[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki16\/2021\/01\/27\/16-zellen-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki16\/2021\/01\/27\/16-zellen-wikipedia\/","headline":"16 Zellen – Wikipedia","name":"16 Zellen – Wikipedia","description":"before-content-x4 Regelm\u00e4\u00dfiges Hexadecachoron(16 Zellen)(4-Orthoplex) Art Konvexes regul\u00e4res 4-Polytop4-Orthoplex4-Demicube Schl\u00e4fli-Symbol {3,3,4} Coxeter-Diagramm Zellen 16 {3,3} Gesichter 32 {3} Kanten 24 Eckpunkte","datePublished":"2021-01-27","dateModified":"2021-01-27","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki16\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki16\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/9\/90\/Schlegel_wireframe_16-cell.png\/240px-Schlegel_wireframe_16-cell.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/9\/90\/Schlegel_wireframe_16-cell.png\/240px-Schlegel_wireframe_16-cell.png","height":"246","width":"240"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki16\/2021\/01\/27\/16-zellen-wikipedia\/","wordCount":9520,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Regelm\u00e4\u00dfiges Hexadecachoron(16 Zellen)(4-Orthoplex)ArtKonvexes regul\u00e4res 4-Polytop4-Orthoplex4-DemicubeSchl\u00e4fli-Symbol{3,3,4}Coxeter-DiagrammZellen16 {3,3} Gesichter32 {3} Kanten24Eckpunkte8ScheitelpunktfigurOktaederPetrie PolygonAchteckCoxeter-GruppeB.4, [3,3,4], Bestellung 384D.4, Bestellung 192DualTesseractEigenschaftenkonvex, isogonal, isotoxal, isoedrisch, quasiregul\u00e4rEinheitlicher Index12  In der vierdimensionalen Geometrie a 16 Zellen ist ein regul\u00e4res konvexes 4-Polytop.  Es ist eines der sechs regul\u00e4ren konvexen 4-Polytope, die der Schweizer Mathematiker Ludwig Schl\u00e4fli Mitte des 19. Jahrhunderts erstmals beschrieben hat.  Es wird auch genannt C.16, Hexadecachoron,[1]  oder Hexdecahedroid.[2]  Es ist Teil einer unendlichen Familie von Polytopen, genannt Kreuzpolytope oder Orthoplexeund ist analog zum Oktaeder in drei Dimensionen.  Es ist Coxeters \u03b24{ displaystyle  beta _ {4}}  polytope.Conways Name f\u00fcr ein Kreuzpolytop ist Orthoplex, zum orthanter Komplex.  Das Doppelpolytop ist der Tesserakt (4-W\u00fcrfel), mit dem es zu einer zusammengesetzten Figur kombiniert werden kann.  Die 16-Zellen haben 16 Zellen, w\u00e4hrend der Tesseract 16 Eckpunkte hat.Table of Contents  Geometrie[edit]Als Konfiguration[edit]Orthogonale Projektionen[edit]Tessellationen[edit]Boerdijk-Coxeter-Helix[edit]Projektionen[edit]4 Kugel Venn Diagramm[edit]Symmetriekonstruktionen[edit]Verwandte komplexe Polygone[edit]Verwandte einheitliche Polytope und Waben[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Geometrie[edit]Es wird von 16 Zellen begrenzt, die alle regul\u00e4re Tetraeder sind.  Es hat 32 dreieckige Fl\u00e4chen, 24 Kanten und 8 Eckpunkte.  Die 24 Kanten begrenzten 6 Quadrate, die in den 6 Koordinatenebenen lagen.Die acht Eckpunkte der 16-Zellen sind (\u00b1 1, 0, 0, 0), (0, \u00b1 1, 0, 0), (0, 0, \u00b1 1, 0), (0, 0, 0, \u00b1 1).  Alle Eckpunkte sind durch Kanten verbunden, mit Ausnahme entgegengesetzter Paare.Das Schl\u00e4fli-Symbol der 16-Zellen ist {3,3,4}.  Seine Scheitelpunktfigur ist ein regul\u00e4res Oktaeder.  