Kinetische Theorie der Gase – Wikipedia

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Das kinetische Theorie der Gase ist ein einfaches, historisch bedeutsames Modell des thermodynamischen Verhaltens von Gasen, mit dem viele Hauptkonzepte der Thermodynamik etabliert wurden. Das Modell beschreibt ein Gas als eine große Anzahl identischer submikroskopischer Partikel (Atome oder Moleküle), die sich alle in konstanter, schneller und zufälliger Bewegung befinden. Es wird angenommen, dass ihre Größe viel kleiner ist als der durchschnittliche Abstand zwischen den Partikeln. Die Partikel unterliegen zufälligen elastischen Kollisionen zwischen sich und den umschließenden Wänden des Behälters. Die Basisversion des Modells beschreibt das ideale Gas und berücksichtigt keine anderen Wechselwirkungen zwischen den Partikeln.

Die kinetische Theorie der Gase erklärt die makroskopischen Eigenschaften von Gasen wie Volumen, Druck und Temperatur sowie die Transporteigenschaften wie Viskosität, Wärmeleitfähigkeit und Massendiffusionsvermögen. Das Modell berücksichtigt auch verwandte Phänomene wie die Brownsche Bewegung.

Geschichte[edit]

Um 50 v. Chr. Schlug der römische Philosoph Lucretius vor, dass scheinbar statische makroskopische Körper in einem kleinen Maßstab aus sich schnell bewegenden Atomen bestehen, die alle voneinander abprallen.[1] Diese epikureische atomistische Sichtweise wurde in den folgenden Jahrhunderten, als aristotlische Ideen vorherrschten, selten berücksichtigt.

Hydrodynamica Frontabdeckung

1738 veröffentlichte Daniel Bernoulli Hydrodynamica, die die Grundlage für die kinetische Theorie der Gase legte. In dieser Arbeit stellte Bernoulli das Argument auf, dass Gase aus einer großen Anzahl von Molekülen bestehen, die sich in alle Richtungen bewegen, dass ihr Aufprall auf eine Oberfläche den Druck des Gases verursacht und dass ihre durchschnittliche kinetische Energie die Temperatur des Gases bestimmt. Die Theorie wurde nicht sofort akzeptiert, auch weil die Energieeinsparung noch nicht etabliert war und es für Physiker nicht offensichtlich war, wie die Kollisionen zwischen Molekülen perfekt elastisch sein könnten.[2]::36–37

Andere Pioniere der kinetischen Theorie, deren Arbeit auch von ihren Zeitgenossen weitgehend vernachlässigt wurde, waren Michail Lomonossow (1747),[3]Georges-Louis Le Sage (ca. 1780, veröffentlicht 1818),[4]John Herapath (1816)[5] und John James Waterston (1843),[6] die ihre Forschung mit der Entwicklung mechanischer Erklärungen der Gravitation verbanden. Im Jahr 1856 schuf August Krönig (wahrscheinlich nach dem Lesen einer Arbeit von Waterston) ein einfaches gaskinetisches Modell, das nur die Translationsbewegung der Teilchen berücksichtigte.[7]

1857 entwickelte Rudolf Clausius eine ähnliche, aber komplexere Version der Theorie, die translatorische und im Gegensatz zu Krönig auch rotatorische und vibratorische molekulare Bewegungen umfasste. In derselben Arbeit führte er das Konzept des mittleren freien Weges eines Teilchens ein.[8] Nachdem der schottische Physiker James Clerk Maxwell 1859 einen Artikel über die Diffusion von Molekülen durch Clausius gelesen hatte, formulierte er die Maxwell-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten, die den Anteil der Moleküle mit einer bestimmten Geschwindigkeit in einem bestimmten Bereich ergab.[9] Dies war das erste statistische Gesetz in der Physik.[10] Maxwell gab auch das erste mechanische Argument an, dass molekulare Kollisionen einen Temperaturausgleich und damit eine Tendenz zum Gleichgewicht zur Folge haben.[11] In seinem dreizehnseitigen Artikel ‘Molecules’ von 1873 stellt Maxwell fest: “Man sagt uns, dass ein “Atom” ein materieller Punkt ist, der investiert und von “potentiellen Kräften” umgeben ist. Wenn “fliegende Moleküle” in ständiger Folge gegen einen festen Körper schlagen, verursacht dies einen sogenannten Druck von Luft und anderen Gasen.”[12]

