[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/2020\/12\/30\/poincare-gruppe-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/2020\/12\/30\/poincare-gruppe-wikipedia\/","headline":"Poincar\u00e9-Gruppe – Wikipedia","name":"Poincar\u00e9-Gruppe – Wikipedia","description":"F\u00fcr die Poincar\u00e9-Gruppe (Grundgruppe) eines topologischen Raums siehe Grundgruppe. 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Zum Beispiel hat Sheldon Lee Glashow in einer Art und Weise, genau zu definieren, was ein subatomares Teilchen ist, zum Ausdruck gebracht, dass “Teilchen zumindest durch irreduzible Darstellungen der Poincar\u00e9-Gruppe beschrieben werden”.[4]  Table of Contents\u00dcberblick[edit]Poincar\u00e9-Symmetrie[edit]Poincar\u00e9-Gruppe[edit]Poincar\u00e9-Algebra[edit]Andere Abmessungen[edit]Super-Poincar\u00e9-Algebra[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]\u00dcberblick[edit]Eine Minkowski-Raumzeitisometrie hat die Eigenschaft, dass das Intervall zwischen Ereignissen unver\u00e4nderlich bleibt.  Wenn zum Beispiel alles um zwei Stunden verschoben w\u00fcrde, einschlie\u00dflich der beiden Ereignisse und des Weges, den Sie gegangen sind, um von einem zum anderen zu gelangen, w\u00e4re das Zeitintervall zwischen den Ereignissen, die von einer von Ihnen mitgef\u00fchrten Stoppuhr aufgezeichnet wurden, dasselbe.  Oder wenn alles f\u00fcnf Kilometer nach Westen verschoben oder um 60 Grad nach rechts gedreht w\u00fcrde, w\u00fcrde sich auch das Intervall nicht \u00e4ndern.  Es stellt sich heraus, dass die richtige L\u00e4nge eines Objekts von einer solchen Verschiebung ebenfalls nicht betroffen ist.  Eine Zeit- oder Raumumkehr (eine Reflexion) ist ebenfalls eine Isometrie dieser Gruppe.Im Minkowski-Raum (dh ohne Ber\u00fccksichtigung der Auswirkungen der Schwerkraft) gibt es zehn Freiheitsgrade der Isometrien, die als zeitliche oder r\u00e4umliche Translation angesehen werden k\u00f6nnen (vier Grad, einer pro Dimension).  Reflexion durch eine Ebene (drei Grad, die Orientierungsfreiheit dieser Ebene);  oder ein “Boost” in einer der drei Raumrichtungen (drei Grad).  Die Zusammensetzung von Transformationen ist die Operation der Poincar\u00e9-Gruppe, wobei geeignete Rotationen als Zusammensetzung einer geraden Anzahl von Reflexionen erzeugt werden.  In der klassischen Physik ist die galil\u00e4ische Gruppe eine vergleichbare Zehn-Parameter-Gruppe, die auf die absolute Zeit und den absoluten Raum einwirkt.  Anstelle von Boosts werden Scherabbildungen verwendet, um sich gemeinsam bewegende Referenzrahmen in Beziehung zu setzen.Poincar\u00e9-Symmetrie[edit]Poincar\u00e9-Symmetrie ist die volle Symmetrie der speziellen Relativit\u00e4tstheorie.  