16 Zellen – Wikipedia

before-content-x4

Regelmäßiges Hexadecachoron
(16 Zellen)
(4-Orthoplex)
Schlegel-Drahtmodell 16-cell.png
Art Konvexes reguläres 4-Polytop
4-Orthoplex
4-Demicube
Schläfli-Symbol {3,3,4}
Coxeter-Diagramm CDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Zellen 16 {3,3} 3-Simplex t0.svg
Gesichter 32 {3} 2-simplex t0.svg
Kanten 24
Eckpunkte 8
Scheitelpunktfigur 16-Zellen verf.png
Oktaeder
Petrie Polygon Achteck
Coxeter-Gruppe B.4, [3,3,4], Bestellung 384
D.4, Bestellung 192
Dual Tesseract
Eigenschaften konvex, isogonal, isotoxal, isoedrisch, quasiregulär
Einheitlicher Index 12

In der vierdimensionalen Geometrie a 16 Zellen ist ein reguläres konvexes 4-Polytop. Es ist eines der sechs regulären konvexen 4-Polytope, die der Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli Mitte des 19. Jahrhunderts erstmals beschrieben hat. Es wird auch genannt C.16, Hexadecachoron,[1] oder Hexdecahedroid.[2]

Es ist Teil einer unendlichen Familie von Polytopen, genannt Kreuzpolytope oder Orthoplexeund ist analog zum Oktaeder in drei Dimensionen. Es ist Coxeters

β4{ displaystyle beta _ {4}}

polytope.Conways Name für ein Kreuzpolytop ist Orthoplex, zum orthanter Komplex. Das Doppelpolytop ist der Tesserakt (4-Würfel), mit dem es zu einer zusammengesetzten Figur kombiniert werden kann. Die 16-Zellen haben 16 Zellen, während der Tesseract 16 Eckpunkte hat.

Geometrie[edit]

Es wird von 16 Zellen begrenzt, die alle reguläre Tetraeder sind. Es hat 32 dreieckige Flächen, 24 Kanten und 8 Eckpunkte. Die 24 Kanten begrenzten 6 Quadrate, die in den 6 Koordinatenebenen lagen.

Die acht Eckpunkte der 16-Zellen sind (± 1, 0, 0, 0), (0, ± 1, 0, 0), (0, 0, ± 1, 0), (0, 0, 0, ± 1). Alle Eckpunkte sind durch Kanten verbunden, mit Ausnahme entgegengesetzter Paare.

Das Schläfli-Symbol der 16-Zellen ist {3,3,4}. Seine Scheitelpunktfigur ist ein reguläres Oktaeder. An jedem Scheitelpunkt treffen sich 8 Tetraeder, 12 Dreiecke und 6 Kanten. Seine Randfigur ist ein Quadrat. An jeder Kante treffen sich 4 Tetraeder und 4 Dreiecke.

Die 16-Zellen können in zwei ähnliche disjunkte kreisförmige Ketten von jeweils acht Tetraedern mit jeweils vier Kanten Länge zerlegt werden. Jede Kette bildet, wenn sie gerade ausgestreckt ist, eine Boerdijk-Coxeter-Helix. Diese Zersetzung ist in einer 4-4-Duoantiprismus-Konstruktion der zu sehen 16 Zellen:: CDel-Knoten h.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten h.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten h.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten h.png oder CDel node.pngCDel 4.pngCDel-Knoten h.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten h.pngCDel 4.pngCDel node.png, Schläfli-Symbol {2} ⨂ {2} oder s {2} s {2}, Symmetrie 4,2+, 4, Bestellung 64.

Das 16 Zellen kann in zwei oktaedrische Pyramiden zerlegt werden, die sich durch das 16-Zellen-Zentrum eine neue Oktaederbasis teilen.

