[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/2021\/01\/07\/fraktale-dimension-in-netzwerken-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/2021\/01\/07\/fraktale-dimension-in-netzwerken-wikipedia\/","headline":"Fraktale Dimension in Netzwerken – Wikipedia","name":"Fraktale Dimension in Netzwerken – Wikipedia","description":"Die Fraktalanalyse ist n\u00fctzlich bei der Untersuchung komplexer Netzwerke, die sowohl in nat\u00fcrlichen als auch in k\u00fcnstlichen Systemen wie Computersystemen,","datePublished":"2021-01-07","dateModified":"2021-01-07","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/2021\/01\/07\/fraktale-dimension-in-netzwerken-wikipedia\/","wordCount":6140,"articleBody":"Die Fraktalanalyse ist n\u00fctzlich bei der Untersuchung komplexer Netzwerke, die sowohl in nat\u00fcrlichen als auch in k\u00fcnstlichen Systemen wie Computersystemen, Gehirn und sozialen Netzwerken vorhanden sind, und erm\u00f6glicht die Weiterentwicklung des Feldes in der Netzwerkwissenschaft. Table of ContentsSelbst\u00e4hnlichkeit komplexer Netzwerke[edit]Die Methoden zur Berechnung der Dimension[edit]Die Boxz\u00e4hlmethode[edit]Die Cluster-Wachstumsmethode[edit]Fraktale Skalierung in skalierungsfreien Netzwerken[edit]Box-Counting und Renormierung[edit]Skelett- und Fraktalskalierung[edit]Fraktale Netzwerke der realen Welt[edit]Andere Definitionen f\u00fcr Netzwerkdimensionen[edit]Verweise[edit]Selbst\u00e4hnlichkeit komplexer Netzwerke[edit]Viele reale Netzwerke haben zwei grundlegende Eigenschaften: skalierungsfreies Eigentum und Eigentum der kleinen Welt. Wenn die Gradverteilung des Netzwerks einem Potenzgesetz folgt, ist das Netzwerk skalierungsfrei. Wenn zwei beliebige Knoten in einem Netzwerk in einer sehr kleinen Anzahl von Schritten verbunden werden k\u00f6nnen, spricht man von einer kleinen Welt.Die Eigenschaften der kleinen Welt k\u00f6nnen mathematisch durch die langsame Zunahme des durchschnittlichen Durchmessers des Netzwerks mit der Gesamtzahl der Knoten ausgedr\u00fcckt werden N.{ displaystyle N},\u27e8l\u27e9\u223cln\u2061N.{ displaystyle left langle l right rangle sim ln {N}}wo l{ displaystyle l} ist der k\u00fcrzeste Abstand zwischen zwei Knoten.Gleicherma\u00dfen erhalten wir:N.\u223ce\u27e8l\u27e9\/.l0{ displaystyle N sim e ^ { left langle l right rangle \/ l_ {0}}}wo l0{ displaystyle l_ {0}} ist eine charakteristische L\u00e4nge.F\u00fcr eine selbst\u00e4hnliche Struktur wird eher eine Potenz-Gesetz-Beziehung als die obige Exponentialbeziehung erwartet. Aus dieser Tatsache scheint es, dass die Netzwerke der kleinen Welt unter einer Transformation im L\u00e4ngenma\u00dfstab nicht selbst\u00e4hnlich sind.Die Analyse einer Vielzahl realer komplexer Netzwerke zeigt jedoch, dass sie auf allen L\u00e4ngenskalen selbst\u00e4hnlich sind. Diese Schlussfolgerung ergibt sich aus der Messung einer Potenzgesetzbeziehung zwischen der Anzahl der zur Abdeckung des Netzwerks erforderlichen Boxen und der Gr\u00f6\u00dfe der Box, der sogenannten Box fraktale Skalierung.[1]Selbst\u00e4hnlichkeit wurde in den l\u00f6sungsmittelzug\u00e4nglichen Oberfl\u00e4chen von Proteinen entdeckt.