ {j} = – dx ^ {j} wedge dx ^ {i}.}

{ displaystyle dx ^ {i} wedge dx ^ {j} = – dx ^ {j} wedge dx ^ {i}.} Dies ist ein Beispiel für ein Differential 2-bilden. Diese 2-Form heißt die äußere Ableitung von α= ∑
n
j= 1fjdx

{ displaystyle d alpha = sum _ {j = 1} ^ {n} df_ {j} wedge dx ^ {j} = sum _ {i, j = 1} ^ {n} { frac { partiell f_ {j}} { partiell x ^ {i}}} , dx ^ {i} Keil dx ^ {j}.}

{ displaystyle d alpha = sum _ {j = 1} ^ {n} df_ {j} wedge dx ^ {j} = sum _ {i, j = 1} ^ {n} { frac { partiell f_ {j}} { partiell x ^ {i}}} , dx ^ {i} Keil dx ^ {j}.} Zusammenfassen: = 0ist eine notwendige Voraussetzung für die Existenz einer Funktion fmit α=

df

. Differential 0-Formen, 1-Formen und 2-Formen sind Sonderfälle von Differentialformen. Für jeden kgibt es einen Raum des Differentials

{ displaystyle sum _ {i_ {1}, i_ {2} ldots i_ {k} = 1} ^ {n} f_ {i_ {1} i_ {2} ldots i_ {k}} , dx ^ {i_ {1}} wedge dx ^ {i_ {2}} wedge cdots wedge dx ^ {i_ {k}}}

{ displaystyle sum _ {i_ {1}, i_ {2} ldots i_ {k} = 1} ^ {n} f_ {i_ {1} i_ {2} ldots i_ {k}} , dx ^ {i_ {1}} wedge dx ^ {i_ {2}} wedge cdots wedge dx ^ {i_ {k}}} für eine Sammlung von Funktionenfich1ich2⋅⋅⋅ich k. Antisymmetrie, für die bereits vorhanden war 2-forms ermöglicht es, die Summe auf die Sätze von Indizes zu beschränken, für die ich 1< ich 2<...ich k −1<ich

k

. Differentialformen können mit dem Außenprodukt und für jedes Differential miteinander multipliziert werden k-bilden αgibt es ein Differential (k + 1)-bilden genannt die äußere Ableitung von

α

. Differentialformen, das äußere Produkt und die äußere Ableitung sind unabhängig von der Wahl der Koordinaten. Folglich können sie auf jedem glatten Verteiler definiert werden M.. Ein Weg, dies zu tun, ist Deckung M.mit Koordinatendiagrammen und definieren Sie ein Differential k-Form ein M.eine Familie von Differential sein

k[edit]

-Formen auf jedem Diagramm, die sich auf die Überlappungen einigen. Es gibt jedoch intrinsischere Definitionen, die die Unabhängigkeit von Koordinaten offenbaren.

Intrinsische Definitionen Lassen M.eine glatte Mannigfaltigkeit sein. Eine glatte Differenzform des Grades kist ein glatter Abschnitt der kDie äußere Kraft des Kotangensbündels von M.. Die Menge aller Differentiale k-Formen auf einem Verteiler M.ist ein Vektorraum, der oft bezeichnet wirdΩk(M.

)

. Die Definition einer Differentialform kann wie folgt angepasst werden. An jedem Punkt pM., ein k-bilden

{ displaystyle beta _ {p} in { textstyle bigwedge} ^ {k} T_ {p} ^ {*} M,}

{ displaystyle beta _ {p} in { textstyle bigwedge} ^ {k} T_ {p} ^ {*} M,} woT.p M.ist der Tangentenraum zu M.beim pundT.p* * M.ist sein doppelter Raum. Dieser Raum ist natürlich isomorph zur Faser bei pdes Doppelbündels der kDie äußere Kraft des Tangentenbündels von M.. Das ist,

βist auch eine lineare Funktionβp::kT.pM.

{ textstyle beta _ {p} Doppelpunkt { textstyle bigwedge} ^ {k} T_ {p} M to mathbf {R}} { textstyle beta _ {p} Doppelpunkt { textstyle bigwedge} ^ {k} T_ {p} M to mathbf {R}}, dh das Dual der kDie äußere Kraft ist isomorph zu der

{ displaystyle { textstyle bigwedge} ^ {k} T_ {p} ^ {*} M cong { Big (} { textstyle bigwedge} ^ {k} T_ {p} M { Big)} ^ {*}}

{ displaystyle { textstyle bigwedge} ^ {k} T_ {p} ^ {*} M cong { Big (} { textstyle bigwedge} ^ {k} T_ {p} M { Big)} ^ {*}}

{ displaystyle beta _ {p} Doppelpunkt bigoplus _ {n = 1} ^ {k} T_ {p} M bis mathbf {R}.}

{ displaystyle beta _ {p} Doppelpunkt bigoplus _ {n = 1} ^ {k} T_ {p} M bis mathbf {R}.} Folglich ein Differential k-Form kann gegen jede ausgewertet werden k-Tupel von Tangentenvektoren zum gleichen Punkt pvon M.. Zum Beispiel ein Differential 1-bilden αweist jedem Punkt zu pM.eine lineare Funktionα paufT.p M.. In Gegenwart eines inneren Produkts aufT.p M.(induziert durch eine Riemannsche Metrik auf M.),α pkann als inneres Produkt mit einem Tangentenvektor dargestellt werdenX. p. Differential

1

-Formen werden manchmal als kovariante Vektorfelder, Covektorfelder oder “duale Vektorfelder” bezeichnet, insbesondere in der Physik.

{ displaystyle operatorname {Alt} Doppelpunkt { bigotimes} ^ {k} T ^ {*} M bis { bigotimes} ^ {k} T ^ {*} M.}

{ displaystyle operatorname {Alt} Doppelpunkt { bigotimes} ^ {k} T ^ {*} M bis { bigotimes} ^ {k} T ^ {*} M.} Für einen Tensor an einem Punkt

{ displaystyle operatorname {Alt} ( omega _ {p}) (x_ {1}, dots, x_ {k}) = { frac {1} {k!}} sum _ { sigma in S_ {k}} operatorname {sgn} ( sigma) omega _ {p} (x _ { sigma (1)}, dots, x _ { sigma (k)}),}

{ displaystyle operatorname {Alt} ( omega _ {p}) (x_ {1}, dots, x_ {k}) = { frac {1} {k!}} sum _ { sigma in S_ {k}} operatorname {sgn} ( sigma) omega _ {p} (x _ { sigma (1)}, dots, x _ { sigma (k)}),} woS. kist die symmetrische Gruppe an

{ displaystyle operatorname {Alt} Doppelpunkt { textstyle bigwedge} ^ {k} T ^ {*} M bis { bigotimes} ^ {k} T ^ {*} M.}

{ displaystyle operatorname {Alt} Doppelpunkt { textstyle bigwedge} ^ {k} T ^ {*} M bis { bigotimes} ^ {k} T ^ {*} M.} Diese Karte zeigt βals völlig antisymmetrisches kovariantes Tensorfeld des Ranges k. Das Differential bildet sich weiter

M.[edit]

stehen in Eins-zu-Eins-Entsprechung mit solchen Tensorfeldern.

