[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/2020\/12\/31\/ising-modell-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/2020\/12\/31\/ising-modell-wikipedia\/","headline":"Ising Modell – Wikipedia","name":"Ising Modell – Wikipedia","description":"before-content-x4 Mathematisches Modell des Ferromagnetismus in der statistischen Mechanik Das Ising Modell (; Deutsche: [\u02c8i\u02d0z\u026a\u014b]), benannt nach dem Physiker Ernst","datePublished":"2020-12-31","dateModified":"2020-12-31","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f62900e0bbdc64b0d09a3bc9d1d2ea844d7e9b95","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f62900e0bbdc64b0d09a3bc9d1d2ea844d7e9b95","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/2020\/12\/31\/ising-modell-wikipedia\/","wordCount":54903,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Mathematisches Modell des Ferromagnetismus in der statistischen Mechanik  Das Ising Modell (; Deutsche: [\u02c8i\u02d0z\u026a\u014b]), benannt nach dem Physiker Ernst Ising, ist ein mathematisches Modell des Ferromagnetismus in der statistischen Mechanik.  Das Modell besteht aus diskreten Variablen, die magnetische Dipolmomente von Atomen darstellen “dreht sich” das kann in einem von zwei Zust\u00e4nden sein (+1 oder \u22121).  Die Drehungen sind in einem Diagramm angeordnet, normalerweise in einem Gitter (wobei sich die lokale Struktur periodisch in alle Richtungen wiederholt), sodass jede Drehung mit ihren Nachbarn interagieren kann.  \u00dcbereinstimmende benachbarte Drehungen haben eine geringere Energie als nicht \u00fcbereinstimmende.  Das System tendiert zur niedrigsten Energie, aber W\u00e4rme st\u00f6rt diese Tendenz und schafft so die M\u00f6glichkeit unterschiedlicher Strukturphasen.  Das Modell erm\u00f6glicht die Identifizierung von Phasen\u00fcberg\u00e4ngen als vereinfachtes Modell der Realit\u00e4t.  Das zweidimensionale Ising-Modell mit quadratischem Gitter ist eines der einfachsten statistischen Modelle zur Darstellung eines Phasen\u00fcbergangs.[1]Das Ising-Modell wurde vom Physiker Wilhelm Lenz (1920) erfunden, der es seinem Sch\u00fcler Ernst Ising als Problem gab.  Das eindimensionale Ising-Modell wurde von Ising (1925) selbst in seiner Arbeit von 1924 gel\u00f6st;[2] es hat keinen Phasen\u00fcbergang.  Das zweidimensionale Ising-Modell mit quadratischem Gitter ist viel schwieriger und wurde erst viel sp\u00e4ter von Lars Onsager (1944) analytisch beschrieben.  Es wird normalerweise durch eine Transfermatrixmethode gel\u00f6st, obwohl es verschiedene Ans\u00e4tze gibt, die eher mit der Quantenfeldtheorie zusammenh\u00e4ngen.Bei Dimensionen gr\u00f6\u00dfer als vier wird der Phasen\u00fcbergang des Ising-Modells durch die mittlere Feldtheorie beschrieben.  Das Modell selbst ist ein mittleres Feldmodell, dh die Interaktion zwischen zwei beliebigen Spins ist ungef\u00e4hr unabh\u00e4ngig von den r\u00e4umlichen Positionen dieser Spins.  Diese Annahme wird auferlegt, um das Studium des Modells zu vereinfachen.  Es stellt sich heraus, dass das Modell weitaus schwieriger zu untersuchen ist, wenn man stattdessen die r\u00e4umlichen Orte einbeziehen m\u00f6chte (\u00fcber einen Spin-Spin-Interaktionsparameter, der beispielsweise mit zunehmendem Abstand zwischen den Spins abnimmt).  Dies rechtfertigt die oben erw\u00e4hnte vereinfachende Annahme, insbesondere angesichts der Tatsache, dass die strengen mathematischen Ergebnisse zu diesem Modell erst vor kurzem vorliegen.