[2][3] Da Proteine \u200b\u200bkugelf\u00f6rmig gefaltete Ketten bilden, hat diese Entdeckung wichtige Auswirkungen auf die Proteinentwicklung und die Proteindynamik, da damit charakteristische dynamische L\u00e4ngenskalen f\u00fcr die Proteinfunktionalit\u00e4t erstellt werden k\u00f6nnen.[4]Die Methoden zur Berechnung der Dimension[edit]Im Allgemeinen berechnen wir die fraktale Dimension entweder mit Box-Z\u00e4hlmethode oder der Cluster-Wachstumsmethode. Fig. (2) Cluster-Wachstumsmethode.Die Boxz\u00e4hlmethode[edit]Lassen N.B.{ displaystyle N_ {B}} sei die Anzahl der K\u00e4stchen mit linearer Gr\u00f6\u00dfe lB.{ displaystyle l_ {B}}, ben\u00f6tigt, um das gegebene Netzwerk abzudecken. Die fraktale Dimension dB.{ displaystyle d_ {B}} ist dann gegeben durchN.B.\u223clB.– –dB.{ displaystyle N_ {B} sim l_ {B} ^ {- d_ {B}}}Dies bedeutet, dass die durchschnittliche Anzahl der Eckpunkte \u27e8M.B.(lB.)\u27e9{ displaystyle left langle M_ {B} left (l_ {B} right) right rangle} innerhalb einer Box von Gr\u00f6\u00dfe lB.{ displaystyle l_ {B}}\u27e8M.B.(lB.)\u27e9\u223clB.dB.{ displaystyle left langle M_ {B} left (l_ {B} right) right rangle sim l_ {B} ^ {d_ {B}}}Durch Messung der Verteilung von N.{ displaystyle N} f\u00fcr verschiedene Kartongr\u00f6\u00dfen oder durch Messung der Verteilung von \u27e8M.B.(lB.)\u27e9{ displaystyle left langle M_ {B} left (l_ {B} right) right rangle} f\u00fcr verschiedene Kastengr\u00f6\u00dfen die fraktale Dimension dB.{ displaystyle d_ {B}} kann durch ein Potenzgesetz der Verteilung erhalten werden.Die Cluster-Wachstumsmethode[edit]Ein Startknoten wird zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlt. Ist der Mindestabstand l{ displaystyle l} gegeben ist, eine Gruppe von Knoten durch h\u00f6chstens getrennt l{ displaystyle l} aus dem Startknoten kann gebildet werden. Der Vorgang wird wiederholt, indem viele Seeds ausgew\u00e4hlt werden, bis die Cluster das gesamte Netzwerk abdecken. Dann die Dimension df{ displaystyle d_ {f}} kann berechnet werden durch\u27e8M.C.\u27e9\u223cldf{ displaystyle left langle M_ {C} right rangle sim l ^ {d_ {f}}}wo \u27e8M.C.\u27e9{ displaystyle left langle M_ {C} right rangle} ist die durchschnittliche Masse der Cluster, definiert als die durchschnittliche Anzahl der Knoten in einem Cluster.Diese Methoden lassen sich nur schwer auf Netzwerke anwenden, da Netzwerke im Allgemeinen nicht in einen anderen Raum eingebettet sind. Um die fraktale Dimension von Netzwerken zu messen, f\u00fcgen wir das Konzept der Renormierung hinzu.Fraktale Skalierung in skalierungsfreien Netzwerken[edit]Box-Counting und Renormierung[edit] Abb. 3) ein, Demonstration der Box-Counting- und Renormierungsmethode f\u00fcr verschiedene lB.{ displaystyle l_ {B}} in einem Beispielnetzwerk. b, Drei Stufen des Renormierungsschemas f\u00fcr reale Netzwerkdaten (WWW).