[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/2020\/12\/31\/integral-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/2020\/12\/31\/integral-wikipedia\/","headline":"Integral – Wikipedia","name":"Integral – Wikipedia","description":"Operation im Kalk\u00fcl Ein bestimmtes Integral einer Funktion kann als vorzeichenbehafteter Bereich des durch seinen Graphen begrenzten Bereichs dargestellt werden.","datePublished":"2020-12-31","dateModified":"2020-12-31","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/9\/9f\/Integral_example.svg\/300px-Integral_example.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/9\/9f\/Integral_example.svg\/300px-Integral_example.svg.png","height":"300","width":"300"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/2020\/12\/31\/integral-wikipedia\/","wordCount":27572,"articleBody":"Operation im Kalk\u00fcl Ein bestimmtes Integral einer Funktion kann als vorzeichenbehafteter Bereich des durch seinen Graphen begrenzten Bereichs dargestellt werden. In der Mathematik ist ein Integral- Weist Funktionen Funktionen so zu, dass sie Verschiebung, Fl\u00e4che, Volumen und andere Konzepte beschreiben k\u00f6nnen, die durch die Kombination von infinitesimalen Daten entstehen. Der Prozess des Findens von Integralen wird aufgerufen Integration. Integration ist neben Differenzierung eine grundlegende Operation der Analysis,[a] und dient als Werkzeug zur L\u00f6sung von Problemen in Mathematik und Physik, die unter anderem den Bereich einer beliebigen Form, die L\u00e4nge einer Kurve und das Volumen eines Festk\u00f6rpers betreffen.Die in diesem Artikel behandelten Integrale werden als solche bezeichnet bestimmte IntegraleDies kann formal als der vorzeichenbehaftete Bereich der Region in der Ebene interpretiert werden, der durch den Graphen einer bestimmten Funktion zwischen zwei Punkten in der realen Linie begrenzt wird. Integrale k\u00f6nnen sich auch auf das Konzept eines Antiderivativs beziehen, einer Funktion, deren Ableitung die gegebene Funktion ist. In diesem Fall werden sie aufgerufen unbestimmte Integrale. Der Grundsatz des Kalk\u00fcls verkn\u00fcpft bestimmte Integrale mit Differenzierung und bietet eine Methode zur Berechnung des bestimmten Integrals einer Funktion, wenn ihr Antiderivativ bekannt ist. Obwohl Methoden zur Berechnung von Fl\u00e4chen und Volumina aus der antiken griechischen Mathematik stammen, wurden die Integrationsprinzipien im sp\u00e4ten 17. Jahrhundert von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz unabh\u00e4ngig formuliert, die die Fl\u00e4che unter einer Kurve als unendliche Summe von Rechtecken infinitesimaler Breite betrachteten . Bernhard Riemann gab sp\u00e4ter eine strenge Definition von Integralen, die auf einem Begrenzungsverfahren basiert, das die Fl\u00e4che eines krummlinigen Bereichs durch Aufteilen des Bereichs in d\u00fcnne vertikale Platten approximiert.Integrale k\u00f6nnen abh\u00e4ngig vom Typ der Funktion sowie der Dom\u00e4ne, \u00fcber die die Integration durchgef\u00fchrt wird, verallgemeinert werden. Beispielsweise wird ein Linienintegral f\u00fcr Funktionen von zwei oder mehr Variablen definiert, und das Integrationsintervall wird durch eine Kurve ersetzt, die die beiden Endpunkte des Intervalls verbindet. In einem Oberfl\u00e4chenintegral wird die Kurve durch ein St\u00fcck einer Oberfl\u00e4che im dreidimensionalen Raum ersetzt.Table of ContentsGeschichte[edit]Pre-Calculus-Integration[edit]Leibniz und Newton[edit]Formalisierung[edit]Historische