1871 verallgemeinerte Ludwig Boltzmann Maxwells Leistung und formulierte die Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Auch der logarithmische Zusammenhang zwischen Entropie und Wahrscheinlichkeit wurde von ihm erstmals angegeben.

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts wurden Atome jedoch von vielen Physikern als rein hypothetische Konstrukte und nicht als reale Objekte angesehen. Ein wichtiger Wendepunkt war Albert Einsteins (1905)[13] und Marian Smoluchowskis (1906)[14] Arbeiten zur Brownschen Bewegung, denen es gelang, bestimmte genaue quantitative Vorhersagen auf der Grundlage der kinetischen Theorie zu treffen.

Annahmen[edit]

Die Theorie für ideale Gase geht von folgenden Annahmen aus:

  • Das Gas besteht aus sehr kleinen Partikeln. Diese Kleinheit ihrer Größe ist derart, dass die Summe des Volumens der einzelnen Gasmoleküle im Vergleich zum Volumen des Gasbehälters vernachlässigbar ist. Dies entspricht der Feststellung, dass der durchschnittliche Abstand zwischen den Gaspartikeln im Vergleich zu ihrer Größe groß ist und dass die verstrichene Zeit einer Kollision zwischen Partikeln und der Behälterwand im Vergleich zur Zeit zwischen aufeinanderfolgenden Kollisionen vernachlässigbar ist.
  • Die Partikel haben die gleiche Masse.
  • Die Anzahl der Partikel ist so groß, dass eine statistische Behandlung angewendet werden kann.
  • Die sich schnell bewegenden Partikel kollidieren ständig untereinander und mit den Wänden des Behälters. Alle diese Kollisionen sind perfekt elastisch, was bedeutet, dass die Moleküle perfekte harte Kugeln sind.
  • Außer bei Kollisionen sind die Wechselwirkungen zwischen Molekülen vernachlässigbar. Sie üben keine anderen Kräfte aufeinander aus.

Somit kann die Dynamik der Teilchenbewegung klassisch behandelt werden, und die Bewegungsgleichungen sind zeitumkehrbar.

Neuere Entwicklungen lockern diese Annahmen und basieren auf der Boltzmann-Gleichung. Diese können die Eigenschaften dichter Gase genau beschreiben, da sie das Volumen der Partikel enthalten. Die notwendigen Annahmen sind das Fehlen von Quanteneffekten, molekulares Chaos und kleine Gradienten der Bulk-Eigenschaften. Erweiterungen zu höheren Ordnungen in der Dichte werden als viriale Erweiterungen bezeichnet.

Gleichgewichtseigenschaften[edit]

Druck und kinetische Energie[edit]

Im kinetischen Modell von Gasen ist der Druck gleich der Kraft, die von den Atomen ausgeübt wird, die auf eine Flächeneinheit der Gasbehälteroberfläche treffen und von dieser zurückprallen. Betrachten Sie ein Gas von N. Moleküle, jeweils von Masse m, eingeschlossen in einen Volumenwürfel V. = L.3. Wenn ein Gasmolekül mit der Wand des Behälters senkrecht zum kollidiert x Achse und prallt mit der gleichen Geschwindigkeit in die entgegengesetzte Richtung ab (eine elastische Kollision), die Impulsänderung ist gegeben durch:

wo p ist der Schwung, ich und f Anfangs- und Endimpuls angeben (vor und nach der Kollision), x zeigt an, dass nur die x Richtung wird erwogen, und v ist die Geschwindigkeit des Partikels (die vor und nach der Kollision gleich ist).