Als Konfiguration[edit]

Diese Konfigurationsmatrix repräsentiert die 16 Zellen. Die Zeilen und Spalten entsprechen Eckpunkten, Kanten, Flächen und Zellen. Die diagonalen Zahlen geben an, wie viele Elemente in der gesamten 16-Zellen-Zelle vorkommen. Die nichtdiagonalen Zahlen geben an, wie viele Elemente der Spalte im oder am Element der Zeile vorkommen.

[86128224443332246416]{ displaystyle { begin {bmatrix} { begin {matrix} 8 & 6 & 12 & 8 \ 2 & 24 & 4 & 4 \ 3 & 3 & 32 & 2 \ 4 & 6 & 4 & 16 end {matrix}} end {bmatrix}}}

Orthogonale Projektionen[edit]

Tessellationen[edit]

Man kann den 4-dimensionalen euklidischen Raum durch reguläre 16-Zellen tessellieren. Dies wird als 16-Zellen-Wabe bezeichnet und hat das Schläfli-Symbol {3,3,4,3}. Daher hat die 16-Zelle einen Diederwinkel von 120 °. Jede 16-Zelle hat 16 Nachbarn, mit denen sie einen Tetraeder teilt, 24 Nachbarn, mit denen sie nur eine Kante teilt, und 72 Nachbarn, mit denen sie nur einen einzigen Punkt teilt. Vierundzwanzig 16-Zellen treffen sich an einem bestimmten Scheitelpunkt in dieser Tessellation.

Die doppelte Tessellation, die 24-Zellen-Wabe {3,4,3,3}, besteht aus regulären 24-Zellen. Zusammen mit der tesseraktischen Wabe {4,3,3,4} sind dies die einzigen drei regelmäßigen Tessellationen von R.4.

Boerdijk-Coxeter-Helix[edit]

EIN 16 Zellen kann aus zwei Boerdijk-Coxeter-Helixen von acht verketteten Tetraedern konstruiert werden, die jeweils zu einem 4-dimensionalen Ring gefaltet sind. Die 16 Dreiecksflächen sind in einem 2D-Netz innerhalb einer dreieckigen Kachelung mit 6 Dreiecken um jeden Scheitelpunkt zu sehen. Die violetten Ränder repräsentieren das Petrie-Polygon der 16-Zellen.

16-Zellen 8-Ring net4.png

Projektionen[edit]

Projektionshüllkurven der 16-Zellen. (Jede Zelle wird mit unterschiedlichen Farbflächen gezeichnet, invertierte Zellen werden nicht gezeichnet.)

Die erste parallele Projektion der 16 Zellen in den 3-Raum hat eine kubische Hülle. Die nächstgelegenen und am weitesten entfernten Zellen werden auf eingeschriebene Tetraeder innerhalb des Würfels projiziert, was den beiden möglichen Möglichkeiten entspricht, ein reguläres Tetraeder in einen Würfel einzuschreiben. Um jedes dieser Tetraeder herum befinden sich 4 andere (nicht reguläre) tetraedrische Volumina, die die Bilder der 4 umgebenden tetraedrischen Zellen darstellen und den Raum zwischen dem eingeschriebenen Tetraeder und dem Würfel ausfüllen. Die verbleibenden 6 Zellen werden auf die quadratischen Flächen des Würfels projiziert. Bei dieser Projektion der 16-Zellen liegen alle ihre Kanten auf den Flächen der kubischen Hülle.

Die perspektivische Projektion der 16-Zellen in den 3-Raum weist eine Triakis-Tetraeder-Hülle auf. Das Layout der Zellen innerhalb dieser Hüllkurve ist analog zu dem der parallelen Projektion der ersten Zelle.

Die Vertex-First-Parallelprojektion der 16-Zellen in den 3-Raum hat eine oktaedrische Hüllkurve. Dieses Oktaeder kann durch Schneiden entlang der Koordinatenebenen in 8 tetraedrische Volumina unterteilt werden. Jedes dieser Volumina ist das Bild eines Zellenpaars in der 16-Zellen-Zelle. Der dem Betrachter am nächsten liegende Scheitelpunkt der 16-Zellen projiziert auf die Mitte des Oktaeders.

