Verbundener Raum – Wikipedia

Topologischer Raum, der verbunden ist

Von oben nach unten: roter Raum EIN, rosa Raum B., gelber Raum C. und orange Raum D. sind alle verbundene Räume, während Grünflächen E. (aus Teilmengen E1, E.₂, E.₃und E.₄) ist getrennt. Außerdem, EIN und B. sind auch einfach verbunden (Gattung 0), während C. und D. sind nicht: C. hat Gattung 1 und D. hat Gattung 4.

In der Topologie und verwandten Zweigen der Mathematik, a verbundener Raum ist ein topologischer Raum, der nicht als Vereinigung von zwei oder mehr disjunkten nicht leeren offenen Teilmengen dargestellt werden kann. Verbundenheit ist eine der wichtigsten topologischen Eigenschaften, die zur Unterscheidung topologischer Räume verwendet werden.

Eine Teilmenge eines topologischen Raums X. ist ein angeschlossenes Set wenn es sich um einen verbundenen Raum handelt, wenn er als Unterraum von betrachtet wird X..

Einige verwandte, aber stärkere Bedingungen sind pfadverbunden, einfach verbunden und n-verbunden. Ein anderer verwandter Begriff ist lokal verbunden, was die Verbundenheit weder impliziert noch daraus folgt.

Formale Definition[edit]

Ein topologischer Raum X. wird gesagt, dass getrennt wenn es die Vereinigung zweier disjunkter nicht leerer offener Mengen ist. Andernfalls, X. wird gesagt, dass in Verbindung gebracht. Eine Teilmenge eines topologischen Raums wird als verbunden bezeichnet, wenn sie unter ihrer Subraumtopologie verbunden ist. Einige Autoren schließen die leere Menge (mit ihrer eindeutigen Topologie) als verbundenen Raum aus, aber dieser Artikel folgt dieser Praxis nicht.

Für einen topologischen Raum X. Die folgenden Bedingungen sind gleichwertig:

1. X. verbunden ist, das heißt, es kann nicht in zwei disjunkte nicht leere offene Mengen unterteilt werden.
2. X. kann nicht in zwei disjunkte nicht leere geschlossene Mengen unterteilt werden.
3. Die einzigen Untergruppen von X. die sowohl offen als auch geschlossen sind (Clopen Sets) sind X. und der leere Satz.
4. Die einzigen Untergruppen von X. mit leerer Grenze sind X. und der leere Satz.
5. X. kann nicht als Vereinigung von zwei nicht leeren getrennten Mengen geschrieben werden (Mengen, für die jede vom Abschluss der anderen getrennt ist).
6. Alle stetigen Funktionen von X. bis {0,1} sind konstant, wobei {0,1} der Zweipunktraum ist, der mit der diskreten Topologie ausgestattet ist.

Historisch gesehen ist diese moderne Formulierung des Begriffs der Verbundenheit (in Bezug auf keine Teilung von X. in zwei getrennten Gruppen) erschien erstmals (unabhängig) mit NJ Lennes, Frigyes Riesz und Felix Hausdorff zu Beginn des 20. Jahrhunderts. Sehen ^[1] für Details.

Verbundene Komponenten[edit]

Die maximal verbundenen Teilmengen (geordnet nach Einbeziehung) eines nicht leeren topologischen Raums werden als bezeichnet verbundene Komponenten des Raumes. Die Komponenten eines beliebigen topologischen Raums X. bilden eine Partition von X.: Sie sind disjunkt, nicht leer und ihre Vereinigung ist der ganze Raum. Jede Komponente ist eine geschlossene Teilmenge des ursprünglichen Raums. Daraus folgt, dass in dem Fall, in dem ihre Anzahl endlich ist, jede Komponente auch eine offene Teilmenge ist. Wenn ihre Anzahl jedoch unendlich ist, ist dies möglicherweise nicht der Fall. Beispielsweise sind die verbundenen Komponenten der Menge der rationalen Zahlen die Einpunktmengen (Singletons), die nicht offen sind.