Das Partikel trifft einmal auf eine bestimmte Seitenwand

wo L. ist der Abstand zwischen gegenüberliegenden Wänden.

Die Kraft aufgrund dieses Partikels ist

Die Gesamtkraft an der Wand beträgt

wobei der Balken einen Durchschnitt über dem anzeigt N. Partikel.

Da die Bewegung der Partikel zufällig ist und in keiner Richtung eine Vorspannung angelegt wird, ist die durchschnittliche Quadratgeschwindigkeit in jeder Richtung identisch:

Nach dem Satz von Pythagoras in drei Dimensionen die gesamte quadratische Geschwindigkeit v ist gegeben durch

Deshalb:

und die Kraft kann geschrieben werden als:

Diese Kraft wird auf eine Fläche ausgeübt L.2. Daher ist der Druck des Gases

wo V. = L.3 ist das Volumen der Box.

In Bezug auf die kinetische Energie des Gases K.::

Dies ist ein erstes nicht triviales Ergebnis der kinetischen Theorie, da es den Druck, eine makroskopische Eigenschaft, mit der (translationalen) kinetischen Energie der Moleküle in Beziehung setzt

N.12mv2¯{ displaystyle N { frac {1} {2}} m { overline {v ^ {2}}}}

, was eine mikroskopische Eigenschaft ist.

Temperatur und kinetische Energie[edit]

Umschreiben des obigen Ergebnisses für den Druck als

P.V.=N.mv2¯3{ displaystyle PV = {Nm { overline {v ^ {2}}} over 3}}

können wir es mit dem idealen Gasgesetz kombinieren

((1)

wo

kB.{ displaystyle displaystyle k_ {B}}

ist die Boltzmann-Konstante und

T.{ displaystyle displaystyle T}

die durch das ideale Gasgesetz definierte absolute Temperatur zu erhalten

was zu einer vereinfachten Expression der durchschnittlichen kinetischen Energie pro Molekül führt,[15]

Die kinetische Energie des Systems ist nämlich das N-fache der eines Moleküls

K.=12N.mv2¯{ displaystyle K = { frac {1} {2}} Nm { overline {v ^ {2}}}}

. Dann die Temperatur

T.{ displaystyle displaystyle T}

nimmt die Form an

((2)

was wird

((3)

Gl. (3) ist ein wichtiges Ergebnis der kinetischen Theorie:
Die durchschnittliche molekulare kinetische Energie ist proportional zur absoluten Temperatur des idealen Gasgesetzes. Aus Gl. (1) und Gl. (3), wir haben

((4)

Somit ist das Produkt aus Druck und Volumen pro Mol proportional zur durchschnittlichen (translatorischen) molekularen kinetischen Energie.

Gl. (1) und Gl. (4) heißen die “klassische Ergebnisse”, die auch aus der statistischen Mechanik abgeleitet werden könnten; Weitere Einzelheiten finden Sie unter:[16]

Weil dort sind

3N.{ displaystyle displaystyle 3N}

Freiheitsgrade in einem einatomigen Gassystem mit

N.{ displaystyle displaystyle N}

Teilchen beträgt die kinetische Energie pro Freiheitsgrad pro Molekül

((5)

In der kinetischen Energie pro Freiheitsgrad beträgt die Proportionalitätskonstante der Temperatur das 1/2-fache der Boltzmann-Konstante oder R / 2 pro Mol. Darüber hinaus sinkt die Temperatur, wenn der Druck auf einen bestimmten Punkt abfällt.[why?]

Dieses Ergebnis hängt mit dem Äquipartitionssatz zusammen.

Zweiatomige Gase sollten 7 Freiheitsgrade haben, aber die leichteren zweiatomigen Gase tun so, als hätten sie nur 5. Monatomische Gase haben 3 Freiheitsgrade.