Notation[edit]Erste Verwendung des Begriffs[edit]Terminologie und Notation[edit]Interpretationen[edit]Formale Definitionen[edit]Riemann-Integral[edit]Lebesgue-Integral[edit]Andere Integrale[edit]Eigenschaften[edit]Linearit\u00e4t[edit]Ungleichungen[edit]Konventionen[edit]Grundsatz der Analysis[edit]Erster Satz[edit]Zweiter Satz[edit]Erweiterungen[edit]Unsachgem\u00e4\u00dfe Integrale[edit]Mehrfachintegration[edit]Linienintegrale und Oberfl\u00e4chenintegrale[edit]Konturintegrale[edit]Integrale differentieller Formen[edit]Zusammenfassungen[edit]Anwendungen[edit]Berechnung[edit]Analytisch[edit]Symbolisch[edit]Numerisch[edit]Mechanisch[edit]Geometrisch[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Literaturverzeichnis[edit]Externe Links[edit]Online-B\u00fccher[edit]Geschichte[edit]Pre-Calculus-Integration[edit]Die erste dokumentierte systematische Technik zur Bestimmung von Integralen ist die Ersch\u00f6pfungsmethode des antiken griechischen Astronomen Eudoxus (Ca. 370 v. Chr.), Die nach Gebieten und Volumen suchten, indem sie in eine unendliche Anzahl von Abteilungen aufgeteilt wurden, f\u00fcr die das Gebiet oder Volumen bekannt war.[1] Diese Methode wurde von Archimedes im 3. Jahrhundert v. Chr. Weiterentwickelt und angewendet und zur Berechnung der Fl\u00e4che eines Kreises, der Oberfl\u00e4che und des Volumens einer Kugel, der Fl\u00e4che einer Ellipse, der Fl\u00e4che unter einer Parabel und des Volumens eines Segments von verwendet ein Rotationsparaboloid, das Volumen eines Segments eines Rotationshyperboloids und die Fl\u00e4che einer Spirale.[2] Eine \u00e4hnliche Methode wurde in China um das 3. Jahrhundert n. Chr. Unabh\u00e4ngig von Liu Hui entwickelt, der damit die Fl\u00e4che des Kreises fand. Diese Methode wurde sp\u00e4ter im 5. Jahrhundert von den chinesischen Vater-Sohn-Mathematikern Zu Chongzhi und Zu Geng verwendet, um das Volumen einer Kugel zu ermitteln.[3]Im Nahen Osten Hasan Ibn al-Haytham, latinisiert als Alhazen (c.965 – c.1040 AD) leitete eine Formel f\u00fcr die Summe der vierten Potenzen ab.[4] Er verwendete die Ergebnisse, um eine so genannte Integration dieser Funktion durchzuf\u00fchren, wobei die Formeln f\u00fcr die Summen der Integralquadrate und der vierten Potenzen es ihm erm\u00f6glichten, das Volumen eines Paraboloids zu berechnen.[5]Die n\u00e4chsten bedeutenden Fortschritte in der Integralrechnung zeigten sich erst im 17. Jahrhundert. Zu dieser Zeit begann die Arbeit von Cavalieri mit seiner Methode der Unteilbarkeit und die Arbeit von Fermat den Grundstein f\u00fcr die moderne Analysis zu legen.[6] mit Cavalieri Berechnung der Integrale von xn bis zu einem gewissen Grad n = 9 in Cavalieris Quadraturformel.[7] Weitere Schritte wurden im fr\u00fchen 17. Jahrhundert von Barrow und Torricelli unternommen, die die ersten Hinweise auf einen Zusammenhang zwischen Integration und Differenzierung lieferten. Barrow lieferte den ersten Beweis f\u00fcr den Grundsatz der Analysis.[8]Wallis verallgemeinerte Cavalieris Methode und berechnete Integrale von x zu einer allgemeinen Macht, einschlie\u00dflich negativer Kr\u00e4fte und gebrochener Kr\u00e4fte.[9]Leibniz und Newton[edit]Der gr\u00f6\u00dfte Fortschritt in der Integration erfolgte im 17. Jahrhundert mit der unabh\u00e4ngigen Entdeckung des Grundsatzes der Analysis durch Leibniz und Newton.