[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki16\/2021\/01\/26\/verzweigungsprozess-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki16\/2021\/01\/26\/verzweigungsprozess-wikipedia\/","headline":"Verzweigungsprozess – Wikipedia","name":"Verzweigungsprozess – Wikipedia","description":"In der Wahrscheinlichkeitstheorie a Verzweigungsprozess ist eine Art mathematisches Objekt, das als stochastischer Prozess bekannt ist und aus Sammlungen von","datePublished":"2021-01-26","dateModified":"2021-01-26","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki16\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki16\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki16\/2021\/01\/26\/verzweigungsprozess-wikipedia\/","wordCount":7657,"articleBody":"In der Wahrscheinlichkeitstheorie a Verzweigungsprozess ist eine Art mathematisches Objekt, das als stochastischer Prozess bekannt ist und aus Sammlungen von Zufallsvariablen besteht. Die Zufallsvariablen eines stochastischen Prozesses werden durch die nat\u00fcrlichen Zahlen indiziert. Der urspr\u00fcngliche Zweck von Verzweigungsprozessen bestand darin, als mathematisches Modell einer Population zu dienen, in der jedes Individuum in der Generation lebt n{ displaystyle n} produziert eine zuf\u00e4llige Anzahl von Individuen in der Generation n+1{ displaystyle n + 1}im einfachsten Fall nach einer festen Wahrscheinlichkeitsverteilung, die nicht von Individuum zu Individuum variiert.[1] Verzweigungsprozesse werden verwendet, um die Reproduktion zu modellieren. Zum Beispiel k\u00f6nnten die Individuen Bakterien entsprechen, von denen jedes mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit in einer einzigen Zeiteinheit 0, 1 oder 2 Nachkommen erzeugt. Verzweigungsprozesse k\u00f6nnen auch verwendet werden, um andere Systeme mit \u00e4hnlicher Dynamik zu modellieren, z. B. die Verbreitung von Familiennamen in der Genealogie oder die Ausbreitung von Neutronen in einem Kernreaktor.Eine zentrale Frage in der Theorie der Verzweigungsprozesse ist die Wahrscheinlichkeit von ultimative Ausl\u00f6schung, wo nach einer begrenzten Anzahl von Generationen keine Individuen existieren. Mit der Waldschen Gleichung kann gezeigt werden, dass beginnend mit einem Individuum in Generation Null die erwartete Gr\u00f6\u00dfe der Generation ist n gleich \u03bcn Dabei ist \u03bc die erwartete Anzahl von Kindern jedes Individuums. Wenn \u03bc < 1, then the expected number of individuals goes rapidly to zero, which implies ultimate extinction with probability 1 by Markov's inequality. Alternatively, if \u03bc > 1, dann ist die Wahrscheinlichkeit des endg\u00fcltigen Aussterbens kleiner als 1 (aber nicht unbedingt Null; betrachten Sie einen Prozess, bei dem jedes Individuum entweder 0 oder 100 Kinder mit gleicher Wahrscheinlichkeit hat. In diesem Fall ist \u03bc = 50, aber die Wahrscheinlichkeit des endg\u00fcltigen Aussterbens ist gr\u00f6\u00dfer als 0,5, da dies die Wahrscheinlichkeit ist, dass die erste Person 0 Kinder hat). Wenn \u03bc = 1 ist, tritt die endg\u00fcltige Ausl\u00f6schung mit der