[1]Um die Selbst\u00e4hnlichkeit in Netzwerken zu untersuchen, verwenden wir die Box-Counting-Methode und die Renormierung. Fig. (3a) zeigt diese Prozedur unter Verwendung eines Netzwerks, das aus 8 Knoten besteht.F\u00fcr jede Gr\u00f6\u00dfe lB., Boxen werden zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlt (wie bei der Cluster-Wachstumsmethode), bis das Netzwerk abgedeckt ist. Eine Box besteht aus Knoten, die alle durch einen Abstand von voneinander getrennt sind l < lB.Das hei\u00dft, jedes Knotenpaar in der Box muss durch einen minimalen Pfad von h\u00f6chstens getrennt sein lB. Links. Dann wird jede Box durch einen Knoten ersetzt (Renormierung). Die renormierten Knoten sind verbunden, wenn mindestens eine Verbindung zwischen den nicht normalisierten Boxen besteht. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis das Netzwerk auf einen Knoten zusammenf\u00e4llt. Jedes dieser Felder hat eine effektive Masse (die Anzahl der darin enthaltenen Knoten), die wie oben gezeigt verwendet werden kann, um die fraktale Dimension des Netzwerks zu messen. In Fig. (3b) wird die Renormierung in drei Schritten f\u00fcr ein WWW-Netzwerk angewendet lB. = 3.Fig. (5) zeigt die Invarianz der Gradverteilung P.(k) unter der Renormierung in Abh\u00e4ngigkeit von der Boxgr\u00f6\u00dfe im World Wide Web. Die Netzwerke sind auch bei mehreren Renormierungen, die f\u00fcr eine feste Boxgr\u00f6\u00dfe angewendet werden, unver\u00e4nderlich lB.. Diese Invarianz legt nahe, dass die Netzwerke auf mehreren L\u00e4ngenskalen selbst\u00e4hnlich sind. Fig. (4) Skelett eines Netzwerks.[5]Skelett- und Fraktalskalierung[edit]Die fraktalen Eigenschaften des Netzwerks k\u00f6nnen in seiner zugrunde liegenden Baumstruktur gesehen werden. In dieser Ansicht besteht das Netzwerk aus dem Skelett und den Verkn\u00fcpfungen. Das Skelett ist eine spezielle Art von Spannbaum, der aus den Kanten mit den h\u00f6chsten Zentralit\u00e4ten zwischen den Gleichungen besteht, und die verbleibenden Kanten im Netzwerk sind Verkn\u00fcpfungen. Wenn das urspr\u00fcngliche Netzwerk skalierungsfrei ist, folgt sein Skelett auch einer Potenzgesetz-Gradverteilung, wobei der Grad vom Grad des urspr\u00fcnglichen Netzwerks abweichen kann. F\u00fcr die fraktalen Netzwerke nach der fraktalen Skalierung zeigt jedes Skelett eine fraktale Skalierung \u00e4hnlich der des urspr\u00fcnglichen Netzwerks. Die Anzahl der Boxen, die das Skelett abdecken, entspricht fast der Anzahl, die zur Abdeckung des Netzwerks ben\u00f6tigt wird.[5]Fraktale Netzwerke der realen Welt[edit] Fig. (5) Invarianz der Gradverteilung des WWW unter der Renormierung f\u00fcr verschiedene Kastengr\u00f6\u00dfen.[1] Fig. (6) Fraktale Skalierungsanalyse des WWW-Netzwerks. Rot – das urspr\u00fcngliche Netzwerk, Blau – das Skelett und Orange – ein zuf\u00e4lliger Spannbaum.[6]Da fraktale Netzwerke und ihre Skelette der Beziehung folgen\u27e8M.B.(lB.)\u27e9\u223clB.dB.{ displaystyle left langle M_ {B} left (l_ {B} right) right rangle sim l_ {B} ^ {d_ {B}}},Wir k\u00f6nnen untersuchen, ob ein Netzwerk fraktal ist und welche fraktale Dimension das Netzwerk hat. Zum Beispiel das WWW, das menschliche Gehirn, das metabolische Netzwerk, das Proteininteraktionsnetzwerk (PIN) von H.. Sapiensund PIN von S.. cerevisiaewerden als fraktale Netzwerke betrachtet. Weiterhin sind die gemessenen fraktalen Dimensionen dB.=4.1, 3.7, 3.4, 2.0, und 1.8{ displaystyle d_ {B} = 4.1, { mbox {}} 3.7, { mbox {}} 3.4, { mbox {}} 2.0, { mbox {und}} 1.8} f\u00fcr die Netzwerke jeweils. Andererseits zeigen das Internet, das Akteursnetzwerk und k\u00fcnstliche Modelle (zum Beispiel das BA-Modell) die fraktalen Eigenschaften nicht.