Es enth\u00e4lt:Die letzten beiden Symmetrien, J.  und K.bilden zusammen die Lorentz-Gruppe (siehe auch Lorentz-Invarianz);  Das semi-direkte Produkt der \u00dcbersetzungsgruppe und der Lorentz-Gruppe ergibt dann die Poincar\u00e9-Gruppe.  Objekte, die unter dieser Gruppe unver\u00e4nderlich sind, sollen dann besitzen Poincar\u00e9-Invarianz oder relativistische Invarianz.Poincar\u00e9-Gruppe[edit]Die Poincar\u00e9-Gruppe ist die Gruppe der Minkowski-Raumzeitisometrien.  Es ist eine zehndimensionale nicht kompakte Lie-Gruppe.  Die abelsche Gruppe von \u00dcbersetzungen ist eine normale Untergruppe, w\u00e4hrend die Lorentz-Gruppe auch eine Untergruppe ist, der Stabilisator des Ursprungs.  Die Poincar\u00e9-Gruppe selbst ist die minimale Untergruppe der affinen Gruppe, die alle \u00dcbersetzungen und Lorentz-Transformationen umfasst.  Genauer gesagt ist es ein halbdirektes Produkt der \u00dcbersetzungen und der Lorentz-Gruppe.  R.1,3\u22ca\u00d6(1,3),{ displaystyle  mathbf {R} ^ {1,3}  rtimes  mathrm {O} (1,3)  ,,}mit Gruppenmultiplikation(\u03b1,f)\u22c5(\u03b2,G)=(\u03b1+f\u22c5\u03b2,f\u22c5G){ displaystyle ( alpha, f)  cdot ( beta, g) = ( alpha + f  cdot  beta, ; f  cdot g)}.[5]Eine andere M\u00f6glichkeit, dies auszudr\u00fccken, besteht darin, dass die Poincar\u00e9-Gruppe eine Gruppenerweiterung der Lorentz-Gruppe durch eine Vektordarstellung davon ist;  es wird manchmal informell als das bezeichnet inhomogene Lorentz-Gruppe.  Dies kann wiederum auch als Gruppenkontraktion der De-Sitter-Gruppe SO (4,1) ~ Sp (2,2) erhalten werden, wenn der De-Sitter-Radius gegen unendlich geht.Seine einheitlichen irreduziblen Darstellungen mit positiver Energie werden durch Masse (nichtnegative Zahl) und Spin (ganze oder halbe ganze Zahl) indiziert und mit Teilchen in der Quantenmechanik assoziiert (siehe Wigner-Klassifikation).In \u00dcbereinstimmung mit dem Erlangen-Programm wird die Geometrie des Minkowski-Raums von der Poincar\u00e9-Gruppe definiert: Der Minkowski-Raum wird als homogener Raum f\u00fcr die Gruppe betrachtet.In der Quantenfeldtheorie die universelle Abdeckung der Poincar\u00e9-GruppeR.1,3\u22caS.L.(2,C.),{ displaystyle  mathbf {R} ^ {1,3}  rtimes  mathrm {SL} (2,  mathbf {C}),}die mit der doppelten Abdeckung identifiziert werden kannR.1,3\u22caS.pichn(1,3),{ displaystyle  mathbf {R} ^ {1,3}  rtimes  mathrm {Spin} (1,3),}ist wichtiger, weil Darstellungen von S.\u00d6(1,3){ displaystyle  mathrm {SO} (1,3)}  sind nicht in der Lage, Felder mit Spin 1\/2, dh Fermionen, zu beschreiben.  Hier S.L.(2,C.){ displaystyle  mathrm {SL} (2,  mathbf {C})}  ist die Gruppe der komplexen  2\u00d72{ displaystyle 2  times 2}  Matrizen mit Einheitsdeterminante, isomorph zur Lorentz-Signatur-Spingruppe S.pichn(1,3){ displaystyle  mathrm {Spin} (1,3)}.Poincar\u00e9-Algebra[edit]Das Poincar\u00e9-Algebra ist die Lie-Algebra der Poincar\u00e9-Gruppe.  