[3]Das Ising-Problem ohne externes Feld kann \u00e4quivalent als Graph-Maximum-Cut-Problem (Max-Cut) formuliert werden, das durch kombinatorische Optimierung gel\u00f6st werden kann.Table of ContentsDefinition[edit]Diskussion[edit]Vereinfachungen[edit]Verbindung zum maximalen Schnitt des Diagramms[edit]Fragen[edit]Grundlegende Eigenschaften und Geschichte[edit]Historische Bedeutung[edit]Keine Phasen\u00fcberg\u00e4nge im endlichen Volumen[edit]Peierls Tr\u00f6pfchen[edit]Kramers-Wannier-Dualit\u00e4t[edit]Yang-Lee-Nullen[edit]Monte-Carlo-Methoden zur numerischen Simulation[edit]Definitionen[edit]Metropolis-Algorithmus[edit]\u00dcberblick[edit]Spezifikation[edit]Anzeigen des Ising-Modells als Markov-Kette[edit]Eine Dimension[edit]Isings genaue L\u00f6sung[edit]Beweis[edit][edit]Eindimensionale L\u00f6sung mit Querfeld[edit]Zwei Dimensionen[edit]Die genaue L\u00f6sung von Onsager[edit]Matrix \u00fcbertragen[edit]T. in Bezug auf Pauli-Matrizen[edit]Spin-Flip-Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren[edit]Onsagers Formel f\u00fcr die spontane Magnetisierung[edit]Minimales Modell[edit]Drei Dimensionen[edit]Istrails NP-Vollst\u00e4ndigkeitsergebnis f\u00fcr das allgemeine Spin-Glass-Modell[edit]Phasen\u00fcbergang[edit]Vier Dimensionen und h\u00f6her[edit]Lokales Feld[edit]Dimensionsanalyse[edit]Magnetisierung[edit]Schwankungen[edit]Die kritische Zweipunktfunktion[edit]G((r) vom kritischen Punkt entfernt[edit]Symanzik Polymer Interpretation[edit]4 – \u03b5 Dimensionen – Renormierungsgruppe[edit]Wilson-Renormierung[edit]Wilson-Fisher-Fixpunkt[edit]Unendliche Dimensionen – mittleres Feld[edit]Niedrige Abmessungen – Blockdrehungen[edit]Migdal-Kadanoff-Renormierung[edit]Anwendungen[edit]Magnetismus[edit]Gittergas[edit]Anwendung auf die Neurowissenschaften[edit]Gl\u00e4ser drehen[edit]Meeres-Eis[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Definition[edit]Betrachten Sie eine Menge \u039b von Gitterpl\u00e4tzen, von denen jede einen Satz benachbarter Stellen (z. B. einen Graphen) bildet d-dimensionales Gitter.  F\u00fcr jede Gitterstelle k \u2208 \u2208 es gibt eine diskrete Variable \u03c3k so dass \u03c3k  \u2208 {+1, \u22121}, repr\u00e4sentiert den Spin der Site.  EIN Spin-Konfiguration, \u03c3 = (\u03c3k)k \u2208 \u2208 ist eine Zuordnung des Spinwerts zu jeder Gitterstelle.  F\u00fcr zwei beliebige benachbarte Standorte ich, j \u2208 \u2208 da ist ein Interaktion J.ij.  Auch eine Seite j \u2208 \u2208 hat eine externes Magnetfeld hj damit interagieren.  Das Energie einer Konfiguration \u03c3 ist durch die Hamilton-Funktion gegebenH.((\u03c3)=– –\u2211\u27e8ich j\u27e9J.ichj\u03c3ich\u03c3j– –\u03bc\u2211jhj\u03c3j,{ displaystyle H ( sigma) = –  sum _ { langle i ~ j  rangle} J_ {ij}  sigma _ {i}  sigma _ {j} –  mu  sum _ {j} h_ {j }  sigma _ {j},}Dabei liegt die erste Summe \u00fcber Paaren benachbarter Spins (jedes Paar wird einmal gez\u00e4hlt).  Die Notation \u27e8ij\u27e9 Zeigt an, dass Websites ich und j sind n\u00e4chste Nachbarn.  Das magnetische Moment ist gegeben durch \u00b5.  Es ist zu beachten, dass das Vorzeichen im zweiten Term des obigen Hamilton-Operators tats\u00e4chlich positiv sein sollte, da das magnetische Moment des Elektrons antiparallel zu seinem Spin ist, der negative Term jedoch konventionell verwendet wird.[4] Das Konfigurationswahrscheinlichkeit ist gegeben durch die Boltzmann-Verteilung mit inverser Temperatur \u03b2 \u2265 0:P.\u03b2((\u03c3)=e– –\u03b2H.((\u03c3)Z.\u03b2,{ displaystyle P _ { beta} ( sigma) = { frac {e ^ {-  beta H ( sigma)}} {Z _ { beta}}},}wobei \u03b2 = (kB.T.)\u22121und die NormalisierungskonstanteZ.\u03b2=\u2211\u03c3e– –\u03b2H.((\u03c3){ displaystyle Z _ { beta} =  sum _ { sigma} e ^ {-  beta H ( sigma)}}ist die Partitionsfunktion.  