Schließlich hat die Rand-Erste-Parallelprojektion eine verkürzte oktaedrische Hüllkurve, und die Flächen-Erste-Parallelprojektion hat eine hexagonale bipyramidale Hüllkurve.

4 Kugel Venn Diagramm[edit]

Die übliche Projektion der 16-Zellen Stereographisches Polytop 16cell.png und 4 sich schneidende Kugeln (ein Venn-Diagramm mit 4 Mengen) bilden topologisch dasselbe Objekt im 3D-Raum:

Symmetriekonstruktionen[edit]

Es gibt eine niedrigere Symmetrieform der 16 Zellen, genannt Demitesseract oder 4-Demicube, ein Mitglied der Demihypercube-Familie, dargestellt durch h {4,3,3} – und Coxeter-Diagramme CDel-Knoten h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png oder CDel-Knoten 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png. Es kann mit abwechselnden tetraedrischen Zellen zweifarbig gezeichnet werden.

Es kann auch in Form einer niedrigeren Symmetrie als a gesehen werden tetraedrisches Antiprisma, konstruiert durch 2 parallele Tetraeder in zwei Konfigurationen, verbunden durch 8 (möglicherweise längliche) Tetraeder. Es wird durch s {2,4,3} und Coxeter-Diagramm dargestellt: CDel-Knoten h.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Es kann auch als Snub-4-Orthotop gesehen werden, dargestellt durch s {21,1,1} und Coxeter-Diagramm: CDel-Knoten h.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten h.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten h.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten h.png oder CDel-Knoten h.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten h.pngCDel split1-22.pngCDel-Knoten hh.png.

Mit dem Tesseract, der als 4-4-Duoprisma konstruiert ist, kann die 16-Zellen-Zelle als duale 4-4-Duopyramide angesehen werden.

Name Coxeter-Diagramm Schläfli-Symbol Coxeter-Notation Auftrag Scheitelpunktfigur
Regelmäßige 16-Zellen CDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {3,3,4} [3,3,4] 384 CDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Demitesseract
Quasireguläre 16-Zellen
CDel-Knoten 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel-Knoten h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel node.png = CDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel-Knoten h0.png
h {4,3,3}
{3,31,1}}
[31,1,1] = [1+,4,3,3] 192 CDel node.pngCDel 3.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Alterniertes 4-4 Duoprisma CDel label2.pngCDel-Zweig hh.pngCDel 4a4b.pngCDel node.png 2s {4,2,4} [[4,2+,4]]] 64
Tetraedrisches Antiprisma CDel-Knoten h.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png s {2,4,3} [2+,4,3] 48
Alterniertes quadratisches Prismenprisma CDel-Knoten h.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten h.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten h.pngCDel 4.pngCDel node.png sr {2,2,4} [(2,2)+,4] 16
Snub 4-Orthotop CDel-Knoten h.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten h.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten h.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten h.png = CDel-Knoten h.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten h.pngCDel split1-22.pngCDel-Knoten hh.png s {21,1,1}} [2,2,2]+ = [21,1,1]+ 8 CDel-Knoten h.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten h.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten h.png
4-Fusil
CDel-Knoten f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {3,3,4} [3,3,4] 384 CDel-Knoten f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel-Knoten f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten f1.pngCDel 4.pngCDel node.png {4} + {4} oder 2 {4} [[4,2,4]]= [8,2+,8] 128 CDel-Knoten f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten f1.png
CDel-Knoten f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten f1.png {3,4} + {} [4,3,2] 96 CDel-Knoten f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel-Knoten f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten f1.png
CDel-Knoten f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten f1.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten f1.png {4} +2 {} [4,2,2] 32 CDel-Knoten f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten f1.png
CDel-Knoten f1.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten f1.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten f1.png
CDel-Knoten f1.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten f1.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten f1.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten f1.png {} + {} + {} + {} oder 4 {} [2,2,2] 16 CDel-Knoten f1.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten f1.pngCDel 2x.pngCDel-Knoten f1.png