Somit beträgt die kinetische Energie pro Kelvin (einatomiges ideales Gas) 3 [R/2] = 3R / 2:

  • pro Mol: 12,47 J.
  • pro Molekül: 20,7 yJ = 129 μeV.

Bei Standardtemperatur (273,15 K) erhalten wir:

  • pro Mol: 3406 J.
  • pro Molekül: 5,65 zJ = 35,2 meV.

Kollisionen mit Container[edit]

Die Geschwindigkeitsverteilung von Partikeln, die auf die Behälterwand treffen, kann berechnet werden[17] basierend auf der naiven kinetischen Theorie, und das Ergebnis kann zur Analyse der effusiven Flussrate verwendet werden:

Angenommen, im Container ist die Zahlendichte

n{ displaystyle n}

und Teilchen gehorchen der Geschwindigkeitsverteilung von Maxwell:

Dann die Anzahl der Partikel, die auf die Fläche treffen

dEIN{ displaystyle dA}

mit Geschwindigkeit

v{ displaystyle v}

im Winkel

θ{ displaystyle theta}

vom normalen Zeitintervall

dt{ displaystyle dt}

ist:

Integrieren Sie dies über alle geeigneten Geschwindigkeiten innerhalb der Beschränkung

v>0,0<θ<π/.2,0<ϕ<2π{ displaystyle v> 0,0 < theta < pi / 2,0 < phi <2 pi}

ergibt die Anzahl der atomaren oder molekularen Kollisionen mit einer Behälterwand pro Flächeneinheit pro Zeiteinheit:

Diese Menge wird auch als bezeichnet “Aufprallrate” in der Vakuumphysik.

Wenn dieser kleine Bereich

EIN{ displaystyle A}

Wenn es gestanzt wird, um ein kleines Loch zu werden, beträgt die Durchflussrate:

In Kombination mit dem idealen Gasgesetz ergibt dies:

Die Geschwindigkeitsverteilung von Partikeln, die auf diesen kleinen Bereich treffen, ist:

mit der Einschränkung

v>0,0<θ<π2,0<ϕ<2π{ displaystyle v> 0, , 0 < theta <{ frac { pi} {2}}, , 0 < phi <2 pi}

, und const. kann durch Normalisierungsbedingung bestimmt werden

12π((mkB.T.)2{ displaystyle { frac {1} {2 pi}} left ({ frac {m} {k_ {B} T}} right) ^ {2}}

.

Geschwindigkeit der Moleküle[edit]

Aus der kinetischen Energieformel kann gezeigt werden, dass

wo v ist in m / s, T. ist in Kelvin und m ist die Masse eines Gasmoleküls. Die wahrscheinlichste (oder Modus-) Geschwindigkeit

vp{ displaystyle v _ { text {p}}}

beträgt 81,6% der Effektivgeschwindigkeit

vrms{ displaystyle v _ { text {rms}}}

und die mittlere Geschwindigkeit (arithmetisches Mittel oder Durchschnittsgeschwindigkeit)

v¯{ displaystyle { bar {v}}}

beträgt 92,1% der Effektivgeschwindigkeit (isotrope Geschwindigkeitsverteilung).

Sehen:

Transporteigenschaften[edit]

Die kinetische Theorie der Gase befasst sich nicht nur mit Gasen im thermodynamischen Gleichgewicht, sondern auch mit Gasen, die sich nicht im thermodynamischen Gleichgewicht befinden. Dies bedeutet, die kinetische Theorie zu verwenden, um das zu berücksichtigen, was als bekannt ist “Transporteigenschaften”wie Viskosität, Wärmeleitfähigkeit und Massendiffusionsvermögen.