Operationen

[edit]

Neben der Addition und Multiplikation mit Skalaroperationen, die sich aus der Vektorraumstruktur ergeben, gibt es mehrere andere Standardoperationen, die für Differentialformen definiert sind. Die wichtigsten Operationen sind das äußere Produkt zweier Differentialformen, die äußere Ableitung einer einzelnen Differentialform, das innere Produkt einer Differentialform und eines Vektorfeldes, die Lie-Ableitung einer Differentialform in Bezug auf ein Vektorfeld und die Kovariante Ableitung einer Differentialform in Bezug auf ein Vektorfeld auf einem Verteiler mit einer definierten Verbindung.

Außenprodukt Das Außenprodukt von a k-bilden αund ein -bilden βist ein ( k+ ) -Form bezeichnet αβ. An jedem Punkt pdes Verteilers M., die Formen αund βsind Elemente einer äußeren Kraft des Kotangensraums bei

p

. Wenn die äußere Algebra als Quotient der Tensoralgebra betrachtet wird, entspricht das äußere Produkt dem Tensorprodukt (Modulo der Äquivalenzbeziehung, die die äußere Algebra definiert). Die der äußeren Algebra innewohnende Antisymmetrie bedeutet, dass wenn αβwird als multilineares Funktional angesehen, es wechselt. Wenn jedoch die äußere Algebra einen Unterraum der Tensoralgebra mittels der Wechselkarte, dem Tensorprodukt, einbettet α

{ displaystyle alpha wedge beta = { frac {(k + ell)!} {k! ell!}} operatorname {Alt} ( alpha otimes beta).}

{ displaystyle alpha wedge beta = { frac {(k + ell)!} {k! ell!}} operatorname {Alt} ( alpha otimes beta).} Diese Beschreibung ist nützlich für explizite Berechnungen. Zum Beispiel wenn k == 1, dann αβist der 2-Form, deren Wert an einem Punkt

{ displaystyle ( alpha wedge beta) _ {p} (v, w) = alpha _ {p} (v) beta _ {p} (w) – alpha _ {p} (w) Beta _ {p} (v)}

( alpha wedge beta) _ {p} (v, w) = alpha _ {p} (v) beta _ {p} (w) – alpha _ {p} (w) beta _ { p} (v) zum v ,w∈ T.p

M.

. Das äußere Produkt ist bilinear: Wenn α, β, und γsind alle unterschiedlichen Formen, und wenn

{ displaystyle alpha wedge (f cdot beta) = f cdot ( alpha wedge beta).}

{ displaystyle alpha wedge (f cdot beta) = f cdot ( alpha wedge beta).} Es ist schief kommutativ(auch bekannt als benotet kommutativ), was bedeutet, dass es eine Variante der Antikommutativität erfüllt, die von den Graden der Formen abhängt: wenn αist ein k-Form und βist ein

{ displaystyle alpha wedge beta = (- 1) ^ {k ell} beta wedge alpha.}[edit]

{ displaystyle alpha wedge beta = (- 1) ^ {k ell} beta wedge alpha.}

Riemannsche Mannigfaltigkeit

Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit oder allgemeiner einer Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit definiert die Metrik einen faserweisen Isomorphismus der Tangenten- und Kotangensbündel. Dies ermöglicht es, Vektorfelder in Covector-Felder umzuwandeln und umgekehrt. Es ermöglicht auch die Definition zusätzlicher Operationen wie des Hodge-Sternoperators::Ωk( M.)Ωn– –k(M.

{ displaystyle star Doppelpunkt Omega ^ {k} (M) { stackrel { sim} { to}} Omega ^ {nk} (M)}

{ displaystyle star Doppelpunkt Omega ^ {k} (M) { stackrel { sim} { to}} Omega ^ {nk} (M)}und das codifferentialδ::Ωk(M.)Ωk– –1(M.

{ displaystyle delta Doppelpunkt Omega ^ {k} (M) rechter Pfeil Omega ^ {k-1} (M)} { displaystyle delta Doppelpunkt Omega ^ {k} (M) rechter Pfeil Omega ^ {k-1} (M)} , die Grad hat −1und ist an das äußere Differential angrenzend

d[edit]

.

Vektorfeldstrukturen Auf einer pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit,

1

-Formen können mit Vektorfeldern identifiziert werden; Vektorfelder haben zusätzliche unterschiedliche algebraische Strukturen, die hier zum Kontext und zur Vermeidung von Verwirrung aufgeführt sind. Erstens erzeugt jeder (Co-) Tangentenraum eine Clifford-Algebra, bei der das Produkt eines (Co-) Vektors mit sich selbst durch den Wert einer quadratischen Form gegeben ist – in diesem Fall die natürliche, die durch die Metrik induziert wird. Diese Algebra ist

deutlich

aus der äußeren Algebra von Differentialformen, die als Clifford-Algebra angesehen werden kann, in der die quadratische Form verschwindet (da das äußere Produkt eines Vektors mit sich selbst Null ist). Clifford-Algebren sind daher nicht antikommutative (“Quanten”) Verformungen der äußeren Algebra. Sie werden in der geometrischen Algebra untersucht. Eine andere Alternative besteht darin, Vektorfelder als Ableitungen zu betrachten. Die (nicht kommutative) Algebra der von ihnen erzeugten Differentialoperatoren ist die Weyl-Algebra und eine nicht kommutative (“Quanten”) Verformung der

symmetrisch[edit]

Algebra in den Vektorfeldern.