Wahrscheinlichkeit 1 auf, es sei denn, jedes Individuum hat immer genau ein Kind. In der theoretischen \u00d6kologie wird der Parameter \u03bc eines Verzweigungsprozesses als grundlegende Reproduktionsrate bezeichnet.Table of ContentsMathematische Formulierung[edit]Kontinuierliche Verzweigungsprozesse[edit]Ausl\u00f6schungsproblem f\u00fcr einen Galton Watson-Prozess[edit]Gr\u00f6\u00dfenabh\u00e4ngige Verzweigungsprozesse[edit]Beispiel f\u00fcr ein Aussterbensproblem[edit]Verzweigungsprozesse simulieren[edit]Multitype-Verzweigungsprozesse[edit]Gesetz der gro\u00dfen Zahlen f\u00fcr Multitype-Verzweigungsprozesse[edit]Andere Verzweigungsprozesse[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Mathematische Formulierung[edit]Die gebr\u00e4uchlichste Formulierung eines Verzweigungsprozesses ist die des Galton-Watson-Prozesses. Lassen Z.n bezeichnen den Zustand in Periode n (oft als Gr\u00f6\u00dfe der Generation interpretiert n), und lass X.n, ich eine Zufallsvariable sein, die die Anzahl der direkten Nachfolger des Mitglieds angibt ich in der Periode n, wo X.n, ich sind unabh\u00e4ngige und identisch verteilte Zufallsvariablen \u00fcber alle n \u2208 {0, 1, 2, …} und ich \u2208 {1, …, Z.n}. Dann ist die Wiederholungsgleichung Z.n+1=\u2211ich=1Z.nX.n,ich{ displaystyle Z_ {n + 1} = sum _ {i = 1} ^ {Z_ {n}} X_ {n, i}}mit Z.0 = 1.Alternativ kann der Verzweigungsprozess als zuf\u00e4lliger Spaziergang formuliert werden. Lassen S.ich bezeichnen den Zustand in Periode ich, und lass X.ich sei eine Zufallsvariable, die \u00fcber alles iid ist ich. Dann ist die WiederholungsgleichungS.ich+1=S.ich+X.ich+1– –1=\u2211j=1ich+1X.j– –ich{ displaystyle S_ {i + 1} = S_ {i} + X_ {i + 1} -1 = sum _ {j = 1} ^ {i + 1} X_ {j} -i}mit S.0 = 1. Um sich ein Bild von dieser Formulierung zu machen, stellen Sie sich einen Spaziergang vor, bei dem das Ziel darin besteht, jeden Knoten zu besuchen. Bei jedem Besuch eines zuvor nicht besuchten Knotens werden jedoch zus\u00e4tzliche Knoten angezeigt, die ebenfalls besucht werden m\u00fcssen. Lassen S.ich stellen die Anzahl der aufgedeckten, aber nicht besuchten Knoten in der Periode dar ich, und lass X.ich Stellen Sie die Anzahl der neuen Knoten dar, die beim Knoten angezeigt werden ich besucht wird. Dann entspricht in jeder Periode die Anzahl der offenbarten, aber nicht besuchten Knoten der Anzahl solcher Knoten in der vorherigen Periode zuz\u00fcglich der neuen Knoten, die beim Besuch eines Knotens aufgedeckt werden, abz\u00fcglich des Knotens, der besucht wird. Der Prozess endet, sobald alle aufgedeckten Knoten besucht wurden.Kontinuierliche Verzweigungsprozesse[edit]F\u00fcr zeitdiskrete Verzweigungsprozesse ist die “Verzweigungszeit” fest festgelegt 1 f\u00fcr alle Personen. Bei zeitkontinuierlichen Verzweigungsprozessen wartet jedes Individuum auf eine zuf\u00e4llige Zeit (die eine kontinuierliche zuf\u00e4llige Variable ist) und teilt sich dann entsprechend der gegebenen Verteilung. Die Wartezeit f\u00fcr verschiedene Personen ist unabh\u00e4ngig und h\u00e4ngt von der Anzahl der Kinder ab. Im Allgemeinen ist die Wartezeit eine Exponentialvariable mit Parameter \u03bb f\u00fcr alle Individuen, so dass der Prozess Markovian ist.Ausl\u00f6schungsproblem f\u00fcr einen Galton Watson-Prozess[edit]Die endg\u00fcltige Extinktionswahrscheinlichkeit ist gegeben durchlimn\u2192\u221ePr((Z.n=0).