Viskosität und kinetischer Impuls[edit]

In Büchern zur elementaren kinetischen Theorie[18] Man kann Ergebnisse für die Modellierung von verdünntem Gas finden, die weit verbreitet sind. Die Ableitung des kinetischen Modells für die Scherviskosität beginnt normalerweise mit der Betrachtung einer Couette-Strömung, bei der zwei parallele Platten durch eine Gasschicht getrennt sind. Die obere Platte bewegt sich aufgrund einer Kraft F mit einer konstanten Geschwindigkeit nach rechts. Die untere Platte ist stationär, und daher muss eine gleiche und entgegengesetzte Kraft auf sie einwirken, um sie in Ruhe zu halten. Die Moleküle in der Gasschicht haben eine Vorwärtsgeschwindigkeitskomponente

u{ displaystyle u}

die mit der Entfernung gleichmäßig zunehmen

y{ displaystyle y}

über der unteren Platte. Der Nichtgleichgewichtsfluss überlagert eine Maxwell-Boltzmann-Gleichgewichtsverteilung molekularer Bewegungen.

Lassen

σ{ displaystyle sigma}

sei der Kollisionsquerschnitt eines Moleküls, das mit einem anderen kollidiert. Die Zahlendichte

n{ displaystyle n}

ist definiert als die Anzahl der Moleküle pro (umfangreichem) Volumen

n=N./.V.{ displaystyle n = N / V}

. Der Kollisionsquerschnitt pro Volumen oder die Kollisionsquerschnittsdichte beträgt

nσ{ displaystyle n sigma}

und es hängt mit dem mittleren freien Pfad zusammen

l{ displaystyle l}

durch

Beachten Sie, dass die Einheit des Kollisionsquerschnitts pro Volumen

nσ{ displaystyle n sigma}

ist ein Kehrwert der Länge. Der mittlere freie Weg ist die durchschnittliche Entfernung, die ein Molekül oder eine Anzahl von Molekülen pro Volumen zurücklegt, bevor sie ihre erste Kollision durchführen.

Lassen

u0{ displaystyle u_ {0}}

sei die Vorwärtsgeschwindigkeit des Gases an einer imaginären horizontalen Oberfläche innerhalb der Gasschicht. Die Anzahl der Moleküle, die in einem Bereich ankommen

dEIN{ displaystyle dA}

auf einer Seite der Gasschicht mit Geschwindigkeit

v{ displaystyle v}

im Winkel

θ{ displaystyle theta}

vom normalen Zeitintervall

dt{ displaystyle dt}

ist

Diese Moleküle haben ihre letzte Kollision in einiger Entfernung gemacht

lcosθ{ displaystyle l cos theta}

über und unter der Gasschicht, und jede wird einen Vorwärtsimpuls von beitragen

Dabei gilt das Pluszeichen für Moleküle von oben und das Minuszeichen von unten. Beachten Sie, dass der Vorwärtsgeschwindigkeitsgradient

du/.dy{ displaystyle du / dy}

kann über eine Entfernung des mittleren freien Weges als konstant angesehen werden.

Integration über alle geeigneten Geschwindigkeiten innerhalb der Beschränkung

ergibt die Vorwärtsimpulsübertragung pro Zeiteinheit pro Flächeneinheit (auch als Scherspannung bekannt):

Die Nettodrehzahl pro Flächeneinheit, die über die imaginäre Oberfläche transportiert wird, beträgt somit

Kombination der obigen kinetischen Gleichung mit dem Newtonschen Viskositätsgesetz

gibt die Gleichung für die Scherviskosität an, die üblicherweise bezeichnet wird

η0{ displaystyle eta _ {0}}

wenn es sich um ein verdünntes Gas handelt:

Die Kombination dieser Gleichung mit der Gleichung für den mittleren freien Pfad ergibt

