Dekan Nummer – Wikipedia

Das Dean Nummer ((De) ist eine dimensionslose Gruppe in der Strömungsmechanik, die bei der Untersuchung der Strömung in gekrümmten Rohren und Kanälen auftritt. Es ist nach dem britischen Wissenschaftler WR Dean benannt, der als erster eine theoretische Lösung der Flüssigkeitsbewegung durch gekrümmte Rohre für die laminare Strömung lieferte, indem er ein Störungsverfahren von einer Poiseuille-Strömung in einem geraden Rohr zu einer Strömung in einem Rohr mit sehr viel verwendete kleine Krümmung.^[1][2]

Physischer Kontext[edit]

Schema eines Paares von Dean-Wirbeln, die sich in gekrümmten Rohren bilden.

Wenn sich eine Flüssigkeit entlang eines geraden Rohrs bewegt, das sich nach einem bestimmten Punkt krümmt, bewirken die Zentripetalkräfte an der Biegung, dass die Flüssigkeitsteilchen ihre Hauptbewegungsrichtung ändern. Es wird ein nachteiliger Druckgradient erzeugt, der aus der Krümmung mit einem Druckanstieg erzeugt wird, daher eine Abnahme der Geschwindigkeit nahe der konvexen Wand, und das Gegenteil wird in Richtung der Außenseite des Rohrs auftreten. Dies führt zu einer Sekundärbewegung, die der Primärströmung überlagert ist, wobei die Flüssigkeit in der Mitte des Rohrs zur Außenseite der Biegung hin gespült wird und die Flüssigkeit in der Nähe der Rohrwand zur Innenseite der Biegung zurückkehrt. Es wird erwartet, dass diese sekundäre Bewegung als ein Paar gegenläufiger Zellen erscheint, die aufgerufen werden Dean Wirbel.

Definition[edit]

Die Dean-Nummer wird normalerweise mit bezeichnet De (oder Dn). Für eine Strömung in einem Rohr oder einer Röhre ist definiert als:

${ displaystyle { mathit {De}} = { frac { sqrt {{ frac {1} {2}} , ({ text {Trägheitskräfte}}) ({ text {Zentripetalkräfte}}) }} { text {viskose Kräfte}}} = { frac { sqrt {{ frac {1} {2}} , ( rho , D ^ {2} , R_ {c} , { frac {v ^ {2}} {D}}) ( rho , D ^ {2} , R_ {c} , { frac {v ^ {2}} {R_ {c}}}) }} { mu { frac {v} {D}} D , R_ {c}}} = { frac { rho , D , v} { mu}} { sqrt { frac { D} {2 , R_ {c}}}} = { textit {Re}} , { sqrt { frac {D} {2 , R_ {c}}}}$

wo

Die Dean-Zahl ist daher das Produkt der Reynolds-Zahl (basierend auf der axialen Strömung)

durch ein Rohr mit Durchmesser

) und die Quadratwurzel des Krümmungsverhältnisses.

Turbulenzübergang[edit]

Der Fluss ist für niedrige Dean-Zahlen völlig unidirektional (De < 40~60). As the Dean number increases between 40~60 to 64~75, some wavy perturbations can be observed in the cross-section, which evidences some secondary flow. At higher Dean numbers than that (De > 64 ~ 75) das Paar von Dean-Wirbeln wird stabil, was auf eine primäre dynamische Instabilität hinweist. Eine sekundäre Instabilität tritt bei De> 75 ~ 200 auf, wo die Wirbel Wellen, Verdrehungen und schließlich Verschmelzen und Paarspaltung aufweisen. Für De> 400 bildet sich eine voll turbulente Strömung.^[3] Der Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung wurde ebenfalls in einer Reihe von Studien untersucht, obwohl keine universelle Lösung existiert, da der Parameter stark vom Krümmungsverhältnis abhängt.^[4] Etwas unerwartet kann die laminare Strömung für größere Reynolds-Zahlen (sogar um den Faktor zwei für die höchsten untersuchten Krümmungsverhältnisse) als für gerade Rohre aufrechterhalten werden, obwohl bekannt ist, dass die Krümmung Instabilität verursacht.^[5]

Die Dean-Gleichungen[edit]

Die Dean-Nummer erscheint in der sogenannten Dean Gleichungen.^[6] Dies ist eine Annäherung an die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen für den stetigen axial gleichmäßigen Fluss eines Newtonschen Fluids in einem Ringrohr, die erhalten werden, indem nur die Krümmungseffekte führender Ordnung beibehalten werden (dh die Gleichungen führender Ordnung für

).

Wir verwenden orthogonale Koordinaten

mit entsprechenden Einheitsvektoren

an jedem Punkt mit der Mittellinie des Rohrs ausgerichtet. Die axiale Richtung ist

mit

normal in der Ebene der Mittellinie sein und

das binormale. Für eine axiale Strömung, die von einem Druckgradienten angetrieben wird

die axiale Geschwindigkeit

ist skaliert mit

. Die Querströmungsgeschwindigkeiten

sind skaliert mit

und Querstromdrücke mit

. Die Längen werden mit dem Rohrradius skaliert

.

In Bezug auf diese nichtdimensionalen Variablen und Koordinaten sind dann die Dean-Gleichungen

${ displaystyle D left ({ frac { mathrm {D} u_ {x}} { mathrm {D} t}} + u_ {z} ^ {2} right) = – D { frac { partielles p} { partielles x}} + nabla ^ {2} u_ {x}}$

${ displaystyle D { frac { mathrm {D} u_ {y}} { mathrm {D} t}} = – D { frac { partielle p} { partielle y}} + nabla ^ {2 } u_ {y}}$

${ displaystyle D { frac { mathrm {D} u_ {z}} { mathrm {D} t}} = 1+ nabla ^ {2} u_ {z}}$

${ displaystyle { frac { partielles u_ {x}} { partielles x}} + { frac { partielles u_ {y}} { partielles y}} = 0}$

wo

${ displaystyle { frac { mathrm {D}} { mathrm {D} t}} = u_ {x} { frac { partiell} { partiell x}} + u_ {y} { frac { teilweise} { teilweise y}}}$

ist die konvektive Ableitung.

Die Dean-Nummer D. ist der einzige im System verbleibende Parameter und kapselt die Krümmungseffekte führender Ordnung. Näherungen höherer Ordnung beinhalten zusätzliche Parameter.

Für schwache Krümmungseffekte (klein D.) können die Dean-Gleichungen als Reihenerweiterung in gelöst werden D.. Die erste Korrektur der axialen Poiseuille-Strömung führender Ordnung besteht aus zwei Wirbeln im Querschnitt, die die Strömung von innen nach außen von der Biegung über die Mitte und zurück um die Kanten tragen. Diese Lösung ist bis zu einer kritischen Dean-Zahl stabil

.^[7] Für größere D.Es gibt mehrere Lösungen, von denen viele instabil sind.

Beziehung zur Nusselt-Nummer

${ displaystyle Nu = 0.76 cdot Re ^ {- 0.23} cdot De ^ {- 0.114}}$

worin:

• Re ist Reynolds Nummer
• De ist Dean Number
• Nu ist Nusselt Nummer

Verweise[edit]