Äußerer Differentialkomplex Eine wichtige Eigenschaft des äußeren Derivats ist das d2

{ displaystyle 0 to Omega ^ {0} (M) { stackrel {d} { to}} Omega ^ {1} (M) { stackrel {d} { to} } Omega ^ {2} (M) { stackrel {d} { to}} Omega ^ {3} (M) to cdots to Omega ^ {n} ( M) bis 0.}

{ displaystyle 0 to Omega ^ {0} (M) { stackrel {d} { to}} Omega ^ {1} (M) { stackrel {d} { to} } Omega ^ {2} (M) { stackrel {d} { to}} Omega ^ {3} (M) to cdots to Omega ^ {n} ( M) bis 0.} Dieser Komplex wird als de Rham-Komplex bezeichnet, und seine Kohomologie ist per Definition die de Rham-Kohomologie von M.. Durch das Poincaré-Lemma ist der de Rham-Komplex lokal genau, außer beiΩ0(M. ). Der Kernel beiΩ0( M. )ist der Raum lokal konstanter Funktionen auf M.. Daher ist der Komplex eine Auflösung der konstanten Garbe R., was wiederum eine Form des Satzes von de Rham impliziert: Die Kohomologie von de Rham berechnet die Garbenkohomologie von

R.[edit]

.

Zurückziehen Nehme an, dass f :: M.N.ist glatt. Das Differential von fist eine glatte Karte df :: TMTNzwischen den Tangentenbündeln von M.und N.. Diese Karte wird auch bezeichnet f und rief die vorstoßen. Für jeden Punkt pM.und alle vT.p M.gibt es einen genau definierten Pushforward-Vektorf( v )imT.f(p) N.. Gleiches gilt jedoch nicht für ein Vektorfeld. Wenn fist nicht injektiv, sagen wir weil qN.hat zwei oder mehr Vorbilder, dann kann das Vektorfeld zwei oder mehr verschiedene Vektoren in bestimmenT.q N.. Wenn fist nicht surjektiv, dann wird ein Punkt sein qN.bei welchem f bestimmt überhaupt keinen Tangentenvektor. Da ein Vektorfeld an N.bestimmt per Definition einen eindeutigen Tangentenvektor an jedem Punkt von

N.

ist die Vorwärtsbewegung eines Vektorfeldes nicht immer vorhanden. Im Gegensatz dazu ist es immer möglich, eine Differentialform zurückzuziehen. Eine Differenzform auf N.kann als eine lineare Funktion auf jedem Tangentenraum angesehen werden. Vorfunktionieren dieser Funktion mit dem Differential df :: TMTNdefiniert eine lineare Funktion für jeden Tangentenraum von M.und daher eine Differenzform auf

M.

. Die Existenz von Pullbacks ist eines der Hauptmerkmale der Theorie der Differentialformen. Es führt in anderen Situationen zur Existenz von Pullback-Karten, beispielsweise zu Pullback-Homomorphismen in der De-Rham-Kohomologie. Formal lassen f :: M.N.sei glatt und lass ωsei ein glatter k-Form ein N.. Dann gibt es eine Differentialformf ωauf M. , genannt die zurückziehenvon ω, die das Verhalten von erfasst ωwie relativ gesehen f. Legen Sie einen Punkt fest, um den Pullback zu definieren pvon M.und Tangentenvektorenv 1, …,v kzu M.beim p. Der Rückzug von

{ displaystyle (f ^ {*} omega) _ {p} (v_ {1}, ldots, v_ {k}) = omega _ {f (p)} (f _ {*} v_ {1}, ldots, f _ {*} v_ {k}).}

(f ^ {*} omega) _ {p} (v_ {1}, ldots, v_ {k}) = omega _ {f (p)} (f _ {*} v_ {1}, ldots, f _ {*} v_ {k}). Es gibt mehrere abstraktere Möglichkeiten, diese Definition anzuzeigen. Wenn ωist ein 1-Form ein N.dann kann es als ein Abschnitt des Kotangensbündels angesehen werdenT. N.von N. . Verwenden von um eine duale Karte zu bezeichnen, die duale zum Differential von fist(df ) ::T. N.T. M.. Der Rückzug von

{ displaystyle M { stackrel {f} { to}} N { stackrel { omega} { to}} T ^ {*} N { stackrel {(df) ^ {*} } { longrightarrow}} T ^ {*} M.}

{ displaystyle M { stackrel {f} { to}} N { stackrel { omega} { to}} T ^ {*} N { stackrel {(df) ^ {*} } { longrightarrow}} T ^ {*} M.} Dies ist ein Abschnitt des Kotangensbündels von M.und damit ein Differential 1-Form ein

M.. Ganz allgemein, lassen Siek(df)

{ textstyle bigwedge ^ {k} (df) ^ {*}} { textstyle bigwedge ^ {k} (df) ^ {*}}bezeichnen die kDie äußere Kraft der Doppelkarte auf das Differential. Dann der Rückzug eines k-bilden

{ displaystyle M { stackrel {f} { to}} N { stackrel { omega} { to}} { textstyle bigwedge} ^ {k} T ^ {*} N { stackrel {{ bigwedge} ^ {k} (df) ^ {*}} { longrightarrow}} { textstyle bigwedge} ^ {k} T ^ {*} M.}

{ displaystyle M { stackrel {f} { to}} N { stackrel { omega} { to}} { textstyle bigwedge} ^ {k} T ^ {*} N { stackrel {{ bigwedge} ^ {k} (df) ^ {*}} { longrightarrow}} { textstyle bigwedge} ^ {k} T ^ {*} M.} Eine andere abstrakte Art, den Pullback anzuzeigen, ist das Anzeigen von a k-bilden ωals lineare Funktion auf Tangentenräumen. Von diesem Standpunkt aus betrachtet,

{ displaystyle { textstyle bigwedge} ^ {k} TN { stackrel { omega} { to}} N times mathbf {R},}

{ displaystyle { textstyle bigwedge} ^ {k} TN { stackrel { omega} { to}} N times mathbf {R},} wo N. × R.ist das triviale Rang-1-Bündel

{ displaystyle { textstyle bigwedge} ^ {k} TM { stackrel {{ bigwedge} ^ {k} df} { longrightarrow}} { textstyle bigwedge} ^ {k} TN { stackrel { omega} { to}} N times mathbf {R}}

{ displaystyle { textstyle bigwedge} ^ {k} TM { stackrel {{ bigwedge} ^ {k} df} { longrightarrow}} { textstyle bigwedge} ^ {k} TN { stackrel { omega} { to}} N times mathbf {R}} definiert eine lineare Funktion für jeden Tangentenraum von M.und daher wird das triviale Bündel berücksichtigt M.×

R.. Der VektorbündelmorphismuskT.M.M.×

{ textstyle { textstyle bigwedge} ^ {k} TM bis M times mathbf {R}} { textstyle { textstyle bigwedge} ^ {k} TM bis M times mathbf {R}}auf diese Weise definiert istf