F\u00fcr eine Funktion f der Spins (“beobachtbar”) bezeichnet man mit\u27e8f\u27e9\u03b2=\u2211\u03c3f((\u03c3)P.\u03b2((\u03c3){ displaystyle  langle f  rangle _ { beta} =  sum _ { sigma} f ( sigma) P _ { beta} ( sigma)}der Erwartungswert (Mittelwert) von f.Die Konfigurationswahrscheinlichkeiten P.\u03b2(\u03c3) stellen die Wahrscheinlichkeit dar, dass sich das System (im Gleichgewicht) in einem Zustand mit der Konfiguration \u03c3 befindet.Diskussion[edit]Das Minuszeichen f\u00fcr jeden Term der Hamilton-Funktion H.(\u03c3) ist konventionell.  Unter Verwendung dieser Vorzeichenkonvention k\u00f6nnen Ising-Modelle nach dem Vorzeichen der Interaktion klassifiziert werden: wenn f\u00fcr ein Paar ich, j 0″\/>wird die Wechselwirkung als ferromagnetisch bezeichnet,J.ichj 0}”\/>, die Spinstelle j w\u00fcnscht sich in die positive Richtung auszurichten,hj\u2211\u27e8ich j\u27e9J.ichj\u03c3ich\u03c3j.{ displaystyle H ( sigma) = –  sum _ { langle i ~ j  rangle} J_ {ij}  sigma _ {i}  sigma _ {j}.}Wenn das externe Feld \u00fcberall Null ist, h = 0, das Ising-Modell ist symmetrisch, wenn der Wert des Spins an allen Gitterpl\u00e4tzen umgeschaltet wird;  Ein Feld ungleich Null unterbricht diese Symmetrie.Eine weitere h\u00e4ufige Vereinfachung ist die Annahme, dass alle n\u00e4chsten Nachbarn \u27e8ij\u27e9 Haben die gleiche Wechselwirkungsst\u00e4rke.  Dann k\u00f6nnen wir einstellen J.ij = J. f\u00fcr alle Paare ich, j in \u039b.  In diesem Fall wird der Hamilton-Operator weiter vereinfachtH.((\u03c3)=– –J.\u2211\u27e8ich j\u27e9\u03c3ich\u03c3j.{ displaystyle H ( sigma) = – J  sum _ { langle i ~ j  rangle}  sigma _ {i}  sigma _ {j}.}Verbindung zum maximalen Schnitt des Diagramms[edit]Eine Teilmenge S der Scheitelpunktmenge V (G) eines gewichteten ungerichteten Graphen G bestimmt einen Schnitt des Graphen G in S und seine komplement\u00e4re Teilmenge G  S.  Die Gr\u00f6\u00dfe des Schnitts ist die Summe der Gewichte der Kanten zwischen S und G  S.  Eine maximale Schnittgr\u00f6\u00dfe ist mindestens die Gr\u00f6\u00dfe eines anderen Schnitts und variiert S.F\u00fcr das Ising-Modell ohne externes Feld in einem Graphen G wird der Hamilton-Operator die folgende Summe \u00fcber den Graphenkanten E (G)H.((\u03c3)=– –\u2211ichj\u2208E.((G)J.ichj\u03c3ich\u03c3j{ displaystyle H ( sigma) = –  sum _ {ij  in E (G)} J_ {ij}  sigma _ {i}  sigma _ {j}}.Hier ist jeder Scheitelpunkt i des Graphen eine Spinstelle, die einen Spinwert annimmt \u03c3ich=\u00b11{ displaystyle  sigma _ {i} =  pm 1}.  Eine gegebene Spin-Konfiguration \u03c3{ displaystyle  sigma} partitioniert die Menge der Eckpunkte V.((G){ displaystyle V (G)} in zwei \u03c3{ displaystyle  sigma}-abh\u00e4ngige Untergruppen, solche mit Spin-up V.+{ displaystyle V ^ {+}} und diejenigen mit Spin-Down V.– –{ displaystyle V ^ {-}}.  Wir bezeichnen mit \u03b4((V.+){ displaystyle  delta (V ^ {+})} das \u03c3{ displaystyle  sigma}-abh\u00e4ngige Menge von Kanten, die die beiden komplement\u00e4ren Scheitelpunkt-Teilmengen verbindet V.+{ displaystyle V ^ {+}} und V.– –{ displaystyle V ^ {-}}.  Das Gr\u00f6\u00dfe |\u03b4((V.+)|{ displaystyle  left |  delta (V ^ {+})  right |} des Schnitts \u03b4((V.+){ displaystyle  delta (V ^ {+})} um zweiteilig zu sein, kann der gewichtete ungerichtete Graph G definiert werden als|\u03b4((V.+)|=12\u2211ichj\u2208\u03b4((V.+)W.ichj{ displaystyle  left |  delta (V ^ {+})  right | = { frac {1} {2}}  sum _ {ij  in  delta (V ^ {+})} W_ {ij} }},wo W.ichj{ displaystyle W_ {ij}} bezeichnet ein Gewicht der Kante ichj{ displaystyle ij} und die Skalierung 1\/2 wird eingef\u00fchrt, um die Doppelz\u00e4hlung der gleichen Gewichte zu kompensieren W.ichj=W.jich{ displaystyle W_ {ij} = W_ {ji}}.Die Identit\u00e4tenH.