Es ist eine Lie-Algebra-Erweiterung der Lie-Algebra der Lorentz-Gruppe.  Genauer gesagt, die richtige (det \u039b = 1), orthochron (\u039b00 \u2265 1) Teil der Lorentz-Untergruppe (ihre Identit\u00e4tskomponente), DAMIT+(1, 3)ist mit der Identit\u00e4t verbunden und wird somit durch die Potenzierung bereitgestellt  exp (ia\u03bcP.\u03bc) exp (i\u03c9\u03bc\u03bdM.\u03bc\u03bd\/ 2) dieser Lie-Algebra.  In Komponentenform ist die Poincar\u00e9-Algebra durch die Kommutierungsrelationen gegeben:[6][7] [P\u03bc,P\u03bd]=0{ displaystyle ~[P_{mu },P_{nu }]= 0 ,} 1ich [M\u03bc\u03bd,P\u03c1]=\u03b7\u03bc\u03c1P.\u03bd– –\u03b7\u03bd\u03c1P.\u03bc{ displaystyle ~ { frac {1} {i}} ~[M_{mu nu },P_{rho }]=  eta _ { mu  rho} P _ { nu} –  eta _ { nu  rho} P _ { mu} ,} 1ich [M\u03bc\u03bd,M\u03c1\u03c3]=\u03b7\u03bc\u03c1M.\u03bd\u03c3– –\u03b7\u03bc\u03c3M.\u03bd\u03c1– –\u03b7\u03bd\u03c1M.\u03bc\u03c3+\u03b7\u03bd\u03c3M.\u03bc\u03c1,{ displaystyle ~ { frac {1} {i}} ~[M_{mu nu },M_{rho sigma }]=  eta _ { mu  rho} M _ { nu  sigma} –  eta _ { mu  sigma} M _ { nu  rho} –  eta _ { nu  rho} M _ { mu  sigma } +  eta _ { nu  sigma} M _ { mu  rho}  ,,}wo P. ist der Generator von \u00dcbersetzungen, M. ist der Generator von Lorentz-Transformationen, und \u03b7  ist die (+, -, -, -) Minkowski-Metrik (siehe Vorzeichenkonvention).Die untere Kommutierungsrelation ist die (“homogene”) Lorentz-Gruppe, bestehend aus Rotationen, J.ich  = \u03f5imnM.mn\/ 2und steigert, K.ich  = M.ich0.  In dieser Notation ist die gesamte Poincar\u00e9-Algebra in nichtkovarianter (aber praktischer) Sprache als ausgedr\u00fcckt[Jm,Pn]=ich\u03f5mnkP.k ,{ displaystyle [J_{m},P_{n}]= i  epsilon _ {mnk} P_ {k} ~,}[Ji,P0]=0 ,{ displaystyle [J_{i},P_{0}]= 0 ~,}[Ki,Pk]=ich\u03b7ichkP.0 ,{ displaystyle [K_{i},P_{k}]= i  eta _ {ik} P_ {0} ~,}[Ki,P0]=– –ichP.ich ,{ displaystyle [K_{i},P_{0}]= -iP_ {i} ~,}[Jm,Jn]=ich\u03f5mnkJ.k ,{ displaystyle [J_{m},J_{n}]= i  epsilon _ {mnk} J_ {k} ~,}[Jm,Kn]=ich\u03f5mnkK.k ,{ displaystyle [J_{m},K_{n}]= i  epsilon _ {mnk} K_ {k} ~,}[Km,Kn]=– –ich\u03f5mnkJ.k ,{ displaystyle [K_{m},K_{n}]= -i  epsilon _ {mnk} J_ {k} ~,}wobei der untere Kommutator von zwei Boosts oft als “Wigner-Rotation” bezeichnet wird.  Die Vereinfachung [Jm + i Km ,  Jn \u2212 i Kn]  = 0 erlaubt die Reduktion der Lorentz-Subalgebra auf su(2) \u2295 su(2) und effiziente Behandlung der damit verbundenen Darstellungen.  In Bezug auf die physikalischen Parameter haben wir[H,pi]=0{ displaystyle  left[{mathcal {H}},p_{i}right]= 0}[H,Li]=0{ displaystyle  left[{mathcal {H}},L_{i}right]= 0}[H,Ki]=ich\u210fcpich{ displaystyle  left[{mathcal {H}},K_{i}right]= i  hbar cp_ {i}}[pi,pj]=0{ displaystyle  left[p_{i},p_{j}right]= 0}[pi,Lj]=ich\u210f\u03f5ichjkpk{ displaystyle  left[p_{i},L_{j}right]= i  hbar  epsilon _ {ijk} p_ {k}}[pi,Kj]=ich\u210fcH.