Lassen

die verbundene Komponente von sein x in einem topologischen Raum X., und

sei der Schnittpunkt aller Clopen-Sets, die enthalten x (Quasikomponente von genannt x.) Dann

wo die Gleichheit gilt wenn X. ist kompakt Hausdorff oder lokal verbunden.

Getrennte Räume[edit]

Ein Raum, in dem alle Komponenten Einpunktmengen sind, wird als vollständig getrennt bezeichnet. Bezogen auf diese Eigenschaft, ein Leerzeichen X. wird genannt total getrennt if, für zwei verschiedene Elemente x und y von X.gibt es disjunkte offene Mengen U. enthält x und V. enthält y so dass X. ist die Vereinigung von U. und V.. Es ist klar, dass jeder vollständig getrennte Raum vollständig getrennt ist, aber das Gegenteil gilt nicht. Nehmen Sie zum Beispiel zwei Kopien der rationalen Zahlen Q.und identifizieren Sie sie an jedem Punkt außer Null. Der resultierende Raum mit der Quotiententopologie ist vollständig getrennt. Wenn man jedoch die zwei Kopien von Null betrachtet, sieht man, dass der Raum nicht vollständig getrennt ist. Tatsächlich ist es nicht einmal Hausdorff, und der Zustand, vollständig getrennt zu sein, ist streng stärker als der Zustand, Hausdorff zu sein.

Beispiele[edit]

• Das geschlossene Intervall [0, 2] im Standard-Subraum ist die Topologie verbunden; obwohl es zum Beispiel als die Vereinigung von geschrieben werden kann [0, 1) and [1, 2]ist der zweite Satz in der gewählten Topologie von nicht geöffnet [0, 2].
• Die Vereinigung von [0, 1) and (1, 2] ist nicht verbunden; Beide Intervalle sind im topologischen Standardraum offen [0, 1) ∪ (1, 2].
• (0, 1) ∪ {3} ist nicht verbunden.
• Eine konvexe Teilmenge von R.ⁿ Ist verbunden; es ist eigentlich einfach verbunden.
• Eine euklidische Ebene ohne den Ursprung (0, 0) ist verbunden, aber nicht einfach verbunden. Der dreidimensionale euklidische Raum ohne Ursprung ist verbunden und sogar einfach verbunden. Im Gegensatz dazu ist der eindimensionale euklidische Raum ohne Ursprung nicht verbunden.
• Eine euklidische Ebene mit einer entfernten geraden Linie ist nicht verbunden, da sie aus zwei Halbebenen besteht.
• ℝ, Der Raum der reellen Zahlen mit der üblichen Topologie ist verbunden.
• Wenn auch nur ein Punkt von ℝ entfernt wird, wird der Rest getrennt. Wenn jedoch auch nur eine zählbare Unendlichkeit von Punkten entfernt wird
  ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$

  , wo n ≥ 2ist der Rest verbunden. Wenn n ≥ 3, dann

  ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$

  bleibt nach dem Entfernen von zählbar vielen Punkten einfach verbunden.

• Jeder topologische Vektorraum, z. B. jeder Hilbert-Raum oder Banach-Raum, über einem verbundenen Feld (z
  ${ displaystyle mathbb {R}}$

  oder

  ${ displaystyle mathbb {C}}$

  ), ist einfach verbunden.