{ displaystyle lim _ {n to infty} Pr (Z_ {n} = 0).}F\u00fcr alle nicht trivialen F\u00e4lle (triviale F\u00e4lle sind F\u00e4lle, in denen die Wahrscheinlichkeit, keine Nachkommen zu haben, f\u00fcr jedes Mitglied der Bev\u00f6lkerung Null ist – in solchen F\u00e4llen betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit des endg\u00fcltigen Aussterbens 0) betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit des endg\u00fcltigen Aussterbens eins, wenn \u03bc \u2264 1 und streng weniger als eins, wenn \u03bc > 1.Der Prozess kann unter Verwendung der Methode der Wahrscheinlichkeitsgenerierungsfunktion analysiert werden. Lassen p0, p1, p2, … seien die Wahrscheinlichkeiten, 0, 1, 2, … Nachkommen von jedem Individuum in jeder Generation zu produzieren. Lassen dm sei die Extinktionswahrscheinlichkeit durch das mth Generation. Offensichtlich, d0= 0. Da die Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr alle Pfade, die zu 0 f\u00fchren, durch die mth Generation muss addiert werden, die Extinktionswahrscheinlichkeit nimmt in Generationen nicht ab. Das ist,0=d0\u2264d1\u2264d2\u2264\u22ef\u22641.{ displaystyle 0 = d_ {0} leq d_ {1} leq d_ {2} leq cdots leq 1.}Deshalb, dm konvergiert gegen eine Grenze d, und d ist die endg\u00fcltige Extinktionswahrscheinlichkeit. Wenn es in der ersten Generation j Nachkommen gibt, muss jede dieser Linien in m-1 Generationen aussterben, um von der m-ten Generation ausgestorben zu sein. Da sie unabh\u00e4ngig voneinander ablaufen, betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit (dm – 1) j. So,dm=p0+p1dm– –1+p2((dm– –1)2+p3((dm– –1)3+\u22ef.{ displaystyle d_ {m} = p_ {0} + p_ {1} d_ {m-1} + p_ {2} (d_ {m-1}) ^ {2} + p_ {3} (d_ {m- 1}) ^ {3} + cdots. ,}Die rechte Seite der Gleichung ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Lassen h((z) sei die gew\u00f6hnliche Erzeugungsfunktion f\u00fcr pich::h((z)=p0+p1z+p2z2+\u22ef.{ displaystyle h (z) = p_ {0} + p_ {1} z + p_ {2} z ^ {2} + cdots. ,}Unter Verwendung der Erzeugungsfunktion wird die vorherige Gleichungdm=h((dm– –1).{ displaystyle d_ {m} = h (d_ {m-1}). ,}Schon seit dm \u2192 d, d kann durch L\u00f6sen gefunden werdend=h((d).{ displaystyle d = h (d). ,}Dies entspricht auch dem Auffinden der Schnittpunkte von Linien y = z und y = h((z) zum z \u2265 0. y = z ist eine gerade Linie. y = h((z) ist eine zunehmende (seit h‘((z)=p1+2p2z+3p3z2+\u22ef\u22650{ displaystyle h ‘(z) = p_ {1} + 2p_ {2} z + 3p_ {3} z ^ {2} + cdots geq 0}) und konvex (seit h\u2033((z)=2p2+6p3z+12p4z2+\u22ef\u22650{ displaystyle h ” (z) = 2p_ {2} + 6p_ {3} z + 12p_ {4} z ^ {2} + cdots geq 0}) Funktion. Es gibt h\u00f6chstens zwei Schnittpunkte. Da (1,1) immer ein Schnittpunkt f\u00fcr die beiden Funktionen ist, existieren nur drei F\u00e4lle: Drei F\u00e4lle von y = h((z) schneiden mit y = z.Fall 1 hat einen anderen Schnittpunkt bei z 1. (Siehe die schwarze Kurve in der Grafik)In Fall 1 ist die endg\u00fcltige Extinktionswahrscheinlichkeit streng kleiner als eins. F\u00fcr Fall 2 und 3 ist die endg\u00fcltige Extinktionswahrscheinlichkeit gleich eins.Indem ich das beobachte h ‘(1) = p1 + 2p2 + 3p3 + … = \u03bc ist genau die erwartete Anzahl von Nachkommen, die ein Elternteil produzieren k\u00f6nnte, kann geschlossen werden, dass f\u00fcr einen Verzweigungsprozess mit Erzeugungsfunktion h((z) Wenn f\u00fcr die Anzahl der Nachkommen eines bestimmten Elternteils die mittlere Anzahl der von einem einzelnen Elternteil produzierten Nachkommen kleiner oder gleich eins ist, ist die endg\u00fcltige Aussterbungswahrscheinlichkeit eins. Wenn die durchschnittliche Anzahl der von einem einzelnen Elternteil produzierten Nachkommen gr\u00f6\u00dfer als eins ist, ist die endg\u00fcltige Aussterbungswahrscheinlichkeit streng kleiner als eins.Gr\u00f6\u00dfenabh\u00e4ngige Verzweigungsprozesse[edit]Zusammen mit der Diskussion eines allgemeineren Modells von Verzweigungsprozessen, das von Grimmett als altersabh\u00e4ngige Verzweigungsprozesse bekannt ist,[2] Krishna Athreya hat drei Unterschiede zwischen gr\u00f6\u00dfenabh\u00e4ngigen Verzweigungsprozessen identifiziert, die allgemein anwendbar sind. Athreya identifiziert die drei Klassen gr\u00f6\u00dfenabh\u00e4ngiger Verzweigungsprozesse als unterkritische, stabile und \u00fcberkritische Verzweigungsma\u00dfnahmen. F\u00fcr Athreya sind die zentralen Parameter entscheidend f\u00fcr die Kontrolle, ob unterkritische und \u00fcberkritische instabile Verzweigungen vermieden werden sollen.[3] Gr\u00f6\u00dfenabh\u00e4ngige Verzweigungsprozesse werden auch unter dem Thema ressourcenabh\u00e4ngiger Verzweigungsprozess behandelt [4]Beispiel f\u00fcr ein Aussterbensproblem[edit]Stellen Sie sich vor, ein Elternteil kann h\u00f6chstens zwei Nachkommen hervorbringen. Die Extinktionswahrscheinlichkeit in jeder Generation betr\u00e4gt:dm=p0+p1dm– –1+p2((dm– –1)2.{ displaystyle d_ {m} = p_ {0} + p_ {1} d_ {m-1} + p_ {2} (d_ {m-1}) ^ {2}. ,}mit d0 = 0. F\u00fcr die endg\u00fcltige Extinktionswahrscheinlichkeit m\u00fcssen wir finden d was befriedigt d = p0 + p1d + p2d2.Nehmen wir als Beispiel Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr die Anzahl der produzierten Nachkommen p0 = 0,1, p1 = 0,6 und p2 = 0,3, die Extinktionswahrscheinlichkeit f\u00fcr die ersten 20 Generationen ist wie folgt:Generation # (1\u201310)AussterbungswahrscheinlichkeitGeneration # (11\u201320)Aussterbungswahrscheinlichkeit10,1110,315620,163120,319230,2058130,322140,2362140,324450,2584150,326260,2751160,327670,2878170,328880,2975180,329790,3051190,3304100,3109200,331In diesem Beispiel k\u00f6nnen wir das algebraisch l\u00f6sen d = 1\/3, und dies ist der Wert, auf den die Extinktionswahrscheinlichkeit mit zunehmenden Generationen konvergiert.Verzweigungsprozesse simulieren[edit]Verzweigungsprozesse k\u00f6nnen f\u00fcr eine Reihe von Problemen simuliert werden. Eine spezielle Anwendung des simulierten Verzweigungsprozesses liegt im Bereich der Evolutionsbiologie.