((\u03c3)=– –\u2211ichj\u2208E.((V.+)J.ichj– –\u2211ichj\u2208E.((V.– –)J.ichj+\u2211ichj\u2208\u03b4((V.+)J.ichj=– –\u2211ichj\u2208E.((G)J.ichj+2\u2211ichj\u2208\u03b4((V.+)J.ichj,{ displaystyle { begin {align} H ( sigma) & = –  sum _ {ij  in E (V ^ {+})} J_ {ij} –  sum _ {ij  in E (V ^ { -})} J_ {ij} +  sum _ {ij  in  delta (V ^ {+})} J_ {ij} \\ & = –  sum _ {ij  in E (G)} J_ {ij } +2  sum _ {ij  in  delta (V ^ {+})} J_ {ij},  end {align}}}wobei die Gesamtsumme im ersten Term nicht davon abh\u00e4ngt \u03c3{ displaystyle  sigma}implizieren, dass die Minimierung H.((\u03c3){ displaystyle H ( sigma)} im \u03c3{ displaystyle  sigma} ist gleichbedeutend mit Minimierung \u2211ichj\u2208\u03b4((V.+)J.ichj{ displaystyle  sum _ {ij  in  delta (V ^ {+})} J_ {ij}}.  Kantengewicht definieren W.ichj=– –J.ichj{ displaystyle W_ {ij} = – J_ {ij}} Auf diese Weise wird das Ising-Problem ohne externes Feld in ein Diagramm-Max-Cut-Problem umgewandelt[5] Maximierung der Schnittgr\u00f6\u00dfe |\u03b4((V.+)|{ displaystyle  left |  delta (V ^ {+})  right |}, der wie folgt mit dem Ising Hamiltonian verwandt ist,H.((\u03c3)=\u2211ichj\u2208E.((G)W.ichj– –4|\u03b4((V.+)|.{ displaystyle H ( sigma) =  sum _ {ij  in E (G)} W_ {ij} -4  left |  delta (V ^ {+})  right |.}Fragen[edit]Eine signifikante Anzahl statistischer Fragen zu diesem Modell befindet sich an der Grenze einer gro\u00dfen Anzahl von Drehungen:Sind in einer typischen Konfiguration die meisten Drehungen +1 oder -1 oder sind sie gleichm\u00e4\u00dfig aufgeteilt?Wenn ein Spin an einer bestimmten Position ich ist 1, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Spin an der Position befindet j ist auch 1?Wenn \u03b2 ge\u00e4ndert wird, gibt es einen Phasen\u00fcbergang?Was ist auf einem Gitter \u039b die fraktale Dimension der Form eines gro\u00dfen Clusters von +1 Spins?Grundlegende Eigenschaften und Geschichte[edit]  Visualisierung des translatorisch-invarianten Wahrscheinlichkeitsma\u00dfes des eindimensionalen Ising-ModellsDer am besten untersuchte Fall des Ising-Modells ist das translatorisch-invariante ferromagnetische Nullfeldmodell auf a d-dimensionales Gitter, n\u00e4mlich \u039b = Z.d, J.ij = 1, h = 0.In seiner Doktorarbeit von 1924 l\u00f6ste Ising das Modell f\u00fcr die d = 1 Fall, der als lineares horizontales Gitter betrachtet werden kann, bei dem jeder Ort nur mit seinem linken und rechten Nachbarn interagiert.  In einer Dimension l\u00e4sst die L\u00f6sung keinen Phasen\u00fcbergang zu.[6] F\u00fcr jedes positive \u03b2 sind n\u00e4mlich die Korrelationen \u27e8\u03c3ich\u03c3j\u27e9 Zerf\u00e4llt exponentiell in |ich – – j|:\u27e8\u03c3ich\u03c3j\u27e9\u03b2\u2264C.exp\u2061((– –c((\u03b2)|ich– –j|),{ displaystyle  langle  sigma _ {i}  sigma _ {j}  rangle _ { beta}  leq C  exp { big (} -c ( beta) | ij | { big)},}und das System ist ungeordnet.  Aufgrund dieses Ergebnisses gelangte er f\u00e4lschlicherweise zu dem Schluss, dass dieses Modell in keiner Dimension ein Phasenverhalten aufweist.Das Ising-Modell durchl\u00e4uft einen Phasen\u00fcbergang zwischen einer geordneten und einer ungeordneten Phase in zwei oder mehr Dimensionen.  Das System ist n\u00e4mlich f\u00fcr kleines \u03b2 ungeordnet, w\u00e4hrend das System f\u00fcr gro\u00dfes \u03b2 eine ferromagnetische Ordnung aufweist:"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/2020\/12\/31\/ising-modell-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Ising Modell – Wikipedia"}}]}]