\u03b4ichj{ displaystyle  left[p_{i},K_{j}right]= { frac {i  hbar} {c}} { mathcal {H}}  delta _ {ij}}[Li,Lj]=ich\u210f\u03f5ichjkL.k{ displaystyle  left[L_{i},L_{j}right]= i  hbar  epsilon _ {ijk} L_ {k}}[Li,Kj]=ich\u210f\u03f5ichjkK.k{ displaystyle  left[L_{i},K_{j}right]= i  hbar  epsilon _ {ijk} K_ {k}}[Ki,Kj]=– –ich\u210f\u03f5ichjkL.k{ displaystyle  left[K_{i},K_{j}right]= -i  hbar  epsilon _ {ijk} L_ {k}}Die Casimir-Invarianten dieser Algebra sind P.\u03bcP.\u03bc  und W.\u03bcW.\u03bc  wo W.\u03bc  ist der Pauli-Lubanski-Pseudovektor;  Sie dienen als Bezeichnungen f\u00fcr die Darstellungen der Gruppe.Die Poincar\u00e9-Gruppe ist die vollst\u00e4ndige Symmetriegruppe jeder relativistischen Feldtheorie.  Infolgedessen fallen alle Elementarteilchen in Darstellungen dieser Gruppe.  Diese werden in der Regel von der Vier-Momentum Quadrat jedes Teilchens (dh seine Masse im Quadrat) und die intrinsischen Quantenzahlen J.PC, wo J. ist die Spinquantenzahl, P. ist die Parit\u00e4t und C. ist die Ladungskonjugationsquantenzahl.  In der Praxis werden Ladungskonjugation und Parit\u00e4t von vielen Quantenfeldtheorien verletzt;  wo dies geschieht, P. und C. verfallen.  Da die CPT-Symmetrie in der Quantenfeldtheorie unver\u00e4nderlich ist, kann aus den angegebenen eine Zeitumkehrquantenzahl konstruiert werden.Als topologischer Raum besteht die Gruppe aus vier miteinander verbundenen Komponenten: der Komponente der Identit\u00e4t;  die zeitumgekehrte Komponente;  die r\u00e4umliche Inversionskomponente;  und die Komponente, die sowohl zeitumgekehrt als auch r\u00e4umlich invertiert ist.Andere Abmessungen[edit]Die obigen Definitionen k\u00f6nnen auf einfache Weise auf beliebige Dimensionen verallgemeinert werden.  Das d-dimensionale Poincar\u00e9-Gruppe wird analog durch das semi-direkte Produkt definiertich\u00d6(1,d– –1): =R.1,d– –1\u22ca\u00d6(1,d– –1){ displaystyle  mathrm {IO} (1, d-1): =  mathbf {R} ^ {1, d-1}  rtimes  mathrm {O} (1, d-1)}mit der analogen Multiplikation(\u03b1,f)\u22c5(\u03b2,G)=(\u03b1+f\u22c5\u03b2,f\u22c5G){ displaystyle ( alpha, f)  cdot ( beta, g) = ( alpha + f  cdot  beta, ; f  cdot g)}.[5]Die Lie-Algebra beh\u00e4lt ihre Form mit Indizes \u00b5 und \u03bd Nehmen Sie jetzt Werte zwischen 0 und d – 1.  Die alternative Darstellung in Bezug auf J.ich  und K.ich  hat kein Analogon in h\u00f6heren Dimensionen.Super-Poincar\u00e9-Algebra[edit]Eine verwandte Beobachtung ist, dass die Darstellungen der Lorentz-Gruppe ein Paar in\u00e4quivalenter zweidimensionaler komplexer Spinordarstellungen enthalten 2{ displaystyle 2}  und 2\u00af{ displaystyle { overline {2}}}  dessen Tensorprodukt 2\u22972\u00af=3\u22951{ displaystyle 2  otimes { overline {2}} = 3  oplus 1}  ist die nebenstehende Darstellung.  