[5][6] Phylogenetische B\u00e4ume k\u00f6nnen beispielsweise unter verschiedenen Modellen simuliert werden:[7] Unterst\u00fctzung bei der Entwicklung und Validierung von Sch\u00e4tzmethoden sowie Unterst\u00fctzung beim Testen von Hypothesen.Multitype-Verzweigungsprozesse[edit]In Multitype-Verzweigungsprozessen sind Individuen nicht identisch, sondern k\u00f6nnen klassifiziert werden n Typen. Nach jedem Zeitschritt eine Person vom Typ ich wird Individuen verschiedener Typen hervorbringen, und X.ich{ displaystyle mathbf {X} _ {i}}, ein Zufallsvektor, der die Anzahl von Kindern in verschiedenen Typen darstellt, erf\u00fcllt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf N.n{ displaystyle mathbb {N} ^ {n}}.Betrachten Sie beispielsweise die Population von Krebsstammzellen (CSCs) und Nicht-Stammkrebszellen (NSCCs). Nach jedem Zeitintervall hat jeder CSC eine Wahrscheinlichkeit p1{ displaystyle p_ {1}} zwei CSCs (symmetrische Division) zu erzeugen, Wahrscheinlichkeit p2{ displaystyle p_ {2}} eine CSC und eine NSCC (asymmetrische Division) zu erzeugen, Wahrscheinlichkeit p3{ displaystyle p_ {3}} eine CSC (Stagnation) und Wahrscheinlichkeit zu erzeugen 1– –p1– –p2– –p3{ displaystyle 1-p_ {1} -p_ {2} -p_ {3}} nichts zu produzieren (Tod); Jeder NSCC hat eine Wahrscheinlichkeit p4{ displaystyle p_ {4}} zwei NSCCs (symmetrische Division) zu erzeugen, Wahrscheinlichkeit p5{ displaystyle p_ {5}} ein NSCC (Stagnation) und Wahrscheinlichkeit zu produzieren 1– –p4– –p5{ displaystyle 1-p_ {4} -p_ {5}} nichts produzieren (Tod).[8]Gesetz der gro\u00dfen Zahlen f\u00fcr Multitype-Verzweigungsprozesse[edit]Bei Multitype-Verzweigungsprozessen, bei denen die Populationen verschiedener Typen exponentiell wachsen, konvergieren die Anteile verschiedener Typen unter einigen milden Bedingungen fast sicher zu einem konstanten Vektor. Dies ist das starke Gesetz der gro\u00dfen Anzahl f\u00fcr Verzweigungsprozesse mit mehreren Arten.In zeitkontinuierlichen F\u00e4llen erf\u00fcllen Anteile der Bev\u00f6lkerungserwartung ein ODE-System, das einen einzigartigen Anziehungspunkt hat. Dieser Fixpunkt ist nur der Vektor, zu dem die Proportionen im Gesetz der gro\u00dfen Zahlen konvergieren.Die Monographie von Athreya und Ney [9] fasst eine Reihe allgemeiner Bedingungen zusammen, unter denen dieses Gesetz der gro\u00dfen Anzahl g\u00fcltig ist. Sp\u00e4ter gibt es einige Verbesserungen durch das Verwerfen verschiedener Bedingungen.[10][11]Andere Verzweigungsprozesse[edit]Es gibt viele andere Verzweigungsprozesse, zum Beispiel Verzweigungsprozesse in zuf\u00e4lligen Umgebungen, in denen das Reproduktionsgesetz bei jeder Generation zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlt wird.Siehe auch[edit]Verweise[edit]^ Athreya, KB (2006). “Verzweigungsprozess”. Encyclopedia of Environmetrics. doi:10.1002 \/ 9780470057339.vab032. ISBN 978-0471899976.^ GR Grimmett und DR Stirzaker, Probability and Random Processes, 2. Auflage, Clarendon Press, Oxford, 1992.^ Krishna Athreya und Peter Jagers. Verzweigungsprozesse. Springer. 1973.