[10] Der Satz zeigt einen Zusammenhang zwischen Integration und Differenzierung. Diese Verbindung kann in Kombination mit der vergleichsweise einfachen Differenzierung zur Berechnung von Integralen genutzt werden. Insbesondere der Grundsatz der Analysis erlaubt es, eine viel breitere Klasse von Problemen zu l\u00f6sen. Ebenso wichtig ist der umfassende mathematische Rahmen, den sowohl Leibniz als auch Newton entwickelt haben. Unter dem Namen Infinitesimalrechnung erm\u00f6glichte es eine genaue Analyse von Funktionen in kontinuierlichen Dom\u00e4nen. Dieser Rahmen wurde schlie\u00dflich zu einem modernen Kalk\u00fcl, dessen Notation f\u00fcr Integrale direkt aus der Arbeit von Leibniz stammt.Formalisierung[edit]W\u00e4hrend Newton und Leibniz einen systematischen Ansatz f\u00fcr die Integration lieferten, fehlte ihrer Arbeit ein gewisses Ma\u00df an Genauigkeit. Bischof Berkeley griff denkw\u00fcrdigerweise die von Newton verwendeten verschwindenden Schritte an und nannte sie “Geister von abgereisten Mengen”.[11] Mit der Entwicklung von Grenzen wurde Calculus fester. Die Integration wurde zun\u00e4chst von Riemann rigoros unter Verwendung von Grenzen formalisiert.[12] Obwohl alle begrenzten st\u00fcckweise stetigen Funktionen in einem begrenzten Intervall Riemann-integrierbar sind, wurden sp\u00e4ter allgemeinere Funktionen betrachtet – insbesondere im Kontext der Fourier-Analyse -, f\u00fcr die Riemanns Definition nicht gilt, und Lebesgue formulierte eine andere Definition des Integrals, die auf Ma\u00df basiert Theorie (ein Teilfeld der realen Analyse). Andere Definitionen von Integral, die die Ans\u00e4tze von Riemann und Lebesgue erweitern, wurden vorgeschlagen. Diese auf dem reellen Zahlensystem basierenden Ans\u00e4tze sind heute die gebr\u00e4uchlichsten, es gibt jedoch alternative Ans\u00e4tze, beispielsweise eine Definition des Integrals als Standardteil einer unendlichen Riemannschen Summe, die auf dem hyperrealen Zahlensystem basiert.Historische Notation[edit]Die Notation f\u00fcr das unbestimmte Integral wurde 1675 von Gottfried Wilhelm Leibniz eingef\u00fchrt.[13] Er passte das integrale Symbol an, \u222baus dem Brief \u017f (lange s), steht f\u00fcr summa (geschrieben als \u017fumma;; Latein f\u00fcr “Summe” oder “gesamt”). Die moderne Notation f\u00fcr das bestimmte Integral mit Grenzen \u00fcber und unter dem Integralzeichen wurde erstmals von Joseph Fourier in verwendet M\u00e9moires der franz\u00f6sischen Akademie um 1819\u201320, abgedruckt in seinem Buch von 1822.[14]Isaac Newton verwendete einen kleinen vertikalen Balken \u00fcber einer Variablen, um die Integration anzuzeigen, oder platzierte die Variable in einem Feld. Die vertikale Leiste war leicht zu verwechseln .x oder x‘, die zur Unterscheidung verwendet werden, und die Box-Notation war f\u00fcr Drucker schwer zu reproduzieren, so dass diese Notationen nicht weit verbreitet waren.[15]Erste Verwendung des Begriffs[edit]Der Begriff wurde erstmals 1690 von Jacob Bernoulli in lateinischer Sprache gedruckt: “Ergo et horum Integralia aequantur”.[16]Terminologie und Notation[edit]Im Allgemeinen das Integral einer reellen Funktion f((x) in Bezug auf eine reale Variable x in einem Intervall [a, b] ist geschrieben als\u222beinbf((x)dx.{ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx.}Das Integralzeichen \u222b steht f\u00fcr Integration. (In der modernen arabischen mathematischen Notation ein reflektiertes Integralsymbol wird eingesetzt.[17]) Das Symbol dx, genannt das Differential der Variablen xgibt an, dass die Integrationsvariable ist x. Die Funktion f((x) hei\u00dft der Integrand, die Punkte ein und b werden die Integrationsgrenzen genannt, und das Integral soll \u00fcber dem Intervall liegen [a, b], genannt das Integrationsintervall.