An jedem Scheitelpunkt treffen sich 8 Tetraeder, 12 Dreiecke und 6 Kanten.  Seine Randfigur ist ein Quadrat.  An jeder Kante treffen sich 4 Tetraeder und 4 Dreiecke.Die 16-Zellen k\u00f6nnen in zwei \u00e4hnliche disjunkte kreisf\u00f6rmige Ketten von jeweils acht Tetraedern mit jeweils vier Kanten L\u00e4nge zerlegt werden.  Jede Kette bildet, wenn sie gerade ausgestreckt ist, eine Boerdijk-Coxeter-Helix.  Diese Zersetzung ist in einer 4-4-Duoantiprismus-Konstruktion der zu sehen 16 Zellen::   oder , Schl\u00e4fli-Symbol {2} \u2a02 {2} oder s {2} s {2}, Symmetrie 4,2+, 4, Bestellung 64.  Das 16 Zellen kann in zwei oktaedrische Pyramiden zerlegt werden, die sich durch das 16-Zellen-Zentrum eine neue Oktaederbasis teilen.Als Konfiguration[edit]Diese Konfigurationsmatrix repr\u00e4sentiert die 16 Zellen.  Die Zeilen und Spalten entsprechen Eckpunkten, Kanten, Fl\u00e4chen und Zellen.  Die diagonalen Zahlen geben an, wie viele Elemente in der gesamten 16-Zellen-Zelle vorkommen.  Die nichtdiagonalen Zahlen geben an, wie viele Elemente der Spalte im oder am Element der Zeile vorkommen.[86128224443332246416]{ displaystyle { begin {bmatrix} { begin {matrix} 8 & 6 & 12 & 8 \\ 2 & 24 & 4 & 4 \\ 3 & 3 & 32 & 2 \\ 4 & 6 & 4 & 16  end {matrix}}  end {bmatrix}}}Orthogonale Projektionen[edit]Tessellationen[edit]Man kann den 4-dimensionalen euklidischen Raum durch regul\u00e4re 16-Zellen tessellieren.  Dies wird als 16-Zellen-Wabe bezeichnet und hat das Schl\u00e4fli-Symbol {3,3,4,3}.  Daher hat die 16-Zelle einen Diederwinkel von 120 \u00b0.  Jede 16-Zelle hat 16 Nachbarn, mit denen sie einen Tetraeder teilt, 24 Nachbarn, mit denen sie nur eine Kante teilt, und 72 Nachbarn, mit denen sie nur einen einzigen Punkt teilt.  Vierundzwanzig 16-Zellen treffen sich an einem bestimmten Scheitelpunkt in dieser Tessellation.Die doppelte Tessellation, die 24-Zellen-Wabe {3,4,3,3}, besteht aus regul\u00e4ren 24-Zellen.  Zusammen mit der tesseraktischen Wabe {4,3,3,4} sind dies die einzigen drei regelm\u00e4\u00dfigen Tessellationen von R.4.Boerdijk-Coxeter-Helix[edit]EIN 16 Zellen kann aus zwei Boerdijk-Coxeter-Helixen von acht verketteten Tetraedern konstruiert werden, die jeweils zu einem 4-dimensionalen Ring gefaltet sind.  Die 16 Dreiecksfl\u00e4chen sind in einem 2D-Netz innerhalb einer dreieckigen Kachelung mit 6 Dreiecken um jeden Scheitelpunkt zu sehen.  Die violetten R\u00e4nder repr\u00e4sentieren das Petrie-Polygon der 16-Zellen.Projektionen[edit]  Projektionsh\u00fcllkurven der 16-Zellen.  (Jede Zelle wird mit unterschiedlichen Farbfl\u00e4chen gezeichnet, invertierte Zellen werden nicht gezeichnet.)Die erste parallele Projektion der 16 Zellen in den 3-Raum hat eine kubische H\u00fclle.  Die n\u00e4chstgelegenen und am weitesten entfernten Zellen werden auf eingeschriebene Tetraeder innerhalb des W\u00fcrfels projiziert, was den beiden m\u00f6glichen M\u00f6glichkeiten entspricht, ein regul\u00e4res Tetraeder in einen W\u00fcrfel einzuschreiben.  Um jedes dieser Tetraeder herum befinden sich 4 andere (nicht regul\u00e4re) tetraedrische Volumina, die die Bilder der 4 umgebenden tetraedrischen Zellen darstellen und den Raum zwischen dem eingeschriebenen Tetraeder und dem W\u00fcrfel ausf\u00fcllen.  