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung gibt die durchschnittliche (Gleichgewichts-) Molekülgeschwindigkeit als an

wo

vp{ displaystyle v_ {p}}

ist die wahrscheinlichste Geschwindigkeit. Wir notieren das

und füge die Geschwindigkeit in die obige Viskositätsgleichung ein. Dies ergibt die bekannte Gleichung für die Scherviskosität für verdünnte Gase:

und

M.{ displaystyle M}

ist die Molmasse. Die obige Gleichung setzt voraus, dass die Gasdichte niedrig ist (dh der Druck ist niedrig). Dies impliziert, dass die kinetische Translationsenergie über Rotations- und Vibrationsmolekülenergien dominiert. Die Viskositätsgleichung setzt ferner voraus, dass es nur eine Art von Gasmolekülen gibt und dass die Gasmoleküle perfekte elastische und harte Kernteilchen mit Kugelform sind. Diese Annahme von elastischen kugelförmigen Molekülen mit hartem Kern wie Billardkugeln impliziert, dass der Kollisionsquerschnitt eines Moleküls durch geschätzt werden kann

Der Radius

r{ displaystyle r}

wird Kollisionsquerschnittsradius oder kinetischer Radius und der Durchmesser genannt

d{ displaystyle d}

wird als Kollisionsquerschnittsdurchmesser oder kinetischer Durchmesser eines Moleküls in einem monomolekularen Gas bezeichnet. Es gibt keine einfache allgemeine Beziehung zwischen dem Kollisionsquerschnitt und der harten Kerngröße des (ziemlich kugelförmigen) Moleküls. Die Beziehung hängt von der Form der potentiellen Energie des Moleküls ab. Für ein reales kugelförmiges Molekül (dh ein Edelgasatom oder ein einigermaßen kugelförmiges Molekül) ähnelt das Wechselwirkungspotential eher dem Lennard-Jones-Potential oder dem Morsepotential, die einen negativen Anteil haben, der das andere Molekül aus Entfernungen anzieht, die länger als der Radius des harten Kerns sind. Der Radius für das Lennard-Jones-Potential Null ist dann geeignet, um ihn als Schätzung für den kinetischen Radius zu verwenden.

Wärmeleitfähigkeit und Wärmefluss[edit]

Nach einer ähnlichen Logik wie oben kann man das kinetische Modell für die Wärmeleitfähigkeit ableiten[18] eines verdünnten Gases:

Betrachten Sie zwei parallele Platten, die durch eine Gasschicht getrennt sind. Beide Platten haben gleichmäßige Temperaturen und sind im Vergleich zur Gasschicht so massiv, dass sie als Wärmespeicher behandelt werden können. Die obere Platte hat eine höhere Temperatur als die untere Platte. Die Moleküle in der Gasschicht haben eine molekulare kinetische Energie

ε{ displaystyle varepsilon}

was mit der Entfernung gleichmäßig zunimmt

y{ displaystyle y}

über der unteren Platte. Der Nichtgleichgewichtsenergiefluss überlagert eine Maxwell-Boltzmann-Gleichgewichtsverteilung molekularer Bewegungen.

Lassen

ε0{ displaystyle varepsilon _ {0}}

sei die molekulare kinetische Energie des Gases an einer imaginären horizontalen Oberfläche innerhalb der Gasschicht. Die Anzahl der Moleküle, die in einem Bereich ankommen

dEIN{ displaystyle dA}

auf einer Seite der Gasschicht mit Geschwindigkeit

v{ displaystyle v}

im Winkel

θ{ displaystyle theta}

vom normalen Zeitintervall

dt{ displaystyle dt}

ist

nvcosθdEINdt×((m2πkB.T.)32e– –mv22kB.T.((v2Sündeθdvdθdϕ){ displaystyle quad nv cos { theta} , dAdt { times} left ({ frac {m} {2 pi k_ {B} T}} right) ^ { frac {3} { 2}} e ^ {- { frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} (v ^ {2} sin { theta} , dv {d theta} d phi) }}

Diese Moleküle haben ihre letzte Kollision in einiger Entfernung gemacht

lcosθ{ displaystyle l cos theta}

über und unter der Gasschicht, und jede trägt eine molekulare kinetische Energie von bei

ε±=((ε0±mcvlcosθdT.dy),{ displaystyle quad varepsilon ^ { pm} = left ( varepsilon _ {0} pm mc_ {v} l cos theta , {dT over dy} right),}

wo

cv{ displaystyle c_ {v}}

ist die spezifische Wärmekapazität. Wiederum gilt das Pluszeichen für Moleküle von oben und das Minuszeichen von unten. Beachten Sie, dass der Temperaturgradient

dT./.dy{ displaystyle dT / dy}

kann über eine Entfernung des mittleren freien Weges als konstant angesehen werden.