[18] Eine Funktion wird als integrierbar bezeichnet, wenn das Integral \u00fcber ihre Dom\u00e4ne endlich ist, und wenn die Grenzen angegeben sind, wird das Integral als bestimmtes Integral bezeichnet.Wenn die Grenzen weggelassen werden, wie in\u222bf((x)dx,{ displaystyle int f (x) , dx,}Das Integral wird als unbestimmtes Integral bezeichnet, das eine Klasse von Funktionen (das Antiderivativ) darstellt, deren Ableitung der Integrand ist.[19] Der Grundsatz der Analysis bezieht die Bewertung bestimmter Integrale auf unbestimmte Integrale. Es gibt verschiedene Erweiterungen der Notation f\u00fcr Integrale, die die Integration in unbegrenzten Dom\u00e4nen und \/ oder in mehreren Dimensionen umfassen (siehe sp\u00e4tere Abschnitte dieses Artikels).In erweiterten Einstellungen ist es nicht ungew\u00f6hnlich, dass Sie darauf verzichten dx wenn nur das einfache Riemannsche Integral verwendet wird oder die genaue Art des Integrals unerheblich ist. Zum Beispiel k\u00f6nnte man schreiben \u222beinb((c1f+c2G)=c1\u222beinbf+c2\u222beinbG{ textstyle int _ {a} ^ {b} (c_ {1} f + c_ {2} g) = c_ {1} int _ {a} ^ {b} f + c_ {2} int _ {a} ^ {b} g} um die Linearit\u00e4t des Integrals auszudr\u00fccken, eine Eigenschaft, die das Riemannsche Integral und alle Verallgemeinerungen davon teilen.[20]Interpretationen[edit] Ann\u00e4herungen an das Integral von \u221ax von 0 bis 1 mit 5 gelben rechten Endpunktpartitionen und 12 gr\u00fcnen linken EndpunktpartitionenIntegrale treten in vielen praktischen Situationen auf. Zum Beispiel kann man aus der L\u00e4nge, Breite und Tiefe eines rechteckigen Schwimmbades mit flachem Boden das darin enthaltene Wasservolumen, die Fl\u00e4che seiner Oberfl\u00e4che und die L\u00e4nge seiner Kante bestimmen. Wenn es jedoch oval mit abgerundetem Boden ist, sind Integrale erforderlich, um genaue und strenge Werte f\u00fcr diese Gr\u00f6\u00dfen zu finden. In jedem Fall kann man die gesuchte Menge in unendlich viele infinitesimale St\u00fccke teilen und dann die St\u00fccke summieren, um eine genaue Ann\u00e4herung zu erreichen.Zum Beispiel, um den Bereich des Bereichs zu finden, der durch den Funktionsgraphen begrenzt ist f((x) = \u221ax zwischen x = 0 und x = 1kann man das Intervall in f\u00fcnf Schritten \u00fcberqueren (0, 1\/5, 2\/5, …, 1), dann f\u00fcllen Sie ein Rechteck mit der rechten Endh\u00f6he jedes St\u00fccks (also \u221a0, \u221a1\/5, \u221a2\/5, …, \u221a1) und summieren ihre Fl\u00e4chen, um eine Ann\u00e4herung an zu erhalten15((15– –0)+25((25– –15)+\u22ef+55((55– –45)\u22480,7497,{ displaystyle textstyle { sqrt { frac {1} {5}}} left ({ frac {1} {5}} – 0 right) + { sqrt { frac {2} {5} }} left ({ frac {2} {5}} – { frac {1} {5}} right) + cdots + { sqrt { frac {5} {5}}} left ( { frac {5} {5}} – { frac {4} {5}} right) ca. 0,7497,}Das ist gr\u00f6\u00dfer als der genaue Wert. Wenn Sie diese Teilintervalle durch solche mit der linken Endh\u00f6he jedes St\u00fccks ersetzen, ist alternativ die Ann\u00e4herung zu niedrig: Bei zw\u00f6lf solchen Teilintervallen betr\u00e4gt die angen\u00e4herte Fl\u00e4che nur 0,6203. Wenn jedoch die Anzahl der Teile auf unendlich ansteigt, erreicht sie eine Grenze, die der genaue Wert der gesuchten Fl\u00e4che ist (in diesem Fall 2\/3). Man schreibt\u222b01xdx=23,{ displaystyle int _ {0} ^ {1} { sqrt {x}} , dx = { frac {2} {3}},}was bedeutet 2\/3 ist das Ergebnis einer gewichteten Summe von Funktionswerten, \u221ax, multipliziert