Die verbleibenden 6 Zellen werden auf die quadratischen Fl\u00e4chen des W\u00fcrfels projiziert.  Bei dieser Projektion der 16-Zellen liegen alle ihre Kanten auf den Fl\u00e4chen der kubischen H\u00fclle.Die perspektivische Projektion der 16-Zellen in den 3-Raum weist eine Triakis-Tetraeder-H\u00fclle auf.  Das Layout der Zellen innerhalb dieser H\u00fcllkurve ist analog zu dem der parallelen Projektion der ersten Zelle.Die Vertex-First-Parallelprojektion der 16-Zellen in den 3-Raum hat eine oktaedrische H\u00fcllkurve.  Dieses Oktaeder kann durch Schneiden entlang der Koordinatenebenen in 8 tetraedrische Volumina unterteilt werden.  Jedes dieser Volumina ist das Bild eines Zellenpaars in der 16-Zellen-Zelle.  Der dem Betrachter am n\u00e4chsten liegende Scheitelpunkt der 16-Zellen projiziert auf die Mitte des Oktaeders.Schlie\u00dflich hat die Rand-Erste-Parallelprojektion eine verk\u00fcrzte oktaedrische H\u00fcllkurve, und die Fl\u00e4chen-Erste-Parallelprojektion hat eine hexagonale bipyramidale H\u00fcllkurve.4 Kugel Venn Diagramm[edit]Die \u00fcbliche Projektion der 16-Zellen  und 4 sich schneidende Kugeln (ein Venn-Diagramm mit 4 Mengen) bilden topologisch dasselbe Objekt im 3D-Raum:Symmetriekonstruktionen[edit]Es gibt eine niedrigere Symmetrieform der 16 Zellen, genannt Demitesseract oder 4-Demicube, ein Mitglied der Demihypercube-Familie, dargestellt durch h {4,3,3} – und Coxeter-Diagramme   oder .  Es kann mit abwechselnden tetraedrischen Zellen zweifarbig gezeichnet werden.Es kann auch in Form einer niedrigeren Symmetrie als a gesehen werden tetraedrisches Antiprisma, konstruiert durch 2 parallele Tetraeder in zwei Konfigurationen, verbunden durch 8 (m\u00f6glicherweise l\u00e4ngliche) Tetraeder.  Es wird durch s {2,4,3} und Coxeter-Diagramm dargestellt: .Es kann auch als Snub-4-Orthotop gesehen werden, dargestellt durch s {21,1,1} und Coxeter-Diagramm:   oder .Mit dem Tesseract, der als 4-4-Duoprisma konstruiert ist, kann die 16-Zellen-Zelle als duale 4-4-Duopyramide angesehen werden.NameCoxeter-DiagrammSchl\u00e4fli-SymbolCoxeter-NotationAuftragScheitelpunktfigurRegelm\u00e4\u00dfige 16-Zellen{3,3,4}[3,3,4]384DemitesseractQuasiregul\u00e4re 16-Zellen  =   = h {4,3,3}{3,31,1}}[31,1,1]  = [1+,4,3,3]192Alterniertes 4-4 Duoprisma2s {4,2,4}[[4,2+,4]]]64Tetraedrisches Antiprismas {2,4,3}[2+,4,3]48Alterniertes quadratisches Prismenprismasr {2,2,4}[(2,2)+,4]16Snub 4-Orthotop  = s {21,1,1}}[2,2,2]+ = [21,1,1]+84-Fusil{3,3,4}[3,3,4]384{4} + {4} oder 2 {4}[[4,2,4]]= [8,2+,8]128{3,4} + {}[4,3,2]96{4} +2 {}[4,2,2]32{} + {} + {} + {} oder 4 {}[2,2,2]16Verwandte komplexe Polygone[edit]Das M\u00f6bius-Kantor-Polygon ist ein regul\u00e4res komplexes Polygon 3{3}3, , im C.2{ displaystyle  mathbb {C} ^ {2}}  teilt die gleichen Eckpunkte wie die 16-Zellen.  Es hat 8 Eckpunkte und 8 3-Kanten.[5][6]Das regul\u00e4re komplexe Polygon, 2{4}4, , im C.2{ displaystyle  mathbb {C} ^ {2}}  hat eine reale Darstellung als 16-Zellen im 4-dimensionalen Raum mit 8 Eckpunkten, 16 2-Kanten, nur der H\u00e4lfte der Kanten der 16-Zellen.  Seine Symmetrie ist 4[4]2, Bestellung 32.[7]Verwandte einheitliche Polytope und Waben[edit]Die regul\u00e4ren 16-Zellen existieren zusammen mit dem Tesseract in einem Satz von 15 einheitlichen 4-Polytopen mit der gleichen Symmetrie.  