Man kann dieses letzte Bit mit dem vierdimensionalen Minkowski-Raum selbst identifizieren (im Gegensatz zur Identifizierung mit einem Spin-1-Teilchen, wie dies normalerweise f\u00fcr ein Paar Fermionen geschehen w\u00fcrde, z. B. ein Pion, das aus einem Quark-Anti-Quark-Paar besteht ).  Dies deutet stark darauf hin, dass es m\u00f6glich sein k\u00f6nnte, die Poincar\u00e9-Algebra auch auf Spinoren auszudehnen.  Dies f\u00fchrt direkt zum Begriff der Super-Poincar\u00e9-Algebra.  Der mathematische Reiz dieser Idee besteht darin, dass man mit den grundlegenden Darstellungen anstelle der angrenzenden Darstellungen arbeitet.  Der physikalische Reiz dieser Idee besteht darin, dass die grundlegenden Darstellungen Fermionen entsprechen, die in der Natur gesehen werden.  Bisher kann jedoch die implizite Supersymmetrie einer Symmetrie zwischen r\u00e4umlicher und fermionischer Richtung in der Natur nicht experimentell gesehen werden.  Das experimentelle Problem kann grob als die Frage ausgedr\u00fcckt werden: Wenn wir in der adjungierten Repr\u00e4sentation (Minkowski-Raumzeit) leben, wo versteckt sich dann die fundamentale Repr\u00e4sentation?Siehe auch[edit]^ Poincar\u00e9, Henri (Dezember 1906), “Sur la dynamique de l’\u00e9lectron” , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 21: 129\u2013176, Bibcode:1906RCMP … 21..129P, doi:10.1007 \/ bf03013466, hdl:2027 \/ uiug.30112063899089, S2CID 120211823  (Wikisource \u00dcbersetzung: \u00dcber die Dynamik des Elektrons).  Die in diesem Artikel definierte Gruppe wird nun als homogene Lorentz-Gruppe mit Skalarmultiplikatoren beschrieben. ^ Minkowski, Hermann, “Die Grundgleichungen f\u00fcr die elektromagnetischen Vorg\u00e4nge in bewegten K\u00f6rpern” , Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu G\u00f6ttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse: 53\u2013111  (Wikisource \u00dcbersetzung: Die Grundgleichungen f\u00fcr elektromagnetische Prozesse in sich bewegenden K\u00f6rpern).^ Minkowski, Hermann, “Raum und Zeit” , Physikalische Zeitschrift, 10: 75\u201388^ https:\/\/www.quantamagazine.org\/what-is-a-particle-20201112\/^ ein b Oblak, Blagoje (2017-08-01). BMS-Partikel in drei Dimensionen.  Springer.  p.  80. ISBN 9783319618784.^ NN Bogolubov (1989). Allgemeine Prinzipien der Quantenfeldtheorie  (2. Aufl.).  Springer.  p.  272. ISBN 0-7923-0540-X.^ T. Ohlsson (2011). Relativistische Quantenphysik: Von der fortgeschrittenen Quantenmechanik zur einf\u00fchrenden Quantenfeldtheorie.  Cambridge University Press.  p.  10. ISBN 978-1-13950-4324.Verweise[edit]"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/2020\/12\/30\/poincare-gruppe-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Poincar\u00e9-Gruppe – Wikipedia"}}]}]