mit den infinitesimalen Schrittbreiten, bezeichnet mit dxauf das Intervall [0, 1].Darboux obere Summen der Funktion y = x2Darboux niedrigere Summen der Funktion y = x2Formale Definitionen[edit]Es gibt viele M\u00f6glichkeiten, ein Integral formal zu definieren, von denen nicht alle gleichwertig sind. Die Unterschiede bestehen haupts\u00e4chlich darin, unterschiedliche Sonderf\u00e4lle zu behandeln, die unter anderen Definitionen m\u00f6glicherweise nicht integrierbar sind, aber gelegentlich auch aus p\u00e4dagogischen Gr\u00fcnden. Die am h\u00e4ufigsten verwendeten Definitionen sind Riemann-Integrale und Lebesgue-Integrale.Riemann-Integral[edit]Das Riemannsche Integral ist definiert als Riemannsche Funktionssummen in Bezug auf getaggte Partitionen eines Intervalls.[21] Eine markierte Partition eines geschlossenen Intervalls [a, b] auf der realen Linie ist eine endliche Folgeein=x0\u2264t1\u2264x1\u2264t2\u2264x2\u2264\u22ef\u2264xn– –1\u2264tn\u2264xn=b.{ displaystyle a = x_ {0} leq t_ {1} leq x_ {1} leq t_ {2} leq x_ {2} leq cdots leq x_ {n-1} leq t_ {n } leq x_ {n} = b. , !}Dadurch wird das Intervall aufgeteilt [a, b] in n Unterintervalle [xi\u22121, xi] indiziert von ich, von denen jeder ist “getaggt” mit einem besonderen Punkt tich \u2208 [xi\u22121, xi]. EIN Riemannsumme einer Funktion f in Bezug auf eine solche markierte Partition ist definiert als\u2211ich=1nf((tich)\u0394ich;;{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} f (t_ {i}) , Delta _ {i};}Somit ist jeder Term der Summe die Fl\u00e4che eines Rechtecks \u200b\u200bmit einer H\u00f6he, die dem Funktionswert am bestimmten Punkt des gegebenen Unterintervalls entspricht, und einer Breite, die der Breite des Unterintervalls entspricht. \u0394ich = xich– –xich\u22121. Das Gittergewebe einer solchen markierten Partition ist die Breite des gr\u00f6\u00dften von der Partition gebildeten Teilintervalls. maxich= 1 …n \u0394ich. Das Riemann-Integral einer Funktion f \u00fcber das Intervall [a, b] entspricht S. wenn:[22]F\u00fcr alle \u03b5 > 0 es gibt \u03b4 > 0 so dass f\u00fcr jede markierte Partition [a, b] mit Maschenweite weniger als \u03b4,|S.– –\u2211ich=1nf((tich)\u0394ich|E.|f|d\u03bcE.fd\u03bc=\u222bE.f+d\u03bc– –\u222bE.f– –d\u03bc{ displaystyle int _ {E} f , d mu = int _ {E} f ^ {+} , d mu – int _ {E} f ^ {-} , d mu}wof+((x)=max{f((x),0}}={f((x),wenn f((x)>0,0,Andernfalls,f– –((x)=max{– –f((x),0}}={– –f((x),wenn f((x) 0, \\ 0, & { text {andernfalls}} end {case}} \\ & f ^ {-} (x) && {} = {} max {- f (x), 0 } && {} = {} { begin {case} -f (x), & { text {if}} f (x) Andere Integrale[edit]Obwohl die Riemann- und Lebesgue-Integrale die am h\u00e4ufigsten verwendeten Definitionen des Integrals sind, gibt es eine Reihe anderer, darunter:Das Darboux-Integral, das durch Darboux-Summen (eingeschr\u00e4nkte Riemann-Summen) definiert ist, entspricht jedoch dem Riemann-Integral – eine Funktion ist genau dann Darboux-integrierbar, wenn sie Riemann-integrierbar ist. Darboux-Integrale haben den Vorteil, dass sie einfacher zu definieren sind als Riemann-Integrale.Das Riemann-Stieltjes-Integral, eine Erweiterung des Riemann-Integrals, die sich in Bezug auf eine Funktion im Gegensatz zu einer Variablen integriert.Das von Johann Radon weiterentwickelte Lebesgue-Stieltjes-Integral, das sowohl das Riemann-Stieltjes- als auch das Lebesgue-Integral verallgemeinert.Das Daniell-Integral, das das Lebesgue-Integral und das Lebesgue-Stieltjes-Integral ohne Abh\u00e4ngigkeit von Ma\u00dfnahmen zusammenfasst.Das