ω

. Pullback berücksichtigt alle grundlegenden Operationen an Formularen. Wenn ωund ηsind Formen und

{ displaystyle { begin {align} f ^ {*} (c omega) & = c (f ^ {*} omega), \ f ^ {*} ( omega + eta) & = f ^ {*} omega + f ^ {*} eta, \ f ^ {*} ( omega wedge eta) & = f ^ {*} omega wedge f ^ {*} eta, \ f ^ {*} (d omega) & = d (f ^ {*} omega). end {align}}}

{ displaystyle { begin {align} f ^ {*} (c omega) & = c (f ^ {*} omega), \ f ^ {*} ( omega + eta) & = f ^ {*} omega + f ^ {*} eta, \ f ^ {*} ( omega wedge eta) & = f ^ {*} omega wedge f ^ {*} eta, \ f ^ {*} (d omega) & = d (f ^ {*} omega). end {align}}} Das Zurückziehen eines Formulars kann auch in Koordinaten geschrieben werden. Annehmen, dassx 1, …,x msind Koordinaten auf M., Dasy 1, …,y nsind Koordinaten auf N.und dass diese Koordinatensysteme durch die Formeln zusammenhängeny ich=fich(x 1, …,x m )für alle ich. Vor Ort auf N.,

{ displaystyle omega = sum _ {i_ {1} < cdots

wo, für jede Wahl vonich 1, …,ich k,ωich1⋅⋅⋅ich kist eine reelle Funktion vony 1, …,y n. Unter Verwendung der Linearität des Rückzugs und seiner Kompatibilität mit dem Außenprodukt kann der Rückzug von

{ displaystyle f ^ {*} omega = sum _ {i_ {1} < cdots

Jedes äußere Derivatdf ichkann erweitert werden in Bezug aufdx 1, …,dx m. Das Ergebnis

{ displaystyle f ^ {*} omega = sum _ {i_ {1} < cdots

Hier,(fich1,,fichk)(xj1,,xjk

{ displaystyle { frac { partiell (f_ {i_ {1}}, ldots, f_ {i_ {k}})} { partiell (x ^ {j_ {1}}, ldots, x ^ {j_ {k}})}}}

{ displaystyle { frac { partiell (f_ {i_ {1}}, ldots, f_ {i_ {k}})} { partiell (x ^ {j_ {1}}, ldots, x ^ {j_ {k}})}}}bezeichnet die Determinante der Matrix, deren Einträge sindfichmxj

{ displaystyle { frac { partielle f_ {i_ {m}}} { partielle x ^ {j_ {n}}}}

{ displaystyle { frac { partielle f_ {i_ {m}}} { partielle x ^ {j_ {n}}}},1m,n

{ displaystyle 1 leq m, n leq k}

1 leq m, n leq k[edit]

.

Integration Ein Differential k-Form kann über eine orientierte integriert werden k-dimensionale Mannigfaltigkeit. Wenn der k-Form ist auf einem definiert n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit n> k, dann ist die k-Form kann überorientiert integriert werden k-dimensionale Untervielfalt. Wenn k = 0Die Integration über orientierte 0-dimensionale Untervielfalt ist nur die Summe des an Punkten bewerteten Integranden, entsprechend der Ausrichtung dieser Punkte. Andere Werte von k

= 1, 2, 3, …[edit]

entsprechen Linienintegralen, Oberflächenintegralen, Volumenintegralen usw. Es gibt mehrere äquivalente Möglichkeiten, das Integral einer Differentialform formal zu definieren, die alle von der Reduktion auf den Fall des euklidischen Raums abhängen.

Integration in den euklidischen Raum Lassen U.eine offene Teilmenge von seinR. n. GebenR. nseine Standardausrichtung und U.die Einschränkung dieser Ausrichtung. Jeder glatt n-bilden ωauf

{ displaystyle omega = f (x) , dx ^ {1} wedge cdots wedge dx ^ {n}}

{ displaystyle omega = f (x) , dx ^ {1} wedge cdots wedge dx ^ {n}} für eine reibungslose Funktion f::R. nR.. Eine solche Funktion hat ein Integral im üblichen Riemann- oder Lebesgue-Sinne. Dies ermöglicht es uns, das Integral von zu definieren ωdas Integral von sein

{ displaystyle int _ {U} omega { stackrel { text {def}} {=}} int _ {U} f (x) , dx ^ {1} cdots dx ^ {n} .}

{ displaystyle int _ {U} omega { stackrel { text {def}} {=}} int _ {U} f (x) , dx ^ {1} cdots dx ^ {n} .} Das Festlegen einer Ausrichtung ist erforderlich, damit dies genau definiert werden kann. Die Schrägsymmetrie von Differentialformen bedeutet, dass das Integral von beispielsweise dx 1 dx 2muss das Negative des Integrals von sein dx 2dx

1[edit]

. Riemann- und Lebesgue-Integrale können diese Abhängigkeit von der Reihenfolge der Koordinaten nicht erkennen und lassen das Vorzeichen des Integrals unbestimmt. Die Ausrichtung löst diese Mehrdeutigkeit.

Integration über Ketten Lassen M.Bohne n-Vielfach und ωein n-Form ein M.. Nehmen wir zunächst an, dass eine Parametrisierung von vorliegt

{ displaystyle varphi Doppelpunkt D bis M}

{ displaystyle varphi Doppelpunkt D bis M} wo D.R. n. Geben M.die Orientierung induziert durch φ. Dann definiert (Rudin 1976) das Integral von ωÜber M.das Integral von seinφ ωÜber D.. In Koordinaten hat dies den folgenden Ausdruck. Fix ein Diagramm auf M.mit Koordinatenx 1, …,x

{ displaystyle omega = sum _ {i_ {1} < cdots

Nehme an, dass

{ displaystyle varphi ({ mathbf {u}}) = (x ^ {1} ({ mathbf {u}}), ldots, x ^ {n} ({ mathbf {u}})). }}

{ displaystyle varphi ({ mathbf {u}}) = (x ^ {1} ({ mathbf {u}}), ldots, x ^ {n} ({ mathbf {u}})). }}

{ displaystyle int _ {M} omega = int _ {D} sum _ {i_ {1} < cdots

wo(xich1,,xichn)(u1,,un

{ displaystyle { frac { partiell (x ^ {i_ {1}}, ldots, x ^ {i_ {n}})} { partiell (u ^ {1}, ldots, u ^ {n} )}}}