• Jeder diskrete topologische Raum mit mindestens zwei Elementen ist getrennt, tatsächlich ist ein solcher Raum vollständig getrennt. Das einfachste Beispiel ist der diskrete Zweipunktraum.^[2]
• Andererseits kann eine endliche Menge verbunden sein. Beispielsweise besteht das Spektrum eines diskreten Bewertungsrings aus zwei Punkten und ist verbunden. Es ist ein Beispiel für einen Sierpiński-Raum.
• Das Cantor-Set ist vollständig getrennt. Da die Menge unzählige Punkte enthält, enthält sie unzählige Komponenten.
• Wenn ein Leerzeichen X. ist also eine Homotopie, die einem verbundenen Raum entspricht X. ist selbst verbunden.
• Die Sinuskurve des Topologen ist ein Beispiel für eine Menge, die verbunden ist, aber weder pfadverbunden noch lokal verbunden ist.
• Die allgemeine lineare Gruppe
  ${ displaystyle operatorname {GL} (n, mathbf {R})}$

  (das heißt, die Gruppe von n-durch-n reale, invertierbare Matrizen) besteht aus zwei miteinander verbundenen Komponenten: der einen mit Matrizen positiver Determinante und der anderen negativen Determinante. Insbesondere ist es nicht verbunden. Im Gegensatz,

  ${ displaystyle operatorname {GL} (n, mathbf {C})}$

  Ist verbunden. Im Allgemeinen ist die Menge der invertierbar begrenzten Operatoren in einem komplexen Hilbert-Raum verbunden.

• Die Spektren des kommutativen lokalen Rings und der integralen Domänen sind miteinander verbunden. Im Allgemeinen sind die folgenden gleichwertig^[3]
  1. Das Spektrum eines kommutativen Rings R. Ist verbunden
  2. Jedes endlich erzeugte projektive Modul ist vorbei R. hat einen konstanten Rang.
  3. R. hat kein idempotent
     ${ displaystyle neq 0,1}$

     (dh R. ist kein Produkt von zwei Ringen auf nicht triviale Weise).

Ein Beispiel für einen Raum, der nicht verbunden ist, ist eine Ebene, aus der eine unendliche Linie gelöscht wurde. Andere Beispiele für getrennte Räume (dh Räume, die nicht verbunden sind) umfassen die Ebene mit entferntem Ring sowie die Vereinigung zweier disjunkter geschlossener Scheiben, wobei alle Beispiele dieses Absatzes die durch zweidimensionale euklidische Werte induzierte Subraumtopologie tragen Raum.

Pfadverbundenheit[edit]

Dieser Unterraum von R.² ist pfadverbunden, da ein Pfad zwischen zwei beliebigen Punkten im Raum gezeichnet werden kann.

EIN Pfad verbundener Raum ist ein stärkerer Begriff der Verbundenheit, der die Struktur eines Pfades erfordert. EIN Pfad von einem Punkt x bis zu einem Punkt y in einem topologischen Raum X. ist eine stetige Funktion ƒ aus dem Einheitsintervall [0,1] zu X. mit ƒ(0) = x und ƒ(1) = y. EIN Pfadkomponente von X. ist eine Äquivalenzklasse von X. unter der Äquivalenzbeziehung, die macht x gleichwertig y wenn es einen Weg von gibt x zu y. Der Raum X. wird gesagt, dass Pfad verbunden (oder wegweisend verbunden oder 0 verbunden) wenn es genau eine Pfadkomponente gibt, dh wenn es einen Pfad gibt, der zwei beliebige Punkte in verbindet X.. Wiederum schließen viele Autoren den leeren Raum aus (beachten Sie jedoch, dass der leere Raum nach dieser Definition nicht pfadverbunden ist, da er keine Pfadkomponenten enthält; es gibt eine eindeutige Äquivalenzbeziehung für die leere Menge, die keine Äquivalenzklassen aufweist).

Jeder mit dem Pfad verbundene Raum ist verbunden. Das Gegenteil ist nicht immer der Fall: Beispiele für verbundene Räume, die nicht mit dem Pfad verbunden sind, sind die verlängerte lange Linie L.* und die Sinuskurve des Topologen.

Teilmengen der realen Linie R. sind genau dann verbunden, wenn sie pfadverbunden sind; Diese Teilmengen sind die Intervalle von R.. Öffnen Sie auch Teilmengen von R.ⁿ oder C.ⁿ sind genau dann verbunden, wenn sie pfadverbunden sind. Darüber hinaus sind Verbundenheit und Pfadverbundenheit für endliche topologische Räume gleich.