[6][7]Andere Definitionen f\u00fcr Netzwerkdimensionen[edit]Die beste Definition der Dimension f\u00fcr ein komplexes Netzwerk oder Diagramm h\u00e4ngt von der Anwendung ab. Beispielsweise wird die metrische Dimension als Aufl\u00f6sungssatz f\u00fcr ein Diagramm definiert. Definitionen basierend auf der Skalierungseigenschaft der “Masse” wie oben definiert mit Abstand,[8]oder basierend auf der komplexen Netzwerk-Zeta-Funktion[9] wurden auch untersucht.F\u00fcr Netzwerke, die in den realen Raum eingebettet sind, kann eine Dimension definiert werden, die die Anzahl der Knoten kennzeichnet, die mit einer durchschnittlichen euklidischen Entfernung erreicht werden k\u00f6nnen.[10]Verweise[edit]^ ein b c Lied, Chaoming; Havlin, Shlomo; Makse, Hern\u00e1n A. (2005). “Selbst\u00e4hnlichkeit komplexer Netzwerke”. Natur. Springer Science and Business Media LLC. 433 (7024): 392\u2013395. arXiv:cond-mat \/ 0503078. doi:10.1038 \/ nature03248. ISSN 0028-0836.CS1-Wartung: ref = harv (Link)^ Moret, MA; Zebende, GF (2007-01-19). “Aminos\u00e4urehydrophobie und zug\u00e4ngliche Oberfl\u00e4che”. K\u00f6rperliche \u00dcberpr\u00fcfung E.. Amerikanische Physikalische Gesellschaft (APS). 75 (1): 011920. doi:10.1103 \/ physreve.75.011920. ISSN 1539-3755.^ Phillips, JC (2014). “Fraktale und selbstorganisierte Kritikalit\u00e4t in Proteinen”. Physica A: Statistische Mechanik und ihre Anwendungen. Elsevier BV. 415: 440\u2013448. doi:10.1016 \/ j.physa.2014.08.034. ISSN 0378-4371.^ 3. Phillips, JC Quantitative molekulare Skalierungstheorie der Proteinaminos\u00e4uresequenzen, -struktur und -funktionalit\u00e4t. arXiv 1606.1004116 (2016) ^ ein b K.-I. Goh, G. Salvi, B. Kahng und D. Kim, Skelett- und Fraktalskalierung in komplexen Netzwerken, Phys. Rev. Lett. 96, 018701 (2006), http:\/\/iopscience.iop.org\/article\/10.1088\/1367-2630\/9\/6\/177\/pdf^ ein b JS Kim et al.,Fraktalit\u00e4t in komplexen Netzwerken: kritische und \u00fcberkritische Skelette, 2006, arXiv:cond-mat \/ 0605324^ F. Klimm; Danielle S. Bassett; Jean M. Carlson; Peter J. Mucha (2014). “Aufl\u00f6sung struktureller Variabilit\u00e4t in Netzwerkmodellen und im Gehirn”. PLOS Computational Biology. 10 (3): e1003491. arXiv:1306.2893. Bibcode:2014PLSCB..10E3491K. doi:10.1371 \/ journal.pcbi.1003491. PMC 3967917. PMID 24675546.^ Shanker, O. (2007). “Dimension eines komplexen Netzwerks definieren”. Moderne Physikbuchstaben B.. 21 (6): 321\u2013326. Bibcode:2007MPLB … 21..321S. doi:10.1142 \/ S0217984907012773.^ Shanker, O. (2007). “Graph Zeta Funktion und Dimension des komplexen Netzwerks”. Moderne Physikbuchstaben B.. 21 (11): 639\u2013644. Bibcode:2007MPLB … 21..639S. doi:10.1142 \/ S0217984907013146.^ D. Li; K. Kosmidis; A. Bunde; S. Havlin (2011). “Dimension r\u00e4umlich eingebetteter Netzwerke”. Naturphysik. 7 (6): 481. Bibcode:2011NatPh … 7..481D. doi:10.1038 \/ nphys1932."},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki17\/2021\/01\/07\/fraktale-dimension-in-netzwerken-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Fraktale Dimension in Netzwerken – Wikipedia"}}]}]