{ displaystyle { frac { partiell (x ^ {i_ {1}}, ldots, x ^ {i_ {n}})} { partiell (u ^ {1}, ldots, u ^ {n} )}}} ist die Determinante des Jacobian. Der Jacobianer existiert weil

φ

ist differenzierbar. Im Allgemeinen ist ein n-Vielfach kann nicht durch eine offene Teilmenge von parametrisiert werdenR. n. Eine solche Parametrisierung ist jedoch immer lokal möglich, sodass Integrale über beliebige Mannigfaltigkeiten definiert werden können, indem sie als Summen von Integralen über Sammlungen lokaler Parametrisierungen definiert werden. Darüber hinaus ist es auch möglich, Parametrisierungen von zu definieren k-dimensionale Teilmengen für k< nund dies ermöglicht es, Integrale von zu definieren k-Formen. Um dies zu präzisieren, ist es zweckmäßig, eine Standarddomäne zu reparieren D.imR. k, normalerweise ein Würfel oder ein Simplex. EINk – – Ketteist eine formale Summe glatter Einbettungen D.M.. Das heißt, es handelt sich um eine Sammlung glatter Einbettungen, denen jeweils eine ganzzahlige Multiplizität zugewiesen ist. Jede glatte Einbettung bestimmt a k-dimensionale Untervielfalt von

{ displaystyle c = sum _ {i = 1} ^ {r} m_ {i} varphi _ {i},}

{ displaystyle c = sum _ {i = 1} ^ {r} m_ {i} varphi _ {i},} dann das Integral von a k-bilden ωÜber cist definiert als die Summe der Integrale über die Terme von

{ displaystyle int _ {c} omega = sum _ {i = 1} ^ {r} m_ {i} int _ {D} varphi _ {i} ^ {*} omega.}

{ displaystyle int _ {c} omega = sum _ {i = 1} ^ {r} m_ {i} int _ {D} varphi _ {i} ^ {*} omega.} Dieser Ansatz zur Definition der Integration weist der Integration über die gesamte Mannigfaltigkeit keine direkte Bedeutung zu M.. Es ist jedoch immer noch möglich, eine solche Bedeutung indirekt zuzuweisen, da jeder glatte Verteiler auf im Wesentlichen einzigartige Weise glatt trianguliert werden kann und das Integral über

M.[edit]

kann als das durch eine Triangulation bestimmte Integral über der Kette definiert werden.

Integration mit Partitionen der EinheitEs gibt einen anderen Ansatz, der in (Dieudonne 1972) erläutert wird. Harv-Fehler: kein Ziel: CITEREFDieudonne1972 (Hilfe), die der Integration über direkt eine Bedeutung zuweist M.Dieser Ansatz erfordert jedoch die Festlegung einer Ausrichtung von M.. Das Integral eines n-bilden ωauf einem n-dimensionale Mannigfaltigkeit wird durch Arbeiten in Diagrammen definiert. Nehmen wir zuerst an, dass ωwird auf einem einzelnen positiv ausgerichteten Diagramm unterstützt. In diesem Diagramm kann es zu einem zurückgezogen werden n-Form auf einer offenen Teilmenge vonR. n. Hier hat die Form wie zuvor ein genau definiertes Riemann- oder Lebesgue-Integral. Die Formel zur Änderung der Variablen und die Annahme, dass das Diagramm positiv zusammen ausgerichtet ist, stellen sicher, dass das Integral von ωist unabhängig vom gewählten Diagramm. Verwenden Sie im allgemeinen Fall eine Partition der Einheit zum Schreiben ωals Summe von n-Formen, von denen jede in einem einzelnen positiv ausgerichteten Diagramm unterstützt wird, und definieren das Integral von

ω

die Summe der Integrale jedes Terms in der Teilung der Einheit zu sein. Es ist auch möglich zu integrieren k-Formen auf orientiert k-dimensionale Submanifolds unter Verwendung dieses intrinsischeren Ansatzes. Das Formular wird zurück in die Untervielfalt gezogen, wo das Integral wie zuvor mithilfe von Diagrammen definiert wird. Zum Beispiel einen Pfad gegebenγ( [0, 1] t ):R. 2, Integration a 1-form auf dem Pfad zieht das Formular einfach zu einem Formular zurückf(t ) [0, 1]dt aufund dieses Integral ist das Integral der Funktionf( t

)[edit]

auf das Intervall.

Integration entlang der Fasern

Der Satz von Fubini besagt, dass das Integral über einer Menge, die ein Produkt ist, als iteriertes Integral über die beiden Faktoren im Produkt berechnet werden kann. Dies legt nahe, dass das Integral einer Differentialform über einem Produkt auch als iteriertes Integral berechenbar sein sollte. Die geometrische Flexibilität von Differentialformen stellt sicher, dass dies nicht nur für Produkte, sondern auch in allgemeineren Situationen möglich ist. Unter einigen Hypothesen ist es möglich, entlang der Fasern einer glatten Karte zu integrieren, und das Analogon von Fubinis Theorem ist der Fall, wenn diese Karte die Projektion von einem Produkt auf einen seiner Faktoren ist. Da das Integrieren einer Differentialform über eine Untervielfalt das Festlegen einer Orientierung erfordert, ist das Vorhandensein einer genau definierten Orientierung auf diesen Fasern eine Voraussetzung für die Integration entlang der Fasern. Lassen M.und N.seien zwei orientierbare Mannigfaltigkeiten von reinen Dimensionen mund n , beziehungsweise. Nehme an, dass f ::M.N.ist ein surjektives Untertauchen. Dies impliziert, dass jede Faserf−1( y ) ist (m– –n )-dimensional und das, um jeden Punkt von M.gibt es ein Diagramm, auf dem f sieht aus wie die Projektion von einem Produkt auf einen seiner Faktoren. Fix xM. und setzen y=f(x

{ displaystyle { begin {align} omega _ {x} & in { textstyle bigwedge} ^ {m} T_ {x} ^ {*} M, \ eta _ {y} & in { textstyle bigwedge} ^ {n} T_ {y} ^ {*} N, end {align}}}

{ displaystyle { begin {align} omega _ {x} & in { textstyle bigwedge} ^ {m} T_ {x} ^ {*} M, \ eta _ {y} & in { textstyle bigwedge} ^ {n} T_ {y} ^ {*} N, end {align}}} und dasη verschwindet nicht. Im Anschluss (Dieudonne 1972)

{ displaystyle sigma _ {x} in { textstyle bigwedge} ^ {mn} T_ {x} ^ {*} (f ^ {- 1} (y))}