Haar-Integral, das 1933 von Alfr\u00e9d Haar f\u00fcr die Integration in lokal kompakte topologische Gruppen verwendet wurde.Das Henstock-Kurzweil-Integral, das von Arnaud Denjoy, Oskar Perron und (am elegantesten als Eichintegral) Jaroslav Kurzweil unterschiedlich definiert und von Ralph Henstock entwickelt wurde.Das It\u00f4-Integral und das Stratonovich-Integral, die die Integration in Bezug auf Semimartingale wie die Brownsche Bewegung definieren.Das Young-Integral, eine Art Riemann-Stieltjes-Integral in Bezug auf bestimmte Funktionen unbegrenzter Variation.Das grobe Pfadintegral, das f\u00fcr Funktionen definiert ist, die mit einigen zus\u00e4tzlichen Funktionen ausgestattet sind “rauer Weg” strukturiert und verallgemeinert die stochastische Integration sowohl gegen Semimartingale als auch gegen Prozesse wie die fraktionierte Brownsche Bewegung.Das Choquet-Integral, ein subadditives oder superadditives Integral, das 1953 vom franz\u00f6sischen Mathematiker Gustave Choquet erstellt wurde.Eigenschaften[edit]Linearit\u00e4t[edit]Die Sammlung von Riemann-integrierbaren Funktionen in einem geschlossenen Intervall [a, b] bildet einen Vektorraum unter den Operationen der punktweisen Addition und Multiplikation mit einem Skalar und der Operation der Integrationf\u21a6\u222beinbf((x)dx{ displaystyle f mapsto int _ {a} ^ {b} f (x) ; dx}ist eine lineare Funktion in diesem Vektorraum. Somit wird die Sammlung integrierbarer Funktionen unter linearen Kombinationen geschlossen, und das Integral einer linearen Kombination ist die lineare Kombination der Integrale:[30]\u222beinb((\u03b1f+\u03b2G)((x)dx=\u03b1\u222beinbf((x)dx+\u03b2\u222beinbG((x)dx.{ displaystyle int _ {a} ^ {b} ( alpha f + beta g) (x) , dx = alpha int _ {a} ^ {b} f (x) , dx + beta int _ {a} ^ {b} g (x) , dx. ,}In \u00e4hnlicher Weise die Menge der realwertigen Lebesgue-integrierbaren Funktionen auf einem gegebenen Messraum E. mit Ma\u00df \u03bc wird unter linearen Kombinationen geschlossen und bildet somit einen Vektorraum und das Lebesgue-Integralf\u21a6\u222bE.fd\u03bc{ displaystyle f mapsto int _ {E} f , d mu}ist eine lineare Funktion in diesem Vektorraum, so dass:[29]\u222bE.((\u03b1f+\u03b2G)d\u03bc=\u03b1\u222bE.fd\u03bc+\u03b2\u222bE.Gd\u03bc.{ displaystyle int _ {E} ( alpha f + beta g) , d mu = alpha int _ {E} f , d mu + beta int _ {E} g , d mu.}Betrachten Sie allgemein den Vektorraum aller messbaren Funktionen in einem Messraum ((E., \u03bc)Nehmen von Werten in einem lokal kompakten vollst\u00e4ndigen topologischen Vektorraum V. \u00fcber ein lokal kompaktes topologisches Feld K., f :: E. \u2192 V.. Dann kann man eine abstrakte Integrationskarte definieren, die jeder Funktion zugewiesen wird f ein Element von V. oder das Symbol \u221e,f\u21a6\u222bE.fd\u03bc,{ displaystyle f mapsto int _ {E} f , d mu, ,}das ist kompatibel mit linearen Kombinationen.[31] In dieser Situation gilt die Linearit\u00e4t f\u00fcr den Unterraum von Funktionen, deren Integral ein Element von ist V. (dh “endlich”). Die wichtigsten Sonderf\u00e4lle treten auf, wenn K. ist R., C.oder eine endliche Erweiterung des Feldes Q.p von p-adischen Zahlen und V. ist ein endlichdimensionaler Vektorraum \u00fcber K., und wann K. = C. und V. ist ein komplexer Hilbert-Raum.Linearit\u00e4t, zusammen mit einigen nat\u00fcrlichen Kontinuit\u00e4tseigenschaften und Normalisierung f\u00fcr eine bestimmte Klasse von “einfach” Funktionen k\u00f6nnen verwendet werden, um eine alternative Definition des Integrals zu geben. Dies ist