Lichtbogenverbundenheit[edit]

Ein Leerzeichen X. wird gesagt, dass Lichtbogen verbunden oder bogenförmig verbunden wenn zwei verschiedene Punkte durch ein verbunden werden können Bogen, das ist ein Weg ƒ Dies ist ein Homöomorphismus zwischen dem Einheitsintervall [0, 1] und sein Bild ƒ(([0, 1]). Es kann gezeigt werden, dass jeder Hausdorff-Raum, der mit dem Pfad verbunden ist, auch mit dem Lichtbogen verbunden ist. Ein Beispiel für einen Raum, der pfadverbunden, aber nicht bogenverbunden ist, wird durch Hinzufügen einer zweiten Kopie 0 ‚von 0 zu den nichtnegativen reellen Zahlen bereitgestellt [0, ∞). One endows this set with a partial order by specifying that 0‘ < a for any positive number a, but leaving 0 and 0′ incomparable. One then endows this set with the order topology. That is, one takes the open intervals
(a, b) = {x | a < x < b} and the half-open intervals [0, a) = {x | 0 ≤ x < a}, [0′, a) = {x | 0′ ≤ x < a} as a base for the topology. The resulting space is a T₁ space but not a Hausdorff space. Clearly 0 and 0′ can be connected by a path but not by an arc in this space.

Local connectedness[edit]

Ein topologischer Raum soll sein lokal an einem Punkt verbunden x wenn jede Nachbarschaft von x enthält eine verbundene offene Nachbarschaft. Es ist lokal verbunden wenn es eine Basis von verbundenen Sätzen hat. Es kann gezeigt werden, dass ein Leerzeichen X. ist genau dann lokal verbunden, wenn jede Komponente jedes offenen Satzes von X. ist offen.

Ebenso soll ein topologischer Raum sein lokal pfadverbunden wenn es eine Basis von pfadverbundenen Mengen hat. Eine offene Teilmenge eines lokal pfadverbundenen Raums ist genau dann verbunden, wenn er pfadverbunden ist. Dies verallgemeinert die frühere Aussage über R.ⁿ und C.ⁿ, von denen jeder lokal pfadverbunden ist. Im Allgemeinen ist jede topologische Mannigfaltigkeit lokal pfadverbunden.

Die Sinuskurve des Topologen ist verbunden, aber nicht lokal verbunden

Lokal verbunden bedeutet nicht verbunden, noch lokal verbunden bedeutet Pfad verbunden. Ein einfaches Beispiel für einen lokal verbundenen (und lokal pfadverbundenen) Raum, der nicht verbunden (oder pfadverbunden) ist, ist die Vereinigung zweier getrennter Intervalle in

, sowie

.

Ein klassisches Beispiel für einen verbundenen Raum, der nicht lokal verbunden ist, ist die sogenannte Topologen-Sinuskurve, definiert als

mit der durch Einschluss in induzierten euklidischen Topologie

.

Operationen einstellen[edit]

Beispiele für Gewerkschaften und Schnittpunkte verbundener Mengen

Das Überschneidung von verbundenen Sätzen ist nicht unbedingt verbunden.

Das Union von verbundenen Mengen ist nicht unbedingt verbunden, wie aus der Betrachtung hervorgeht

.

Jede Ellipse ist eine verbundene Menge, aber die Vereinigung ist nicht verbunden, da sie in zwei disjunkte offene Mengen aufgeteilt werden kann

und

.