Verwandte komplexe Polygone[edit]

Das Möbius-Kantor-Polygon ist ein reguläres komplexes Polygon 3{3}3, CDel 3node 1.pngCDel 3.pngCDel 3node.png, im

C.2{ displaystyle mathbb {C} ^ {2}}

teilt die gleichen Eckpunkte wie die 16-Zellen. Es hat 8 Eckpunkte und 8 3-Kanten.[5][6]

Das reguläre komplexe Polygon, 2{4}4, CDel-Knoten 1.pngCDel 4.pngCDel 4node.png, im

C.2{ displaystyle mathbb {C} ^ {2}}

hat eine reale Darstellung als 16-Zellen im 4-dimensionalen Raum mit 8 Eckpunkten, 16 2-Kanten, nur der Hälfte der Kanten der 16-Zellen. Seine Symmetrie ist 4[4]2, Bestellung 32.[7]

Verwandte einheitliche Polytope und Waben[edit]

Die regulären 16-Zellen existieren zusammen mit dem Tesseract in einem Satz von 15 einheitlichen 4-Polytopen mit der gleichen Symmetrie. Es ist auch ein Teil der einheitlichen Polytope von D.4 Symmetrie.

Dieses 4-Polytop ist auch mit der kubischen Wabe, der dodekaedrischen Wabe der Ordnung 4 und der hexagonalen Kachelwabe der Ordnung 4 verwandt, die alle oktaedrische Scheitelpunktfiguren aufweisen.

Es ist in einer Sequenz zu drei regulären 4-Polytopen: die 5-Zellen {3,3,3}, 600-Zellen {3,3,5} des euklidischen 4-Raums und die tetraedrische Wabe der Ordnung 6 {3, 3,6} hyperbolischer Raum. Alle diese haben tetraedrische Zellen.

Es ist zuerst in einer Folge von quasiregulären Polytopen und Waben h {4, p, q} und einer halben Symmetriesequenz für reguläre Formen {p, 3,4}.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

  1. ^ NW Johnson: Geometrien und Transformationen, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Kapitel 11: Endliche Symmetriegruppen11.5 Sphärische Coxeter-GruppenS.249
  2. ^ Matila Ghyka, Die Geometrie von Kunst und Leben (1977), S. 68
  3. ^ Coxeter und Shephard, 1991, S. 30 und S. 47
  4. ^ Coxeter und Shephard, 1992
  5. ^ Regelmäßige komplexe Polytope, p. 108
  6. ^ Regelmäßige komplexe Polytope, S.114
  • T. Gosset: Auf den regulären und semi-regulären Figuren im Raum von n Dimensionen, Bote der Mathematik, Macmillan, 1900
  • HSM Coxeter:
    • Coxeter, HSM (1973). Regelmäßige Polytope (3. Aufl.). New York: Dover.
    • Kaleidoskope: Ausgewählte Schriften von HSM Coxeter, herausgegeben von F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asien Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
      • (Papier 22) HSM Coxeter, Regelmäßige und halbregelmäßige Polytope I., [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
      • (Papier 23) HSM Coxeter, Regelmäßige und halbregelmäßige Polytope II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
      • (Papier 24) HSM Coxeter, Regelmäßige und halbregelmäßige Polytope III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Die Symmetrien der Dinge 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitel 26. S. 409: Hemicubes: 1n1)
  • Norman Johnson Einheitliche PolytopeManuskript (1991)
    • NW Johnson: Die Theorie der einheitlichen Polytope und Waben, Ph.D. (1966)

Externe Links[edit]

after-content-x4