der Ansatz von Daniell f\u00fcr den Fall von reellen Funktionen an einer Menge X., verallgemeinert von Nicolas Bourbaki auf Funktionen mit Werten in einem lokal kompakten topologischen Vektorraum. Siehe Hildebrandt 1953 f\u00fcr eine axiomatische Charakterisierung des Integrals.Ungleichungen[edit]Eine Reihe allgemeiner Ungleichungen gilt f\u00fcr Riemann-integrierbare Funktionen, die in einem geschlossenen und begrenzten Intervall definiert sind [a, b] und kann auf andere Begriffe des Integrals verallgemeinert werden (Lebesgue und Daniell).Ober- und Untergrenze. Eine integrierbare Funktion f auf [a, b]ist notwendigerweise auf dieses Intervall begrenzt. Es gibt also reelle Zahlen m und M. damit m \u2264f(( x) \u2264M. f\u00fcr alle x im [a, b]. Da die unteren und oberen Summen von f \u00dcber [a, b] sind daher jeweils begrenzt durch m (( b– –ein) und M. (( b– –ein), es folgt demm((b– –ein)\u2264\u222beinbf((x)dx\u2264M.((b– –ein).{ displaystyle m (ba) leq int _ {a} ^ {b} f (x) , dx leq M (ba).}Ungleichungen zwischen Funktionen.[32] Wenn f(( x) \u2264G((x) f\u00fcr jeden x im [a, b] dann jeweils die oberen und unteren Summen von f ist oben durch die oberen bzw. unteren Summen von begrenzt G. So\u222beinbf((x)dx\u2264\u222beinbG((x)dx.{ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx leq int _ {a} ^ {b} g (x) , dx.}Dies ist eine Verallgemeinerung der obigen Ungleichungen, wie M. (( b– –ein) ist das Integral der konstanten Funktion mit Wert M. \u00dcber [a, b].Wenn au\u00dferdem die Ungleichung zwischen Funktionen streng ist, ist auch die Ungleichung zwischen Integralen streng. Das hei\u00dft, wenn f(( x)G((x ) f\u00fcr jeden x im [a, b], dann\u222beinbf((x)dxcdf((x)dx\u2264\u222beinbf((x)dx.{ displaystyle int _ {c} ^ {d} f (x) , dx leq int _ {a} ^ {b} f (x) , dx.}((fG)((x)=f((x)G((x),f2((x)=((f((x))2,|f|((x)=|f((x)|.{ Anzeigestil (fg) (x) = f (x) g (x), ; f ^ {2} (x) = (f (x)) ^ {2}, ; | f | (x) = | f (x) |. ,}Wenn f ist Riemann-integrierbar auf [a, b] dann gilt das gleiche f\u00fcr |f|, und|\u222beinbf((x)dx|\u2264\u222beinb|f((x)|dx.{ displaystyle left | int _ {a} ^ {b} f (x) , dx right | leq int _ {a} ^ {b} | f (x) | , dx.}Dar\u00fcber hinaus, wenn f und G sind dann beide Riemann-integrierbar fg ist auch Riemann-integrierbar, und((\u222beinb((fG)((x)dx)2\u2264((\u222beinbf((x)2dx)((\u222beinbG((x)2dx).{ displaystyle left ( int _ {a} ^ {b} (fg) (x) , dx right) ^ {2} leq left ( int _ {a} ^ {b} f (x) ) ^ {2} , dx right) left ( int _ {a} ^ {b} g (x) ^ {2} , dx right).}Diese als Cauchy-Schwarz-Ungleichung bekannte Ungleichung spielt eine herausragende Rolle in der Hilbert-Raumtheorie, in der die linke Seite als inneres Produkt zweier quadratintegrierbarer Funktionen interpretiert wird f und G auf das Intervall [a, b].H\u00f6lders Ungleichung.[33] Nehme an, dass p und q sind zwei reelle Zahlen, 1 \u2264 p , q\u2264 \u221e mit 1\/.p + 1\/.q = 1, und f und G sind zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Dann die Funktionen |f|p und |G|q sind auch integrierbar und die folgende H\u00f6lder-Ungleichung gilt:|\u222bf((x)G((x)dx|\u2264((\u222b|f((x)|pdx)1\/.p((\u222b|G((x)|qdx)1\/.q.{ displaystyle left | int f (x) g (x) , dx right | leq left ( int left | f (x) right | ^ {p} , dx right) ^ {1 \/ p} left ( int left | g (x) right | ^ {q} , dx right) ^ {1 \/ q}.}Zum p = q = 2, H\u00f6lders Ungleichung wird zur Cauchy-Schwarz-Ungleichung.Minkowski-Ungleichung .