{ displaystyle sigma _ {x} in { textstyle bigwedge} ^ {mn} T_ {x} ^ {*} (f ^ {- 1} (y))} was als der fibrale Teil von gedacht werden kannω xin Gedenken anη y . Genauer definieren j::f −1(y ) → M.die Aufnahme sein. Dannσ

{ displaystyle omega _ {x} = (f ^ {*} eta _ {y}) _ {x} wedge sigma ‘_ {x} in { textstyle bigwedge} ^ {m} T_ { x} ^ {*} M,}

{ displaystyle omega _ {x} = (f ^ {*} eta _ {y}) _ {x} wedge sigma ‘_ {x} in { textstyle bigwedge} ^ {m} T_ { x} ^ {*} M,}

{ displaystyle sigma ‘_ {x} in { textstyle bigwedge} ^ {mn} T_ {x} ^ {*} M}

{ displaystyle sigma ‘_ {x} in { textstyle bigwedge} ^ {mn} T_ {x} ^ {*} M} ist eine (m– –n

{ displaystyle sigma _ {x} = j ^ {*} sigma ‘_ {x}.}

{ displaystyle sigma _ {x} = j ^ {*} sigma ‘_ {x}.} Die Formσ xkann auch notiert werden ω x/.η

y

. Darüber hinaus für feste y,σ xvariiert reibungslos in Bezug auf

{ displaystyle omega Doppelpunkt f ^ {- 1} (y) bis T ^ {*} M}

{ displaystyle omega Doppelpunkt f ^ {- 1} (y) bis T ^ {*} M} ist ein glatter Abschnitt der Projektionskarte; das sagen wir ωist ein glattes Differential m-Form ein M.entlangf−1(y ) . Dann gibt es ein glattes Differential (m– –n )-bilden σauff−1( y ) so dass bei jedem xf−1(y

{ displaystyle sigma _ {x} = omega _ {x} / eta _ {y}.}

{ displaystyle sigma _ {x} = omega _ {x} / eta _ {y}.} Diese Form wird bezeichnet ω/.η y. Die gleiche Konstruktion funktioniert, wenn ωist ein m-Form in einer Nachbarschaft der Faser, und die gleiche Notation wird verwendet. Eine Folge ist, dass jede Faserf−1( y )ist orientierbar. Insbesondere bildet sich eine Wahl der Orientierung auf M.und N.definiert eine Ausrichtung jeder Faser von

f

. Das Analogon von Fubinis Theorem ist wie folgt. Wie vorher, M.und N.sind zwei orientierbare Mannigfaltigkeiten von reinen Dimensionen mund n , und f ::M.N.ist ein surjektives Untertauchen. Fix Orientierungen von M.und N.und geben Sie jede Faser von fdie induzierte Orientierung. Lassen θBohne m-Form ein M., und lass ζBohne n-Form ein N.das ist fast überall positiv in bezug auf die orientierung von N. . Dann für fast jeden yN. , die Form θ/.ζ y ist eine gut definierte integrierbare m – – nFormular auff−1(y ). Darüber hinaus gibt es eine integrierbare n-Form ein

{ displaystyle y mapsto { bigg (} int _ {f ^ {- 1} (y)} theta / zeta _ {y} { bigg)} , zeta _ {y}.}

{ displaystyle y mapsto { bigg (} int _ {f ^ {- 1} (y)} theta / zeta _ {y} { bigg)} , zeta _ {y}.}

{ displaystyle { bigg (} int _ {f ^ {- 1} (y)} theta / zeta { bigg)} , zeta.}

{ displaystyle { bigg (} int _ {f ^ {- 1} (y)} theta / zeta { bigg)} , zeta.} Dann (Dieudonne 1972)

{ displaystyle int _ {M} theta = int _ {N} { bigg (} int _ {f ^ {- 1} (y)} theta / zeta { bigg)} , Zeta.}

{ displaystyle int _ {M} theta = int _ {N} { bigg (} int _ {f ^ {- 1} (y)} theta / zeta { bigg)} , Zeta.} Es ist auch möglich, Formen anderer Grade entlang der Fasern eines Tauchens zu integrieren. Nehmen Sie die gleichen Hypothesen wie zuvor an und lassen Sie α kompakt unterstützt werden ( m – –n+k )-Form ein M.. Dann gibt es eine k-bilden γauf N.Das ist das Ergebnis der Integration αentlang der Fasern von f. Die Form α wird durch Angabe von jeweils definiert yN., Wie αPaare gegen jeden k-Vektor vbeim yund der Wert dieser Paarung ist ein Integral überf−1( y )das kommt nur darauf an α, vund die Orientierungen von M.und N. . Genauer gesagt bei jedem y

{ displaystyle { textstyle bigwedge} ^ {k} T_ {y} N bis { textstyle bigwedge} ^ {mk} T_ {y} ^ {*} N}

{ displaystyle { textstyle bigwedge} ^ {k} T_ {y} N bis { textstyle bigwedge} ^ {mk} T_ {y} ^ {*} N}

{ displaystyle mathbf {v} mapsto mathbf {v} , lrcorner , zeta _ {y}.}

{ displaystyle mathbf {v} mapsto mathbf {v} , lrcorner , zeta _ {y}.} Wenn xf−1(y ), dann ein k-Vektor vbeim y bestimmt eine (m– –k )-Covector bei

{ displaystyle f ^ {*} ( mathbf {v} , lrcorner , zeta _ {y}) in { textstyle bigwedge} ^ {mk} T_ {x} ^ {*} M.}

{ displaystyle f ^ {*} ( mathbf {v} , lrcorner , zeta _ {y}) in { textstyle bigwedge} ^ {mk} T_ {x} ^ {*} M.} Jeder dieser Covektoren hat ein Außenprodukt dagegen α , also gibt es eine (m– –n )-bildenβ vauf M.entlangf−1( y

{ displaystyle ( beta _ { mathbf {v}}) _ {x} = left ( alpha _ {x} wedge f ^ {*} ( mathbf {v} , lrcorner , zeta _ {y}) right) { big /} zeta _ {y} in { textstyle bigwedge} ^ {mn} T_ {x} ^ {*} M.}

{ displaystyle ( beta _ { mathbf {v}}) _ {x} = left ( alpha _ {x} wedge f ^ {*} ( mathbf {v} , lrcorner , zeta _ {y}) right) { big /} zeta _ {y} in { textstyle bigwedge} ^ {mn} T_ {x} ^ {*} M.} Diese Form hängt von der Ausrichtung von ab N.aber nicht die Wahl von ζ. Dann ist die k-bilden