Es ist auch ein Teil der einheitlichen Polytope von D.4 Symmetrie.Dieses 4-Polytop ist auch mit der kubischen Wabe, der dodekaedrischen Wabe der Ordnung 4 und der hexagonalen Kachelwabe der Ordnung 4 verwandt, die alle oktaedrische Scheitelpunktfiguren aufweisen.Es ist in einer Sequenz zu drei regul\u00e4ren 4-Polytopen: die 5-Zellen {3,3,3}, 600-Zellen {3,3,5} des euklidischen 4-Raums und die tetraedrische Wabe der Ordnung 6 {3, 3,6} hyperbolischer Raum.  Alle diese haben tetraedrische Zellen.Es ist zuerst in einer Folge von quasiregul\u00e4ren Polytopen und Waben h {4, p, q} und einer halben Symmetriesequenz f\u00fcr regul\u00e4re Formen {p, 3,4}.Siehe auch[edit]Konvex5 Zellen8 Zellen16 Zellen24 Zellen120 Zellen600 Zellen{3,3,3}Pentachoron4-Simplex{3,3,4}Hexadecachoron4-Orthoplex{3,4,3}icositetrachoronOctaplex{5,3,3}HekatonicosachoronDodecaplex{3,3,5}HexacosichoronTetraplexStarIkosaeder120 Zellenkleinstellated120 Zellengro\u00dfartig120 Zellengro\u00dfartig120 Zellengro\u00dfartigstellated120 Zellengro\u00dfartigstellated120 ZellenUrgro\u00df120 Zellengro\u00dfartigIkosaeder120 Zellengro\u00dfartig600 ZellenUrgro\u00dfStern 120-Zellen{5\/.2, 5,3}Stern Dodecaplex{5,5\/.2, 5}gro\u00dfer Dodecaplex{5,3,5\/.2}}Grand Dodecaplex{5\/.2, 3,5}gro\u00dfer sternf\u00f6rmiger Dodecaplex{5\/.2, 5,5\/.2}}Grand Sterned Dodecaplex{5,5\/.2,3}Urgro\u00dfer Dodecaplex{3,5\/.2, 5}toller icosaplex{3,3,5\/.2}}Grand Tetraplex{5\/.2, 3,3}Urgro\u00dfstern-DodecaplexVerweise[edit]^ NW Johnson: Geometrien und Transformationen, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Kapitel 11: Endliche Symmetriegruppen11.5 Sph\u00e4rische Coxeter-GruppenS.249^ Matila Ghyka, Die Geometrie von Kunst und Leben (1977), S. 68^ Coxeter und Shephard, 1991, S. 30 und S. 47^ Coxeter und Shephard, 1992^ Regelm\u00e4\u00dfige komplexe Polytope, p.  108^ Regelm\u00e4\u00dfige komplexe Polytope, S.114T. Gosset: Auf den regul\u00e4ren und semi-regul\u00e4ren Figuren im Raum von n Dimensionen, Bote der Mathematik, Macmillan, 1900HSM Coxeter:Coxeter, HSM (1973). Regelm\u00e4\u00dfige Polytope (3. Aufl.).  New York: Dover.Kaleidoskope: Ausgew\u00e4hlte Schriften von HSM Coxeter, herausgegeben von F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asien Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1](Papier 22) HSM Coxeter, Regelm\u00e4\u00dfige und halbregelm\u00e4\u00dfige Polytope I., [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10](Papier 23) HSM Coxeter, Regelm\u00e4\u00dfige und halbregelm\u00e4\u00dfige Polytope II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591](Papier 24) HSM Coxeter, Regelm\u00e4\u00dfige und halbregelm\u00e4\u00dfige Polytope III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Die Symmetrien der Dinge 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitel 26. S. 409: Hemicubes: 1n1)Norman Johnson Einheitliche PolytopeManuskript (1991)NW Johnson: Die Theorie der einheitlichen Polytope und Waben, Ph.D.  (1966)Externe Links[edit]     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki16\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki16\/2021\/01\/27\/16-zellen-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"16 Zellen – Wikipedia"}}]}]