^ F. Thomas Bruss und M. Duerinckx (2015) “Ressourcenabh\u00e4ngige Verzweigungsprozesse und die H\u00fclle von Gesellschaften”, Annals of Applied Probability. 25: 324\u2013372. ^ Hagen, O.; Hartmann, K.; Steel, M.; Stadler, T. (2015-05-01). “Altersabh\u00e4ngige Speziation kann die Form empirischer Phylogenien erkl\u00e4ren”. Systematische Biologie. 64 (3): 432\u2013440. doi:10.1093 \/ sysbio \/ syv001. ISSN 1063-5157. PMC 4395845. PMID 25575504.^ Hagen, Oskar; Andermann, Tobias; Quental, Tiago B.; Antonelli, Alexandre; Silvestro, Daniele (Mai 2018). “Sch\u00e4tzung des altersabh\u00e4ngigen Aussterbens: Gegen\u00fcberstellung von Fossilien und Phylogenien”. Systematische Biologie. 67 (3): 458\u2013474. doi:10.1093 \/ sysbio \/ syx082. PMC 5920349. PMID 29069434.^ Hagen, Oskar; Stadler, Tanja (2018). “TreeSimGM: Simulation phylogenetischer B\u00e4ume unter allgemeinen Bellman-Harris-Modellen mit linienspezifischen Verschiebungen von Speziation und Extinktion in R”. Methoden in \u00d6kologie und Evolution. 9 (3): 754\u2013760. doi:10.1111 \/ 2041-210X.12917. ISSN 2041-210X. PMC 5993341. PMID 29938014.^ Chen, Xiufang; Wang, Yue; Feng, Tianquan; Yi, Ming; Zhang, Xingan; Zhou, Da (2016). “Das \u00dcberschwingen und das ph\u00e4notypische Gleichgewicht bei der Charakterisierung der Krebsdynamik reversibler ph\u00e4notypischer Plastizit\u00e4t”. Zeitschrift f\u00fcr Theoretische Biologie. 390: 40\u201349. arXiv:1503.04558. doi:10.1016 \/ j.jtbi.2015.11.008. PMID 26626088. S2CID 15335040.^ Athreya, Krishna B.; Ney, Peter E. (1972). Verzweigungsprozesse. Berlin: Springer-Verlag. S. 199\u2013206. ISBN 978-3-642-65371-1.^ Janson, Svante (2003). “Funktionale Grenzwerts\u00e4tze f\u00fcr Multitype-Verzweigungsprozesse und verallgemeinerte P\u00f3lya-Urnen”. Stochastische Prozesse und ihre Anwendungen. 110 (2): 177\u2013245. doi:10.1016 \/ j.spa.2003.12.002.^ Jiang, Da-Quan; Wang, Yue; Zhou, Da (2017). “Ph\u00e4notypisches Gleichgewicht als probabilistische Konvergenz in der Dynamik der Zellpopulation mit mehreren Ph\u00e4notypen”. PLUS EINS. 12 (2): e0170916. Bibcode:2017PLoSO..1270916J. doi:10.1371 \/ journal.pone.0170916. PMC 5300154. PMID 28182672.CM Grinstead und JL Snell, Einf\u00fchrung in die Wahrscheinlichkeit, 2. Aufl. In Abschnitt 10.3 werden Verzweigungsprozesse zusammen mit der Anwendung von Generierungsfunktionen zur Untersuchung dieser Prozesse ausf\u00fchrlich erl\u00e4utert.GR Grimmett und DR Stirzaker, Wahrscheinlichkeit und zuf\u00e4llige Prozesse, 2. Auflage, Clarendon Press, Oxford, 1992. In Abschnitt 5.4 wird das oben beschriebene Modell von Verzweigungsprozessen er\u00f6rtert. In Abschnitt 5.5 wird ein allgemeineres Modell von Verzweigungsprozessen erl\u00e4utert, das als bekannt ist altersabh\u00e4ngige Verzweigungsprozesse, in denen Individuen f\u00fcr mehr als eine Generation leben."},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki16\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki16\/2021\/01\/26\/verzweigungsprozess-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Verzweigungsprozess – Wikipedia"}}]}]