{ displaystyle langle gamma _ {y}, mathbf {v} rangle = int _ {f ^ {- 1} (y)} beta _ { mathbf {v}} (x),}

{ displaystyle langle gamma _ {y}, mathbf {v} rangle = int _ {f ^ {- 1} (y)} beta _ { mathbf {v}} (x),} und ist glatt (Dieudonne 1972) Harv-Fehler: kein Ziel: CITEREFDieudonne1972 (Hilfe). Diese Form wird auch bezeichnet α und rief dieIntegral von αentlang der Fasern von

f

. Die Integration entlang von Fasern ist wichtig für die Erstellung von Gysin-Karten in der de Rham-Kohomologie. Die Integration entlang der Fasern erfüllt die(Dieudonne 1972) Harv-Fehler: kein Ziel: CITEREFDieudonne1972 (Hilfe). Wenn λist eine -Form ein

{ displaystyle alpha ^ { flat} wedge lambda = ( alpha wedge f ^ {*} lambda) ^ { flat}.}[edit]

{ displaystyle alpha ^ { flat} wedge lambda = ( alpha wedge f ^ {*} lambda) ^ { flat}.}

Stokes ‘Satz Die grundlegende Beziehung zwischen der äußeren Ableitung und der Integration ergibt sich aus dem Satz von Stokes: If ωist ein ( n – 1) -Form mit kompakter Unterstützung auf M.und ∂Mbezeichnet die Grenze von

{ displaystyle int _ {M} d omega = int _ { partielles M} omega.}

{ displaystyle int _ {M} d omega = int _ { partielles M} omega.} Eine wichtige Konsequenz daraus ist, dass “das Integral einer geschlossenen Form über homologen Ketten gleich ist”: If ωist eine geschlossene k-Form und M.und N.sind k -Ketten, die homolog sind (so dass M. – – N.ist die Grenze von a (k + 1)-Kette

W.), dannM.ω=N.

{ displaystyle textstyle { int _ {M} omega = int _ {N} omega}}

{ displaystyle textstyle { int _ {M} omega = int _ {N} omega}}, da der Unterschied das Integral istW.dω=W.0=

{ displaystyle textstyle int _ {W} d omega = int _ {W} 0 = 0}

{ displaystyle textstyle int _ {W} d omega = int _ {W} 0 = 0}

. Zum Beispiel wenn ω = dfist die Ableitung einer potentiellen Funktion in der Ebene oderR. n, dann das Integral von ωüber einen Weg von einzu bhängt nicht von der Wahl des Pfades ab (das Integral ist f(b) – f(ein

)

), da verschiedene Pfade mit gegebenen Endpunkten homotop sind, daher homolog (ein schwächerer Zustand). Dieser Fall wird als Gradientensatz bezeichnet und verallgemeinert den Grundsatz der Analysis. Diese Pfadunabhängigkeit ist bei der Konturintegration sehr nützlich.

[edit]

Dieser Satz liegt auch der Dualität zwischen der De-Rham-Kohomologie und der Homologie der Ketten zugrunde.

Beziehung zu Maßnahmen Auf einenAllgemeines differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne zusätzliche Struktur), Differentialformen kann nichtüber Teilmengen des Verteilers integriert werden; Diese Unterscheidung ist der Schlüssel zur Unterscheidung zwischen Differentialformen, die über Ketten oder orientierte Teilverteiler integriert sind, und Maßnahmen, die über Teilmengen integriert sind. Das einfachste Beispiel ist der Versuch, das zu integrieren 1 -bilden [0, 1]dx über das Intervall . Unter der Annahme des üblichen Abstands (und damit der Messung) auf der realen Linie ist dieses Integral entweder 1oder −1

, es hängt davon abOrientierung:01dx=

{ displaystyle textstyle { int _ {0} ^ {1} dx = 1}}

{ displaystyle textstyle { int _ {0} ^ {1} dx = 1}}während10dx=– –01dx=– –

{ displaystyle textstyle { int _ {1} ^ {0} dx = – int _ {0} ^ {1} dx = -1}}{ displaystyle textstyle { int _ {1} ^ {0} dx = – int _ {0} ^ {1} dx = -1}} . Das Integral dermessen| dx | auf das Intervall ist eindeutig 1 (dh das Integral der konstanten Funktion 1in Bezug auf diese Maßnahme ist 1). Ebenso bei einem Koordinatenwechsel ein Differential n -Formänderungen durch die Jacobi-DeterminanteJ. , während sich ein Maß um das ändert absoluter Wertder jakobianischen Determinante,|J. |, was das Thema Orientierung weiter widerspiegelt. Zum Beispiel unter der Karte x ↦ – xauf der Linie die Differentialform dxzieht sich zurück zu– – dx;; Orientierung hat sich umgekehrt; während das Lebesgue-Maß, das wir hier bezeichnen|dx |zieht sich zurück zu |dx

|

;; es ändert sich nicht.In Gegenwart der zusätzlichen Daten eines Orientierungist es möglich zu integrieren [M]n -Formen (topdimensionale Formen) über den gesamten Verteiler oder über kompakte Teilmengen; Die Integration über die gesamte Mannigfaltigkeit entspricht der Integration der Form über die Grundklasse der Mannigfaltigkeit.. Formal kann man sich bei Vorhandensein einer Orientierung identifizieren

n

-Formen mit Dichten auf einem Verteiler; Dichten wiederum definieren ein Maß und können somit integriert werden (Folland 1999, Abschnitt 11.4, S. 361–362). Auf einer orientierbaren, aber nicht orientierten Mannigfaltigkeit gibt es zwei Möglichkeiten der Orientierung; Jede Wahl ermöglicht die Integration n-Formen über kompakte Teilmengen, wobei sich die beiden Auswahlmöglichkeiten durch ein Vorzeichen unterscheiden. Auf nicht orientierbarem Verteiler, n-Formen und -dichten können nicht identifiziert werden – insbesondere muss jede top-dimensionale Form irgendwo verschwinden (es gibt keine Volumenformen auf nicht orientierbaren Verteilern), aber es gibt nirgends verschwindende Dichten -, während man Dichten über kompakte Teilmengen integrieren kann, eine kann nicht integrieren