Integration über alle geeigneten Geschwindigkeiten innerhalb der Beschränkung

ergibt die Energieübertragung pro Zeiteinheit pro Flächeneinheit (auch als Wärmefluss bezeichnet):

qy±=– –14v¯n((ε0±23mcvldT.dy){ displaystyle quad q_ {y} ^ { pm} = – { frac {1} {4}} { bar {v}} n cdot left ( varepsilon _ {0} pm { frac {2} {3}} mc_ {v} l , {dT over dy} right)}

Beachten Sie, dass die Energieübertragung von oben in der

– –y{ displaystyle -y}

Richtung und damit das gesamte Minuszeichen in der Gleichung. Der Nettowärmefluss über die imaginäre Oberfläche beträgt somit

q=qy+– –qy– –=– –13v¯nmcvldT.dy{ displaystyle quad q = q_ {y} ^ {+} – q_ {y} ^ {-} = – { frac {1} {3}} { bar {v}} nmc_ {v} l , {dT over dy}}

Kombination der obigen kinetischen Gleichung mit dem Fourier-Gesetz

q=– –κdT.dy{ displaystyle quad q = – kappa , {dT over dy}}

gibt die Gleichung für die Wärmeleitfähigkeit an, die üblicherweise bezeichnet wird

κ0{ displaystyle kappa _ {0}}

wenn es sich um ein verdünntes Gas handelt:

κ0=13v¯nmcvl{ displaystyle quad kappa _ {0} = { frac {1} {3}} { bar {v}} nmc_ {v} l}

Diffusionskoeffizient und Diffusionsfluss[edit]

Nach einer ähnlichen Logik wie oben kann man das kinetische Modell für die Massendiffusionsfähigkeit ableiten[18] eines verdünnten Gases:

Betrachten Sie eine stetige Diffusion zwischen zwei Regionen desselben Gases mit perfekt flachen und parallelen Grenzen, die durch eine Schicht desselben Gases getrennt sind. Beide Regionen haben einheitliche Zahlendichten, aber die obere Region hat eine höhere Zahlendichte als die untere Region. Im stationären Zustand ist die Zahlendichte an jedem Punkt konstant (dh unabhängig von der Zeit). Allerdings ist die Zahlendichte

n{ displaystyle n}

in der Schicht nimmt gleichmäßig mit dem Abstand zu

y{ displaystyle y}

über der unteren Platte. Der molekulare Nichtgleichgewichtsfluss überlagert eine Maxwell-Boltzmann-Gleichgewichtsverteilung molekularer Bewegungen.

Lassen

n0{ displaystyle n_ {0}}

sei die Zahlendichte des Gases an einer imaginären horizontalen Oberfläche innerhalb der Schicht. Die Anzahl der Moleküle, die in einem Bereich ankommen

dEIN{ displaystyle dA}

auf einer Seite der Gasschicht mit Geschwindigkeit

v{ displaystyle v}

im Winkel

θ{ displaystyle theta}

vom normalen Zeitintervall

dt{ displaystyle dt}

ist

nvcosθdEINdt×((m2πkB.T.)32e– –mv22kB.T.((v2Sündeθdvdθdϕ){ displaystyle quad nv cos { theta} , dAdt { times} left ({ frac {m} {2 pi k_ {B} T}} right) ^ { frac {3} { 2}} e ^ {- { frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} (v ^ {2} sin { theta} , dv {d theta} d phi) }}

Diese Moleküle haben ihre letzte Kollision in einiger Entfernung gemacht

lcosθ{ displaystyle l cos theta}

über und unter der Gasschicht, wo die lokale Zahlendichte ist

n±=((n0±lcosθdndy){ displaystyle quad n ^ { pm} = left (n_ {0} pm l cos theta , {dn over dy} right)}

Wiederum gilt das Pluszeichen für Moleküle von oben und das Minuszeichen von unten. Beachten Sie, dass der Gradient der Zahlendichte

dn/.dy{ displaystyle dn / dy}

kann über eine Entfernung des mittleren freien Weges als konstant angesehen werden.