Dies bedeutet, dass, wenn die Gewerkschaft

wird getrennt, dann die Sammlung

kann in zwei Untersammlungen aufgeteilt werden, so dass die Vereinigungen der Untersammlungen disjunkt und offen sind

(siehe Bild). Dies impliziert in mehreren Fällen eine Vereinigung verbundener Mengen ist unbedingt verbunden. Speziell:

1. Wenn der gemeinsame Schnittpunkt aller Mengen nicht leer ist (
   ${ textstyle bigcap X_ {i} neq Emptyset}$

   ), dann können sie offensichtlich nicht in Sammlungen mit disjunkten Gewerkschaften aufgeteilt werden. Daher Die Vereinigung verbundener Mengen mit nicht leerem Schnittpunkt ist verbunden.

2. Wenn der Schnittpunkt jedes Mengenpaars nicht leer ist (
   ${ displaystyle forall i, j: X_ {i} cap X_ {j} neq Emptyset}$

   ) andererseits können sie nicht in Sammlungen mit disjunkten Vereinigungen aufgeteilt werden, so dass ihre Vereinigung verbunden werden muss.

3. Wenn die Mengen als „verknüpfte Kette“ bestellt werden können, dh durch ganzzahlige Indizes und indiziert
   ${ displaystyle forall i: X_ {i} cap X_ {i + 1} neq Emptyset}$

   dann muss wieder ihre Vereinigung verbunden werden.

4. Wenn die Mengen paarweise disjunkt sind und der Quotientenraum
   ${ displaystyle X / {X_ {i} }}$

   ist dann verbunden X. muss angeschlossen sein. Ansonsten wenn

   ${ displaystyle U cup V}$

   ist eine Trennung von X. dann

   ${ displaystyle q (U) cup q (V)}$

   ist eine Trennung des Quotientenraums (seit

   ${ displaystyle q (U), q (V)}$

   sind disjunkt und offen im Quotientenraum).^[4]

Zwei verbundene Sets, deren Differenz nicht verbunden ist

Die Mengendifferenz der verbundenen Mengen ist nicht unbedingt verbunden. wie auch immer, falls

und ihr Unterschied

ist nicht verbunden (und kann daher als Vereinigung zweier offener Mengen geschrieben werden

und

), dann die Vereinigung von

mit jeder solchen Komponente ist verbunden (dh

ist für alle verbunden

).

Beweis::^[5] Nehmen wir im Widerspruch an

ist nicht verbunden. Es kann also als Vereinigung zweier disjunkter offener Mengen geschrieben werden, z

. weil

verbunden ist, muss es beispielsweise vollständig in einer dieser Komponenten enthalten sein

, und somit

ist enthalten in

. Jetzt wissen wir das:

${ displaystyle X = left (Y cup X_ {1} right) cup X_ {2} = left (Z_ {1} cup Z_ {2} right) cup X_ {2} = left (Z_ {1} Tasse X_ {2} rechts) Tasse links (Z_ {2} Kappe X_ {1} rechts)}$

Die beiden Sätze in der letzten Vereinigung sind disjunkt und offen in

, also gibt es eine Trennung von

, im Widerspruch zu der Tatsache, dass

Ist verbunden.

Theoreme[edit]