[33] Nehme an, dass p \u2265 1 ist eine reelle Zahl und f und G sind Riemann-integrierbare Funktionen. Dann | f |p, | G |p und | f + G |p sind auch Riemann-integrierbar und die folgende Minkowski-Ungleichung gilt:((\u222b|f((x)+G((x)|pdx)1\/.p\u2264((\u222b|f((x)|pdx)1\/.p+((\u222b|G((x)|pdx)1\/.p.{ displaystyle left ( int left | f (x) + g (x) right | ^ {p} , dx right) ^ {1 \/ p} leq left ( int left | f (x) rechts | ^ {p} , dx rechts) ^ {1 \/ p} + links ( int links | g (x) rechts | ^ {p} , dx rechts) ^ { 1 \/ p}.}Ein Analogon dieser Ungleichung f\u00fcr das Lebesgue-Integral wird bei der Konstruktion von L verwendetp R\u00e4ume.Konventionen[edit]In diesem Abschnitt, f ist eine realwertige Riemann-integrierbare Funktion. Das Integral\u222beinbf((x)dx{ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx}\u00fcber ein Intervall [a, b] ist definiert wenn ein < b. Dies bedeutet, dass die oberen und unteren Summen der Funktion f werden auf einer Partition ausgewertet ein = x0 \u2264 x1 \u2264. . . \u2264 xn = b deren Werte xich sind steigend. Geometrisch bedeutet dies, dass die Integration stattfindet “links nach rechts”, auswerten f innerhalb von Intervallen [x\u2009i\u2009, x\u2009i\u2009+1] wobei ein Intervall mit einem h\u00f6heren Index rechts von einem Intervall mit einem niedrigeren Index liegt. Die Werte ein und bDie Endpunkte des Intervalls werden als Integrationsgrenzen von bezeichnet f. Integrale k\u00f6nnen auch definiert werden, wenn ein > b::[18]\u222beinbf((x)dx=– –\u222bbeinf((x)dx.{ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx = – int _ {b} ^ {a} f (x) , dx.}Mit ein = bbedeutet dies:\u222beineinf((x)dx=0.{ displaystyle int _ {a} ^ {a} f (x) , dx = 0.}Die erste Konvention ist notwendig, um Integrale \u00fcber Teilintervalle von zu \u00fcbernehmen [a, b];; Das zweite besagt, dass ein Integral, das \u00fcber ein entartetes Intervall oder einen Punkt genommen wird, Null sein sollte. Ein Grund f\u00fcr die erste Konvention ist die Integrierbarkeit von f in einem Intervall [a, b] impliziert, dass f ist in jedem Subintervall integrierbar [c, d], aber insbesondere Integrale haben die Eigenschaft, dass wenn c ist ein beliebiges Element von [a, b], dann:[30]\u222beinbf((x)dx=\u222beincf((x)dx+\u222bcbf((x)dx.{ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx = int _ {a} ^ {c} f (x) , dx + int _ {c} ^ {b} f ( x) , dx.}Mit der ersten Konvention ergibt sich die Beziehung\u222beincf((x)dx=\u222beinbf((x)dx– –\u222bcbf((x)dx=\u222beinbf((x)dx+\u222bbcf((x)dx{ displaystyle { begin {align} int _ {a} ^ {c} f (x) , dx & {} = int _ {a} ^ {b} f (x) , dx- int _ {c} ^ {b} f (x) , dx \\ & {} = int _ {a} ^ {b} f (x) , dx + int _ {b} ^ {c} f (x ) , dx end {align}}}ist dann f\u00fcr jede zyklische Permutation von gut definiert ein, b, und c.Grundsatz der Analysis[edit]Das Grundsatz der Analysisist die Aussage, dass Differenzierung und Integration inverse Operationen sind: Wenn eine kontinuierliche Funktion zuerst integriert und dann differenziert wird, wird die urspr\u00fcngliche Funktion abgerufen.[34] Eine wichtige Konsequenz, manchmal auch alszweiter grundlegender Satz der Analysiserm\u00f6glicht die Berechnung von Integralen unter Verwendung eines Antiderivativs der zu integrierenden Funktion.[35]Erster Satz[edit]Lassen f eine kontinuierliche reelle Funktion sein, die in einem geschlossenen Intervall definiert ist [a, b]. Lassen F. sei die definierte Funktion f\u00fcr alle x im [a, b], durch"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/2020\/12\/31\/integral-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Integral – Wikipedia"}}]}]