n

-Formen. Man kann stattdessen Dichten mit topdimensionalen Pseudoformen identifizieren. Selbst bei Vorhandensein einer Orientierung gibt es im Allgemeinen keine sinnvolle Möglichkeit zur Integration k -Formen über Teilmengen für k < nweil es keine einheitliche Möglichkeit gibt, die Umgebungsorientierung zum Orientieren zu verwenden k-dimensionale Teilmengen. Geometrisch a k-dimensionale Teilmenge kann an Ort und Stelle gedreht werden, wodurch dieselbe Teilmenge mit der entgegengesetzten Ausrichtung erhalten wird; Beispielsweise kann die horizontale Achse in einer Ebene um 180 Grad gedreht werden. Vergleichen Sie die Gramm-Determinante einer Menge von kVektoren in einem n-dimensionaler Raum, der im Gegensatz zur Determinante von nVektoren ist immer positiv und entspricht einer quadratischen Zahl. Eine Orientierung von a

k

-submanifold ist daher zusätzliche Daten, die nicht vom Umgebungsverteiler abgeleitet werden können. Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit kann man a definieren k-dimensionale Hausdorff-Maßnahme für jede k(Integer oder Real), die über integriert werden können k-dimensionale Teilmengen der Mannigfaltigkeit. Eine Funktion mal dieses Hausdorff-Maßes kann dann über integriert werden k-dimensionale Teilmengen, die ein messungstheoretisches Analogon zur Integration von liefern k-Formen. Das

n[edit]

-dimensionales Hausdorff-Maß ergibt eine Dichte wie oben.

Strömungen Die Differentialform analog einer Verteilung oder verallgemeinerten Funktion heißt a aktuell. Der Raum von k-Ströme an M.ist der duale Raum zu einem geeigneten Raum des Differentials

k[edit]

-Formen. Ströme spielen die Rolle verallgemeinerter Integrationsbereiche, ähnlich, aber noch flexibler als Ketten.

Anwendungen in der Physik Differentialformen entstehen in einigen wichtigen physischen Kontexten. Zum Beispiel ist in Maxwells Theorie des Elektromagnetismus die

{ displaystyle { textbf {F}} = { frac {1} {2}} f_ {ab} , dx ^ {a} wedge dx ^ {b} ,,}

{ displaystyle { textbf {F}} = { frac {1} {2}} f_ {ab} , dx ^ {a} wedge dx ^ {b} ,,} bei dem dief

abwerden aus den elektromagnetischen Feldern gebildetE.

{ displaystyle { vec {E}}}

{ vec {E}}undB.

{ displaystyle { vec {B}}} { vec {B}} ;; z.B, f12=E.z/. c, f23= –B.

z

oder gleichwertige Definitionen. Diese Form ist ein Sonderfall der Krümmungsform auf der U (1)Hauptbündel, auf dem sowohl Elektromagnetismus als auch allgemeine Eichentheorien beschrieben werden können. Die Verbindungsform für das Hauptbündel ist das Vektorpotential, das typischerweise mit bezeichnet wird

{ displaystyle { textbf {F}} = d { textbf {A}}.}

{ textbf {F}} = d { textbf {A}}. Dasaktuell 3

{ displaystyle { textbf {J}} = { frac {1} {6}} j ^ {a} , varepsilon _ {abcd} , dx ^ {b} wedge dx ^ {c} wedge dx ^ {d} ,,}

{ displaystyle { textbf {J}} = { frac {1} {6}} j ^ {a} , varepsilon _ {abcd} , dx ^ {b} wedge dx ^ {c} wedge dx ^ {d} ,,} woj einsind die vier Komponenten der Stromdichte. (Hier ist es eine Frage der Konvention zu schreibenF. abAnstatt vonf abdh Großbuchstaben verwenden und schreibenJ. einAnstatt von j

ein. Der Vektor rsp. Tensorkomponenten und die oben genannten Formen haben unterschiedliche physikalische Abmessungen. Darüber hinaus wird durch Entscheidung einer internationalen Kommission der Internationalen Union für reine und angewandte Physik der magnetische Polarisationsvektor genanntJ.

{ displaystyle { vec {J}}} { vec {J}}seit mehreren Jahrzehnten und von einigen Verlagen

J.

dh der gleiche Name wird für unterschiedliche Mengen verwendet.)

{ displaystyle { begin {align} d { textbf {F}} & = { textbf {0}} \ d { star { textbf {F}}} & = { textbf {J}}, end {align}}}

{ displaystyle { begin {align} d { textbf {F}} & = { textbf {0}} \ d { star { textbf {F}}} & = { textbf {J}}, end {align}}}

wo

{ displaystyle star}

Star

bezeichnet den Hodge-Sternoperator. Ähnliche Überlegungen beschreiben die Geometrie von Eichentheorien im Allgemeinen. Das

2-bilden

{ displaystyle { star} mathbf {F}} { displaystyle { star} mathbf {F}}wird auch als Faraday-Form bezeichnet

Maxwell 2-Form

. Elektromagnetismus ist ein Beispiel für a U (1)Eichentheorie. Hier ist die Lie-Gruppe U (1), die eindimensionale einheitliche Gruppe, die insbesondere abelisch ist. Es gibt Eichentheorien wie die Yang-Mills-Theorie, in denen die Lie-Gruppe nicht abelisch ist. In diesem Fall erhält man Beziehungen, die den hier beschriebenen ähnlich sind. Das Analogon des Feldes F.in solchen Theorien ist die Krümmungsform der Verbindung, die in einem Maß durch eine Lie-Algebra-bewertete Einform dargestellt wird EIN. Das Yang-Mills-Feld

{ displaystyle mathbf {F} = d mathbf {A} + mathbf {A} wedge mathbf {A}.}

mathbf {F} = d mathbf {A} + mathbf {A} wedge mathbf {A}. Im abelschen Fall, wie Elektromagnetismus, EINEIN = 0, aber das gilt im Allgemeinen nicht. Ebenso werden die Feldgleichungen durch zusätzliche Begriffe modifiziert, die Außenprodukte von betreffen EINund

F.[edit]

aufgrund der Strukturgleichungen der Eichgruppe.

Anwendungen in der geometrischen Maßtheorie Zahlreiche Minimalitätsergebnisse für komplexe analytische Mannigfaltigkeiten basieren auf der Wirtinger-Ungleichung für 2-Formen. Ein prägnanter Beweis findet sich in Herbert Federers klassischem Text

Geometrische Maßtheorie[edit]

. Die Wirtinger-Ungleichung ist auch ein wesentlicher Bestandteil von Gromovs Ungleichung für den komplexen projektiven Raum in der systolischen Geometrie.[edit]

, Springer, ISBN[edit]


Integration auf Verteilern

(PDF)