• Hauptsatz der Verbundenheit: Lassen X. und Y. topologische Räume sein und lassen ƒ :: X. → Y. eine kontinuierliche Funktion sein. Wenn X. Ist (Pfad-) verbunden dann das Bild ƒ((X.) ist (Pfad-) verbunden. Dieses Ergebnis kann als Verallgemeinerung des Zwischenwertsatzes angesehen werden.
• Jeder mit dem Pfad verbundene Raum ist verbunden.
• Jeder lokal pfadverbundene Raum ist lokal verbunden.
• Ein lokal pfadverbundener Raum ist genau dann pfadverbunden, wenn er verbunden ist.
• Das Schließen einer verbundenen Teilmenge ist verbunden. Darüber hinaus ist jede Teilmenge zwischen einer verbundenen Teilmenge und ihrem Abschluss verbunden.
• Die angeschlossenen Komponenten sind immer geschlossen (aber im Allgemeinen nicht offen)
• Die verbundenen Komponenten eines lokal verbundenen Raums sind ebenfalls offen.
• Die verbundenen Komponenten eines Raums sind disjunkte Vereinigungen der pfadverbundenen Komponenten (die im Allgemeinen weder offen noch geschlossen sind).
• Jeder Quotient eines verbundenen (bzw. lokal verbundenen, pfadverbundenen, lokal pfadverbundenen) Raums ist verbunden (bzw. lokal verbunden, pfadverbunden, lokal pfadverbunden).
• Jedes Produkt einer Familie verbundener (bzw. pfadverbundener) Räume ist verbunden (bzw. pfadverbunden).
• Jede offene Teilmenge eines lokal verbundenen (bzw. lokal pfadverbundenen) Raums ist lokal verbunden (bzw. lokal pfadverbunden).
• Jeder Verteiler ist lokal pfadverbunden.
• Der bogenweise verbundene Raum ist pfadverbunden, aber der pfadweise verbundene Raum ist möglicherweise nicht bogenmäßig verbunden
• Das fortlaufende Bild des bogenweise verbundenen Satzes ist bogenförmig verbunden.

Diagramme haben pfadverbundene Teilmengen, nämlich jene Teilmengen, für die jedes Punktpaar einen Pfad von Kanten aufweist, die sie verbinden. Es ist jedoch nicht immer möglich, eine Topologie auf der Menge von Punkten zu finden, die dieselben verbundenen Mengen induziert. Das 5-Zyklus-Diagramm (und jedes n-Zyklus mit n > 3 ungerade) ist ein solches Beispiel.

Infolgedessen kann ein Begriff der Verbundenheit unabhängig von der Topologie eines Raums formuliert werden. Es gibt eine Kategorie von Verbindungsräumen, die aus Mengen mit Sammlungen verbundener Teilmengen besteht, die Konnektivitätsaxiome erfüllen. Ihre Morphismen sind jene Funktionen, die verbundene Mengen verbundenen Mengen zuordnen (Muscat & Buhagiar 2006). Topologische Räume und Graphen sind Sonderfälle von Verbindungsräumen; in der Tat sind die endlichen Verbindungsräume genau die endlichen Graphen.

Jeder Graph kann jedoch kanonisch zu einem topologischen Raum gemacht werden, indem Scheitelpunkte als Punkte und Kanten als Kopien des Einheitsintervalls behandelt werden (siehe Theorie des topologischen Graphen # Graphen als topologische Räume). Dann kann man zeigen, dass der Graph (im graphentheoretischen Sinne) genau dann verbunden ist, wenn er als topologischer Raum verbunden ist.

Stärkere Formen der Verbundenheit[edit]

Es gibt stärkere Formen der Verbundenheit für topologische Räume, zum Beispiel:

• Wenn es in einem topologischen Raum keine zwei disjunkten nicht leeren offenen Mengen gibt, X., X. müssen verbunden sein, und somit sind auch hyperverbundene Räume verbunden.
• Da per Definition auch ein einfach verbundener Raum pfadverbunden sein muss, ist auch jeder einfach verbundene Raum verbunden. Beachten Sie jedoch, dass ein einfach verbundener Raum nicht verbunden werden muss, wenn die Anforderung „Pfadverbindung“ aus der Definition der einfachen Konnektivität gestrichen wird.
• Stärkere Versionen der Konnektivität beinhalten jedoch die Vorstellung eines kontrahierbaren Raums. Jeder zusammenziehbare Raum ist pfadverbunden und damit auch verbunden.

Beachten Sie im Allgemeinen, dass jeder mit dem Pfad verbundene Raum verbunden sein muss, es jedoch verbundene Räume gibt, die nicht mit dem Pfad verbunden sind. Der gelöschte Kammraum liefert ein solches Beispiel, ebenso wie die Sinuskurve des oben erwähnten Topologen.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Weiterführende Literatur[edit]