Integration über alle geeigneten Geschwindigkeiten innerhalb der Beschränkung

ergibt den molekularen Transfer pro Zeiteinheit pro Flächeneinheit (auch als Diffusionsfluss bekannt):

J.y±=– –14v¯((n0±23ldndy){ displaystyle quad J_ {y} ^ { pm} = – { frac {1} {4}} { bar {v}} cdot left (n_ {0} pm { frac {2} {3}} l , {dn over dy} right)}

Beachten Sie, dass der molekulare Transfer von oben in der

– –y{ displaystyle -y}

Richtung und damit das gesamte Minuszeichen in der Gleichung. Der Nettodiffusionsfluss über die imaginäre Oberfläche beträgt somit

J.=J.y+– –J.y– –=– –13v¯ldndy{ displaystyle quad J = J_ {y} ^ {+} – J_ {y} ^ {-} = – { frac {1} {3}} { bar {v}} l {dn over dy} }}

Kombination der obigen kinetischen Gleichung mit Ficks erstem Diffusionsgesetz

J.=– –D.dndy{ displaystyle quad J = -D {dn over dy}}

gibt die Gleichung für Massendiffusionsvermögen an, die üblicherweise bezeichnet wird

D.0{ displaystyle D_ {0}}

wenn es sich um ein verdünntes Gas handelt:

D.0=13v¯l{ displaystyle quad D_ {0} = { frac {1} {3}} { bar {v}} l}

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

  • Grad, Harold (1949), “Zur kinetischen Theorie seltener Gase.”, Mitteilungen über reine und angewandte Mathematik, 2 (4): 331–407, doi:10.1002 / cpa.3160020403
  • Liboff, RL (1990), Kinetische Theorie, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ
  • Lomonosov, M. (1970) [1758], “Über das Verhältnis von Materialmenge und Gewicht”in Henry M. Leicester (Hrsg.), Mikhail Vasil’evich Lomonosov über die Korpuskulartheorie, Cambridge: Harvard University Press, S. 224–233
  • Mahon, Basil (2003), Der Mann, der alles verändert hat – das Leben von James Clerk Maxwell, Hoboken, New Jersey: Wiley, ISBN 0-470-86171-1
  • Waterston, John James (1843), Gedanken zu den mentalen Funktionen (Nachdruck in seinem Papiere, 3167, 183)

Weiterführende Literatur[edit]

  • Sydney Chapman und TG Cowling (1939/1970). Die mathematische Theorie ungleichmäßiger Gase: Ein Bericht über die kinetische Theorie der Viskosität, Wärmeleitung und Diffusion in Gasen, (erste Ausgabe 1939, zweite Ausgabe 1952), dritte Ausgabe 1970, erstellt in Zusammenarbeit mit D. Burnett, Cambridge University Press, London.
  • JO Hirschfelder, CF Curtiss und RB Bird (1964). Molekulare Theorie von Gasen und Flüssigkeiten, zweite Ausgabe (Wiley).
  • RL Liboff (2003). Kinetische Theorie: Klassische, quanten- und relativistische Beschreibungen, dritte Auflage (Springer).
  • B. Rahimi und H. Struchtrup, Makroskopische und kinetische Modellierung von verdünnten mehratomigen Gasen, Journal of Fluid Mechanics, 806, 437–505, 2016. DOI: https://dx.doi.org/10.1017/jfm.2016.604

Externe Links[edit]


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